2025年中考数学总复习《解直角三角形的实际应用》专项检测卷及答案

2025年中考数学总复习《解直角三角形的实际应用》专项检测卷及答案

学校:姓名：班级：考号：

1.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.

在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,将矩形A3CD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG,其中点E,尸分别是点8,C

的对应点.

图1图2

⑴如图1,连接DG,BE,则空的值为

(2)如图2,当点E恰好落在边C。上，连接3G交AE于点。，连接8E.

①求证：EB平分NAEC；②求证：OG=OB.

⑶若直线DG交于点、H,当3E=8时，请直接写出5"的长.

2.如图1,。。是VABC的外接圆，A8是直径，AB=6,延长AC到点G,使得/A=/CBG,半径ODLAC与AC

交于点E,连接8。与AC交于点尸.

⑴求证：2G是。。的切线；

(2)若AC=3D,求BG的长度；

(3)若尸是的中点，如图2,求tan/ABD.

3.如图，以，.ABE的AB边为直径作O,交AE于点C,交BE于点连接C3,AM相交于点以，连接CM,

MC=MB.

(1)判断一ABE的形状，并证明；

3

⑵若cosZBAC=-,求CH:出/的值.

4.如图，是。的直径，2c是,；。的弦，D为。上一点，连接AD,ZD=2ZB,过点C作CE_L4D交DA

延长线于点E,连接。。并延长交BC于点G,交EC的延长线于点H.

⑴求证：EH是。的切线；

⑵若。的半径为10,AE=5,求身的长.

5.综合与探究

问题情境：

如图1,两块全等的三角形纸片4BCOE尸叠放在一起，AB=AC=DE=DF=5,BC=EF=6.

初步探究：

(1)如图2,将。所沿54方向平移，当点E与点A重合时，连接C尸.试判断四边形ACFD的形状，并说明理

由；

深入探究：

(2)将图2位置的11GE尸绕点A顺时针旋转得到△ZXET.2/的对应点分别是况F'.

①如图3,当所3c时，垂足为G,DP与BC交于点、H,求线段G”的长；

②当EF'//C尸时，请直接写出点。夕到直线CF的距离.

6.如图1,在四边形ABCD中，ABC=90,AB=BC,连接AC、交于点尸，且满足BbPC=PRPD.

BBB

££

D

图1图2图3

(1)求证：ZABD=ZACD-

CD3

⑵如图2,已知花=“过点尸作于点瓦

PF

①求67；的值;

DC

②如图3,连接DE,若5,即=8,求8。的长.

7.等腰Rt^ABC中，ZBAC=90?,A8=AC,点。是直线A5上一动点，以C。为斜边在其上方作等腰

RtCDE/DEC=90°,DE=CE,直线DE,AC交于点K.

(1)如图1,若点。在线段AB上.

①求证：△ACE's△geo；

AK

②如图2,若点O是线段48的中点，求得的值;

CK

A

⑵若黑=12直接写出黑O的值.

CKoDD

8.如图，ABCD的顶点A,C,〃在同一个圆上，点£在AC上，S.AD=AE,连接CE并延长交AB于点尸，连接8E

并延长交CD于点G,交圆于点连接若DE为圆的直径，

(1)求的度数;

(2)求证：HG=BE.

9.在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,。为BC边上一动点，且——=n(〃为正整数)，在直线BC上方作VADE,

ZADE=90°,—=n,连接BE.

AD

图1图2图3

(1)如图1,在点。运动过程中，求证：AACDSAABE；

(2)如图2,若AC=1,n=2,M为AB中点，当点E在射线CN上时，求C。的长；

(3)如图3,若附=2,AE//BC,与CE交于点F，试探究线段"与BF之间的数量关系，并说明理由.

10.如图1,点M,N分别是菱形ABCZ)的边BC,A8上的点，ZADM=/CDN.

⑴求证：AN=CM；

(2)如图2,连接AC与DV相交于点H,连接HM,MN.

CMDC

⑴当砺二次时,求证：四边形是平行四边形;

AC

5)如图3,9的延长线交AD于点G,若4G=G"ZABH^CD,求防的值.

