2025年中考数学总复习《与圆的切线有关的计算》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《与圆的切线有关的计算》专项测试卷(附答

案)

学校:姓名：班级：考号：

1.如图1,在VABC中，ABAC=45°,以"为直径作O。交AC于点D,且AD=CD.

(2)如图2,在。。上取一点E,连接AE,BE,DE.若BE=a,AD』.

①求AE的长；

②求VADE的面积.

2.如图，A5是。。的直径，点。在。。上，的平分线交°。于点。，过点。

作AB的平行线交C4的延长线于点E.

⑵若=AE=非，求图中阴影部分的面积.

3.如图，PA为。。的切线，A为切点，过A作ABLOP,垂足为C,交。。于点2,

延长8。与PA的延长线交于点D.

B

(1)求证：尸3为。。的切线；

⑵若m=8,AD=4,求厚的长.

4.如图，在VA2C中，AC=BC,ZACB=120°,AC的垂直平分线”N交AB于点。，以

。为圆心，以为半径作0。.

⑴求证：BC是。。的切线；

(2)若0。的半径为4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和兀).

5.如图，A5是。。的直径，点E是劣弧上一点，ZPAD=ZAED,且£>E=1,AE平

分NBAD,AE与班)交于点

⑴求证：尸4是O。的切线；

⑵若tan/ZME=；,求跖的长;

⑶延长DE,A8交于点C,若03=BC,求Q0的半径.

6.如图，AB为VABC外接圆°。的直径，点尸是。。外一点，ZACP=ZABC,延长PC

交AB延长线于点，

OB

AD

C

P

(1)求证：尸。为。。的切线；

(2)若ZD=30。，BC=4,求图中阴影部分的面积.

7.如图，A5是。。的直径，ZCAB=45°,BC=BA.连接OC交。。于。.

⑴求证：BC是。。的切线；

(2)若AB=2,求8的长.

8.菱形的顶点5,C,。在。。上，O在线段&C上.

(1)如图1,若是0。的切线，求NADC的大小；

(2)如图2,若AB=2^,AC=8,AB与0。交于点E,求砥的长.

9.如图，A5是。。的直径，弦。与A8相交，ABAC=35°

c

图①图②

D°

(D如图①，若4)=匝＞,求/4BC和-4B£＞的度数；

(2)如图②，过点。作。。的切线，与的延长线交于点P,若D"AC,求/OCD的度

数.

10.如图，。。的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为4(«

为1~12的整数)，过点4作。。的切线交弦AAi延长线于点P.

⑴通过计算比较直径和劣弧哪个更长；

(2)求切线长时的值.

H.如图，。。的半径为5,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为4(«

为1〜12的整数)，过点4作。。的切线交AAl延长线于点尸.

(1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；

⑵连接46,则44和PA有什么特殊位置关系？请简要说明理由;

⑶求切线长尸4的值.

12.如图，已知A8是0。的直径，为0。的内接三角形，C为胡延长线上一

点，连接8,。尸，AD于点E,交。于点尸，/ADC=/AOF.

⑴求证：8是0。的切线.

⑵若sinC=；,BD=2sf3,求的长.

13.如图，。。是VABC的外接圆，BC是直径，AC=5,AB=15,。是弦8C下方弧BC

上的点(与5、。均不重合).连接DC并延长交过A点的直线于E点，连接

^AE2=CEDE.

(1)请直接写出^ABC的正切函数值，即tanZABC=；

(2)求证：AE是。。的切线；

⑶设AD与BC交于点尸，点尸在OC上(与。、。均不重合)，过下点作WAC,

垂足为G,CG=2.与ZA产C的大小相关的三个结论：ZAFC>45°,ZAFC=45°,ZAFC<45°,

你认为哪个正确？请说明理由.

14.已知AB,CD是0。的直径，M为8D的中点，连接BC,DM.

图②

(1)如图①，若NG4B=2。。求^ABC和ZCDM的大小;

(2)如图②，过点C作的切线，交的延长线于点尸，弦的与CM交于点N,若

ZABC=2NBCP,MN=2,求0。的直径.

