2024-2025学年北师大版八年级数学下册期末复习题-选择压轴题（含解析）

2024-2025学年八年级数学下册期末复习题--选择压轴题【题型1利用因式分解求值】1.因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．122.若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23.已知x、y、z满足x−z=12，xz+y2=−36，则x+2y+zA．4 B．1 C．0 D．-84.已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m＋n的最大值是（A．16 B．22 C．34 D．36【题型2因式分解的应用】1.三位数abc的平方的末三位数恰好是abc，这样的三位数abc有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个2.已知a、b是△ABC的两边，且满足a2−b2=ac−bcA．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定3.设a=192×918，b=8882−30A．a<c<b B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a4.现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式x4−y4，因式分解的结果可以是x−yx+yx2+y2，若x=7，y=4，则x−y=3①按照多项式x4②按照多项式x3③按照多项式x−y3④若按照多项式x3+ax2y+bxy2A．1 B．2 C．3 D．4【题型3分式的运算】1.已知a+1b=b+1c=c+1a=x（aA．−1 B．1 C．±1 D．x无解2.已知m>n>1，将分式nm的分子、分母同时减1，得到分式n−1m−1，新分式的值在原分式的值上（A．有所增大 B．不变 C．有所减小 D．无法比较3.已知x2−5x−2022=0，则代数式x−24A．2021 B．2024 C．2027 D．20304.设n是大于1909的正整数，且n−19092009−n是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(

A．1959 B．7954 C．82 D．3948【题型4由分式方程的解的情况求值】1.若a=3b且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1A．277 B．240 C．272 D．2562.若分式方程1x−2+2=kx−1x−2有增根，则A．1 B．−1 C．2 D．−23.若关于x的方程1x−1+mx−2=A．−32或−1 B．C．−32或−2或0 D．−324.若关于x的一元一次不等式组3x−3≥a24−x>0有且只有3个整数解，且关于y的分式方程4y−3=A．−15 B．−10 C．−6 D．−4【题型5分式的实际应用】1.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m(m>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为m−1的正方形，两块试验田的小麦都收获了nkg．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为Pkg/mA．P>Q B．P=Q C．P<Q D．P是Q的m+1m−12.一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（）A．t1t2t1C．t1t22t3.甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（）A．1316小时 B．1312小时 C．1416小时 4.某班将举行一次知识竞赛活动，班长安排小红购买奖品，下面是小红买回奖品时与班长的对话．小红：我买了甲、乙两种笔记本共40本，甲种笔记本的单价比乙种笔记本的少3元，我给了老板300元，老板给我找回68元，其中买甲种笔记本花了125元．班长：你肯定说错了！小红：我把自己口袋里的13元一起当做找回的钱了．班长：这就对了！请你根据对话信息，计算乙种笔记本买了（

）A．25本 B．20本 C．15本 D．10本【题型6确定组成等腰三角形点的个数】1.如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，动点P从点B出发沿射线BC运动，当△APB为等腰三角形时，这个三角形底边的长不可能是（

A．16924 B．24 C．26 3.题目：“如图，已知∠AOB=30∘，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围。”对于其答案，甲答：x=0，乙答：0<x<2，丙答：2<x<4，则正确的是（

A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整4.如图．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．点P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．9个【题型7与等腰三角形有关的最值问题】1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点P是底边上的高AH上一点，若AP+2PB的最小值为22，那么AC

A．2 B．2 C．22 2.如图，AC、BD在AB的同侧，点M为线段AB中点，AC=2，BD=8，AB=8，若∠CMD=120°，则CD的最大值为（

）A．18 B．16 C．14 D．123.如图，D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD与AE交于点F．延长CD到点P，使∠BPD=30°，若AF=a，CF=b，则下列结论错误的是（）A．∠AFD=60° B．BF的长度的最小值等于3C．PC的长度为a+3b D．△ACF的面积的最大值是△ABC4.如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（

）A．1.5 B．3 C．4.5 D．6【题型8由勾股定理求最值】1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值是（

A．5+1 B．3 C．5 D．2.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（

）

A．23 B．22 C．323.如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当DF最小时，AE的长度为（

）．A．2 B．2 C．3 D．34.如图，已知线段AB=4，∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则22AE+2

A．2 B．22 C．23【题型9由勾股定理求面积】1.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（

）

A．1 B．2 C．3 D．42.如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则S1、SA．S1+S2+S3=3.如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB=6，EF=10，则△AEF的面积为（

A．63 B．83 C．244.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是两个底角的角平分线交点，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0,S1,A．53 B．2 C．196 【题型10由勾股定理的逆定理判断三角形形状】1.若a，b，c为△ABC的三条边，满足a2+bA．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形2.一个三角形的三边长都是整数，它的周长为12，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能3.设三角形的三边a、b、c满足a4A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定4.已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a+b=4,ab=1,c=14，则△ABC的形状为（