11.已知：BC是。。的弦，点A是f。上的一点：豺=才(7，连接AO并延长交3c于点Z).

⑴如图1,求证：AD工BC；

(2)如图2,作直径CE,过点A作AFLCE,垂足为点E连接8E,求证：BE+EF=CF；

⑶如图3,在(2)的条件下，点G在。上，连接CG,DG,其中/3CG=/BCE,且NCGD=45。，若EF=5-#,

求线段DG的长.

12.如图，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。是平面内一点，连接AD,BD,且NADB=90。.

A

EA

A

-c

Q

图1图2图3

(1)如图1,若点。在VABC内部，ZABD=30°,延长AD交BC于X,若AO=6时，求。”的长；

(2)如图2,若点。在VABC内部，将AD绕点A,逆时针旋转90。得到线段AE,直线。E与BC交于点E证明：族=CP；

(3)如图3,点P是BC边上一点，连接AP,将PA绕点尸顺时针旋转90。得到线段PQ,连接DQ,CD,C。，若〃?=2,

当CD,。。均取得最小值时，直接写出二。。的面积.

13.如图，在等边VABC中，D、E分别为AC、BC上动点，满足45=CE.

(1)如图1,连接OE,过3作BP2AC于点/，交DE于点G,若tan/EOC=孝，CD=6,求BG的长；

(2)如图2,连接OE,P为BC中点，连接AP,G为边BP上一点,连接DG交AP于点F,尸恰为DG中点，将PG绕

点G逆时针旋转60。到龙，连接HE,HD.求证：HD=43HE；

(3)如图3,点M是平面内直线3c上方一点，ZBMC=30°,0为直线右方一动点，满足/”30=NMCB+3O。，

BQ=BC,连接MQ,N为上一点，连接AN、AQ,当取得最大值时，请直接写出当二M1Q为直角三角形

时空的值・

14.如图，矩形ABC。内接于＜O,8。是对角线，点E在AO上(不与点A,。重合)，连接EC分别交AD,即于点

H,G,BF工CE于点F,FG=FC,连接BE交AD于点P.

EE

⑴如图1,当点E为AD的中点，即=2时,

①求证：ZABE=NCBF.

②求EC的长.

3AP

⑵如图2,若tan”加力求所的值.

15.在VABC中，AB=AC,/BAC=a，点。在AC边上，连接50.

(2)如图2,若a=60。，将线段DB绕点D顺时针旋转120°得到线段DE,连接CE,点产为CE的中点，连接AF,DF,

请探究并证明线段AF与O尸之间的关系；

(3)如图3,若a=90。，AB=AC=6,点K在A3边上，连接CK,AK=CD,在CB边上有一点尸，当3D+CK取

得最小值时，直接写出。P-也CP的最小值.

10

参考答案

3

1・⑴“

⑵①证明见解析；②证明见解析;

⑶的长为3括-4或+4.

【分析】⑴由旋转的性质得到AD=AC=6,AB=AE=8,/DAG=/BAE,,求得当=奖=抵==,根据相似

ABAE84

三角形的性质得到瓷=当=1；

BEAE4

(2)①过点8作衣心_1隹于点M,由旋转可知=得到Z4BE=NAEB,根据

平行线的性质得到NABE=NC£B,推出BE平分/AEC；

②根据角平分线的性质得到3C=BM,由旋转可知，AG=AD=3C,根据全等三角形的性质得到OG=OB；

(3)根据旋转的性质得到AD=AG,AB=AE,NZMG=/BAE,求得NAD"+NASH=180。，得至lJ"HB=90。，得

到./“龙为等边三角形，同理AAOG为等边三角形，如图2,根据三角函数的定义得到

BH=BIsm600=6-空＞曰=3百-4,如图3,同理可得HE=3百-4,得出BH=3有+4.

