2025年中考数学押题预测（南京卷02）全解全析

2025年中考押题预测卷（南京卷02）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的）

1.下列各数中，负数的是（）

A.|—5|B.+（T）C.0D.-（-3）

【答案】B

【知识点】正负数的定义、有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值

【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念.

先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案.

【详解】解：A.卜5|=5>0,该选项结果为正数，不符合题意；

B.+（T）=T<0,该选项结果为负数，符合题意；

C.0既不是正数，也不是负数，不符合题意；

D.-3）=3>0,该选项结果为正数，不符合题意.

故选：B.

2.下列运算正确的是（）

225222

A.屈-母=氓B.a-a-a=aC.D（a+b）=a+b

【答案】B

【知识点】同底数嘉相乘、幕的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算

【分析】本题考查二次根式的减法，同底数幕乘法运算，塞的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法

则是解题的关键.根据运算法则逐一计算进行判断即可.

【详解】解：A、而与&不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；

B、a2-a-a2=a5,正确，故此选项符合题意；

C、（04丫=32,原式错误，故此选项不符合题意；

D、（a+Z?）2=a2+2ab+b2,原式错误，故此选项不符合题意；

故选：B.

3.估计+g的运算结果应在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

【答案】D

【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算、不等式的性质

【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质.解

题的关键在于对知识的熟练掌握并明确=由题意知底'xj；+旧=4+2若，

1.5=VI25<V3<2,然后根据不等式的性质进行求解判断即可.

【详解】解：+疵=4+2石，

V1.5=A^25<V3<2,

,3<26<4,

/.7<273+4<8,

的运算结果在7到之间,

AV48x/1+A/128

故选：D.

4.如图，四边形ABC。，已知AB=5C=6,AD=CD=4,且点。在VABC外部，则民。之间的距离可能是

B

A.4B.4.4C.9D.11

【答案】C

【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判

定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键.

如图所示，连接AC,8。，由三角形三边数量关系得到2<3。<10,0<AC<8,证明aW/一CBD(SSS),

ZABD=NCBD,ABO^^CBO(SAS),ZAOB=NCOB,AO^CO,在MAOB中，

BONAB?-AO2=抬-42=a=4&，点。在VABC外部，即班>>30，结合图形即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AC,即，交于点0

在，ABD中，AB-AD<BD<AB+AD,

：.6-4<BD<6+4,即2<BD<10,

在，ACD中，AD—CD<AC<AD<CD,

：.0<AC<8,

在,ABD和CBD中，

AB=CB

<AD=CD,

BD=BD

沿

：.tABDACBD(SSS),

：.ZABD=NCBD,

在,ASO和CBO中，

AB=CB

<NABO=NCBO,

BO=BO

—ABO空C3O(S4S),

:.ZAOB=NCOB,AO=CO,

又ZAOB+ZCOB=180°,

ZAOB="03=90°,

8。垂直平分AC,

0<AO<4,

在RfAO3中，BO>\lAB2-AO2=V62-42=720=4A/5-

点。在VABC外部，即flD>30,

/.4^/5<BD<10,

故选：C.

5.如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I,II,III部分的面积分别为加，Sn,Sm.给

出以下结论：

①I和II合在一起能拼成一个菱形；②m中最大的内角是150。；③/=2（岳+S”）.

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、正多边形和

圆的综合

62xl8

【分析】由六边形ABCDEF是正六边形，^AB=BC=CD=DE=EF=AF,ZDEF=（~）0=l20°,

6

从而I和H合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由/AFE=/3DE=90。，ZDBF=60°,故III中最大的内

角是120°,故②说法错误；证明“BAF也DEF^DOF^DOB^BOF吗BCD,得/=4、=2（S1+5口）,

故③说法正确.

