2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：隐圆问题（原卷版+解析）

压轴专题07隐圆问题

背；技法全归纳

知识考点与解题策略

考点一：定点定长作圆

已知平面内一定点力和一动点3若48长度固定，则动点8的轨迹是以力为圆心，丝长为半径的圆（如图）

（依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合）.

类型1:

如图①，若OA=OB=OC,则点A,B,C均在。O上.

图②图①图③图④

如图②，若点B到点A的距离为定值，则点B在。A上.

类型2:

如图③，当涉及折叠时，在矩形ABCD中，点E是边AB上的定点，点F是边BC上一动点（不与

点B重合），将△BEF沿EF折叠得到AB，EF,则点B，的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为

半径的一段圆弧（如图③虚线圆弧）.

类型3:

如图④，当涉及旋转时，点A为定点，将AABC绕点A旋转得到△AB'C，，则点B（C）的

运动轨迹是以点A为圆心，AB（AC）长为半径的一段圆弧（如图④虚线圆弧）.

考点2:定弦对定角

模型引入：如图①，中，46的长度为定值（定弦），顶点C为动点（定弦的同一侧），且NC度数

为定值（定角），根据其特征，我们把这样的模型称为定弦对定角模型.

在AABC中，AB的长为定值，NC为定角度.

（1）如图①，当NCV90。时，点C的轨迹为优弧ACB（不与点A,B重合）；

(2)如图②，当NC=90。时，点C的轨迹为。O(不与点A,B重合)；

图②

(3)如图③，当NC>90。时，点C的轨迹为劣弧AB(不与点A,B重合).

困③

结论：

当AC=BC时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大

考点3:四点共圆

类型一：

如图①②，在以A,B,C,D四点构成的四边形中，NACB=NADB=90。.

C

困①困②

结论：点A,B,C,D在以AB为直径的圆上

依据：直径所对的圆周角为90。

类型二：

如图③，在四边形ABCD中，ZACB=ZADB<90°.

-----------

图③

结论：点A,B,C,D在同一个圆上

依据：同弧所对的圆周角相等

曾典题固基础

例题1如图，AB是：。的直径，AB=4,点C为。上一点，ZABC=60°,点P为。上一动点，点、D是

AP的中点，求CD的最小值.

3

例题2如图，在平面直角坐标系中，直线y=^x-3分别与x轴、y轴相交于点A、B,点、E、尸分别是正方

形。4C。的边。£»、AC上的动点，S.DE=AF,过原点。作垂足为连接贝

面积的最大值为（）

13+50

C.6+3夜

2~

练」新题型特训

1.（24-25九年级上•江苏泰州・期末）如图，正方形ABC。的边长为4,点E是正方形ABCD内的动点，点

P是BC边上的动点，S.ZEAB=ZEBC.连结AE,BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为（）

A.2713-2B.4>/5-2C.473-2D.2715-2

2.（24-25•江苏宿迁•阶段练习）正方形ABCD中，AB=4,点E、P分别是CQ、8C边上的动点，且始终满

足DE=CF,DF,AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角”8G使得NA//G=90。，连接班/.则

88的最小值为（）

A.2y[5-2B.275+2C.晒-近D.710+72

3.（24-25江苏徐州阶段练习）如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=40，点P在以斜边AB为直径的

半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

A.2岳+4B.2兀C.4逝+2D.4万

4.（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）已知正方形ABC。边长为2,点E是正方形43边上的动点，点尸在

边BC上，^.BF=AE,线段AF、£史相交于点连接CM,则点E从点A运动到点8的过程中，线段人江

扫过的面积是.

5.（24-25九年级下•江苏南京•阶段练习）如图，矩形ABC。，AB=4,BC=8,E为A3中点，F为直线BC

上动点,B、G关于EF对称,连接AG,点P为平面上的动点,满足ZAPB=|ZAGB,则DP的最小值

6.(24-25九年级•江苏苏州•阶段练习)如图，点A,B的坐标分别为A(6,0)，3(0,6),C为坐标平面内一点,

BC=2五,M为线段AC的中点，连接OM,当0W取最大值时，点M的坐标为.

