2025年九年级数学中考复习《图形变换综合压轴题》考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习《图形变换综合压轴题》考前冲刺专题训练(附答案)

1.在Rt△力BC中，N4BC=90。,乙4cB=30。.将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度a得

到ADEC,点/、5的对应点分别是点。、E.

(1)如图1,当点£恰好落在47边上时，求乙4DE的度数；

(2汝口图2,当a=60。时，点/、E、。在同一条直线上，点尸是边AC的中点，求证：四边形

BFDE是平行四边形.

2.已知在AABC中，AB=AC,BC=4.点D、E分另lj为48、AC的中点.将AADE绕点4逆

时针旋转得到△力直线与射线C4相交于点F,连接B»、CE'.

⑴当AADE旋转到如图1所示位置时，请直接写出线段BD、CE，的数量关系；

⑵当△AOE旋转到如图2所示位置时，D'E'1AC5.CE'=V5,求出AB的长；

⑶当NB4C=60。时，AADE旋转过程中当点B落在直线上时，请直接写出CE，的长度.

3.如图①边长为a和3的两个正方形放在直线/上，连接2。、CF,贝=

⑴将正方形。DEF绕点。逆时针旋转一定的角度，如图②.4D还等于CF吗？说明理由.

(2)将正方形ODEF绕点。逆时针旋转，使点£在直线/上，如图③，求CF的长.

4.在等腰直角△力BC中，ZXC5=90°MC=BC,。为直线BC上任意一点，连接力D.将线

段2D绕点D按顺时针方向旋转90。得线段ED,连接BE.

【尝试发现】

（1）如图1,当点。在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为；

【类比探究】

（2）当点。在线段8c的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关

系并证明；

【联系拓广】

（3）若AC=BC=1,CD=2,过点£作EM1BC于M,请直接写出誓的值.

图1图2

5.矩形4BCD中，AB<AD,点M,N分别在边BC,CD上，/.MAN=45°.

⑴如图1,连接MN,若AM=MN,求证：ABAM三4CMN；

（2）如图2,若4B==3,DN=2,求翳的值；

（3）如图3,连接MN,若BM=2,DN=3,MN=50,求力D的长.

6.【综合实践】如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为"手拉

手全等模型因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为"手拉手模型

【问题初探】

（1）△ABC和ADBE是两个都含有45。角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所

示的位置摆放时，D、B,C在同一直线上，连接AD、CE,请证明：AD=CE

【类比探究】

(2)AABC和ADBE是两个都含有45。角的大小不同的直角三角板，当三角板ABC保持不动

时，将三角板DBE绕点8顺时针旋转到如图2所示的位置，判断4D与CE的数量关系和位置

关系，并说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形ABCD中，NBAD=90°,AB=AD,BC=-CD,,BD,^ACD=45°,

4

/到直线CD的距离为7,请求出△BCD的面积.

7.综合与探究

发现问题：

(1)如图1,在RtAABC与RtACDE中，zB=zF=^ACD=90°,AC=CD,B,C,E三点、

在同一直线上.若AB=2.5,ED=3.5,则BE=.

提出问题：

(2)如图2,在RtAABC中，^ABC=90°,BC=2,将AC绕点。顺时针旋转90。得到DC,连

结8D,求ABC。的面积.

灵活应用：

⑶如图3,在AABC中，将AB绕点4顺时针旋转90。得到2E,将AC绕点4逆时针旋转90。得到

AG,连结EG,过点4作4"1BC于点“，延长H4交EG于点/.求证：/是EG的中点.

8.【问题背景】

在△ABC中，^ACB=90°,2LABC=a(0°<a<45°),点。，£分别在线段BC,AC上，将

线段DE绕点。逆时针旋转180。-2a得到线段DF,求尸落在线段28上.

【问题初探】

（1）如图1,当a=45。，点E与点C重合时，求证：FB=FA；

【问题提升】

（2）如图2,当a=45。，点£在线段力C上时，过点E作EGIIBC,交线段4B于点G,猜想

线段4G与线段BF之间的数量关系，并证明；

【问题拓展】

（3）如图3,当a745。，点E在线段AC上时，过点£作GEIIBC,交线段4B于点G,（2）

的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由.

9.平面内有一等腰直角三角板（N71CB=90。），直线MN过点2.过点C作CE1MN于点E,

过点B作BF1MN于点F.当点E与点4重合时（如图①），易证：AF+BF=2CE.

CBC

图①图②图③

⑴当三角板绕点4顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请说明理由；

⑵当三角板绕点4顺时针旋转至图③的位置时，线段力F,BF,CE之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想，不需要说明理由.

10.已知，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.尸是BC边上一动点（尸不与8、C

重合），将AACP沿2P折叠得AADP,点C的对应点为。.