【详解】(1)解：由旋转的性质知，AD=AG=6fAB=AE=8,NDAG=NBAE,

.9_AG_6_3

,,AB-AE-8-4'

:ADAGsABAE,

DGAG3

'BE~AE~

3

故答案为：—；

4

(2)证明：①由旋转可知，AB=AE,

:.ZABE=ZAEB,

'：AB//CD,

：.ZABE=/CEB,

：./CEB=ZAEB,

・・・5£平分/AEC,

②如图，过点3作于点M,

・•・ZC=90°,

又・.・5M_LAE,BE平分NAEC,

・・・BC=BM,

由旋转可知，AG=AD=BCf

：.AG=BM,

在,AOG和△MOB中,

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=/MOB

AG=BM

：.AOG^MOB(AAS),

：.OG=OB；

(3)解：由旋转得AD=AG,AB=AE,ZDAG=ZBAE,

ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

:ZABE+ZABH=180°,

AZADH+ZABH=180°f在四边形中，ZDAB=90°,

：.ZDHB=90°,

9：AB=AE=BE=8,

・•・：W石为等边三角形，

・•・ZDAG=ZBAE=60°,

9：AD=AG

・•・ZVIDG为等边三角形，

ZADG=60°,

如图,

同理可得HE=3有-4,

/.BH=HE+BE=36-4+8=3币+4

综上所述，出/的长为3石-4或36+4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质,

解直角三角形等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键.

2.⑴见解析

⑵2百

⑶血

【分析】(1)根据A3是直径，/A=/CBG,证明54J_3G即可；

(2)根据AC=3D得出AC=20,进而得出AD=CO=2C，得出特殊角，再利用三角函数求解即可；

(3)证明DFE^BFC,再根据三角形中位线和三角函数求解即可.

【详解】(1)证明：钻是，。的直径，

:.ZACB=90°,

：.ZABC+ZCAB=9Q0,

；/A=/CBG,

ZABC+NCBG=NABC+/A=90°,

即BA_L3G,

AB是(。的直径，

:.BG是。的切线；

(2)解：ODLAC,

AD=CD，/AEO=90。，

又-AC=BD,

AC=BD，

...AD=CB

AD=CD=BC，

AAOD=60°9

/.ZBAC=30°,

BG=—AB=2y/3;

3

(3)解：AB为直径，OD1AC,

:.ZAEO=ZC=9G0,

:.OD//BC,

:.ND=NFBC,

DF=BF.ZDFE=ZBFCf

DFE^BFC,

:.BC=DE、FC=EF,

又,AO=OB,

.•.OE是VA3C的中位线，

设。£=/,则=O石=2%,

DE=DO-OE=3-t,

3—/=,

解得：t=l9

则。£=3C=2、AC=dAB2—BC2=衣2-嗟=4梃,

.\EF=-EC=-AC=y[2,

24

OB=OD,

:.NABD=/D,

FFr-

则tan/ARD=tan/。=——=V2.

DE

【点睛】本题考查了切线的证明，圆与三角函数的综合，解题关键是根据圆的相关知识得出角和线段的关系，再运

用三角函数求解.

3.(1)是等腰三角形，证明见解析

尾

【分析】(1)根据MC=MB,得出N54V=NC4〃，根据圆周角定理得出乙曲=90。,有e=90。，证出

ZABE=ZAEB,即可得AB=AE,即ME是等腰三角形.

Ar3

(2)过点C作CG，A〃，垂足为G.根据圆周角定理得出NACB=90。，在Rt中，cos/2AC=——=-,设

AB5

AB=5x,贝UAC=3X,根据等腰三角形的性质得出=ME,证明VAGCsVRWE,NCGH^NBMH,即可求解.

【详解】(1)解：,ABE是等腰三角形

理由如下：

"：MC=MB,

旅=股8，

：.ZBAM=ZCAM,

:AB是。的直径，

ZAMB=90°,ZAME=180°-90°=90°,

/.ZABE+ZBAM=90°,ZAEB+ZCAM=90°,

ZABE=ZAEB,

AAB=AE,即ABE1是等腰三角形.

(2)解：过点C作CG，AM,垂足为G.

4cl3

在及ACB中，cosZBAC=——=-,

AB5

设AB=AE=5x,则AC=3x,

X'-9AB=AE,ZAMB=90°,

:.BM=ME,

ZAGC=ZAME=9Q0,

：.CG〃ME,

：.NAGC^NAME,

.CGAC3

ME~

■:CG//BM,

•.NCGH^NBMH,

.CHCGCG3

"BH~BM~ME~^'

【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点,

解题的关键是掌握以上知识点.