7.如图，。。的直径A8为2,C为。。上的一个定点，NA3C=30。，动点尸从A出发，沿半圆弧的向2

点运动(点尸与点C在直径的异侧)，当P点到达8点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂

线CD交PB的延长线于点D,连接AD,则线段AD的最大值为.

8、如图，已知VABC,外心为0,BC=18,Zfi4c=60。，分别以A3,AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD

与AACE,连接BE,CO交于点尸，则。尸的最小值是.

9、如图，在四边形ABCZ)中，ZBAD^ZBCD^90°,NACZ)=30。，A£>=2,E是AC的中点，连接DE,

则线段DE长度的最小值为

B

10、如图，AB是半圆O的直径，点O在半圆。上，AB=13,AO=5,C是弧8。上的一个动点，连接AC,

过。点作于”.连接在点C移动的过程中，8〃的最小值是

11、如图，△ABC为等边三角形，AB=2,若尸为△ABC内一动点，且满足NACP,则点P运动的

路径长为.

12、如图，矩形A8CD中，AB=8,BC=12,以。为圆心，4为半径作。Z),E为。。上一动点，连接AE,

以AE为直角边作RfAAER使/E4F=90。，tanZA£F=1,则点尸与点C的最小距离为

13、(24-25•江苏南通・阶段练习)如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，尸是线段BC

上的动点，将AEBF沿EF所在直线折叠得到AEBF,连接B。，则的最小值是.

14.问题发现：

(1)如图①，点A和点8均在。。上，且乙4。8=90。，点P和点。均在射线AM上，若/AP8=45。，则

点P与。。的位置关系是」若NAQBV45。，则点。与。。的位置关系是一

问题解决：

如图②、图③所示，四边形ABCO中，ABLBC,ADLDC,ZDAB=U5°,且AB=1,AD=2日点、P是

2C边上任意一点.

(2)当NAP£)=45。时，求2尸的长度.

(3)是否存在点尸，使得最大？若存在，请说明理由，并求出8尸的长度；若不存在，也请说明理

图③

15、问题发现

图(1),在△0W和。CD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=35。，连接AC,BD交于点、M.

①把的值为；②NAMB的度数为.

BD

(2)类比探究

图(2),在△OA3和"OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC,交2D的延长线于

1

点M,请计算AC上的值及的度数；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若00=2,AB=8,将OCD绕点。在平面内旋转一周.

①当直线。C经过点B且点C在线段80上时，求AC的长；

②请直接写出运动过程中加点到直线距离的最大值.

16、如图①，在等腰RfABC和等腰Rr3DE中，NBAC=NBDE=90°,AB=AC,BD=DE,E为BC的

中点，歹为CE的中点，连接AF,DF,AD.

>F'

图①图②图③

⑴若AB=4,求AO的长度;

(2)若将V3DE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明=AF1DF；

(3)如图③，在V3DE绕点8旋转的过程中，再将△ACF绕点A逆时针旋转60。到ACF',连接3F,若

AB=4,请直接写出39的最大值.

压轴专题07隐圆问题

9技法全归纳

知识考点与解题策略

考点一：定点定长作圆

已知平面内一定点力和一动点3若四长度固定，则动点8的轨迹是以Z为圆心，四长为半径的圆（如图）

（依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合）.

类型1:

如图①，若OA=OB=OC,则点A,B,C均在。O上.

如图②，若点B到点A的距离为定值，则点B在。A上.

类型2:

如图③，当涉及折叠时，在矩形ABCD中，点E是边AB上的定点，点F是边BC上一动点（不与

点B重合）,将△BEF沿EF折叠得到△B，EF,则点B，的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为

半径的一段圆弧（如图③虚线圆弧）.

类型3:

如图④,当涉及旋转时，点A为定点，将△ABC绕点A旋转得到△AB'C，，则点B（C）的

运动轨迹是以点A为圆心，AB（AC）长为半径的一段圆弧（如图④虚线圆弧）.

考点2:定弦对定角

模型引入：如图①，△脑中,的长度为定值（定弦），顶点C为动点（定弦的同一侧），且NC度数

为定值（定角），根据其特征，我们把这样的模型称为定弦对定角模型.