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【题型11与不等式（组）的解集有关的计算】1.如果关于x的不等式组2x−m≥0n−3x≥0仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数m、n组成的有序实数对m,n最多共有（

A．2个 B．4个 C．6个 D．9个2.若不等式组2x−a<1x−2b>3的解为−3<x<1，则(a+1)(b−1)值为（

A．−6 B．7 C．−8 D．93.如果关于x的不等式组5x−2a>07x−3b≤0的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数bA．3个 B．9个 C．7个 D．5个4.从−3，−2，−1，1，2，3这六个数中，随机选取一个数，记为a．若数a使关于x的不等式组12(2x+1)≥3x−a<0无解，且使关于x的分式方程xx−1+A．−3 B．−2 C．−1 D．0【题型12方程与不等式的综合运用】1.已知a、b、c满足3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，且a、b、c都为正数．设y=3a+b−2c，则y的取值范围为（

）A．3<y<24 B．0<y<3 C．0<y<24 D．y<242.已知两个非负实数a，b满足2a+b=3，A．a−c=3 B．b−2c=9 C．0≤a≤2 D．3≤c≤4.53.已知三个实数a、b、c，满足3a+2b+c=5，2a+b−3c=1，且a≥0、b≥0、c≥0，则3a+b−7c的最小值是（

）A．−111 B．−57 C．4.已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是（

）A．a−b=3c−b B．C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a>【题型13由平行四边形的性质求解】1.如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（

）．

A．21 B．19 C．17 D．152.已知在平行四边形ABCD中，AB=32，AD=6,∠ABC=45°，点E在AD上，BE=DE，将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF，则EF的长为（

A．23 B．13 C．15 3.□ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE=1，点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB=x，若□ABCD的面积为8，FG的长为整数，则整数x的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1或34.如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（）A．163 B．143 C．83【题型14与平行四边形有关的动点问题】1.如图，正五边形ABCDE中，点F是边CD的中点，AF,BC的延长线交于点N，点P是AN上一个动点，点M是BN上一个动点，当PB+PM的值最小时，∠BPN=（

）A．72° B．90° C．108° D．120°2.如图，平行四边形ABCD中，∠A=60°，DC=6，AD=4，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点），点E，F，A．7 B．23 C．3 3.如图，平行四边形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是边AD上一点，且AE=8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（）

A．4 B．415 C．421 4.如图，▱ABCD中，AB>AD，点E，F，G，H分别为AB,BC,CD,DA上异于端点的四点，满足AE=CG=1,DH=BF=2，M，N分别为AH,BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH,OE,OH,OF,OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（

）A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对【题型15数式与图形中的多结论问题】1.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上（不含端点）的动点，BD=CE，将线段AE沿AC翻折，得到线段AM，连接EM交AC于点N，连接DM、CM以下说法：①AD=AE=AM=DM；②△ABD≌△DMC；③CN=12EC；④当点D在BC上自左向右运动时，四边形ADCMA．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，则下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FBA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④3.如图，在△ABC中，将边AB，AC分别绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，AE，连接DE，与BC交于点F，连接AF，CD，BE，BD，CE．下列结论：①BC=DE；②BC⊥DE；③AF平分∠BFE；④BE2+CA．4 B．3 C．2 D．14.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法错误的个数为（

）①S△ABD=S△ADC；②∠CFD=60°；③S△CDF:S△AEF=FC:AF

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【题型16数式与图形中的规律探究】1.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9…都是等边三角形，且点A．509,0 B．508,0 C．−503,0 D．−505,02.如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(1，1)，C(2，1)，将△ABC向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1；将△A1B1C1关于原点中心对称，得到△A2B2C2；将△A2B2C2向右平移2个单位长度，得到△A3B3