4.(1)见解析

⑵15

【分析】(1)连接OC,利用平行线的判定定理证明％〃龙，求得NOCH=NE=90。,据此即可证明E”是「。的

切线；

(2)连接OC,AC,证明ACE^ABC,推出AC=10,利用勾股定理求得BC=106,推出OAC是等边三角

形，在RtCHG中，利用正切函数求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连接OC,

ZAOC=2ZB,ZD=2ZB,

：.ZAOC=ZD,

OA=OD,

:./OAD=/D,

.\ZOAD=ZAOC,

/.OC//DE,

DEVEH,

:.ZOCH=ZE=90°f

oc是。的半径，

•••EH是。的切线；

ZOCA+ZACE=90°9

是。的直径，

.-.ZACB=90°,

:.ZOCA+ZOCB=90%

:.ZACE=ZOCB,

QOC=OB,

:.ZOCB=ZOBCf

.\ZACE=ZOBC,

ZBCA=ZAEC=90°.

:.AACE^AABC,

.AEAC

IO的半径为10,AE=5,

:.AB=20,

.5AC

…花一刀’

解得AC=10（负值已舍去），

..在中，BC=y]AB2-AC2=10^，

ABAC=60°,NOCB=ZB=30。

04=OC,

是等边三角形，

OC//DE,

,\ZD=ZDAO=ZAOC=60°f

:.ZCOH=ZD=60°,

ZOGC=90°9

：.CG=BG=5C，

.NOCH=90。,

:,ZH=30°f

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形.正确引出辅

助线解决问题是解题的关键.

5.(1)四边形ACED是菱形，理由见详解

8444

⑵①G"三；②点。倒直线W的距离为彳或行.

【分析】(1)根据等边对等角得到NABC=NACB=ND£F=NDFE,由平移的性质得到/。跖=445。，EFBC,

则NFEC=NACB=NDFE,DFAC,所以四边形ACFD是平行四边形，结合菱形的判定方法即可求解；

(2)①如图所示，连接GH,过点H作厂'于点由勾股定理，锐角三角函数的计算得到

AG=A/AB2-BG2=752-32=4,则Gk=AF'—AG=6-4=2，tanZB=41=^在WPGF'中,

DLJJ

GH4448

tanZFr=tanZB=--=则=—G尸=—x2=—,由此即可求解；

GF'3333

②分类讨论：第一种情况，如图所示，EF与A3重合，则M'|C产，延长尸'，尸C交于点S,过点。作。'N_LW

延长线于点N,过点C作CTLF。'延长线于点T,延长AG交。尸于点R,则四边形GR7C是矩形；第二种情况，

如图所示，砂'与AD重合，连接DC,过点。，作D'ULAD,过点P作rVJ_AD；由勾股勾股定理，锐角三角函

数的计算，数学结合分析即可求解.