在AABC中，AB的长为定值，NC为定角度.

（1）如图①，当NCV90。时，点C的轨迹为优弧ACB（不与点A,B重合）；

C

A、、一，B

图①

（2）如图②，当NC=90。时，点C的轨迹为。O（不与点A,B重合）；

图②

（3）如图③，当NC>90。时，点C的轨迹为劣弧AB（不与点A,B重合）.

困③

结论：

当AC=BC时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大

考点3:四点共圆

类型一：

如图①②，在以A,B,C,D四点构成的四边形中，ZACB=ZADB=90°.

结论：点A,B,C,D在以AB为直径的圆上

依据：直径所对的圆周角为90。

类型二:

如图③，在四边形ABCD中，ZACB=ZADB<90°.

结论：点A,B,C,D在同一个圆上

依据：同弧所对的圆周角相等

典跑固基础

例题1如图，AB是：。的直径，AB=4,点C为。上一点，ZABC=60°,点、P为。上一动点，点、D是

【详解】解：如解图，连接。口、BP,

■：AD^PD,AO=BO,

：.ODUBP,

是；。的直径，

NAPB=90。，

ZAD(9=90°,

取AO的中点为E,以E为圆心，AE长为半径作圆，则点。在圆上.

连接AC,作于点H,连接EC交।E于点、F,则尸C为所求的最小值,

VAB=4,ZABC=60°,ZACB=90°f

:.BC=2,CH=拒,BH=1,

VAE=OE=-AO=1,：.EH=2,

2

由勾股定理得EC=y]CH2+EH2=V7，

ACF=V7-1,即CD的最小值为，■一1.

3

例题2如图，在平面直角坐标系中，直线＞=%-3分别与x轴、y轴相交于点A、B,点从厂分别是正方

形。4CZ）的边。£＞、AC上的动点，S.DE=AF,过原点。作所，垂足为连接贝

面积的最大值为（）

D13+5忘

A.6+5应B.12C.6+3日

--2

【答案】D

【分析】先证明ON=CN,再证点”在以ON直径的圆上运动，则当点“在。加的延长线上时，点H到AB

的距离最大，由相似三角形的性质可求MK,KQ的长，由三角形的面积公式可求解.

【详解】解：如下图，连接交EF于N,连接。C,取ON的中点M,连接过点M作

于。，交AO于点K,作与点尸,

3

:直线y=]X-3分别与x轴、y轴相交于点A、B,

...点A(4,0),点8(0,-3),

：.OB=3,OA=4,

AB=y/OB2+O42=J16+9=5>

:四边形AC。。是正方形，

OD//AC,AO=AC=OD=4,OC=4&,ZCOA=45°,

：.NEDN=NNAF,ZDEN=ZAFN,

又；DE=AF,

:.丛DENW&AFNCASA),

：.DN=AN,EN=NF,

...点N是A。的中点，即点N是OC的中点，

：.ON=NC=2五,

'：OHLEF,

：.ZOHN=90°,

...点”在以ON直径的圆上运动，

当点H在。M的延长线上时，点H到AB的距离最大,

:点M是ON的中点，

：.OM=MN=.j2,

•：MP±OP,ZCOA=45°,

・•・OP=MP=T,

・・・AP=3,

•/ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB+ZAKQ,

ZAKQ=ZABO=Z.MKP,

又「ZAOB=ZMPK=9Q°,

：.△MPKS^AOB,

,MP_PK_MK

・・茄一而一茄，

.\_PK_MK

435

・53

:・MK=—,PK=一,

44

9

・・AK=—,

4

VZAKQ=ZABOfZOAB=ZKAQ,

：.AAKQ^AABO,

.AK_KQ

**AB-OB?

9

4_KQ,

二一亍

・27

・・KQ——,

20

5?713

QM=KQ+MK=-+—

4205

13

点H到AB的最大距离为《+&,

•••AHAB面积的最大值=《x5x(1+&)=13+y,

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一

次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出的长.