A．(2023，3) B．(2023，−3) C．(−2023，3) D．(−2021，−3)3.如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……，按照此规律继续下去，则A．122014 B．122016 C．4.如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°，得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°，得到△O1A1B2A．(2026,20243)B．(2024,20263)C．参考答案【题型1利用因式分解求值】1.C【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．【详解】∵(x＋p)(x＋q)=x2＋（p+q）x+pq=x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12．∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1．∴m的最大值为11．故选C．2.D【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，故选：D．3.C【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得x−62【详解】解：∵x−z=12，∴z=x−12，又∵xz+y∴xx−12∴x2−12x+∵x−62∴x−6=0，y=0，∴x=6，y=0，z=−6，代入x+2y+z得，x+2y+z=0．故选：C．4.D【分析】由mn−3m−2n−24=0得(m−2)(n−3)=30.由于30=1×30=2×15=3×10=5×6=30×1=15×2=10×3=6×5，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的m＋n的值，即可找到【详解】由mn−3m−2n−24=0得mn−3m−2n+6−30=0m(n−3)−2(n−3)=30(m−2)(n−3)=30∵m，n均为正整数∴m−2=1n−3=30或m−2=2n−3=15或或m−2=30n−3=1或m−2=15n−3=2或m−2=10n−3=3解得m=3n=33或m=4n=18或m=5n=13或m=7n=9或m=32n=4或∴m+n=36或22或18或16∴m＋故选：D【题型2因式分解的应用】1.C【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键．【详解】由题意知abc2−abc∵1000=8×125，abc∴（1）8整除abc且125整除abc−1；（2）125整除abc且8整除(由（1）得abc=376，由（2）得abc∴共有两个，故选C．2.A【分析】先分解因式，得出a＝b，直接判断即可．【详解】解：a2﹣b2＝ac﹣bc，（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a、b、c是三角形的三边，∴a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．3.A【分析】运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．【详解】解：a=19b=888c=1053所以a<c<b．故选：A．4.B【分析】依次把每个式子进行因式分解，然后代入验证即可．【详解】解：①x4∵x=11，y=2，∴x−y=9，x+y=13，∴小明的密码可以是0913125，故①错误；②x3∵x=11，y=2，∴x+4y=19，x−4y=3，∴则小明的密码可以是111903，故②正确；③原式==x−y∵x=11，y=2，∴x−y=9，x+2y=15，x−2y=7∴小明的密码可以是090715，故③正确；④x3∵小明的密码是111505，x=11，y=2，∴则原式=xx∴a=−1，故④错误；故选：B．【题型3分式的运算】1.C【分析】将已知条件变形后可得：abc+2x=c(x2−2),abc+2x=a(【详解】解：由a+1b=x由b+1c=x将②代入①可得ab+1=a(x−整理得：abc+x=c(同理可得：abc+x=a(∴a(∵a、b、c互不相等∴x2−1=0，解得：故选C．2.C【分析】先把nm−n−1【详解】解：nm−n−1=m−n∵m>n>1，∴m−n>0，∴mm−1∴m−nmm−1∴分式nm的分子、分母都减去1后所得的分式n−1故选：C．3.D【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值．【详解】x−2=x−2==∵x∴x∴x即原式的值为2030．故选：D．4.B【分析】设a=2009−n，则n−1909=100−a，得到n−19092009−n=100a−1，再设n−19092009−n是数【详解】解：设a=2009−n，则n−1909=100−a，∴n−19092009−n再设n−19092009−n是数m∴100a∴100a∵n−19092009−n是某个整数的平方数，n−1909>0∴2009−n>0，∴0<a<100且a为正整数，∴0<100当m2+1=2时，当m2+1=5时，当m2+1=10时，当m2+1=50时，∴n的值可以为2007、1999、1989、1959，∴所有满足条件的n之和为2007+1999+1989+1959=7954，故选B．【题型4由分式方程的解的情况求值】1.C【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把a=3b代入方程，再解方程可得x=18b−15b+10=18−195b+10，且x≠−【详解】解：∵a2x+3−b−x∴3b2x+3两边都乘以2x+3x−53bx−5解得x=18b−15b+10=18−195b+10，且x≠−∴18b−15b+10≠−3解得：b≠2011，∵正整数b使关于x的分式方程a2x+3∴b+10>10，∴b+10=13或15或39或65或195，即b=3或5或29或55或185，其中b=5不符合题意，∴3+29+55+185=272，故选C．2.A【分析】使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2代入化简后的整式方程中即可求出k的值.【详解】1x−2去分母得：1+2（x-2）=kx-1，整理得：2x-2=kx，∵分式方程有增根，∴x=2，将x=2代入2x-2=kx，2k=2，k=1，故选：A.3.D【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值．【详解】去分母，得x−2+m(x−1）整理得(1+m)x=3m+4，当x=1时，1+m=3m+4，解得m=−3当x=2时，2(1+m)=3m+4，解得m=−2；当m=−1时，3m+4≠0，方程无解；综上所述，满足题意的m的值为−32或−2或故选D．4.D【分析】首先解出不等式组的解集，然后根据三个整数解求出a的取值范围；接着将分式方程解出来，求出a的值，结合取值范围取值求解即可．【详解】3x−3≥a2∵有且只有3个整数解，∴0<1+a6≤1∵a是整数，∴a=−5,−4,−3,−2,−1,0∵4y−3∴y=1−a为奇数，∴a=−4,−2,0∵y≠3，∴a≠−2∴a=−4,0故选：D【题型5分式的实际应用】1.C【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到P=nm2−1，Q=n【详解】解：根据题意得P=nm2∴P−Q=n∵m>1，∴(m+1)(m−1)∴P−Q<0，即P<Q，所以选项C正确；∵PQ∴P=m−1m+1Q故选：C．2.C【分析】根据题意得到队伍的速度为at2，队尾战士的速度为at【详解】解：由题意得：aa故选：C3.C【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则4x解得x＝20．经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．∴x=20是所列方程的解．∴x-5=15．∴甲的工作效率是120，乙的工作效率是1则丙的工作效率是110∴一轮的工作量为：120∴4轮后剩余的工作量为：1−52∴还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：215∴丙还需要工作16故一共需要的时间是：3×4+2+16＝141故选：C．4.C【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种笔记本的单价为x元，则乙种笔记本的单价为x+3元，根据题意列出方程125x【详解】设甲种笔记本的单价为x元，则乙种笔记本的单价为x+3元，由题意得：125x+300−68+13−125解得：x=5，经检验：x=5是分式方程的解，则甲种笔记本买了1255∴乙种笔记本买了15本，故选：C．【题型6确定组成等腰三角形点的个数】1.C【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．【详解】∵直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1=12∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2=1当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，点B的个数是4个．故选C．2.A【分析】按照谁为等腰三角形的顶点分三种情况讨论分别求解即可．【详解】解：由勾股定理可知：BC=A①A为等腰三角形的顶点时，有AB=AP，相当于以A点为圆心，AB为半径的圆，P点在BC的延长线上，如图1所示，此时△APB的底边BP=2BC=2×12=24；②B为等腰三角形顶点时，有BA=BP，相当于以点B为圆心，AB为半径画圆，P点在BC的延长线上，如图2所示，此时△APB的底边为AP，在Rt△ABP中，AP=③P为等腰三角形顶点时，有PA=PB，如图3所示，此时P点在线段AB的垂直平分线上，ΔAPB的底边为AB=13综上所述，当△ABP为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为24或26或13，故选A．3.B【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可．【详解】①当x=0时，点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，当MP1=N当NM=MP2，当NM=NP3，∴P1，P2，