15.在0。中，为0。的弦，连接OAOB,ZABO=30°,

⑴如图1,若半径于点。，CD=l,求弦AB的长；

⑵如图2,"N为。。的切线，点尸为切点，且跖V//OB,过点尸作尸7FAB于点尸，

与半径08相交于点E.若0。的半径是3,求OE的长.

参考答案

1.⑴见解析

(2)①2岳②3

【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计

算公式，熟练掌握是解题的关键.

(1)即证明小，蛇,方法一：连接3D,则AD，班),得BD为AC的垂直平分线，SA=3C,

根据等腰三角形性质可得ZBC4=ZBAC=45。，ZABC=180°-ZBCA-ABAC=90°,即

ABLBC.方法二：连接OD,贝|tM=0D,ZAOZ)=180°-ZADO-ABAC=90°,再证明8为

VABC的中位线，得8〃%,即可得证.

（2）①先求出的长，因为为直径，所以△但是直角三角形，根据勾股定理

即可求出AE的长；②过点A作A7UDE与点尸，根据圆周角性质得ZA£D=NABD=45。，

易得AF=EF泻AE,再根据勾股定理求出OE,得AF、上的长，即可求出VADE的面

积.

【详解】（1）解：方法一：连接加，

・••延是。。的直径，..ZADB=90°.

-.■AD=CD,二3D为AC的垂直平分线.

:.BA=BC,ZBCA=ZBAC=45°,

ZABC=180°-ZBCA-ABAC=90°,gpAB±BC.

又QOB为。。的半径，RC是0。的切线.

方法二：连接

■.■OA=OD,:.ZADO=ZBAC=45°.

ZAOD=180°-ZADO-ZBAC=90°.

又YOA=OB,AD=CD,

为VABC的中位线.

:.OD//BC,:.ZABC=ZAOD=90°,即ASLBC.

又Q08为。。的半径，力C是0。的切线.

(2)解：①方法一：・•・在RtaAB£>中，NB4c=45。,

AD

vcosZBAC=——,贝=

cosZBAC

・••钻是。。的直径，ZAEB=90°.

■■在RtAABE中，AB=V10,BE=也，

AE=\lAB2-BE2=V10-2=272.

方法二：・•・在RtAAOD中，ABAC=45°,

cosZBAC=—,

AD

:.OA=AD-cosZBAC=s/5x—=^~,

22

:.AB=2OA=y/10,

•.•AB是。。的直径，:.ZAEB=90°.

在RtAABE中，AB=Vw,BE=^2,

AE=y/AB2-BE2=V10-2=：2A/2.

②过点A作"IDE与点F.

ZABD=90°-ABAC=45°

又•.•AO=AZ),：.ZAED=ZABD=45°,

AF=AE-smZAED=2A/2X—=2,

2

在Rt^AFE和RtAAFD中,

EF=S]AE2-AF2=2,DF=^AD2-AF2=1.

・•,DE=EF+DF=2+1=3.

.•MWE的面积为：|z)ExAF=1x3x2=3.

.•Y4DE的面积为3.

2.⑴见解析

(2)5-7t

【分析】(1)如图，连接题》,OD,AD,首先由直径得到ZAD3=90。，然后证明出

AD=DB,得到然后推出ODLED,即可证明OE是。。的切线；

(2)如图所示，过点A作中垂线AF,首先证明出四边形A8尸为正方形，设圆

半径为凡利用勾股定理求出尺=2,得到助=；42=3,然后利用阴影面积

二S梯形AEDO-S扇形40。代数求解即可.

【详解】(1)解：如图，连接题》,OD,AD

:A3是。。的直径,

/.ZADB=90°

・・・。。平分-4C6

，ZACD=/DCB

:.AD=DB

.ZADB为等腰直角三角形

:.OD±AB

■.■ED//AB

:.OD1ED

•*.E。为。。的切线；

(2)解：如图所示，过点4作即垂线质

EFD

■：FD//AO

:.AF±AB

,/OD1ED

•••四边形A8P为矩形

又AO=D0

J矩形48尸为正方形

设圆半径为H

31

•・•DE=-AB,FD=OA=-AB,

42

3111

:.EF=DE-FD=-AB——AB=-AB=-R

4242

AE2=AF2+EF2

解得：R=2,负值舍去

3

/.ED=-AB=3

4

，阴影面积=5梯形皿-S扇物加=；（AO+ED）x£>O-

=-（2+3）x2--7ix22

2V）4

=5-71.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正方形性质与判定，勾股定理,

扇形面积公式等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

3.⑴见解析

⑵申=6

【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、切线的判定与性质，熟练掌握是解题

的关键.