【详解】解：(1)四边形ACFD是菱形，理由如下，

,?AB^AC^DE^DF,

：.ZABC=ZACB=NDEF=NDFE,

・•,将/£尸沿及1方向平移，当点E与点A重合,

，ZDEF=ZABC,

：.EFBC,

又EF=BC,

四边形ABCF是平行四边形，

CF=AB,

：.AB=AC=DE=DF=CF,

四边形ACED是菱形；

(2)①如图所示，连接GH,过点H作于点设。'厅与BC交于点尸,

根据旋转得到，AF=AF'=BC=6,ZF'=ZDFE=ZACB=ZABC,

•：AB=AC,EF'±BC,

：.BG=CG=-BC=3,

2

在RfA3G中，AG=yjAB2-BG2=752-32

：.GF'=AF'-AG=6-4=2,

.『aS任4

BG3

4

在RtPGF'中，tan/F'=tan/B=-----

GF3

44c8

GH=-GF'=—x2=—

333

②由（1）可知，四边形ACED是菱形,

BDCF,

第一种情况，如图所示，EF与重合，则石尸卜。尸，延长交于点S,过点。作OWL/。延长线于点N,

过点。作尸D'延长线于点T,延长AG交D尸于点R,则四边形GR7c是矩形,

43

AFf=AF=6,AG=4,sinZABG=-,cosZABG=-,

55

在H/AF&中，ZABG=ZAFfR,

：.sinZF=-=-,

AFf5AFr5

442433is

AR=-AFr=-x6=—,FfR=-AF,=-x6=—,

555555

187244

・•・D,R=DfF,-FfR=5——=-,GR=AR-AG=——4=-,

5555

4

：.GR=CT=~,

r

：.FSBCAFf且EF'CF,

・•・四边形3尸SC,AK3是平行四边形,

・•・BC=F'S=6,

：.D,S=F,S-FD,=6-5=1,

・・・ZCST=ZF,=ZD,SN,

D'N4

在&D'SN中,sinZZ)W=^=-,

DrS5

44

D'N=—D'S=—,

55

4

・,・点6到直线cr的距离为彳；

第二种情况，如图所示，历'与AO重合，连接DC,过点D'作。'U,AD,过点/作FV_LAT＞,

根据计算，D'U=AG=4,

:四边形ACED是菱形，

/.0c=2AG=8,

•.S^=^AF.DC=AD.FV,

...F〜V=-A-F-D-C=-6-x-8=—24,

2AD2x55

2444

D'U+FV=4+—=—,

55

44

点以到直线CF的距离为彳；

综上所述，点6到直线C尸的距离为1或二.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数的计算，掌握旋

转的性质，锐角三角函数的计算，数形结合分析，分类讨论思想是关键.

6.(1)见解析

4

⑵①］；②7

【分析】(1)证明△ABP4DCP,即可由相似三角形的性质得出结论；

(2)①先证明DCP,BPC,"0,得/4£9=/4。_8=45。，从面可得/8＞尸=/547＞=45°,则/4£＞。=90。，

PFAD4AF4

根据tan/ACD=tan/A8H则方二二大工二不，然后根据钻=尸£,则二，=三，即可求解；

BECD3AB7

ApRFAFAD4

②过点A作AFLBD交于点尸，连接斯，证明VArasVMC,得=则==再证明AF=。尸，

ADCDBFCD3

BF3

则怎；=7，然后证明上£SFs得ZBEF=ZBAD,则£F〃AD，从而得S=S他。=8，贝”

5=求得AF=4,则3/=3，由皮＞=。/+筋=”+陟求解即可•

【详解】(1)证明：・・・B4,PC=P3-P。，

.PA_PB

••而一正’

■:ZAPB=/DPC,

・・・AABPs^DCP,

:・NABP=NPCD,W?ZABD=ZACD.

(2)解：@u：ABC=90,AB=BC,

：.ZBAC=ZACB=45°,

,：PAPC=PBPD,

.PAPD

••一,

PBPC

,:AAPD=ZBPC,

：.AAPD^ACPB,

；・ZADP=/BCP=45。,

由(1)知AABPsADCP,

AZCDP=ZBAP=45°,NABP=NPCD,

:.ZADC=ZADP+NCDP=90°,

PFAJ~)

tanZACD=tanZABF,即=

BECD

..CD_3

•~AD~4

.PEAD

••BE-CD-3'

•・,尸石，钻于点石，ZBAC=45°,

：.ZAPE=ZEAC=45°,

:・AE=PE,

.AEAE4

,*AB~AE+BE~7f

•；AB=BC,

.PEAE_4

②过点A作A产，交于点尸，连接班

B

D

则ZAFg=ZADC=90。，

'：AABP=AACD,

：.NAFB^NADC,

.AF_BF

••AD~CD'

..CD_3

*'AD~4"

.AFAD_4

・・而一而一

VZA£)P=45°,ZAFD=90°,

：.ZDAF=ZADP=45°,

AF=DF,

BF3

••=一,

BD7

..A^_4

・1,

AB7

・

•B•E_3=一,

AB7

.BFBE

••=,

BDAB

丁ZEBF=ZABD,

:.一EBFS&ABD,

・•・ZBEF=NBAD,

：.EF//AD,

•*-SAFD=SAED-8,

11

S=-DFAF=-AF92=8,

的ADF22

・・.AF=4,

:.8尸=3,

，BD=DF+BF=AF+BF=4+3=7.

