2025年中考数学专项训练：平行四边形

2025年中考数学专题训练：平行四边形

一、单选题

1.直角三角形两直角边的长分别为3、4,连接这两条直角边中点的线段长是（）

A.1.5B.2C.2.5D.5

2.如图，在口ABCD中，将AADC沿AC折叠后，点。恰好落在DC的延长线上的点E处.若ZB=58。，贝1]”位＞为（）.

An

E

A.32°B.38°C.42°D.58°

3.下列命题中，是假命题的是。

A.菱形的对角线相等B.平行四边形的对边相等

C.矩形的对角线相等D.三角形具有稳定性

4.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,要使四边形AB8是平行四边形,下列添加的条件不正确的是（）

-------------‘B

A.AD=BCB.AB=CDC.AD//BCD.ZA=ZC

5.如图，将口ABC。沿班折叠，使点。与点A重合.如果AC=3,EF=4,那么nABCD的边BC上的高为（）

0F八

aEc

12c24-/nc

AA.—B.—C.6D.8

6.如图，数学兴趣小组想测量湖面AB的宽度，在湖面外任意取点。，先连接04和08,接着分别取AO和BO的

中点c,D,测得CQ的长为4m,则AB的宽度为（）

A

B

A.12mB.8mC.6mD.4m

7.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边DC上，DE.EC=3-.1,连接AE交BD于点尸，则ADEF的面积与△BAF的

面积之比为（）

DEC

A.3:4B.1:3C.1:9D.9:16

8.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,?B90?,AD=24cm,AB=8cm,3C=26cm.动点尸从点A出发，沿边AZ）以

Icm/s的速度向点。匀速运动，同时动点。从点C出发，沿边CB以3cm/s的速度向点3匀速运动，当其中一个动点

到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为左，下列说法错误的是（）

An-PD\

BQ*----------C

A.当，=6.5时，四边形A8QP是矩形

B.当，=6时，四边形PQCD是平行四边形

C.DC=2后

D.当：=3时，四边形PQCD是菱形

二、填空题

9.在nABCD中，ZA=50。，则ZB=__.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6.E＞尸分别是AD、BC的中点，动点?、。在线段EF上，且满足户2=2.则

四边形AP2B周长的最小值为___.

11.如图，四边形ABCD中，NADC=90。，取AC的中点O,的中点E,连接。。、OE,/C4D=—CAB=22。，则NDOE

12.如图，平行四边形ABCD,AB=2BC,对角线AC_LBC,将VABC绕点B旋转，使得点A落在直线CD上的点©处,

那么S.岫C'的值是.

13.如图，梯形ABCD中，AD//BC,E、F分别是边BC、AD上的点，且AF=BE=；BC,FG//AC,交BC的延长线

于点G,EF与AC交于点,H,如果AC-AB=a,那么四边形CGFH与四边形周长的差是.（结果用含。的

代数式表示）

试卷第2页，共4页

三、解答题

14.如图，在nABCD中，AB>AD.

DC

AB

⑴用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE.使=连接DE,作/ABC的平分线交。于点F(保留作图

痕迹，不写作法，不下结论)

(2)请判断：四边形BFDE的形状并加以证明

15.如图，在nABCD中，E是边BC上的一点，F是边8上的一点，连接AE,EF,AF,DE.

(1)如图1,若ZAFD=90。，AF与DE交于点G,AD=DE,AE平分ZBAF.

①求证：BE=EG.

②若E是BC的中点，求证：AE=EF.

(2)如图2,若四边形MCD是菱形，■平分S4E,FG//AD,交AE于点G,AB=AE=n,FG=8,求蜉的值.

E.C

16.如图，在nABCD中，AC为对角线，过点8作BE_LAC交AC于点E,交的于点尸，交8的延长线于点G.

G

⑴求证：GFCG=DGBG；

(2)如果他2=8£..，求证：四边形"8是矩形.

17.如图，在四边形中，如为对角线，4/，班>于点”，的延长线交C0于点E,交5C的延长线于点尸,

图3

(1)如图1,求证：AD//BF；

（2）如图2,过点A作AP〃CD交BD于点P,连接PE,求证四边形APED为菱形；

（3）如图3,在（2）的条件下，若M为BF的中点，PE=6,求GW的长.

18.综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动.

问题情景：四边形"CD中，点E在BC上，点F在8上，将加后下沿EF翻折，使顶点C落在四边形ABCD

内，对应点为点N为边上一点，点M为AD边上一点，将AAW沿MN翻折，点A的对应点0恰好在射线

上.

⑴奋进小组提出的问题是：如图1,若四边形ABCD为矩形，点E在射线MC，上，AM=CE,则AW与C*的位置关

系是,数量关系是；

（2）智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就

图2的情形说明理由；

（3）创新小组提出的问题是：如图3,将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形ABCD的边4）在x轴上，D,F,M

三点重合，若点B（TL3）,D（4,0）,点N为AB的三等分点（位置不确定），连接EN,请直接写出点E的坐标.

试卷第4页，共4页

参考答案

题号12345678

答案CAAAABDD

9.130。/130度

10.7+36/36+7

11.66°

12.回

4

13.|«

14.⑴见解析

(2)四边形BQE是平行四边形，证明见解析

【详解】(1)解：如图所示，点E、尸即为所求;

(2)解：四边形BEDE是平行四边形，证明如下：

四边形"CD是平行四边形，

/.AB\\CD,AD=BC,AB=CD,

由作图可得4)=隹，

AD=AE=BC,

,,,3尸平分ZABC,

...NCBF=ZABF,

・.,AB\\CDf

ZABF=ZCBF=ZCFB,

，CF=BC,

AE=CFf

：.AB-AE=CD-CFf^DF=BE,

,/AB\\CDf

・・・四边形跳Z龙是平行四边形.