S新题型特3

1.（24-25九年级上•江苏泰州•期末）如图，正方形ABCD的边长为4,点E是正方形ABC。内的动点，点

P是3C边上的动点，S.ZEAB=ZEBC.连结AE,BE,PD,PE,则尸D+PE的最小值为（）

A.2g-2B.4A/5-2C.4百-2D.2A/15-2

【答案】A

【分析】先证明NA£B=90。，即可得点E在以AB为直径的半圆上移动，设的中点为。，作正方形ABC。

关于直线3C对称的正方形CFGB,则点。的对应点是尸，连接F■。交BC于尸，交半圆。于E,根据对称性

有：PD=PF,则有：PE+PD^PE+PF,则线段斯的长即为PE+PD的长度最小值，问题随之得解.

【详解】解：：四边形ABC。是正方形，

,NABC=90。，

ZABE+/EBC=90°,

'：ZEAB=ZEBC,

：.ZEAB+ZEBA=90°,

：.ZAEB=90°,

，点£在以A3为直径的半圆上移动，

如图，设AB的中点为。，

作正方形ABCD关于直线对称的正方形CFGB,

则点。的对应点是凡

连接Fr。交BC于P,交半圆。于E,

根据对称性有：PD=PF,

则有：PE+PD^PE+PF,

则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，E

VZG=90°,FG=BG=AB=4,

OG=6,OA=OB=OE=2,

OF=VFG2+OG2=2/，

EF=OF-OE=2y/13-2,

故PE+PD的长度最小值为2岳-2,

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的

运动路线是解题的关键.

2.（24-25•江苏宿迁•阶段练习）正方形ABCD中，48=4,点E、P分别是C。、8C边上的动点，且始终满

足DE=CF,DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角AAHG使得NAHG=90。，连接8”.则

的最小值为（）

A.2石-2B.2岳2C.710-72D.回+近

【答案】C

【分析】首先证明ZAGD=90。，从而OG=；A£>=2,再根据NO4G=4ZW,可求MH=6,可知点H

的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值.

【详解】解：如图，取AD中点O,连接OG,以AO为斜边作等腰直角三角形AOM,

贝UAM=—AO=y/2,

2

在VA0E和OCF中，

AD=CD

<ZADE=ZDCF,

DE=CF

；・：ADEaDCF(SAS),

・•・ZDAG=ZCDF,

VZADG+ZCDF=90°,

ZADG+ZZMG=90°,

・・・ZAGD=9Q°,

△AZ)G是直角三角形，

・・・OG=-AD=2,

2

,・1为等腰直角三角形，

ZOAG-^-ZGAM=/HAM+Z.GAM,

ZOAG=ZHAM,

p..AHMA72

乂・---=---=---，

AGOA2

・•・AAMH^AAOG,

.MHA/2

"~00~~2,

MH=五，

...点H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，

如图，连接BM,交圆M于/T,过点M作于点P,

,/Z.DAE+ZBAH=45°,ZOAG=ZMAH,

，ZPAM=ZMAH+ABAH=45°,

•••为等腰直角三角形，

,:AM=&

.\AP=MP=^x72=1,

2

；.BP=4-1=3,

在&3PM中，BM=^BP-+PM2=710>

/.BH'=BM-MH'=410-42.

ABH的最小值为J记-0.

故选：C.

【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解

决.

3.（24-25江苏徐州阶段练习）如图，在等腰RtAABC中，AC=3C=4应，点P在以斜边AB为直径的

半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

A.2岳+4B.2nC.40+2D.4万

【答案】B

【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点R连结OC、OP、OM、OE、OF、EF,如图，

利用等腰直角三角形的性质得到AB=及BC=8,贝lj0C=：A8=4,0P=1AB=4,再根据等腰三角形的性质得

OMLPC,则/。0。=90。，于是根据圆周角定理得到点M在以0C为直径的圆上，由于点P点在A点时，

M点在E点；点尸点在B点时，M点在尸点，则利用四边形CEO尸为正方得到EB=0C=4,所以M点的路

径为以所为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点”运动的路径长.

详解：取的中点O、AC的中点E、BC的中点尸，连结OC、OP、OM,OE、OF、EF,如图，：在等腰

RtAABC中，AC=BC=4母,；.AB=0BC=8,AOC=|AB=4,OP=1AB=4.