②当x=2时，存在满足条件的点P只有一个；∴NM=MP=NP；

③当x=4，存在满足条件的点P只有2个；当MP1=N当MN=MP2，

④当2<x<4时，存在满足条件的有三个点P；当MP1=N当MN=MP2，当MN=MP3，

⑤当0<x<2时，不存在满足条件的点P，∴甲、丙答案合在一起才完整，故选：B．4.C【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点P的个数．【详解】解：如图：∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∴∠ACB=180°−70°−40°=70°，当∠CAP=∠CPA=35°时，△CAP为等腰三角形；当∠BAP=∠APB=55°时，△BAP为等腰三角形；当∠ABP=∠BAP=70°时，△BAP为等腰三角形；当P与C重合时，△APB为等腰三角形；当P与B重合时，△APC为等腰三角形；当∠ACP=∠CAP=70°时，△CAP为等腰三角形；当∠PAC=∠APC=55°时，△CAP为等腰三角形；当∠BAP=∠BPA=35°时，△BAP为等腰三角形；综上，满足条件的点P的位置有8个．故选：C．【题型7与等腰三角形有关的最值问题】1.B【分析】作AH关于直线AC的对称线段AG，根据垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理计算即可．【详解】如图，作AH关于直线AC的对称线段AG，

∵AB=AC，∠BAC=30°，点P是底边上的高AH上一点，∴∠BAH=∠CAH=15°，∴∠BAH=∠CAH=∠CAG=15°，∴∠BAG=45°,∠HAG=30°，过点P作PD⊥AG于点D，则PD=1∴AP+2PB=21过点B作BE⊥AG于点E，交AH于点F，∵DP+PB＞∴当P与点F重合，点D与点E重合时，取得最小值，且最小值为22故BE=2∵∠BAG=45°∴AE=BE=2∴AB=A∴AC=2，故选B．2.C【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B∵∠CMD=120°，∴∠AMC+∠DMB=60°，∴∠CMA∴∠A∵MA∴△A∵CD<CA∴CD的最大值为14，故选：C．3.C【分析】由等边三角形的性质得AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，可证△BDC≌△CEASAS，由三角形的外角性质可得∠AFD=60°，可判断A正确；过点B作BG⊥AC于点G，则∠ABG=30°，得到BG=32AB，当CD是中线时，点F在BG上，BF=23BG=33AB，最小，可判断B正确；在AC上截取AM=CE，连接BM交CD于点H，证明△CBD≌△ACE≌△BAMSAS，推出△BHC≌△CFAASA，得到BH=b，CH=a，∠PHB=60°，根据∠BPD=30°，得到∠PBH=90°，得到PH=2b，即得【详解】A.∠AFD=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，∴△BDC≌△CEASAS∴∠CAE=∠BCD，∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB，∴∠AFD=60°；∴A正确；B.BF的长度的最小值等于33如图1，过点B作BG⊥AC于点G，则∠ABG=30°，∴BG=3当CD是中线时，点F在BG上，BF最小，此时，BF=2∴B正确；C.PC的长度为a+3如图2，在AC上截取AM=CE，连接BM交CD于点H，即AM=CE=BD，∵∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=CB，∴△CBD≌△ACE≌△BAMSAS∴∠CAE=∠BCD=∠ABM，∵∠ABC=∠ACE，∴∠MBC=∠ACD，∴△BHC≌△CFAASA∴BH=CF=b，AF=CH=a，∵∠PHB=∠HBC+∠HCB=∠ABM+∠MBC=∠ABC，∴∠PHB=60°，∵∠BPD=30°，∴∠PBH=90°，∴PH=2BH=2b，∴PC=PH+HC=a+2b；∴C不正确；D.△ACF的面积的最大值是△ABC的面积的13如图1，当FG⊥AC时，F在BG上，点F到AC的距离最大，此时，FG=1∴S△AFC∴D正确．故选：C．4.C【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12故选：C．【题型8由勾股定理求最值】1.A【分析】由D为BC的中点可知BD=1．要求△BDE周长的最小值，就要求DE+BE的最小值，