图1图2图3图3备用图

【特例感知】（1）如图L当点。落在4B上时，求CP的长；

【类比迁移】（2）如图2,当点。在力B上方且满足AB=2N8AD时，求CP的长；

【拓展提升】

（3）如图3,将线段4P绕点/逆时针旋转90。得4E,连接DE.当△2DE为等腰三角形时,

直接写出CP长;

11.综合与实践已知：乙MBN=90。,在BM和BN上截取84=8C,将线段48边绕点/逆时

针旋转a(0°<a<180。)得到线段力。，点E在射线BD上，连接CE,ABEC=45°.

【特例感知】

(1)如图1,若旋转角a=90。，则8。与CE的数量关系是

【类比迁移】

(2)如图2,试探究在旋转的过程中BD与CE的数量关系是否发生改变？若不变，请求BD与

CE的数量关系；若改变，请说明理由;

【拓展应用】

(3)如图3,在四边形4BCD中，AD=AB=BC=5,N2BC=90。，点E在直线BD上,

NBEC=45。，CE=4V2,请直接写出△CDE的面积.

12.己知：AB1AC,AB=AC,CD1DE,CD=DE,尸为BE中点.

⑴如图1,点C在BE上，作AEPM,使AEPM与ABPA关于点尸成中心对称，并证明ADEM=

△DCA；

(2汝口图2,点C不在BE上，X为力。中点，求证PH14D,PH=^AD-,

⑶如图3,点N为△ABC内一点，^ANC=135°,若AN+CN=6,且AN不小于3,则BN的

最小值=.

13.如图1.在平面直角坐标系中，已知直线y=+2与x轴交于点力，与y轴交于点C.过

A,C两点的抛物线=-2/+b%+c与无轴的另一个交点为点—点p是位于工轴上方的

抛物线打上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线4c于点E,点、F.

F

x

(1)求抛物线刀的解析式；

(2)当EF=4C时，求点P的坐标；

⑶如图2,将图1中的抛物线刀向下平移4个长度单位得到抛物线G，点M在直线2C上，线

段MC绕点M逆时针旋转90。得到线段MN,当点N在抛物线乙2上时，求点M的坐标.

14.如图，在等腰A/IBC中，AB^AC,^LABC=a,D,E分另Ij在48,8C边上(点。不与4,B

重合)，将线段DE绕点。逆时针旋转a后点E的对应点F恰好落在4c上.

CBCB

备用图

(1)当a=30。时，如图1,

①求证：AADF=ABED；

②判断线段BE-4D与4F的数量关系，并证明.

⑵当a=15。时，如图2,若4D=2,BD=6,直接写出线段BE的长度

15.综合与实践

【情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如

图，在△ABC中，点M,N分别为AB,4C上的动点（不含端点），且AN=BM.

图①图②

【尝试】（1）如图①，当AABC为等边三角形时，欢欢发现：将M4绕点M逆时针旋转120。得

到MD,连接8D,则MN=DB,附思考并证明.

【探究】（2）欣欣尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△28C中，AB=AC,

^BAC=90°,AE1MN于点E,交BC于点F,将M力绕点M逆时针旋转90。得到MD,连接

DB.试猜想四边形4FB0的形状，并说明理由.

【拓展】（3）彬彬在（2）的条件下继续探究：当MNIIBC时，且点E为2尸的中点，直接写出

四边形4FBD的形状.

16.综合与实践：开展"矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发

现.在矩形纸片4BCD中，AD=2,AB=V3.

【数学思考】如图1,圆圆将矩形4BCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD,使得点E落在BC

边上，点力作4”IDE.求证：AADH^ADEC；

【解决问题】如图2,连结4G,求线段4G的长.

【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周，若直线ED恰好经过

线段4G中点。时，连结4E,AG,直接写出AAEG的面积是.

图1备用图

17.如图，二次函数y=-/+6%+c与x轴交于点4(—1,0)和B(5,0),与y轴交于点C.

(1)求二次函数的表达式和直线BC的表达式；

⑵若点D为二次函数的顶点，连接BD、CD,求△BCD的面积.

⑶将(1)中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时

针旋转90。得到抛物线G,若抛物线G与直线BC交于M,N两点，点P是抛物线G上位于直线MN

左侧一个动点，连接PM,PN,求APMN的面积最大值.

老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动.

图1

⑴操作判断如图1,将矩形纸片力BCD折叠，使AB落在边力D上,点8与点E重合,折痕为力尸,

即可得到正方形4EFB,沿EF剪开，将正方形力EFB折叠使边力B,4E都落在正方形的对角线

4F上，折痕为AG,AH,连接GH,如图2.根据以上操作，贝UNGA”=

(2)迁移探究

将图2中的NG4H绕点/按顺时针旋转，使它的两边分别交边BF,FE于点/,J,连接〃，

如图3.探究线段引，〃，£/之间的数量关系，并说明理由.