为PC的中点，.•.OMLPC,，/。0。=90。，.•.点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M

点在E点；点P点在8点时，M点在尸点，易得四边形CEO尸为正方形，EF=OC=4,点运动的路径为

以EF为直径的半圆，，点M运动的路径长=，4兀=2兀.故选B.

点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等腰三

角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.

4.（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）已知正方形ABCZ）边长为2,点E是正方形A3边上的动点，点尸在

边BC上，且班'=AE,线段■、DE相交于点连接则点E从点A运动到点8的过程中，线段

扫过的面积是

5兀

【答案】

【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、点的运动轨迹问题的求解等知

识与方法，正确地作出所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键.先证明ADE乌BAF(SAS)得

到=进而证得/AMD=90。，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，

设圆心为N,连接AC、8D相交于。，连接ON,利用正方形的性质和圆周角定理得到点。在圆N上，根

据图形结合已知得到在点E从点A运动到点8的过程中，点M在劣弧上运动，点尸在BC上运动，由线

段FM扫过的面积$=SABC+S-S扇形,求解即可.

【详解】解：如图，四边形A2CD是边长为2的正方形，

.-.ZASC=ZZMB=90°,AB=BC=AD=CD=2,

在VADE和△BAP中，

AD=AB

<ZDAE=NABF

AE=BF

ADEWBAF(SAS),

:.ZADE=ZBAF,

：.ZADE+ZDAF=ZBAF+ZDAF=Z.DAE=90°,

:.ZAMD=90°,即AF1DE,

...点M在以A£>为直径的圆上运动，如图，设圆心为N,连接AC、相交于。，连接ON,

AE

则AN=ON=，Ar>=l,BDLAC,ZAPS=45°,

2

/.ZAOD=9Q°,即点。在圆N上,

ZANO=2ZADB=90°,ON=AN=lf

,:BF=AE,AFLDE,

・•・当点E在点A处时，点尸在点8处，这时点M在点A处，当点石在点5处时，点尸在点C处，这时点M

在点。处，

工在点E从点A运动到点3的过程中，点M在劣弧Q4上运动，点厂在5C上运动，

・，•线段扫过的面积是S-SABC+SANO—S扇形ANO=7^x2X2+7xlxl—：7ixl2=_

22424

5TT

故答案为：~~~■

24

5.（24-25九年级下•江苏南京•阶段练习）如图，矩形ABC。，AB=4,BC=8,E为48中点，尸为直线BC

上动点,8、G关于EF对称,连接AG,点P为平面上的动点，满足NAPB=[NAGB,则DP的最小值________.

2

【答案】2&U-20

【分析】由题意可知，/AG3=90。，可得/AP8=』/AG3=45。，可知点尸在以AB为弦，圆周角NAP3=45°

2

的圆上，（要使0P最小，则点尸要靠近蒂点。，即点尸在的右侧），设圆心为。，连接。4,OB,OE,

OP,OD,过点。作OQLAD,可知VAOB为等腰直角三角形，求得OA=^AB=26=0P,

2

AQ=0Q=^0A=2,QD^AD-AQ=6,OD=yJOQ2+QD2=2A/10,再由三角形三边关系可得：

DP>OD-OP=24U）-2s/2,当点尸在线段O£>上时去等号，即可求得的最小值.

【详解】解：G关于所对称，

：.BH=GH,且EF_LBG

为48中点，则EH为,ABG的中位线，

EH//AG,

：.ZAGB=90°,

，点尸在以A3为弦，圆周角NAP3=45°的圆上，（要使。尸最小，则点P要靠近蒂点O,即点尸在的

右侧）

设圆心为0,连接。4,OB,OE,OP,OD,过点。作0QLAD,

则。4=0B=OP,

•/ZAPS=45°,

•••NAOF=90。，则VA0B为等腰直角三角形，

/.OA=—AB=2y/2=OP,

2

又：E为A3中点，

OEJ_AB,OE=—AB=AE=BE,

2

又：四边形ABC。是矩形，

/.ZBAD=90°,AD=BC=8,

四边形AEOQ是正方形，

AAQ=OQ=^OA=2,QD=AD-AQ=6,

OD=y]OQ2+QD2=2y/10,

由三角形三边关系可得：DP2OD-OP=2M-2也,当点P在线段上时去等号，

/.DP的最小值为2如-20,

故答案为：2回-2垃.