【详解】解：如图所示:

六边形ABCDEF是正六边形,

62xl8

:,AB=BC=CD=DE=EF=AF,ZDEF=（-）°=12o°,

6

；・AB=BC=CD=DE=EF=AF，I和H合在一起能拼成一个菱形，故①正确；

136001360°

・・.ZAFE=NBDE=—x——x3=90°,ZDBF=-x——x2=60°,

2626

・・・in中最大的内角是120。，故②说法错误；

・・・六边形ABCDEF是正六边形，

AAB=BC=CD=DE=EF=AFfNBAF=NBCD=126。,OA=OB=OF,ZAOB=ZAOF=6Q0,

：.BAF^BCD,AOB和AO/都是等边三角形，

AB=OB=OF=FA，

BF=BF,

；・-BAF沿JBOF,

同理可证，.BAF-DEF"DOF—DOBaBOFWBCD,

Sm=45=26+5n）,故③说法正确;

故选B.

【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、

弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键.

6.定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于“（。20）,到另一条坐标轴的距

离不大于。的点叫做该函数图象的方内点

对于下列四个结论：

①点（1,2）是一次函数y=2x图象的“2方内点”；

3

②函数＞=-一图象上不存在“2方内点”；

x

③若直线＞=履+左+!的"5方内点”有两个，则-2〈人＜0；

2乙

④当函数丫二口-、11+；-2a-1的“。方内点''恰有3个时，符合条件的。的值也有3个.其中正确的序

号为（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值、y=ax2+bx+c的图象与性质、求反比例函数

值

【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐

标特征.根据、方内点”的定义，逐一判断即可.

【详解】解：①点(L2)到x轴距离为2,到y轴的距离等于1,不大于2,

故(1,2)是一次函数y=2x图像的“2方内点”；故①正确;

3贝"点［一2，m)至Uy轴的距离为2,到X轴的距离为T，不大于2,即点［-2,|］是函数

②当天=—2时，＞=5

3

y=-三图像上的“2方内点”；故②错误;

x

③若直线旷=履+k+(的方内点”有两个,

由题意知，函数图象的方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与X轴、

y轴平行的正方形边上，

如图，当x=-l时，y=；,即直线过定点尸1T,£|,

当左=0时，直线y=履+4+:与AD有无数个”;方内点”，

对于直线PB,把点小-；,-］代入＞=履+左+；中，-/+左+；=-；，

角毕得：k=-2f

当-2〈左＜0时，直线、=丘+左+(与正方形ABCD的边有两个交点，表明有两个‘《方内点”，故③正确;

22

④抛物线y=［x的方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为2a且相邻两边分

别平行于无轴与y轴的正方形上的点，如下图；

当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“。方内点”,

止匕时：■—2a—1=—a,解得：a=1+A/3,a=1-6(舍去)；

当抛物线经过点B(-a-a)时,抛物线恰有三个“〃方内点”，

止匕时(一。―一1+y-2«-l=-a,整理得：ll〃+2q_3=0,

解得：Zl±^4,(舍去)；

1111

当抛物线经过点cm,-。)时，抛物线恰有三个“。方内点”，

2

此时,一苫1)+^-2a-l=-a,整理得：a-2a-l=0,

解得：%=1+垃,a2=1-^2(舍去);

综上，。的值恰有三个，分别为1+61+0,二1彳咨

故④正确;

故正确的有①③④,

故选：C.

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.)

7.因式分解：a3-4a=.

【答案】a(a+2)(a-2)

【知识点】综合提公因式和公式法分解因式

【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.

【详解】解：«3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).

故答案为：a(a+2)(a-2).

8.若三在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____.

x-3

【答案】XH3

【知识点】分式有意义的条件

【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键.

根据分式有意义，分母不为零得到x-3wO,即可求解.

【详解】解：若三在实数范围内有意义，

则％-3。0,

解得：xw3,

故答案为：xw3.

9.已知b是关于x的一元二次方程V-5x-2=0的两个实数根，贝U(a-2)2-《1-6)的值为.

【答案】4

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值.根据一元二次方程

的根与系数的关系可得必=一2,a2-5a=2,再将(。一？)?一。(1一6)变形为5a+"+4,最后整体代入计

算即可求解.

【详解】解：b是一元二次方程d-5x-2=0的两个实数根，

ab=-2,a2—5a—2=0,

••a"-5a=2,

*.*(a-2)—

=—4a+4—a+ab

—a2—5a+cib+4

=2-2+4

=4.