【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线

间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

AK1

7.⑴①见详解；②二7）

CKJ

（2）^1

2

【分析】（1）①证明/4。£=/6。。，孚=空，进而得出结论;②延长即交CB的延长线于点尸，由八4。石6488,

得NC4E=NABC=45°,==进而可得NC4E=NAC3,BD=gE，证明VADEABD尸(ASA),

设AE=a,则AD=B£)=JLI,AD=2及a，证明VAEKSVC尸K,列比例式即可求解；

(2)延长ED交CB的延长线于点耳，证明YADEsYBDF、,NAEK^NCF.K,列比例式可得答案.

【详解】(1)①证明：NS4c=90。，AB=AC,

ZACB=ZABC=45°,

AC“v。&

----=cos45=——，

BC2

RtCDE,ZDEC=90°,DE=CE,

ZDCE=ZCDE=45°,

CE…V2

/.----=cos45=——，

CD2

:"DCE=ZACB,

:.ZDCE-ZACD=ZACB-ZACD,

:.ZACE=/BCD,

CEACy/2

CD-BC-

:“CEsABCD；

②解：延长ED交CB的延长线于点F,

ZCAE=ZACB,BD=6AE，

:.AE//BC,

:.NDAE=ZDBF,

点。是线段AB的中点，

AD=BD，

在VADE和VBCF中，

'/DAE=/DBF

<AD=BD,

ZADE=ZBDF

.­.VAT>E^VBZ）F（ASA）,

:.AE=BF,

设AE=〃，则AO=3D=缶，AB=2。，

BC=y/2AB=4〃>

:.CF=5a,

AE//BC,

:.ZAEK=ZCFKf

ZCAE=ZACB,

:NAEK^NCFK,

.AKAE_a_1

,~CK~~CF~~5a~3"

（2）解：延长ED交CB的延长线于点片，

:.ZCAE=ZACB,BD=6AE，

:.AE//BC,

ZDAE=/DBF1,

Q/ADE=/BDF],

.NADEKBDF],

同理可证，VAEKKCF\K,

.AK_AE_1

'~CK~'CF\~6f

设AE=m,则。片=6根,

设AD=n，

BC=y[2AB=（BD+AD）=2m+V2zz,

BFX=CF1—BC=4m,

QNADE^NBDF,,

AEADmn

BF[BD'即4m-y/2n6m'

/.y/ln2—4mn+V2m2=0，

=+根(舍去)或"=(0—1)相,

A£)_(0T)m_2—后

BD壶m2

【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是寻

找可解的直角三角形.

8.(1)45°

(2)证明见解析

【分析】(1)由圆周角定理和平行四边形的性质先证,A£F妾°CBF\得出即=斯，可求1ABE的度数；

(2)由圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证得四边形CNAF为矩形，由AEF&CBF可知AF=CP,

则矩形CWLF为正方形，可得HN=BF,解直角三角形，可知"G=3E.

【详解】(1)解：AE为圆的直径，

ZDAE=ZDCE=90°.

四边形ABC。为平行四边形，

:.AD=BC,ABDC,ZADC=ZABC.

"CFB=ZDCE=90。.

ZAFC=180°-Z.CFB=90°.

AD=AE,

.\AE=CB.

ZADC+ZDAE+ZAEC+ZDCE=360°,

.\ZA£)C+ZAEC=180o.

/AEF+/AEC=180。,

:.ZAEF=ZADC=ZABC.

在下和VCBb中

ZAEF=ZABC

</AFC=NCFB

AE=CB

AEF^iCBF(AAS).

:.EF=BF.

:.ZABE=ZBEF=45°.

(2)②证明：连接AH交。。于N.

DE为圆的直径,

AD=AE,

:.ZADE=ZAED=45°.

...ZH=ZADE=ZABE=45。.

:.AH=AB,ZBAH=90°.

ZAFC=ZZ)CF=90°,

••・四边形。W1为矩形.

AEF^CBF,

:.AF=CF.

矩形QMF为正方形.

・•.AN=AF.

:.AH-AN=AB-AF.

^HN=BF.

HG=HN=^2HN,BE=———=y[2BF,

cosZHcosZABE

\HG=BE.