【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直

角三角形的判定及性质，根据/APB=|NAGB=45°得知点尸在以AB为弦，圆周角ZAPB=45°的圆上是解

决问题的关键.

6.（24-25九年级•江苏苏州•阶段练习）如图，点A,8的坐标分别为46,0）,3（0,6）,C为坐标平面内一点，

BC=2枝,M为线段AC的中点，连接OM,当O暇取最大值时，点〃的坐标为.

【答案】(4,4)

【分析】根据题意可知：点C在半径为2夜的08上.在无轴上取。£>=。4=6,连接CD,易证明0M是AACQ

的中位线，即得出0M=Jcr),即当最大时，CD最大，由。，B,C三点共线时，即当C在Z58的延长

线上时，最大，根据勾股定理求出8。的长，从而可求出CQ的长，最后即可求出OM的最大值.

【详解】解：如图，：点C为坐标平面内一点，BC=2枝,

，C在0B上，且半径为2亚，

：.OM=^CD,

即当OM最大时，CD最大,而。，B,C三点共线时，即当C在08的延长线上时，OM最大,

：02=00=6,ZBOD=9Q°,

BD=672,

CD=6A/2+2A/2=8应，且C(2,8),

OM=^CD=4近,即0M的最大值为40，

是AC的中点，则M(4,4),

故答案为：（4,4）.

【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识.确定。知为最大值时点C的位置

是解题关键，也是难点.

7.如图，。。的直径为2,C为。。上的一个定点，ZABC=30°,动点尸从A出发，沿半圆弧的向B

点运动（点尸与点C在直径A3的异侧），当P点到达8点时运动停止，在运动过程中，过点C作C尸的垂

线CD交PB的延长线于点D,连接AD,则线段AD的最大值为.

【答案】V7+A/3/A/3+V7

【分析】由同弦等角可知点。在以8C为弦的。O,（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O\。共

线时，的值最大.求出此时的值即可解决问题.

【详解】解：:AB是直径，ZABC=30°,AB=2,

：.ZACB=90°,ZCAB=ZP=6Q°,AC=^AB=1,BC=^AC=6，

:在PCD中，ZPCD=90°,ZP=60°,

：.ZPDC=3O°,

...点。在以BC为弦的。0,（红弧线）上运动，

...当A、O'、D共线时，的值最大.

如图，连接CO，、BO',

VZBO'C=2ZCDB=60°,O'C=O'B,

...△(ZBC是等边三角形，

/.BO'=BC=A/3，/CBO，=60。，

NABC=30°,

NABO'=90°,

22

AO'=yjAB+O'B=商+网2=屿,

AD=AD'+O'D=/1+y/3.

...线段A。的最大值为6+7L

故答案为：77+73.

【点睛】本题考查圆周角定理、含30。角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值

问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型.

8、如图，已知VABC,外心为0,BC=18,44C=60。，分别以A3,AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD

与△ACE,连接BE,CD交于点P,则O尸的最小值是

【答案】9-373

【分析】由△极）与"怎是等腰直角三角形，得到/BAD=/CLE=90。，ZDAC=ZBAE,根据全等三

角形的性质得到NADC=/ABE,求得在以8C为直径的圆上，由VA5C的外心为0,ZBAC=60°,得到

ZB0C=120°,如图，当PO15C时，0P的值最小，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：一ABD与△ACE是等腰直角三角形，

:.ZBAD^ZCAE^90°,

:.ZDAC=/BAE,

在△ZMC与中，

AD=AB

<ZDAC=NBAE,

AC=AE

DAC^^BAE(SAS),

:.ZADC=ZABE,

:2PDB+/PBD=90。,

:.NDPB=90。,

在以BC为直径的圆上，

ABC的外心为0,ZBAC=60°,

ZBOC=120°,

如图，当时，。尸的值最小，

3c=18,

:.BH=CH=9,OH=LOB

2

BH=y/OB2-OH2=下>OH

:.0H=3有,PH=9,

OP=9-343.