⑶拓展应用

连接正方形对角线BE,若图3中的NL4J的边4/,句分别交对角线BE于点K,R,将正方形

纸片沿对角线BE剪开，如图4,若BK=2,ER=4,请直接写出KR的长.

19.将正方形4BCD和正方形CGEF如图1摆放，使。点在CF边上，M为4E中点,

FE

GG

图1图2图3

(1)连接MD,MF,则容易发现MD,MF间的关系是；

⑵操作：如图2,把正方形CGEF绕C点顺时针旋转，使对角线CE放在正方形4BCD的边BC

的延长线上(CG>BC),取线段4E的中点探究线段MD,MF的关系，并加以说明

⑶将正方形CGEF绕点C顺时针旋转任意角度后(如图3),其他条件不变，(2)中的结论是

否仍成立？直接写出猜想，并加以证明.

20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线加旷=61刀2+.一3与太轴交于〃(一1,0)和％(3,0)

两点.

(1)求抛物线少的解析式.

(2)如图，将抛物线丫=&/+6乂-3绕点可旋转180。后得到抛物线皿，，抛物线VV'与x轴交

于另一点Q.

①直接写出点Q的坐标和抛物线”'的解析式.

②利用①中的结论，当4WXW6时，求抛物线的最大值和最小值.

(3)尸为抛物线爪上的一个动点，点尸的横坐标为巾(爪>0),以点P为中心作正方形4BCD,

AB=2m,且AB1x轴.

①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围.

②正方形ABCD的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为封，请直接写出力的

值.

参考答案

1.(1)解：团将△力BC绕点C顺时针旋转一定的角度a得到△DEC,点£恰好在4C上,

回以=CD,乙ECD=/.BCA=30°,乙DEC=乙ABC=90°,

OCX=CD,

S^CAD=ACDA=|(180°-4ACB)=|x(180°-30°)=75°,

"DE=4DEC-ACAD=90°-75°=15°；

(2)证明：回点尸是边力C中点，^ABC=90°,

0BF=CF=-AC,

2

^ACB=30°,

i

团48=-AC,

2

团BF=CF=AB,

团将△ABC绕点。顺时针旋转60。得到△DEC,

^BCE=Z.ACD=60°,CB=CE,DE=AB,

团OE=BF,△ACD^\LBCE为等边三角形，

^\BE—CB,AC=CD,

团点厂为^ACD的边AC的中点，

ELDF1AC,

在RtAABC和RtACFD中,

(AC=CD

lAB=CF'

0RtACFD三Rt△XSC(HL),

ELDF=BC,

ELDF=BE,

又回DE=BF,

回四边形BEDF是平行四边形.

2.(1)解：ABAC,点、D、E分别为4B、AC的中点，

11

AD=AE=-AB=-AC,

22

•・•△ADE绕点/逆时针旋转得到△AD'E',

・••/-BAC=ND'AE',AD=ADr,AE=AE'

•••^BAD'=/.CAE',AD'=AE'

AB=AC

I£AABD'^WLACE'^\^BAD'=/-CAE',

、AD'=AE'

•••ABD'22ACE'

BD'=CE'-,

(2)解：如图，延长AD，交BC于点G

•••AC平分ND'AE，，

•••乙DAD'=^D'AF=^E'AF

AB=BC,BC=4

•••AG1BC,BG=GC=2

■：BD'=E'C=V5,

D'G=JBD,2-BG2=1,

设4D=x,贝i]2B=2x

在Rt△AGB^AG2+BG2=AB2

即(％+1)2+22=(2x)2,

5

・••X=-,

3

.「10

AB=—；

3

(3)解：痴+1或旧一1

由(1)知ABD'△-△ACE，，

BD'=CE',

•・•点。、E分别为48、AC的中点,

11

・•・DE=-BC=-x4=2,

22

如图，当点B在的延长线上时,

^D'AE'=60°,

AD'=AE',

・•.△AD'E'是等边三角形，

•••^AD'E'=Z-AE'D'=60°,

AAAD'B=AE'C=120°,

•••/.CBE'=60°,

过点C作CG1BE'于点G,

ZCG£,=90°,

Z.E'CG=30°

设CE'=BD'=a,

E'G^-CE'a,CG=—a,BE'=a+2,

222

■.BGBE'-E'G=-a+2,

2

­••BG2+CG2=BC2,

・0+2）2+ga『=16,

解得a=V13-1或a=-V13-1（舍去），

CE'=V13-1；

如图，当点B在ZTE，的延长线上时，过点B作1CE，于点儿

同理可得NBE'C=60。，BE'=V13-1,

CE'=BDr=BEr+DE=V13-1+2=V13+1,

综上CP的长度为履-1或同+1.