【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形两锐角

互余，解直角三角形等知识，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键.

9.(1)证明见解析;

2

(2)CO的长是§；

(3)4AF=5BF,理由见解析.

■八工/、上口口处―、十口人,日

3cDE,BCDE―ACBC„Ar,

【分析】⑴由而="'~=n,则n耘=而，即有而=而’然后证明△AC3S"OE’由性质可得

\rAnATAD

ZCAB=ZDAE,法=瓦,则有石=瓦,43"由相似三角形的判定方法即可求证;

(2)作CGLAB于点G,则/AGC=90。，由AC=1,—=2,则BC=2,则42=占，根据直角三角形斜边上

AC

的中线等于斜边的一半得AM=BM=LAB=好，然后根据解直角三角形和相似三角形的性质即可求解;

22

(3)过5作于点H,证明四边形AC皿是矩形，则AC=B",BC=AH,设AC=B"=〃，则

1HF11s

BC=AH=2a,KTWtanAABC=—=tanZ.HBE=---,贝lj有H£=—〃，AE=AH+HE=laH—a=—a,再证明

2BH222

5

AFEsBFC,根据性质可得4£=任=贵=9,从而求解.

BF~BC~2a~4

【详解】⑴证明「•就二〃，而=",

.BCDE

*AC-AD

.ACBC

・AD~DE'

：ZAC6=90°,NAZ）石=90。，

ZACB=ZADE=90°f

AACB^AADE,

ZCAB=ZDAE,箫笔,

ACAD

AE

/CAB—/BAD=/DAE—/BAD,

ZCAD=ZBAE,

AACD^AABE；

(2)解：如图2,作CGLAB于点G,贝iJ/AGC=90。,

ZACB=90°,

：.ZACG=ZABC=90°-ABAC,

BC

'/AC=1,---二n

AC

BC=nAC=n,

,：n=2,

BC=2,

AB=y/AC2+BC2=Vl2+22=>/5>

为48中点,

/.AM=BM=-AB=5

22

..AG../…AC1旧CG_/22#>

------=sinZACG=sinZABC=-----=—j==—,~~~=cosZACG=cosZABC=---=—=-------,

ACAB小5ACAB755

•A「一非A「一下乂1一下“一262石2石A「一非君一36

••ACr=AC=X1=,CCr=---AC=-------X1=------,AZCr=AJVL-ACr=------------=------,

5555552510

•・•AACD^AABE,

CDAC

・•・ZACD=ZABE=ZMGC=90°,ZBME=/GMC,

BE~AB

2A/5

亍二4

=tanZBME=tanZGMC=

35/53

BM------------------------------------MG~w

,BEBE42

•・AB~IBM_2x3-3'

.CDBE2

**AC-AB-3?

222

CD=-AC=-xl=-,

333

2

CD的长是］;

(3)解：4AF=5BFf理由:

如图，过5作于点H,

ZAHB=90°,

,?AE//BC,

：.ZACB+ZC4E=180°,ZABC=ZBAH,

：.ZACB=ZCAE=ZAHB=90°,

•二四边形ACSH是矩形，

AAC=BHfBC=AH,

:.BC=2AC,

设AC=BH=a,贝UBC=AH=2〃，

由(1)得△ACDS^ABE,

・•・ZACD=ZABE=90°f

・・・ZABH+ZHBE=ZABH+ZBAH=90。,

：./HBE=ZBAH=ZACB,

iHF

：.tanZABC=—=tanZHBE=——,

2BH

.HE_1

,*V=2'

HE=—a,

2

AE-AH+HE—2QH—a——a,

22

■:AE//BC,

:.AFEsBFC,

5

AFAE_2a_5,

BF~BC_2a~4

即4AF=53F.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题的关键.

10.⑴见解析

(2)⑴证明见解析；(ii)用

【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，作出正确

的辅助线是解题的关键.

(1)证明一ADNgCDM(ASA)即可解答；

(2)⑴根据题意可得则/CH7W=NC4B,推出再证明AN〃8M且=,即

可解答；

(ii)证明一也在工AHB(SAS),得到=即可证明最后利用解直角三角形即可解答.