故答案为：4.

10.定义：若点C把线段AB分成两部分，且满足较长线段是较短线段的收倍，则称点C为线段A5的青铜

分割点.已知点C是线段A8的青铜分割点，且AB=4,贝UAC=.

【答案】40-4或8-4应

【知识点】二次根式的混合运算、两点间的距离

【分析】本题考查了线段上两点间的距离，二次根式的计算，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键.由

已知条件不能确定点C在线段A8上的位置，故要分情况讨论：当时，及当AC>3C时，然后进行

求解即可.

【详解】解：分两种情况考虑，

①当AC<BC时，

根据题意设AC=a,则=

---AC+BC=AB=4,

a+\/2a=4，

解得a=4a-4，

即AC=4y/2-4;

②当AC>BC时，

同理可得AC=8-4立，

故答案为：4虚-4或8-40.

31

11.代数式上和代数式小的值相等，贝也=_________.

5x+l2x

【答案】1

【知识点】解分式方程（化为一元一次）

【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是

解决本题的关键.通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可.

【详解】解：由题可得：二三=白，

5x+l2x

去分母得，3x2x=5x+l,

解得，x=l,

检验：当x=l时,2x（5x+l）w。,

=l是所列方程的根，

故答案为：1.

12.某种LED灯能提供4000（流明）的光通量.把它安装在某房间时，房间的光照强度/（单位：勒克斯）

与房间面积S（单位：平方米）满足关系式/=用.若要求房间的光照强度/不低于200勒克斯，则房间

的最大面积为平方米.

【答案】20

【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数

【分析】本题主要考查了求反比例函数值，解一元一次不等式,

将/2200代入得用2200,求出解集可得答案.

kJ

【详解】解：：/=用，且/N200,

RO。.

解得SW20.

所以房间的最大面积是20平方米.

13.如图，四边形是平行四边形，AC为对角线，3ELAC于点E,〃BE,g==，则：“皿

DF2

的值为

【答案】1:9

【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性

质及5=：'得出岑=3'再判定'CES4B'即可求解’掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形，

BCAD,AD^BC,

：.ZBCE=ZFAC,

'DF~2'

：.DF=2BC,

：.AF=AD+DF=BC+2BC=3BC,

•8cl

••—―，

AF3

•:CF〃BE,

，NBEC=NFCA,

又：ZBCE=ZFAC,

cBCEsJCF,

2

•uBCEBC|>即S^BCE''S/iACF=1：9,

~AF

°ACFI

故答案为：1:9.

14.如图，在RtAABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半

径画弧，分别交AB,AC于点M,N；②分别以N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在/BAC

内交于点E;③作射线AE交于点④以点A为圆心，AC长为半径画弧，交48的延长线于点H,连

接则△或归的周长为.

【答案】12

【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线（尺规作图）、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了尺规作图.熟练掌握勾股定理，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形周

长，是解题的关键.

根据勾股定理得3C=10,根据角平分线定义得NB4D=NC4D,可得—ACD义AHD(SAS),得

CD=HD,AH=AC=8,得BH=2,BD+DH=BC,即得△3。”的周长.

【详解】解：•.•在RtAABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,

BC=y/AC2+AB2=10，

由作图知，AH^AC,AO平分/BAC,

ABAD=ACAD,

•；AD^AD,

.ACZ^AHD(SAS),

CD=HD,AH=AC=8,

BH=AH—AB=2,

ABDH的周长为：BD+DH+BH=BD+CD+BH=BC+BH=12.

故答案为：12.

15.如图是由全等的含60。角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点

上，则tanNACB的值为.

【答案】空

3

【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、求角的正切值

【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，连接3”,则设小菱形的边长是。，由是

等边三角形，得至UBH=BE=2a,由ZCDH=120°,CD=DH,得到CH=届,于是tanZACB=里=空.