3.(1)解：AD=CF,理由：

如图①在^CF。和△Z。。中，

OC=DA

^LCOF=Z.AOC,

.OF=OD

0ACFO三△AD。(SAS),

团4。=CF,

将正方形。DEF绕点。逆时针旋转一定的角度，如图②.AD=CF成立，理由:

团四边形ZBC。和。。EF者R是正方形

团4。=。。，OD=OF,/-AOC=^DOF=90°,

团NZOC+乙COD=4DOF+(COD.

团NA。。=乙COF.

(AO=CO

在△4。。和△C。尸中，\^AOD=/.COF

(OD=OF

0ACF。三△AD。(SAS).

团4。=CF.

(2)解：由(2)得：CF=AD,

连接DF交。E于G,

EOA

F

回四边形。DEF都是正方形.

团。F10E,DG=0G.

团正方形ODEF的边长为鱼

团。E=y[20D—V2XV2=2.

回0G=0G=1.

团正方形A8C。的边长是3

团4G=AO+OG=4.

团/£)=y/AG2+DG2—V42+l2=V17.

团CF=AD=V17.

4.解：(1)过点E作EM1CB延长线于点M,

由旋转的性质得/。=DE/ADE=90°,

••・AADC+乙EDM=90°,

•・•乙ACB=90°,

・•・乙ACD=乙DME,乙ADC+Z.CAD=90°,

Z.CAD=乙EDM,

/.AACD三△DME(AAS),

・•.CD=EM,AC=DM,

•・•AC=BC,

・•.BM=DM—BD=AC-BD=BC-BD=CD,

・•.BM=EM,

•・•EM1CBf

■.BE=V2EM=V2CD,

故答案为：BE=V2CD；

(2)BE=V2CD,理由如下：

过点E作EM1CB于点、M,

A

由旋转的性质得4D=DE,^ADE=90°,

・•・乙ADC+乙EDM=90°,

•・•/-ACB=90°,

・•・乙ACD=乙DME,乙ADC+乙CAD=90°,

Z.CAD=乙EDM,

/.△ACD三△DME（AAS）,

・•.CD=EM,AC=DM,

•••AC=BC,

・•.DM=BC,

・•.DM-CM=BC-CM,

••・CD=BM,

・•.EM=BM,

•・•EM1CB,

BE=V2£M=V2CZ）；

（3）如图，当点。在CB延长线上时，过点E作EM1CB延长线于点M,

由（2）得DM=AC=1,EM=CD^2,

•••CM=CD+DM=3,

•••CE=VCM2+EM2=V13,

EM_2_2V13

,,CE-V13-13，

当点。在BC延长线上时，过点E作EM1CB于点M,

A

同理可得：AACD三ADME,

・•.DM=AC=lfME=CD=2,

CM=2-1=1,

CE—V22+l2=V5,

EM_2_2A/5

'演=后=w

综上所述，吧=2或越.

CE135

5.(1)解：如图，AM=MN,AMAN=45°,

AAAMB+乙CMN=90°

而“MB+Z.BAM=90°

贝"BAM=乙CMN,

又IM8CD是矩形，

=ZC=90°,

•­.ABAM=△CMN.

(2)解：如图，由4B=AD,将AADN绕点4顺时针旋转90。，得AAN'B

贝1J4V=4N',DN=BN'=2

乙N'AB=乙NAD

贝UNAMM=乙NAM=45°

又•••AM=AM

.-.AAN'M=AANM

•••MN=MN'=ND+BM=5,

设2D=AB=BC=CD=x,由NC=90°

0MC2+NC2=MN2.

即(x—3)2+(x-2)2=52.

则=-1(舍去)a2=6

•••AM=3瓜AN=2V10

AM_3V2

丽=—

(3)解：如图，△4DN绕点4顺时针旋转90。,得AAEN'

乙NAD=NN2E贝ikN'AM=NM4M=45°

又AM=AM

•■•AAN'MdANM

：.N'M=NM=5V2

作MF1"E交N'E的延长线于点尸

・•.N'F=3+2=5

•••MF=J(5近尸-52=5

BE=MF=5

设力D=AE=x,由AB=CD,AD=BC,zC90°

得(x-8)2+(x-2)2=(5V2)2

则的=1(舍去)%2=9

AD=9.

6.解：（1）团△ZBC和是两个都含有45。角的大小不同的直角三角板,

^/-DBE=乙ABC=90°,AB=BC,BD=BE,

0ADBA三△EBC(SAS),

团4。=CE；

(2)AD=CE,AD1CE,理由如下：

^DBE=/-ABC=90°,

^DBA=乙BCE=90°-乙DBC,

团48=BC,BD=BE,

[?]△DBA=△EBC(SAS),

回/。=CE,Z-ADB=乙CEB；

延长/。与CE交于点。，

^BDE+乙BED=90°,

^BDE+乙BEC+Z.CED=90°,

^BDE+乙ADB+乙CED=90°,

0ZODE+Z.OED=90°,

团4。=90°,

团4。1CE；

(3)过/作AC1AM交CO延长线于M,过/作4V1CD交CD于N,

C

回入4CD=45°,

团4AC。=/_M=45°,

团4c=AM,

^BAD=90。,AB=AD

^BAC=^LDAM=90°-ADAC,

0AXBC=AXDM(SAS),

汕C=DM,4ACB=ZM=45°,

^BCD=Z.ACB+“CD=90°,

团点4到直线CO的距离为7,

团4N=7,

团4c=AMf

团CM=2AN=14,

3

^\BC=-CD,CM=BC+DM=BC+CD,

4

团BC=6,CD—8,

回S"co=]BC,CD=5X6x8=24.