（1）连接。A,根据切线的性质得到/。20。，证明⑻啜根据全等三角

形的性质得到N。3/。但。。，根据切线的判定定理证明结论；

（2）根据切线的性质得尸4=尸3,尸为直角三角形，根据勾股定理解方程可得PA

的长.

【详解】（1）证明：连接OA,

VAB.LOP,OB=OA,

/.ZBOP=ZAOP,

•••以是0。的切线，

NO4P=90。,

在△Ob尸与4P中,

OB=OA

/BOP=ZAOP,

OP=OP

△OBP^Aa4P(SAS),

/.ZOBP=ZOAP=9Q0,

OBLPB,

...尸8是O。的切线；

(2)PA.PB为0。的切线，

/.PA=PB,

*•BD=8,AD=4f

在RMDi3P中，PD2=PB2+BD2,SP(PA+4)2=PA2+82,

解得PA=6.

PA=6.

4.(1)见解析;

⑵84一|兀.

【分析】(1)连接。已由中垂线的性质得出3=。。，由等腰三角形的性质得出

ZACO=ZA=30°.求出/OCB=90。，则可得出答案；

(2)求出NCW=60。，BC=40,由扇形的面积公式可得出答案.

【详解】(1)证明：如图所示，连接。C.

二点C在。。上.

vAC=BC,ZACfi=120°,

.•.NA=N3=30。.

\-OA=OC,

.\ZACO=ZA=30°.

.\ZOCB=ZACB-ZACO=90°.

即OC1BC,

是。。的切线.

(2)解：•.•ZA=30。，

.-.ZCOD=2ZA=60°.

.v_60万⑷8

"mDOC~360=3n，

在RLAOCB中，BC=OCtan60°=4有，

$阴影=；*4百*4一g万=84一g".

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积公

式，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质和相关公式是解题的关键.

5.⑴见解析

(2)所=；

(3)6

【分析】(1)证明4AS=90。，即尸ALAS,结合AB是。。的直径，即可证明结论；

(2)连接。E,EB,根据ZZME=ZBAE,易得DE=BE=1,再由“直径(半圆)所对

的圆周角为直角”可得川〃。3,AELEB,即△?!£)尸和△麻下为直角三角形，由三角

函数可得tanZEBF=tan/DAE==然后求解即可；

tLDZ

(3)过点3作3G〃AD,交。C于G,证明AD〃OE,易得OE〃BG,进而可得DE=EG=GC；

设0。的半径为x,则=二无，证明ACGBSAQM,结合相似三角形的性质可得

3

AD=3GB=-x,在RtADBG和RtAADB中，由勾股定理可得DB?=DG?-G4=皿?一仞2,

代入数值并求得x的值，即可获得答案.

【详解】(1)证明：〈AB是。。的直径，

ZADB=90°,

/DAB+/DBA=90°,

•AD=AD9

ZAED=ZABD,

•.・ZPAD=ZAED,

ZPAD=ZABD,

/.ZBAD+/PAD=/BAD+ZABD=90。,

即NR4B=90。，

PA±AB,

又•「AB是。。的直径，

...PA是0。的切线；

(2)如图，连接OE,EB,

AE平分NS4D,

「・ZDAE=ZBAE,

/.DE=BE=1

「A5是。。的直径,

/.AD±DB,AE±EB9

ZADF=ZBEF=90°,

:6E=6E

ZDAE=/DBE,

tanZEBF=tanZDAE=—,

2

•EF_1

••EB-2'