CH3

【详解】解：连接3”,则3HLAC,

•••菱形的锐角是60。，

A3团是等边三角形,

BH=BE=2a,

过点。作。GLC”,

VZCDH=120°,CD=DH,

NDCH=ZDHC=1(180°-120°)=30°,

/.CG=a-cos30°=^-a,

2

：.CH=2CG=出a,

CH#1a3

故答案为：巫.

3

16.我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”.在平面直

角坐标系中，点4(-3,1),3(0,2),点C在线段42上运动，过C点作与x轴平行的直线/与抛物线

y=-/-4x+b始终有交点.设直线/与抛物线所围成的封闭图形(包括边界)中的“整点”个数为"，若〃满

足0<〃V15,贝昉的取值范围为.

【答案】-2<b<2

【知识点】一元一次不等式组的其他应用、y=ax2+bx+c的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.先

由抛物线、=-*2-4丫+6=-(％+2)2+力+4得出抛物线的对称轴为直线》=—2,顶点坐标为(-2,6+4),画出

图形，然后根据/与抛物线>=-/-©+8始终有交点，直线/与抛物线所围成的封闭图形(包括边界)中的

b+4>2

“整点”个数为"，满足。可得不等式组2。+4<6,然后解不等式组即可谆

【详解】解：由抛物线>=一/一4》+6=—(X+2Y+6+4,

抛物线的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-22+4),

画出图形如下：

•.•/与抛物线y=-犬-4x+6始终有交点,

."+422,

...如图，直线/与抛物线所围成的封闭图形(包括边界)中的“整点”个数为“，满足0<〃V15,

/7+4>2

联立:

2</?+4<6

解得-2V6<2,

的取值范围为-2W6<2,

故答案为：-2<b<2.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2%—1<—X+2

17.（7分）解不等式组x-l1+2%.

------<-------

123

【答案】-5<x<l

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小,

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

【详解】解：解不等式2x—1<—x+2,得x<l,

ETgjX-ll+2x_

角牛不等式H<---，得x>-5,

23

/.不等式组的解集是-5〈尤<1.

（?!x+1I

18.（7分）先化简，再求值：卜+石卜了"7r其中-KT

【答案】x-i,收

【知识点】分式化简求值、分母有理化

【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计

算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把X的值代入计算即可求出值.

x+1（X-1）"

x-1无+1

—X1,

1y/2+1rr

当x=H=产ip旬=迎+1时,原式=应+1-1=夜・

19.(8分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数、=辰+6(女中0)的图象由函数y=2x的图象向下平移1个

单位得到.

(1)求该一次函数的解析式；

(2)对于x的每一个值，函数y=7砒+〃的值都大于一次函数y=kx+b(k*0)的值且小于y=2x的值，直接写

出相和”的取值范围.

【答案】(i)y=2x-i

(2)m=2,—1<n<0

【知识点】一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小

【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析

函数值大小是解题的关键.

(1)根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；

(2)从函数位置关系入手，根据y=2x-l的图象和y=2x的图象平行即可确定相的值，再结合与y轴交点

即可确定”的范围.

【详解】(1)解：：一次函数丫="+6(左/0)的图象由函数y=2尤的图象向下平移1个单位得到，

y=2尤一1.

(2)解：•・•对于元的每一个值，函数丁=如+〃的值都大于一次函数,=履十6(左w0)的值且小于y=2x的值,

，函数，=侬+"的图象在y=2x-l的图象和y=2x的图象之间，

•.•y=2x-l的图象和y=2尤的图象平行，且与y轴交点分别为-1和0,

m=2,—1<^<0.

20.(8分)如图，VABC内接于1O,BC是。的直径，D是劣弧AB的中点，连接CD、OD,过点A作。

的切线交OD的延长线于点P.