过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B'，使OB'=OB，则B'、B关于AC对称．连接DB'交AC此题考查了线路最短的问题，确定动点E的位置时，使DE+BE的值最小是关键．【详解】

过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B'，使OB′=OB，则B'、B关于连接DB'交AC于E，此时连接CB∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2∴∠A=∠BCA=45°．又∵BO=B′O∴CB′=CB=2∴∠B∵D为BC的中点，BC=2，∴BD=CD=1，∴DB∴△BDE周长的最小值=DB′+BD=5故选：A2.C【分析】将FC沿着FE向左平移使F与E重合，得到C′E，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作G关于AB的对称点G′，连接C′G【详解】解：将FC沿着FE向左平移使F与E重合，得到C′

由平移性质得到EC∴GE+CF=GE+EC作G关于AB的对称点G′，连接C

∴由对称性得到G′∴GE+CF=GE+EC由图可知，GE+CF=GE+EC′=G′E+EC∵EF=1，∴CC在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，由矩形性质可得AD=BC=2,AB=DC=4，∴DC∵G是AD的中点，∴GA=1∵G与G′关于AB∴AG在长方形ABCD中，∠D=90°，∴在Rt△G′DC′中，∠D=90°，∴GE+CF的最小值32故选：C．3.C【分析】连接CF，证得△ABE≌△CBF，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案．【详解】解：连接CF∵等边△ABC边长为4，D是BC的中点，∠ABD=∠EBF=60°，∴∠BAD=30°，CD=12BC=2在△ABE和△CBF中，AB=CB∴△ABE≌△CBF(SAS∴∠BCF=∠BAD=30°，AE=CF，当DF最小时，DF⊥FC，此时DF=1在Rt△CDF中，∴AE=故选：C4.C【分析】以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，得出EF=22AE，进而将22AE+【详解】如图所示，以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连BF，

由勾股定理得AF∵AF=EF，∴EF=2∴22∵BE+EF≥BF，∴当22AE+2BE最小即BE+EF取最小值时，E必在线段BF上，即最小值为线段

∵∠BAC=15°，∴∠BAF=60°，∴在Rt△AFB中，∠ABF=90°−60°=30°∴AF=1∴BF=4∴22AE+2故选：C．【题型9由勾股定理求面积】1.B【分析】连接BF，由题意知S△ABD=S△AFC=S△BEC，再由点D、E、F分别是BE、CF、AD【详解】解：连接BF，如图所示：

∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，∴S△BDF=∵△ABC为等边三角形，△DEF也是等边三角形，∴AB=BC=AC,DE=EF=DF,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∠FED=∠FDE=∠EFD=60°，∴∠ABD+∠CBD=60°，∵∠FDE是△ABD∴∠BAD+∠ABD=60°，∵∠FED是△BCE∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BAD=∠CBE,∠ABD=∠BCE，在△ABD和△∠BAD=∠CBEAB=BC∴△同理，可得△ABD∴S∴S∴S∵S∴7S△DEF=故选：B．2.C【分析】先推导出正三角形的面积公式，设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：a2+b2=c2，则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：34b2、34【详解】正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=X∴正△XYZ的面积为：S=1如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：a2则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：34b2、3则根据上图有：S1+S5=即有S1∵a2∴S1即S1故选：C．3.D【分析】连接CE,CF,BE,BF，设BE,CF交于点M，AC,BE交于点N，证明△ABE≌△AFCSAS，进而证明CF⊥BE，根据勾股定理得出AB2=16，AC2=52，过点A作【详解】解：如图，连接CE,CF,BE,BF，设BE,CF交于点M，AC,BE交于点N，∵四边形ACDE,ABGF是正方形，∴AC=AE,AB=AF，∠EAC=∠FAB=90°∴∠EAC+∠CAB=∠BAF+∠CAB即∠EAB=∠CAF，∴△ABE≌△AFCSAS，∴∠ACF=∠AEB，∵∠CNE=∠CMN+∠ACF=∠NAE+∠AEB，∴∠CMN=∠NAE=90°，即CF⊥BE，∴CM2+B∴C∴BF又∵EC=2∴2A又∵AC解得：AB2=16∴AF=AB=4,AE=AC=213过点A作AT⊥EF于点T，设ET=x∴A即52−x解得：x=∴AT=∴S△AEF故选：D．4.C【分析】当点P在AB的左侧时，根据S1+S2+S3=116S0，可得S1=512S0，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD=12BC=3，AD=4，从而得到S1=512S0=5，过点P作AB的平行线PM，过点O作OT⊥AB于点R，交PM于点T，连接OB，则OT⊥PM，可得点P的运动轨迹是直线PM，再由S△ABP=S1=12AB⋅TR=5，可得TR=2，再由点O是两个底角的角平分线交点，AD平分∠BAC，可得AD过点【详解】解：当点P在AB的左侧时，∵S△PAB∴S1∵S1∴S1∴S1过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC=5，BC=6，∴BD=12BC=3，AD∴AD=A∴S0∴S1过点P作AB的平行线PM，过点O作OT⊥AB于点R，交PM于点T，连接OB，则OT⊥PM，∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵S△ABP∴TR=2，∵点O是两个底角的角平分线交点，AD平分∠BAC，∴AD过点O，∴OR=OD，∵OB=OB，∴Rt△BOD≌∴BR=BD=3，∴AR=2，设OD=OR=x，则AO=4−x，在Rt△AOR中，A∴22+x即OR=3∴OT=OR+TR=7∵OP≥OT，∴OP的最小值为72当点P在AC的右侧时，同理OP的最小值为72当点P在直线BC的下方时，同理OP的最小值为196∵196∴OP的最小值为196故选：C【题型10由勾股定理的逆定理判断三角形形状】1.D【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键．利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到a，b及c值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．【详解】解：∵aa∴a−6∴a−6=0，b−8=0，c−10=0，解得：a=6，b=8，c=10，∵a2+b∴a∴△ABC是直角三角形．故选：D．2.D【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x，另外两边之和为y，则x+y=12；根据题意求出x的取值范围是解题关键．【详解】解：设最长边为x，另外两边之和为y，则x+y=12由三角形的三边关系得：y>x，∴x+y>2x，即：x<6∵三角形的三边长都是整数，∴123≤x，即∴4≤x<6∴x可以取4或5，当x=4时，三边只能是4，4，4，为等边三角形；当x=5时，三边有两种情况：①3，4，5，为直角三角形，②5，5，2，为等腰三角形．故选：D3.A【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键．把b4、c4、2b2c【详解】解：a===(∵a4∴(∵a、b、c是三角形的三边，∴a∴a2∴这个三角形是直角三角形，故选：A．4.D【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．完全平方公式的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=【详解】解：∵a+b=4，∴(a+b)∴a∵ab=1，∴a∵c∴a∴△ABC的形状为直角三角形，故选：D．【题型11与不等式（组）的解集有关的计算】1.C【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案．【详解】∵解不等式2x−m≥0得：x≥m解不等式n−3x≥0得：x≤n∴不等式组的解集是m2∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2，∴−2<m2≤−1解得：−4<m≤−2，6≤n<9，即m的整数值是-3，-2，n的整数值是6，7，8，即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，(-2，6)，(-2，7)，(-2，8)．故选：C．2.C【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集3+2b<x<a+12，根据不等式组的解集得出3+2b=−3，且a+12=1，求出【详解】解：2x−a<1①x−2b>3②∵解不等式①得：x<a+1解不等式②得：x>3+2b，∴不等式组的解集为3+2b<x<a+1∵若不等式组2x−a<1x−2b>3解为−3<x<1∴3+2b=−3，且a+12解得：a=1，b=−3，∴(a+1)(b−1)=(1+1)×(−3−1)=−8，故选：C．3.D【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．【详解】5x−2a>0①7x−3b≤0②∵解不等式①得：x＞2a5解不等式②得：x≤3b7∴不等式组的解集为2a5∵x的不等式组5x−2a>07x−3b≤0∴6≤2a5＜7，9≤3b解得：15≤a＜17.5，21≤b＜2313∴a=15或16或17，b=21或22或23，∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况.故选D4.B【详解】解12(2x+1)≥3x−a<0∵不等式组12∴a⩽1，解方程xx−1+∵x=5−a2为整数，a⩽∴a=−3或1或−1，∵a=−1时，原分式方程无解，故将a=−1舍去，∴所有满足条件的a的值之和是−2，故选B.【题型12方程与不等式的综合运用】1.A【分析】把c当作常数解方程组，再代入y，根据a、b、c都为正数，求出c的取值范围，从而求解．【详解】解：∵3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，∴a=2c−4，b=9−c，∴y=3a+b−2c=3(2c−4)+9−c+2c=3c−3，∵a、b、c都为正数，∴2c−4>09−c>0∴2<c<9，∴3<3c−3<24，∴3<y<24．