【详解】(1)证明：四边形A2CD是菱形，

:.AD=DC,ZDAN=ZDCM,

ZADM=Z.CDN,

:.ZADN=ZCDM,

在△ATW与VCDM中,

"DAN=ZDCM

<AD=CD,

ZADN=ZCDM

ADN"COM(ASA),

.\AN=CM；

(2)(i)证明：由(1)知，AN=CM,

.CMDCDC

*CM-A7V?

DC//AB,

:NDHC^NNHA,

.DCCH

,~AN~HAf

CMCH口口CMCH

---=——，即=——，

BMHACBCA

Q/HCM=ZACN,

/.ZCHM=ZCAB

:.HM//AB,

:.ZBAC=ZMHCf

ZMHC=ABAC=ZMCHf

.\MH=CM=ANf

.AN//HMf

二•四边形4vMH是平行四边形；

(ii)解：，在菱形ABC。中，AD=DC,

ZDAC=ZDCA=ZABH,

QAD=AB,ZDAH=/BAH,AH=AH,

「AHgAHB(SAS),

ZADH=ZABH=ZDAH,

:.AH=DH,

点G为AO中点，

.\HG.LAD,

/.ZG4B+ZABG=90°,

QZDAH=ZCAB=ZABGf

.\ZABG=ZGAH=ZBAC=30°,

:.ZDAC=ZDCA=30°,

如图，作

QDA=DC,

AE=EC=-AC,

2

cosZDAE==cos30°=,

AD2

AC2AE

=A/3.

ADAD

n.（1）见解析

(2)见解析

(3)DG=2忘

【分析】（1）根据弧与弦的关系得到AB=AC,证明40垂直平分8C即可求证;

（2）连接A3,AC,AE,在b上截取CP=3E,连接AP,证明ABE^ACP（SAS）,则AE=AP,根据等腰三角

形三角形三线合一得到EF=PF,那么3E+£F=CP+尸尸=CF；

（3）连接EG,过点。分别作DMLEG,DN1CG,DRLCE,垂足分别为M,N,R.由角平分线的性质及判

定得到DM=DR=DN,根据角平分线得到/。£。+/及五=45。，那么ZBDE=/DEC+NBCE=45。,贝1|

BE=BD=CD.令BE=m,则3c=2%,则在RtBCE中，由勾股定理得CE=6根，则sin/BCE=g,可得

BE+EF=CE—EF,那么m+5—A/5=君加―（5-0），解得〃?.=2^/5.在Rt^CDN中，sinZ.DCN=sinZBCE=~~，

求出。N=2,贝l]£）G=2夜.

【详解】（1）证明：如图1,连接A8,AC,OB,OC,

...点4在BC的垂直平分线上，

'：OB=OC,

...点。在BC的垂直平分线上，

A0垂直平分

AADJ.BC,BD=CD；

(2)证明：如图2,连接在Cf上截取CP=3E,连接钎.

VAB=AC,ZABE=ZACP,CP=BE,

：.ABEgACP(SAS).

，AE=AP,

又•:AF±EP,

EF=PF

：.BE+EF=CP+PF=CF；

(3)解：如图3,连接EG,过点。分别作DMLEG,DNLCG,DRICE,垂足分别为M,N,R.

：.ZB=ZCGE=90°

■:/CGD=45。,

ZDGE=ZCGD=45°,

DM=DN

,：ZBCG=ZBCE=-ZECG,DNICG,DR±CE

2f

：.DN=DR,

DM=DR,

：./DEG=/DEC=-/CEG

2

9：/CEG+/ECG=9。。

：.ZDEC+ZBCE=1(ZCEG+NBCG)=45°

:.ZBDE=ZDEC+Z.BCE=45°

・•・ZBED=90°-45°=45°=ZBDE,

BE=BD=CD,

:.BC=2BE,令BE=m,则5C=2m

在RtBCE中，CE={BE?+BC?=萩+(2加『=晶,

BEy/5

sin/BCE=

~CE~~5

•：BE+EF=CF,

：.BE+EF=CE-EF,

m+5-岳=\/5m-^5-75j,

解得m=26.

在RtACDN中，sinZDCN=sin/BCE=—

5

.DNy/5

"^5