7.(1)解：=ZE=^ACD=90°,

团NA+乙ACB=90°,乙DCE+乙ACB=90°,

^\Z-DCE=Z-A,

团4c=CD,

[?]△ABC=△CED(AAS),

团48=CE=2.5,BC=ED=3.5,

团BE=BC+CE=6,

故答案为：6.

(2)解：过点。作交BC延长线于点E,

由题意得，(ABC=^LACD=Z.E=90°,AC=DC,

回乙A+乙ACB=90°,乙DCE+乙ACB=90°,

^\Z-DCE=Z.Ay

团4c=CD,

回△ABCCED(AAS),

团BC=ED=2,

回SABCD=I^C-ED=2.

(3)证明：过点E作EMLH/交用延长线于点M,过点G作GN1HI交HI于点N,

0ZM=乙BAE=乙BHA=90°,4GNA=Z.GAC=乙AHC=90°,

由旋转可得，AE=AB,AG=AC,

AEMA幺A”B(AAS),AGNAdXWC(AAS),

WM=AH=GN,

又［3NM=AGNI=90°,4MIE=乙NIG,

0AEMISAGNI(AAS),

SEI=GI,

团/是EG的中点.

8.(1)证明：如图，连接EF

当a=45。，点E与点C重合时，ZX5C=45°,NEDF=180。-2a=90。

由旋转可得，DE=DF

HADEF是等腰直角三角形

^DEF=4DFE=45°

0ZDEF=AABC=45°

^\FB=FE

^ACB=90°

团乙4EF=ABAC=45°

团凡4=FE

^\FB=FA

(2)AG=2BF

证明：如图，过点。作DMIBC,交ZB于点M,连接EM

A

团当a=45。，点£在线段ZC上时，乙48c=45。，AEDF=180°-2a=90°

^BMD=45°,乙MDB=乙EDF=90°

^ABC=乙BMD=45°

=DB,乙EDM=LFDB,

由旋转可得，DE=DF

0AEDM三△FOB(SAS)

团ME=BF,乙DME=(DBF=45°

回匕GME=乙DMB+乙DME=90°

0EG||BC

团4AGE=LABC=45°,乙AEG=4ACB=90°

^MGE=乙MEG=45°,/-MAE=乙MEA=45°,

团MG=ME,MA=ME

团4G=2ME

团4G=2BF

(3)成立

证明：如图，在线段上取点M,使DM=DB,取4G中点N,连接EM,EN

BDC^DMB=乙DBM=a,=2NE

团乙MDB=180°-2a

回乙MDB=乙EDF

团4EDM=乙FDB

由旋转可得，DE=DF

EDM三△尸DB(SAS)

团ME=BF,Z-DME=(DBF=a

^\Z-BME=2a

回EG||BC

团GE=乙ABC=a,乙AEG=乙ACB=90°

团N是AG的中点，

团NG=NE,AG=2NE

国匕NGE=乙NEG=a

团Z_ENM=2a,乙ENM—Z-BME=2a

团NE=ME,

团4G=2BF

9.(1)解：AF+BF=2CE仍成立，

证明：如图，过B作8"J.CE于点H,

C

团四边形EFB”是矩形，

团BF=HE,

^BCH+/-ACE=90°,

又团在Rt^ACE中，/LACE+/.CAE=90°,

^\Z-CAE=乙BCH,

又EL4C=BC,/.AEC=乙BHC=90°,

0A4CEdCBH(AAS).

0C//=AE,BF=HE,CE=BH,

0XF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC；

(2)解：不成立，线段4F、BF、CE之间的数量关系为：2CE=AF-BF,

证明：如图，过点B作BG1CE,交CE的延长线于点G,

回四边形EFBG是矩形，

0BF=GE,

EZBCG+AACE=90°,

又回在RtAACE中，^ACE+^CAE=90°,

B/.CAE=/.BCG,

又EL4c=BC,^AEC=乙BGC=90°,

SAACESACBG(AAS).

团CG=AE,CE=BG,

团AF-BF=AE+EF—BF=CG+EF—GE=CE+EF=2EC.