故选：A．2.D【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．【详解】解：∵2a+b=3①，3a+b−c=0由②−①得：由①得：a=3−b将a=3−b2代入②得：整理得：b+2c=9，故B选项错误，不符合题意；∵a，∴0≤b≤3，0≤a≤3∵a−c=−3，∴c=a+3，∵0≤a≤3∴3≤c≤4.5，故D选项正确，符合题意；故选：D．3.B【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解．【详解】解：联立方程组3a+2b+c=52a+b−3c=1解得，a=7c−3b=7−11c由题意知：a，b，c均是非负数，则c≥07c−3≥0解得37∴3a+b﹣7c＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c＝﹣2+3c，当c＝37时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×37＝﹣故选：B．4.D【分析】通过等式的性质得a−b=3c−b和a−c2=c−b可判断A和B正确；由题目条件判断b<c，a>c，可判断C正确；结合B和A推出a−c【详解】解：∵a+2b=3c，∴a+2b−3b=3c−3b，即a−b=3c−b∵a+2b=3c，∴a+2b−2b+c=3c−2b+c∴a−c2若a>b，∵a+2b=3c，∴a−a+2b>b−3c，即∴−3b>−3c，∴b<c，∵a>b，∴2a>2b，∵3c=a+2b，∴2a−3c>2b−a+2b整理得a>c，∴a>c>b，故选项C正确，不符合题意；由B知a−c2∵a>c，∴a−c2>0，∴c−b>0，∴b<c，由A知a−b=3c−b∴a−b>0，即b−a<0，∵a+2b=3c，即2b=3c−a，∴b−a−c−a∴b−a<c−a故选：D．【题型13由平行四边形的性质求解】1.B【分析】过P作PF⊥BA交BA延长线于点F，过P作PE⊥CD交CD延长线于点E，即EF为平行四边形ABCD边CD上的高；根据平行四边形的性质可得AB=CD,AD=BC，然后根据△PAB的面积为8，△PCD的面积为7可得四边形ABCD的面积为30；过P作PH⊥BC交AD延长线于点G，利用面积关系即可解答．【详解】解：过P作PF⊥BA交BA延长线于点F，过P作PE⊥CD交CD延长线于点E，即EF为平行四边形ABCD边CD上的高∵平行四边形ABCD，∴AB=CD,AD=BC∵△PAB的面积为8，△PCD的面积为7，∴12AB⋅PF=8,1∴四边形ABCD的面积为：CD⋅EF=CD⋅PE+AB⋅PF=14+16=30;过P作PH⊥BC交AD延长线于点G，∵△PAD的面积为4，四边形ABCD的面积为30，∴12AD·PG=4,∴△PBC的面积为12故选B2.B【分析】过点B作BG⊥DA交DA延长线于点G，过点E作EH⊥BF于点H，先证明△ABG是等腰直角三角形，可得AG=BG=3，设AE=x，则BE=DE=6−x，EG=x+3，在Rt△BEG中，根据勾股定理可得AE=1，BE=4，从而得到BE=5，再由折叠的性质可得∠ABD=∠FBD，BF=AB=32，再结合BE=DE，可得∠EBH=∠ABC=45°，从而得到△BEH是等腰直角三角形，可求出BH=EH=5【详解】解：如图，过点B作BG⊥DA交DA延长线于点G，过点E作EH⊥BF于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴BG⊥BC，即∠GBC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠ABG=45°，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AG=BG，∵AB=32∴AG=BG=3，设AE=x，则BE=DE=6−x，EG=x+3，在Rt△BEG中，B∴32解得：x=1，∴AE=1，∴BE=4，∴BE=B∵将△ABD沿BD翻折到△FBD，∴∠ABD=∠FBD，BF=AB=32∵BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∵AD∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠DBE=∠CBD，∴∠ABE=∠CBF，∴∠EBH=∠ABC=45°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BH=EH=5∴HF=BF−BH=2∴EF=E故选：B．3.C【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到AD和AB的关系，然后根据□ABCD的面积为8，FG的长为整数，从而可以得到整数x的值．【详解】解：如图所示，延长GF交AD于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，FG⊥BC，∴AD∥BC，∠FHE=∠FGB=90°，∴∠HEF=∠GBF，∵点F是BE中点，∴EF=BF，在△HEF和△GBF中，∠FHE=∠FGB∴△HEF≌△GBFAAS∴HF=GF，∴HG=2GF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵AB=x，∴AE=x，∵DE=1，∴AD=x+1，∵□ABCD的面积为8，FG的长为整数，∴x+1·2GF=8即：x+1·GF=4∴整数x为0或1或3．当x=0时，AB=0，不符合题意，舍去；当x=1时，AB=1，AD=2，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；∴x=3．故选：C．4.B【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG【详解】解：如图，取BC中点H，连接EC交AD于N，∵BC=2AB，BH=CH，∴BA=BH=CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA=HB=HC，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC⊥BC，∠BCD=180°−∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=23∴EC＝43∴S△BEG=1=163=143故选：B．【题型14与平行四边形有关的动点问题】1.C【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接BF，EF，PE，EM，根据全等三角形的判定与性质可得EP=BP，则当E、P、M三点共线，且EM⊥BC时，PB+PM的值最小，过点E作EH⊥BC于H，交AF于P′，分别求出∠BAP和∠AB【详解】解：连接BF，EF，PE，EM，∵正五边形ABCDE，∴AE=AB=BC=ED，∠BAE=∠AED=∠BCD=∠EDC=5−2∵点F是边CD的中点，∴CF=DF，∴△BCF≌△EDFSAS∴BF=EF，又AE=AB，AF=AF，∴△AEF≌△ABFSSS∴∠EAF=∠BAF=1∴△AEP≌△ABP∴EP=BP，∴PB+PM=EP+PM≥EM，∴当E、P、M三点共线，且EM⊥BC时，PB+PM的值最小，过点E作EH⊥BC于H，交AF于P′同理可求∠ABP∴∠BP即当PB+PM的值最小时，∠BPN=108°．故选：C．2.A【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接DB、GN，根据三角形的中位线得到EF=12GN，由图形可知当N在B【详解】解：如图：连接DB、GN，过点G作GH⊥AB交AB于点∵平行四边形ABCD中,DC=6，∴AB=DC=6，∵G是AD的中点，AD=4，∴AG=∵点E，F分别为GM，∴EF=1∴GN最大时，EF最大，∴N与B重合时GN=GB最大，在Rt△AGH中，∠A=60°，则∠AGH=30°∴AH=12AG=2×∴BH=AB−AH=6−1=5∴GB=∴EF=12GN=7，即故选：A．3.C【分析】取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，根据三角形全等的判定与性质可以得到BG=EG，由三角形三边关系可得GE+GC≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可得到解答．【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，