⑴求证：ZP=ZB-,

(2)连接AD,当=时，求证：四边形ACOD是菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、圆周角定理、切线的性质定理

【分析】(1)连接则。得到N&1C=NQ4P=9O。，然后根据圆周角定理ZAOD^ZACB,而

ZP=90°-ZAOD,ZB=90°-ZACB,即可证明；

(2)先证明aAOPZACB(AAS),证明力是等边三角形，则NACB=60。，再证明△Q4D是等边三角

形即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。4,则。4LAP,

4P=90°,

VBC>.。的直径，

/.ZBAC=ZOAP=90°,

：.ZACB+ZB=90°,

丁。是劣弧A3的中点，

.・.ZACD=/BCD=-ZACB,

2

・.・ZACD=-ZAOD,

2

・•・ZAOD=ZACBf

•：ZP=90°-ZAOD,ZB=90°-ZACB,

:.ZP=ZB；

(2)证明：・.・N尸=N5,NAOP=NACB,AP=AB,

.・.AOP^ACB(AAS),

・•・AO=AC,

VOC=OAf：.OC=OA=AC,

*,•工。。是等边三角形，

・・・ZACB=6Q°,

：.ZAOD=ZACB=60°f

OA=OD,

・•.△OAD是等边三角形，

・・.AD=OA=OD,

・•・AD=OD=OC=AC,

・・・四边形ACOD是菱形.

21.(8分)七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁

班锁分别装在4个不透明的盒子中(每个盒子装1个)，所有盒子除里面的玩具外均相同.

⑴从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是；

(2)从这4个盒子中随机选取2个盒子,请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、

【答案】⑴；;(2)：.

46

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键.

(1)直接用简单的概率公式求解即可；

(2)画出表格，得出共有12种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为2,即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得，选中鲁班锁的概率是:，

故答案为：!；

(2)解：1个七巧板和1个鲁班锁分别用A、C表示，2个九连环分别用耳，层表示，列表如下:

A耳B2c

AAB]AB2AC

昌4A4B2耳C

鸟B2A纥B]B2c

CCACBtcB2

共有12种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为2,

21

二选中的2个盒子里都是九连环的概率为：—

126

22.(8分)为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多

彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400

名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数

据绘制了如图所示的统计图：

图①图②

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机调查的学生有人，图①中加的值是;

(2)本次调查获取样本数据的众数为元，中位数为元；

(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数.

【答案】(1)50,32

(2)10,15

（3）864人

【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数

【分析】本题主要考查了抽样调查.熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容

量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键.

（1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，

得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，即

得.

【详解】（1）解：•••4+8%=50（人），m%=||xl00%=32%,

,本次接受随机调查的学生有50人，图①中机的值是32.

故答案为：50,32.

（2）：10元组16人，人数最多，

.••众数为10元,

•；4元的4人，10元的16人,15元的12人,且4+16<25,4+16+12>26,

...从小到大排列,第25个，第26个数落在15元组，

二中位数为15元.

故答案为：10,15.

（3）2400x^^=864（人），

故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人.

23.（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点尸恰好看到一

颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离3。=4m,仰角为a；淇淇向前走了3m后到达点，透过点P恰好看

到月亮，仰角为夕，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面时的距离=CD=L6m,点尸到8。的

距离PQ=2.6m,AC的延长线交尸。于点E.（注：图中所有点均在同一平面）

（1）求夕的大小及tane的值；

（2）求CP的长及sinZAPC的值.

【答案】（1）45。，；

⑵&m,

34

【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；

（1）根据题意先求解CE=PE=lm,再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

一「H1

（2）利用勾股定理先求解CP=0m,如图，过C作CHLAP于结合tana=tan/PAE===：,设

AH4

CH^xm,则AH=4xm,再建立方程求解x,即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意可得：PQrAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=4(m),AC=BD=3(m),

CE=4-3=l(m),PE=2.6-1.6=l(m),ZCEP=90°,

：.CE=PE,

PE1

P=ZPCE=45°,tana=tan/PAE=二—；

AE4

(2)解：CE=PE=lmfNCEP=90。,

CP=JF+F=&m，

如图，过C作CHLAP于a,

CH]

Vtan6r=tanZPAE=-----=-,设CH=xm,则AH=4%m,

AH4

Z.x2+(4.r)2=AC2=9,

解得：x=晅,

17

17

3历

17_35/34.

,esinZAPC=—

CPV2-34

24.(8分)如图1,矩形ABCD中，AB=4g,BC=4,动点E,尸分别从点8,。同时出发，以每秒1

个单位长度的速度沿3A0c向终点A,C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G.