则O尸的最小值是9-3石，

故答案为：9-373.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的

作出辅助线是解题的关键.

9、如图，在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,ZACD=30°,AD=2,E是AC的中点，连接OE,

则线段DE长度的最小值为.

【答案】A/3-I

【分析】先判断出四边形A2CO是圆内接四边形，得到NACD=NABr>=30。，根据题意知点E在以PG为直

径的。尸上，连接尸。交。P于点E,此时。E长度取得最小值，证明NAPD=90。，利用含30度角的直角三

角形的性质求解即可.

【详解】解：VZBAD=ZBCD=90°,

四边形ABCO是圆内接四边形，

ZACD=ZABD=30°,

：.ZADB=60°,

\'AD=2,

：.BD=2AD=4,

分别取AB、A。的中点RG,并连接PG,EF,EG,

是AC的中点，

：.EF//BC,EG//CD,

：./AEF=ZACB,NAEG=ZACD,

ZAEF+/AEG=ZACB+ZACD=90°,即ZFEG=90°,

...点E在以FG为直径的。尸上，如图：

当点E恰好在线段尸。上，此时DE的长度取得最小值，

连接B4,

,:F、G分别是AB、A。的中点,

：.FG//BD,FG=^BD=2,

：.ZADB=ZAGF=60°,

'：PA=PG,

...△APG是等边三角形，

/.ZAPG=60°,

:PG=GD=GA,且NAGF=60。，

NGPD=NGDP=30。,

：.ZAPD=90°,

PD=VAD2-PA2=V22-l2=A/3，

长度的最小值为(6-1).

故答案为：(石-1).

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角

形的性质，得到点E在以尸G为直径的。尸上是解题的关键.

10、如图，48是半圆。的直径，点D在半圆。上，AB=13,AO=5,C是弧8。上的一个动点，连接AC,

过。点作。"LAC于H.连接BH,在点C移动的过程中，的最小值是

【答案］河-5

【分析】连接B。，取的中点£,连接BE,由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，

当2、H、E三点共线时，28取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的长，利用直角三

角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出E”的长，由3”=3后-瓦7即可算出8〃的长度.

【详解】解：连接8。，取A。的中点E,连接BE,如下图：

OB

'：DH±AC

...点H在以点“为圆心，AE为半径的圆上，当2、H、E三点共线时，取得最小值

,：AB是直径

NBDA=90

在m3DA中，AB=13,AD=5

由勾股定理得：BD2=AB2-AD2

即：BD2=169-25=144

•/BD>0

BD^n

为A。的中点

/.DE=-AD=-

22

在m3DE中，BD=12,DE

由勾股定理得：BE2=DE1+BD2

即：BE1=—+144=—

44

BE>0

.RF-阿

2

^­：DH±AC,且点E为A。的中点

/.EH=-

2

.*RF巾河5y/601-5

••Dtl—DLL—乜lt=----

222

故答案为：河一5

2

【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键.

11、如图，△ABC为等边三角形，AB=2,若尸为△ABC内一动点，且满足/ACP,则点P运动的

路径长为.

【答案】空

【详解】解：•••△A5C是等边三角形，

・•・ZABC=ZBAC=60°,AC=AB=2,

'：ZPAB=ZACPf

：.ZPAC+ZACP=60°,

ZAPC=no0,

・••点P的运动轨迹是AC,如图所示：

连接。4、OC,作OD_LAC于。，

则A0=CQ」AC=1,

2

,/AEC所对的圆心角=2NAPC=240。，

・•・劣弧AC所对的圆心角NAOC=360。-240°=120°,

,：OA=OC,

・・・NOAO=30。，

\'OD±ACf

：.OD=BAD=B,OA=2OQ=亚，

323

19n273

・•・AC的长为I2。一"二述兀；

180~~9~

故答案为：述兀.

9

12、如图，矩形A5C。中，AB=8fBC=12,以。为圆心，4为半径作。。，后为。。上一动点，连接AE,

以AE为直角边作RtXAEF,使NE4尸=90。，tan/AEF=；,则点尸与点C的最小距离为.