10.解：(1)•・・Zf=90°,

AC=3,BC=4,

•••AB=Vi4C2+BC2=V32+42=5,

由折叠得：AD=AC=3,DP=CP,AADP=Z.C=90°,

•••乙BDP=90°,

BD=5-3=2,

设则=BP=4-x,

在Rt^BDP中，DP?+BD2=BP?,

・,•%2+22=(4—%)2,

解得：x=l，

CP=-；

2

(2)如图，延长Z。、尸8交于M,

A

c二PB一M•.乙4BC=4BAD+zM,

乙ABC=2Z.BAD,

•••Z.BAD=Z.M,

BM=AB=5,

CM=BC+BM=4+5=9,

在RtAACM中，AM=>JAC2+CM2=V32+92=3A/10,

ADM=AM-AD

=3V10-3,

设CP=x,贝ljDP=比，PM=9-x,

在RtAPDM中，

DP2+DM2=PM2,

2

•••x2+(3V10-3)=(9-x)2,

解得：%=Vio-1,

CP=Vio-1；

(3)由旋转得：AE=AP,

/.PAE=90°,

•••2.PAD+Z-DAE=90°,

vAP>AD,

AE>AD,

①当R4=ED时，

如图，过E作EH_LAD交于H,

^AHE=Z,C=90°,

・•・乙DAE+乙AEH=乙PAD+^DAE=90°,

・••Z.PAD=乙AEH,

由折叠得：Z.PAC=^PAD,

・•・/.PAC=乙AEH,

在△PAC和△ZE”中

乙C=^AHE

/-PAC=乙AEH,

.AP=AE

・•.APAC=△AEH(AAS),

•••CP=AH=I；

②当AD=DE时，

由①得：EH=AD,

S\EH=DE,即点”和点。重合，

团4。1ED,

团4。1DP,

ISE、D、P三点共线，

0XDHBC,

0ZCPD=90°,

E

SAAPD=45°,

AD=DP,

・•・四边形ZCPD是正方形,

.・.CP=AC=3；

综上所述：CP的长为|或3.

11.解：(1)团将线段48边绕点/逆时针旋转a=90。得到线段AD,BA=BC

SBA=BC=AD,乙MBN=/.BAD=90°,

SBCWAD,BD=y/AD2+AB2=&AB,

回四边形力BCD是正方形，

0ZBDC=45°,BA=BC=AD=CD

回点E在射线BD上，乙BEC=45°,

回此时。、E重合，

团B4=CD=CE,

团=V2AB=V2CE；

(2)在旋转的过程中=或CE不变，理由如下：

如图，过/作AG18D于G,过C作CFJ_8。于F,贝！kAGB=尸C=90。，

团将线段边绕点A逆时针旋转a得到线段/D,

的4=AD,

汕。=2BG,

国乙MBN=90°,

回乙4BG+CBF=乙BCF+CBF=90°,

^1Z-ABG=Z-BCFf

^\BA—BC,

0AABG=A^CF(AAS),

团BG=CF,

^BEC=45°,乙EFC=90°,

^BEC=乙ECF=45°,

团FC=EF,

0FC=EF—BG,

团CE=VCF2+EF2=yjBG2+BG2=&BG,

团=2BG=V2CE；

(3)当E在点B右边时，如图，过/作AG1BD于G,过C作CF1BD于F,则/AGB=乙BFC=

乙EFC=90°,

^ABC=90°,

^ABG+CBF=乙BCF+CBF=90°,

^\Z-ABG=Z.BCF,

^\BA=BC,

0AABG=A^CF(AAS),

回BG=CF,AG=BF,

^BEC=45°,乙EFC=90°,

^BEC=乙ECF=45°,

团FC=EFf

团FC=EF—BG,

0CE=VCF2+EF2=y/BG2+BG2=0BG,

团CE=4V2,

团FC=EF=BG=4,

回AG=BF=>JBC2-CF2=V52-42=3,

SAD=AB=BC=5,

0DG=yjAD2—AG2=V52-32=4,

^\BD=BG+DG=4+4=8,

国DE=BD—BF-EF=8—4—3=1,

ii

回SACDE=-DE-CF=-xlx4=2；

同理，当E在点B左边时，如图

4(

DE=BD+BE=BD+EF—BF=8+4—3=9,

i1

回SACDE=-DE-CF=-x9x4=18；

综上所述，ACDE的面积为2或18.