(1)当=bG时，AO与AG的数量关系为

(2)如图2,若AG平分运动时间为/秒，求砂的长及f的值;

(3)当运动时间t=有时，直接写出AG的长.

【答案】(1)AD=AG

⑵EF=4尬,t=2拒-2

⑶〒

【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角

形的判定与性质综合

【分析】(1)连接"，证明RtADF^RtAGP(HL)可得结论；

(2)过£作EPLOC于尸，则四边形BEPC为矩形，可得PC=BE,EP=BC=4,证明为等腰直

角三角形.则磅=即=4,£F=4A/2;由"。尸=尸。=：(。-尸尸)求解即可；

(3)如图2,先根据勾股定理求得E歹=2夕，AE=3y/3,再证明AGE^EPF,利用相似三角形的性质

求解即可.

【详解】(1)解：AD^AG.

证明：连接AF,

图1

・・•四边形ABCD是矩形，AGLEF,

.・・/Q=/AGr=90。，

•:DF=FG,AF=AF,

ARtADF^RtAGF(HL),

・•・AD=AG；

(2)解：・・,四边形ABC。是矩形，

；・ZDAE=/C=/B=90。,AB//CD,CD=AB=A6

过E作于尸，则ZEPC=/B=NC=90。.

・•・四边形BEPC为矩形，

APC=BE,EP=BC=4,

•・•AG平分/ZMB,

・・・NG4E=45。.

ZAGE=ZAGF=90°,

・・・ZAEG=9Q°-ZGAE=45°.

■:DC//AB,

；・NEFP=ZAEG=45。,

・•.△EFP为等腰直角三角形.

EP=FP=4.

EF=y/EP2+PE2=A/42+42=4A/2；

由题意得：BE=DF=t.

：.DF=PC=g(CD-PF)=44j=2陋-2,

即/=2凤2；

FP

DC

图2

(3)解：如上图2,则尸C=3E=O尸=JLPF=CD-2DF=2^，PE=BC=4,

：,EF=\/PF2+PE2=^(2^)2+42=2币,AE=AB-BE=3^3,

'：DC//AB,

/.ZAEG=ZEFP,又ZAGE=NEPF=90°,

:.AGEAEPF,

.AGAEAG3A/3

..——=—,H即n——=T=，

PEEF42不

・•.AG="

7

25.（8分）如图抛物线y=f+bx+c与x轴交于点A（T,0）和点2,与y轴交于点。（0,-4）,其顶点为D

（1）求抛物线的表达式及顶点。的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点使得的周长最小.若存在，求出点M的坐标；若\|/,

oH

不存在，请说明理由；\/

（3）若点E在以点P（3,0）为圆心，1为半径的P上，连接AE,以AE为边在AE的下方朱/

作等边三角形AEF,连接求班■的取值范围.।口

【答案】（1）抛物线的表达式为y=V-耳-4,顶点D的坐标为

⑵点Af的坐标为；

（3）M的取值范围为尸VJ五+1.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题（二次函数综合）、其他问题（二次函数综合）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）作点2关于原点的对称点？，连接4D交》轴于点此时的周长最小，利用待定系数法求得

直线D9的解析式，据此求解即可；

(3)以AP为边在TIP的下方作等边三角形AP。，得到点尸在以Q(l,2石)为圆心，1为半径的：P上，据此

求解即可.

【详解】(1)解：由于抛物线y=Y+®+c经过点4(-1,0)和点C(0,-4),

l-b+c=0

c=-4

二抛物线的表达式为y=x?—3x—4=[x—|]

.♦•顶点。的坐标为仁,-彳)

(2)解：•.•点4(-1,0),对称轴为直线x=],

点8(4,0),

VB（4,0）,C（0,-4）,

/.BC长为定值,

贝U9(y,o),连接交y轴于点河,

ADM+BM=DM+B'M^DB',此时的周长最小,

设直线DB'的解析式为y=kx+n,

-4k十几=0

则37:25，

—k+n=——

124

25750

解得一—,b=------

2211

・・•直线加的解析式为一方怖

令x=0,则y=一1^,

•••点M的坐标为（0,一斗）；

（3）解：以AP为边在AP的下方作等边三角形AP。，作轴于点连接PE,QF,

•..等边三角形AEF,

AE=AF,^PAE=60°-ZPAF=ZQAF,AP=AQ=4,

：..PAE^QAF（SAS）,

:.QF=PF=1,AH=^AQ=2,QH=^A^-AH2-273.