15.(1)①见解析；②见解析

(2)指

【详解】(1)证明：①•••AD=DE,

ZDAE=ZDEA-

•.•四边形是平行四边形，

答案第1页，共7页

AD//BC,

ZAEB=ZDAE,

...ZAEB=ZAEG；

\*AE平分N3AF,

，ZEAB=ZEAGf

又,:AE=AEf

...△ABE^AAGE(ASA)

BE=GE-

②如图所示，延长M，DC交于H,

•.•四边形MCD是平行四边形，

，AB//CD,

ZEAB=ZH,ZEBA=ZECH,ZBAF=ZAFD=9Q°f

•・・E是泰的中点，

BE=CE,

AABE学出CE(AAS),

AE=HEf

丁ZAFH=1800-ZAFD=90°f

AE=EF=-AH-

2

AD

可

BE\/C

\/

图1%

(2)解：平分

ZDAF=ZEAFf

9

：FG//ADf

ZDAF=ZGFAf

：.ZGAF=ZGFA,

AG=FG=Sf

・二AB^AE^U,

EG=AE-AG=4；

・・•四边形ABC。是菱形，

AD=AE=AB=BC=12fAD//BC,

X*«*AF=AFfNDAF=NEAF,

答案第2页，共7页

.AAEF^AAZ)F(SAS),

..ZAEF=ZADFf

\*ZB=ZAEB=ZADFf

ZAEF=ZAEB=ZB,

FG//AD,

：.ZFGE=ZDAEf

AD//BC,

ZDAE=ZAEB

•I/ABE=NAEB=NFGE=NFEG,

AABES,

,BE_AB日口BE_12

**~EG~~FG'口丁一官，

BE=6,

CE=BC-BE=6；

如图所示，过点A作于Af,则EM=；EE=3,

.*•AM=y/AE2-EM2=yJ15；

如图所示，过点E作EN_LAD于N,

AD//BC,

ENA.BCf

・•・四边形,硒是矩形，

AN=EM=3,EN=AM=3>/15,

，DN=AD-AN=9,

DE=^EN2+DN2=65/6，

图2

16.⑴见解析；

(2)见解析.

【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形,

DF//BC,

/GDF=/GCB,

VNG=NG,

答案第3页，共7页

&FDS2BC,

,GFDG

**GB-CG，

GFCG=DGBG；

(2)VAB1=BEBF,

.ABBE

••而一耘’

又ABE=ZABF9

^ABE^AFBA,

ZAEB=ZFAB,

;BE±AC,

Nz回=90。，

ZBAF=90°f

•.•四边形MCD是平行四边形，

四边形的CD是矩形.

17.(1)见详解；

(2)见详解；

⑶3

【详解】(1)证明：AH±BD,AH=EH,

是AE的垂直平分线，

/.AD=DE,

:.ZDAE=ZDEA,

•;ZDEA=NCEF,ZF=NCEF,

:.ZDAE=ZFf

:.AD//BF-

(2)证明：vAP//CD,

ZPAH=NDEH,ZAPH=ZEDH,

\AH=EHf

:NAPH^/EDH(AAS),

:.PH=DH,

，四边形"ED是平行四边形，

■：AD=ED,

「.YAP£D是菱形；

(3)解：连接交PE于N,取DE中点G,连接用,

答案第4页，共7页

4,D

B/^T7\F

MC

图3

由（2）知，在菱形AP£D中，DE=PE=6,AD//PE,AP//CD,DH=PH,

・••"是OP中点，

由（1）知，AD//BF,AD//PE//BF,

.NHPN^NHBM,NHNE^NHMF,

,PN_HNHN_NE

.PN_NE

.「M为防中点，

:.BM=FMf

:.PN=NE,

••.N为尸石中点，

:.NE=-PE=3

2，1

.♦."V是APDE的中位线，G"是APDE的中位线，

:.HN//DE,HG//PE,

•/PE//BF,

••・四边形CENM是平行四边形，

:.CM=NE=3.

18.（1）A:N//C'F,A!N=C'F

⑵成立，理由见解析

⑶（2.-3）或（*-3）

【详解】（1）解：；四边形的8是矩形，

/.ZA=ZC=90°,AD//BCf

;折叠，点MC，A，E共线，AM=CE,

AM=AM=CE=C'E,ZA=ZNNM=NC=NFC'E=90。,ZAMN=ZAMN=-ZAMA',ZCEF=ZC'EF=-ZCEC,

22

ZNAM=ZFCE=90°,

AN//CFf

*：AD//BC,

ZAMA=ZCEC',

ZAMN=ZCEFf

在REHM/V和RtACEF中,

答案第5页，共7页

ZAMN=ZC'EF

A'M=C'F

NNA'M=NFC'E

/.&△AMN学&《EF(ASA),

AfN=CF,

故答案为：A'N//C'F,A'N=C'F.

(2)解：成立，理由如下，

・・•四边形MCD是平行四边形，

ZA=ZC,AD\\BCf

•・•折叠，点MC，4,石共线，AM=CE9

r

二.AM=A!M=CE=CE9ZA=ZNKM=NC=/FCE,ZAMN=ZAMN=|ZAMA,ZCEF=ZC'EF=|ZCEC,

，AN//CF,

*.*AD//BC,

ZAMA=Z.CEC,

r

ZAMN=ZCEFf

在AA脑V和△CEF中，

“MN=NCEF

•A'M=C'F,

ZNAM=ZFCE

：.△AW^/?ZACEF(ASA),

AN=C'F,

：.A'N//C'F,A'N=C'Ff即(1)中两个结论仍然成立;

(3)解：如图，