/.EF=-EB=~-

229

(3)如图，过点3作5G〃AD,交。。于G,

•.・OA=OE,

ZOEA=ZOAE,

*/AE平分/BAD,

，ZDAE=ZAEO,

，ZDAE=ZOEA,

/.AD//OE,

OE//BG,

*/AO=OB=BC,

：.DE=EG=GC,

设00的半径为x,则G2=：OE=；x,

AD//BG,

：./CGB=ZCDA,ZCBG=ACAD,

/.SGBs&DA,

•CGGB_1

•*CD-AD-3，

3

/.AD=3GB=-x,

2

VAD±DB,AD//BG

DBLGB,

;DE=1,

「・DG=2DE=2,

在R3D3G中，DB2=£>G2-GB2,

在RtAADB中，DB"=AB"-ADr,

即4-gx）=（2尤）2一11,

整理可得Y=2

解得x=&或x=-应（舍去），

。。的半径为加.

【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角、平行线的判定与性质、相似三角

形的判定与性质、平行线分线段定理、三角函数、勾股定理等知识，正确作出辅

助线，综合运用相关知识是解题关键.

6.⑴见解析

（2）84-：

【分析】（1）连接。C,利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性

质，证明OCLCD.

（2）根据切线性质，计算〃OC=60。，得到等边三角形AfiOC,根据特殊角的三角

函数值，求得@8.根据5阴影扇形计算即可；本题考查了切线的证明，

三角函数，圆周角定理，熟练掌握切线的证明，三角函数，圆周角定理是解题的

关键.

【详解】（1）连接。C,

,/OA=OC,

ZOAC=ZOCA.

AB为VABC外接圆GO的直径，

ZACB=90°.

：.ZABC+ZOAC=90°.

"：ZABC=ZACP.

：.ZACP+ZOCA=90°.

NOCP=90°.

OC±DC.

.\尸。是。。的切线.

(2)连接”,

丁尸。是。。的切线,

/.NOCD=90。，

*/"=30。，

/.ZDOC=60°,

OB=OC,3C=4,

••必。。是等边三角形,

/.OB=OC=BC=4,

tanD=tan30°=----

CDCD3

解得8=4百,

S阴影-S^ooc-S扇形3。。,

2

0144/760x^-x4

S阻影=-X4X4V3-------

阴影2360

=84一.

7.(1)见解析;

⑵百-1.

【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理；解题关键是熟

练掌握切线的判定方法.

(1)先由8C=创求出〃CB=NG4B,再根据三角形内角和求出ZABC=90。，即可得出

结论；

(2)先求出半径，再根据勾股定理即可求出OC,得出8.

【详解】(1)证明：VBC=BA,ZCAB=45°,

/.ZACB=ZCAB=45°9

：.ZABC=180°-45°-45°=90°,

即AB_L5C,

，BC是O。的切线；

(2)解：由(1)可知，ZABC=90°,

AB是。。的直径，

OD=OB=-AB=\,BC=2,

2

••oc=V22+I2=y/5,

/.CD=OC-OD=y/5-l.

8.(l)ZAZ>C=120°

⑵BE菩

【分析】

(1)连接。8,则可得N&4C+ZAO3=90。；由菱形的性质及等腰三角形的性质得

ZAOB=2ZOCB=2ZBAC,由此可求得NOBC,进而求得结果；

(2)连接OR直，过点5作3尸上AC于尸，过点。作ON,助于N;由菱形的性质

及勾股定理可求得3F的长；设圆的半径的广，则在RLM。中由勾股定理可求得厂

的值；

由面积相等则可求得ON，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得的.

【详解】(I)解：如图，连接。8,

丁是0。的切线，

/.ZABO=90°,

即ZBAC+ZAOB=90°；

•••四边形"CD是菱形，

/.ZBAC=ZOCB,ZADC=ZABC；

.*OB=OC,

/.ZOCB=ZOBC9

ZOCB=ZOBC=ZBAC,

，ZAOB=2ZOCB=2ZBAC,

ZOBC+2ZOBC=90°,

/.=30°,

/.ZADC=ZABC=ZABO+ZOBC=120。；

(2)解：如图，连接ORO石，过点5作瓦JAC于尸，过点。作ON，成于N;