OH^AH-AO^l,

.-.e（1,-273）,

.••点厂在以Q（l,-2君）为圆心，1为半径的（。上，

%='（4-1）2+（2厨=国,

当点厂在线段8。上时，所有最小值为0T一1；

当点尸在射线8。上时，3斤有最大值为"F+1；

二8尸的取值范围为与一+1.

26.（8分）如图是由小正方形组成的6x9网格，每个小正方形的顶点叫做格点，VABC的三个顶点都是格

点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

(1)在图1中，先画将线段54绕点A逆时针旋转90。后的线段ZM,再在AC上画点E,使tanZA2E=g；

(2)在图2中，先画将线段CB绕点C顺时针旋转2NACB后的线段CP,再画酬〃AB交AC于点H

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、画旋转图形、解直角三角形的相

关计算

【分析】(1)如图所示，取格点。，连接AD,取AD与格线的交点尸，连接3P交AC于E,则线段D4和

点E即为所求；

(2)如图所示，取格点7、L、S,连接BS,连接7L并延长交于尸，连接CP,取格点M、N连接MN交

AC于H,连接则线段CF,F”即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，取格点D连接AD,取AD与格线的交点尸，连接8P交AC于E,则线段ZM

和点E即为所求;

可证明=Z&4D=90°,则线段DA即为所求;

11Ap1

可证明4尸=彳4。=彳A2,贝lJtan/ABP=F=：,则点E即为所求;

22AB2

图1

(2)解：如图所示，取格点7、L、S,连接BS,连接7L并延长交3s于凡连接C/,取格点M、N连接MN

交AC于X,连接FH,则线段CF,即为所求;

可证明BbLRT,BC=CT,则BC=CF,

可证明AC,踮，则NACB=/ACF,则线段C尸即为所求；

可证明KR//BF//MN且直线KR到直线BF的距离等于直线MN到直线BF的矩形,

则所平分AC,又有AC平分8尸，则四边形是平行四边形，则切〃AB.

s

图2

27.(10分)综合与实践

折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题:

【问题情境】

如图1,将矩形纸片A5CD先沿对角线8。折叠，展开后再折叠，使点8落在射线8。上，点8的对应点记为

B',折痕与边AD,分别交于点E,F.

(1)【活动猜想】

如图2,当点夕与点。重合时，那么四边形3EDF是哪种特殊的四边形？请说明理由.

(2)【问题解决】

在矩形纸片A3CD中，若边AB=2,BC=273.

①请判断AB'与对角线AC的位置关系并仅就图3给出证明；

②当57)=1时，请求出此时AE的长度.

(3)【拓展提升】

如图4,在正方形ABCD中，AB=4叵，对角线AC,8。相交于点。.点E是对角线AC上一点，连接BE,

过点E作EF工BE,分别交BD,C。于点尸，G,连接BG交AC于点将EG”沿EG翻折，点H的

对应点P恰好落在89上，得到△EPG.若点G为CD的中点，则△PPG的面积为.

【答案】(1)菱形，理由见解析

(2)①A®〃AC,证明见解析；②史或行

2

【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关

计算

【分析】(1)由折叠推出直线口垂直平分8。，得到助=BF=DF,然后结合矩形的性质，证明出

BE=DE=BF=DF,即可证明出四边形BED/是菱形；

(2)①勾股定理求出3D=AC=4,证明出VA03是等边三角形，进而求解即可；

②如图3,点"在线段上，设AE交AD于点G,首先求出AG=4?-笈6=2-1=1,然后解直角三角

形求解即可；如图4,点笈在线段8。的延长线上，延长A。、AE