由题意可得：AE=8，DE=4，∵点N是AB的中点，∴AN=NB=8，∴AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴EA=EN，∠AEN=∠FEG=60°，∠ANE=60°，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG(SAS∴∠ENG=∠A=60°，∴∠GNB=180°−60°−60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，∴△EGN≌△BGN(SAS∴GB=GE，∴GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°∴DH=1∴在Rt△ECH中，EC=∴GB+GC≥421∴GB+GC的最小值为421故选C．4.D【分析】本题考查平行四边形的性质，割补法求阴影部分的面积．熟练掌握平行四边形的性质，利用割补法表示出阴影部分的面积，是解题的关键．连接OD,BO，设点O到CD的距离为ℎ1，到BE的距离为ℎ2，到AD的距离为ℎ3，到BC的距离为ℎ4，利用面积公式求出S△DOG+S△BOE，S△DHO+S【详解】解：连接OD,BO，设点O到CD的距离为ℎ1，到BE的距离为ℎ2，到AD的距离为ℎ3，到BC∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB,AD=BC，∵CG=AE=1，∴DG=BE，∴S△DOG+S∵CD为定值，ℎ1+ℎ∴S△DOG+S∵△AEH的边长是定值，∴S△AEH∵△OEH与四边形OFCG的面积之和为S▱ABCD−S∴△OEH与四边形OFCG的面积之和保持不变，当点O在HE，MN交点的左侧时，如图，S阴影而S▱ABCD−S故阴影部分面积是变化的，先变小，然后再保持不变，故选：D．【题型15数式与图形中的多结论问题】1.A【分析】本题根据等边三角形性质证明△ACM≌△ACE，得到AD=AE，根据折叠的性质得到AE=AM，在结合题干的条件证明△ADM为等边三角形，得到AD=DM=AM，即可判断①，由①知，DM=AD≠AB，即可判断②，根据对称的性质得到EM⊥AC，结合等边三角形性质，得到∠CEN=90°−∠ACB=30°，利用30度所对直角边等于斜边的一半，即可判断③，根据△ABD≌△ACE≌△ACM，得到S△ABD=S【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，在△ABD与△ACE中，AB=AC∴△ACM≌△ACESAS∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵线段AE沿AC翻折，得到线段AM，∴△ACM≌△ACE，∴△ABD≌△AE≌△ACM，∴AD=AE=AM，∠BAD=∠CAM，∵∠DAM=∠DAE+∠CAE+∠CAM=∠DAE+∠CAE+∠BAD=∠BAC=60°，∴△ADM为等边三角形，∴AD=DM=AM，∴AD=AE=AM=DM，∴①正确．由①知，DM=AD≠AB，∴△ABD与△DMC不全等．∴②错误．∵线段AE沿AC翻折，得到线段AM，∴EM⊥AC，∠CNE=90°，∵∠ACB=60°，∴∠CEN=90°−∠ACB=30°，∴CN=1∴③正确．∵△ABD≌△ACE≌△ACM，∴S∴S四边形ADCM∴④错误．