12.(1)解：如图，延长4P到M,itPM=AP,连接EM,DM,则△EPM与△BPA关于点尸

成中心对称；

证明如下：

^\AB1AC,AB=AC,CD1DE,CD=DE,

[UZB=4ACB=乙DEC=乙DCE=45°,

^DCA=180°一乙DCE一乙ACB=90°；

0AEPM与A824关于点尸成中心对称，

0AEPM=△BPA,

团EM=AB.乙MEP==45°,

团乙。EM=(DEC+乙MEP=90°,

团48=AC,

团EM=AC,

在△DEM与△DCZ中，

DE=DC

^LDCA=乙DEM=90°,

AC=EM

[?]△DEM=△DCA；

(2)解：如图，连接/P并延长到使PM=AP,连接EM、CE；

A

H

D

M

又国乙APB=4MPE,PB=PE,

[?]△EPM=△BPA,

团EM=AB,乙MEP=Z.ABP=乙MEP；

团48=AC,

回EM=AC；

^ABP=AABC+Z.CBP,乙CBP+乙CEP=180°一人BCE,

团乙。EM=(DEC+乙MEP+Z-CEP

=乙DEC+"BP+(CEP

=乙DEC+Z.ABC+乙CBP+乙CEP

=45°+45°+180°-乙BCE

=270。一乙BCE；

^DCA=360°-乙DCE一乙ACB-乙BCE=270°-乙BCE,

0ZDEM=/-DCA；

又团CD=DE,AC=EM,

[?]△DEM=△DCA,

团AD=DM,Z-ADC=Z-MDE,

^ADM=^ADC+Z,CDM=乙MDE+Z,CDM=乙CDE=90°,

ap是AM的中点，

1

团OP1AM.AP=DP=-AM；

2

团〃为ZD中点，

回P”1/D,PH=-AD；

2

（3）解：如图，过/作AN的垂线，交CN的延长线于尸，连接BF；

^ANC=135°,

团乙4NF=45°；

团4NlAFf

^AFN=匕ANF=45°,

回zkANF是等腰直角三角形，且ZN=AF；

^AC=AB,乙CAN=90。一乙NAB=^BAF,AN=AF,

ANC=AT4FB,

^AAFB=乙ANC=135°,BF=CN,

国匕NFB=乙AFB-乙AFN=90°；

设AN=AF=x,则FN=V2x,BF=CN=6-AN=6-x；

由勾股定理得BN?=FN2+BF2

=2x2+(6—x)2

=3(%-2)2+24,

团4N不小于3,即久之3,

回当久=3时，BN?有最小值，且最小值为27,

回BN的最小值为3b.

故答案为：3V5.

13.(1)解：把y=0代入一1%+2=0中，即一1%+2=0,

0%=4,即4(4,0)；

当％=0时，y=2,

团C(0,2).

把力(4,0),C(0,2)代入)/=一92+.+时，即］

解得『二I,

lc=2

回抛物线解析式为y=—1/+1久+2.

(2)解：(PE||x轴,PF||y轴,

0ZFEP=/.CAO,/LPFE=/.OCA.

又EIEF=AC,

0APFFd0cA(ASA),

回PF=0C=2.

设P(久,一：一+|刀+2),则F(x-:久+2),

当点尸在点P上方时，

PF=—工久+2一(一工工2+三万+2)=2,

2\22)

解之得/=2-2V2,%2=2+2V2>4(不合题意，舍去);

当点尸在点P下方时，

PF=一三久2+三乂+2一(一工工+2)=2,

22\2)

解得：久1=上=2,

^(2-272,72-1),22(2,3).

(3)解：如图，由题意乙2的解析式为y=—5/+万％—2.

设M1,-1+2),

如图，过点M作“Qlly轴，过点C作C”1"Q于点”，过点N作NQ1”Q于点Q,

回匕CHM=(NQM=90°.

团"MN=90°,

^CMH+ANMQ=90°.

又回NHCM+Z.CMH=90°,

团4HCM=(NMQ.

又团MC=MN,

CMH三△MNQ(AAS).

团M”=NQ,CH=MQ.

团M”=OC-=2-(-)+2)=MQ=%.

团NQ^-|X+2)

把N的坐标代入y=-1x2+1%-2中，

BP—-%+2=--(-x)+-x-%—2,

22\2722

解得：勺=2,亚=16.

团Mi(2,1),M2(16,-6).