【答案】4Mq

【分析】如图，取的中点G,连接尸G,FC,GC,由△RlGs/sEA。，推出PG：DE=AF,AE=1：3,

44

因为。E=4,可得/G=(,推出点尸的运动轨迹是以G为圆心!■为半径的圆，再利用两点之间线段最短即

可解决问题.

【详解】解：如图，取的中点G,连接/G.FC.GC.

ZEAF=90°,tanZAEF=-,

3

.AF_1

••一，

AE3

VAB=8,AG=GB,

：.AG=GB=4,

*：AD=12,

-AG_4_1

**AB-12-3,

.AFAG

••一,

AEAD

・・•四边形ABC。是矩形，

NBAD=ZB=ZEAF=90°,

：.ZFAG=ZEAD,

：.FG：DE=AF：AE=1：3,

U：DE=4,

4

，点F的运动轨迹是以G为圆心3为半径的圆，

GC=4GB2+BC2=V42+122=4M，

：.FC>GC-FG,

FC>4--）

CF的最小值为4^/10.

故答案为：4710--■

【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

13、（24-25-江苏南通・阶段练习）如图，在矩形中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，尸是线段BC

上的动点，将AE8/沿EF所在直线折叠得到AE8F,连接8。，则8。的最小值是.

【答案】2M-2.

【分析】如图所示，点夕在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当。、B\E共线时，的值最小，根据

勾股定理求出根据折叠的性质可知B'E=BE=2,即可求出ED

【详解】如图所示点3'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当。、B\E共线时，夕。的值最小，根据折

叠的性质，△EBF会/\EBE：.ZB=ZEB'F,EB'=EB.

是AB边的中点，AB=4,：.AE=EB'=2.

'：AD=6,:.DE=d&+于=25,：.B'D=2^W-2.

故答案为2师-2.

【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点F在

何位置时，的值最小是解决问题的关键.

14.问题发现：

（1）如图①，点A和点8均在。。上，且NAOB=90。，点P和点。均在射线AM上，若NAPB=45。，则

点尸与。。的位置关系是「若/AQBV45。，则点。与。。的位置关系是

问题解决：

如图②、图③所示，四边形ABCO中，ABLBC,ADLDC,ND4B=135。，且AB=1,AD=2及，点,P是

边上任意一点.

(2)当NAPZ)=45。时，求的长度.

(3)是否存在点P,使得/AP。最大？若存在，请说明理由，并求出8尸的长度；若不存在，也请说明理

图①图②图③

【答案】(1)点P在。。上，点。在。。外；⑵PB=2+6或2-6；(3)存在，指T

【分析】(1)如图①中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；

(2)如图2中，造等腰直角三角形△AOD,与。为圆心作。。交8C于尸、尸，易知/APO=/AHD=45。.求

出8P和BP的长即可解决问题；

(3)作线段4。的垂直平分线，交AD于E,交BC于忆点。在跖上，以。4为半径作。O,当。。与

8c相切于点P时，NAP。最大，求出此时8P的值即可；

NAOB=45。,

...点P在。。上，

ZAQB<45°,

...点。在。。外.

故答案为点尸在。。上，点。在。。外.

(2)如图2中，如图构造等腰直角三角形△A。。，与。为圆心，OA为半径作。。交8C于P、P',易知/APO

=ZAP'D=45°.

图②

延长DO交BC于H,

'：ZDAB^135°,NZMO=45°,

：.ZOAB^ZB^90°,

：.OA//BC,

：.ZDOA=ZOHB=90°,

.,.四边形ABHO是矩形，

：.AB=OH=\,OA=BH,

：A£>=2立，

：.OA=OD=OP=OP'=2,

在RtXOPH和Rt4OP'H中，

易知HP=HP，=V22-I2=出，

：.BH=OA=2,

：.BP'=2-^3,PB=2+5

(3)如图③中，存在.

G"BPFM

图③

作线段AO的垂直平分线，交AO于E,交8c于忆点。在EF上，以OA为半径作。O,当。。与8c相

切于点P时，NAPD最大，理由：在2C上任意取一点连接MA、MD,MD交。0于N,连接AN.

ZAND>ZAMD,ZAPD=ZAND,

：.ZAPD>ZAND,

连接OP,延长D4交C2的延长线于点G