14.(1)解：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,AB=a=30°,

团=Z.C=30°,

回NZ=180°一乙B—乙C=180°-30°-30°=120°,

①证明：回a=30。，

0ZB=30°,

团将线段DE绕点。逆时针旋转a后点E的对应点F恰好落在AC上，

团匕EDF=a=30°,

^ADF+(EDF+乙BDE=180°,

^ADF+乙BDE=180°-乙EDF=180°-30°=150°,

在△BDE中，乙B=30°,

^BDE+乙BED=180°一乙B=180°-30°=150°,

^\Z-ADF+Z-BDE=Z.BDE+Z-BED,

^\Z-ADF=乙BED：

@BE-AD=2AF,理由如下，

如图所示，在BE上截取EM=4。，

由(1)可得，乙ADF=LBED,由旋转可得DE=OF,

在△4DF和△EMO中，

AD=EM

Z-ADF=乙MED,

DF=ED

0AXDF三△EMD(SAS),

^Z-AFD=乙MDE,AF=DM,

在△ADF中，LA=120°,

^ADF+AAFD=180°-44=180°-120°=60°,

^MDE+乙MED=60°,

DEM的外角，

^BMD=乙MDE+乙MED=60°,

在△BDM中，AB=30°f^BMD=60°,

^BDM=90°,即^BDM是直角三角形，

回BM=2DM,

国

BM=BE-EM=BE—AD,DM=AFf

团BE—AD=2AF；

(2)解：如图所示，类比(1)的证明方法，在BE上截取EG=AD,

H

团△ABC是等腰三角形，AB=AC,/-ABC=^ACB=15°,

团44=180°-乙ABC一乙ACB=150°,

在aZDF中，Z-ADF+^AFD=180°-zX=30°,

回旋转，

田匕EDF=15°,

^ADF+乙BDE=180°-15°=165°,

在中，Z.ABC=15°,

^BDE+(BED=180°-A.ABC=165°,

^ADF=乙BED,

在△ADF和△EGD中，

AD=EG

AADF=乙GED，

DF=ED

^ADF三△EG。(SAS),

团/。=EH=2,AADF+Z.AFD=30°=乙GDE+乙GED,

^BGD=30°,

如图所示，过点B作8”IGO延长线于点H,

国乙H=90°,

在中，^BGH=30°,

^GBH=60°=/.ABC+乙ABH,

^ABH=乙GBH-^ABC=60°-15°=45°,

^BDH=45°,

BDH是等腰直角三角形，即8”=DH,

^BD=6,BD2=BH2+DH2,BR36=2BH2,

=3V2,负值舍去，

在中，4BGH=30。,ZH=90°,

瓯G=2BH=6V2,

国BE=BG+GE=BG+AD=6V2+2,

故答案为：6A/2+2.

15.解：(1)团△ZBC为等边三角形，

团乙/=60°,

团将MA绕点M逆时针旋转120。得到MD,

^\AM=MD,/.AMD=120°,

国乙DMB=180°-^AMD=60°=4/,

在△AMN和△MDB中，

'AN=MB

Z.A=乙DMB，

.AM=MD

AMN=AMDS(SAS),

团MN=DB；

(2)四边形AFBO为平行四边形，理由如下：

团48=AC,^BAC=90°,

^ABC=乙ACB=工x90。=45°,

2

团将MA绕点M逆时针旋转90。得到MD,

团4M=MD,/.AMD=90°,

^MAD=^MDA=|(180°-AAMD)=45°,乙BMD=180°-4AMD=90°=^BAC,

^MAD=(ABC=45°,

^\AD\\BF,

在△AMN和AMOB中，

AN=MB

乙BAC=乙DMB=90°,

AM=MD

团AAMN三△MDB(SAS),

团4ANM=乙MBD,

团4E1MN,

^ANM+乙NAE=^NAE+^BAF=90°,

团4ANM=4BAF,

^Z-MBD=Z-BAF,

团喇AF,

X^ADWBF,

0四边形ZFBO为平行四边形；

(3)四边形ZFBO的形状为正方形，理由如下：

如下图，

团MNIIBC,

^AMN=乙ABC=45°,乙ANM=乙ACB=45°,

回乙AMN=乙ANM=45°,

团4M=AN,

由(2)可知，〉AMN

团4N=MB,MN=DB,

团4M=BM,

又团MNIIBC

团MN为△ZBC的中位线，

i

WB=MN=-BC,

2

^\AE1MN,

团4MAE=乙NAE=90°-45°=45°,

团乙F/D=/-MAE+/-MAD=90°,

由回AB=AC,

i

回BF=CF=-BC,

2

^BF=BD,

团四边形AFBD为平行四边形，

团四边形AF80的形状为正方形.

16.解：数学思考：证明：•.•将矩形ZBCD绕着点。逆时针旋转得到矩形EFGD,

・•.AD=DE,“=乙ADC=90°,

・•・乙CDE+乙ADH=90°,

•・•AHIDE,

•••乙AHD=90°,

・•・乙HDA+ADAH=90°,

・•・乙DAH=乙CDE,

・•.LADH三△DEC(AAS)；

解决问题：解：过点G作GM1/。，交4。的延长线于点M,连接AE

AvAADH"DEC,

AH=CD=V3,

•・•矩形ABCD绕着点。逆时针旋转得到矩形EFGD,

CD=DG=V3,乙GDE=90°,

・•・DH=y/AD12-AH2=1,

・•.HE=DE-DH=1,

・•・AE=y/HE2+AH2=2,

/.AE=DE=AD=2,

0AADE是等边三角形，

・•・^ADH=60°,

・•・乙GDM=30°,

・•・GM=-DG=—,

22

DM=<GD2-GM2=

2

7

・•.AM=DM+AD=

2

•••AG=yjMG2+AM2=V13；

拓展研究：解：当线段DE与4G交于点。时，作4