:四边形"CD是菱形，BF±AC,

：.AF=-AC=4,

2

由勾股定理得BF=ylAB2-AF2=V24-16=2叵;

设圆的半径的广，则。/=4-r，

在RtZXMO中，由勾股定理得：(2A/2)2+(4-r)2=r2,

解得：-3,

JOA=AC-OC=5；

；

'S△A.Cn/Rtf=2-OABF=-AB2ON7,

.八“OABF5x2近5A

•・(JN=----------=------7=—=-----；

AB2A/63

在RCO3N中，由勾股定理得：BN=dOB2-OM=卜*=与,

.OB=OE,ONLAB,

【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，

综合运用这些性质与定理是解题的关键.

9.(1)ZABC=55°,NABD=45。

(2)27.5°

【分析】(1)根据"是。。的直径，得到ZACB=ZAT®=90。，

结合NBAC=35。，可求/ABC；结合AD=3£>,可求ZABD=Na4D=45。.

(2)连接OD,则NOr®=90。，根据。尸〃AC得/无9=/尸=35。，

继而得到“8=55。,根据OA=OC得至I]ZBAC=ZOCA=35°,继而得到

ZBOC=ABAC+ZOCA=70°ZDOC=Z.POC+ADOP=125°,根据等腰三角形的性质计算

即可.

【详解】(1)TAB是。。的直径，

ZACB=ZADB=90°,

'：ZBAC=35°,

：.ZABC=90°-ABAC=55°；

*.*AD=BD,

ZABD=ZBAD=45°.

(2)连接on,丁方是。。的切线，

I.ZODB=90°,

'/DP//AC,

/.ZBAC=ZP=35°9

/.2OOP=55。,

OA=OC

/.ZBAC=ZOC4=35°,

/.ZBOC=ABAC+ZOCA=70°,

/.ZDOC=ZPOC+ZDOP=125°,

OD=OC

180。—125。

ZOCD==275。.

2

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理,

平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，三角形外角性

质，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键.

10.(1)4、比直径长

(2)PA=126

【分析】(1)利用弧长公式求解即可.

(2)解直角三角形求出尸4即可.

【详解】(1)解：连接。4,

■■■44比直径长.

（2）解:连接44,

・••尸4是。。的切线,

/.PA7_LAJA7,

,"44=9。°,

•・・/尸44=60。，A4=i2,

PAj=44tan60°=120.

【点睛】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角

三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型.

11.（D4AJ匕直径长；

（2）PA1IA7A1,见解析；

⑶10瓦

【分析】（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小；

(2)连接44,44,求出/44A=90。，即可得出垂直的位置关系；

(3)根据圆周角定理求得"44=；404=60。，又即是。。的切线，利用三角函

数求解即可.

【详解】(1)由题意，ZA7OA.=120°,

120^x510万1八

，44的长==——>10,

1803

比直径长.

...ZA7A1A=9O°,

...PA，4A

(3)：尸4是。。的切线,

，尸4，44,

...ZPA.A=90°,

:/必4=60。，44=1。,

【点睛】此题考查了切线的性质、弧长公式、圆周角定理以及勾股定理等知识,

解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.

12.(1)详见解析

(2)2

【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判

定定理进行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解；

(1)连接O。，根据。尸，4)和=证明即可；

(2)根据sinC=；得出/C=30。，/COD=60。，得出△。⑦是等边三角形，再根据三角

函数求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连接“，

-.-OFLAD,

:.ZAEO=90°,

^OAD+^AOF=90°,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

­.•ZADC=ZAOF,

ZADC+ZODA=90°f

NODC=90°,

/.OD1CD

・・PD是O。的半径，

丁•CD是0。的切线；.

(2)解：在RtZXOOC中，sinC=g,

.\ZC=30°,ZCOD=60°9

OA=OD,

•^OAD是等边三角形，

/.ZOAD=60°,

,••M是直径,

:.ZBDA=90°,

BDBD26

在RtZXABD中,

tan^BADtan60°6

13.(1)|

(2)见解析

(3)ZAFC=45°,理由见解析

【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到N创。=9。。，再根据正切函数定义

tanZABC=，代入AC=5、扉=15计算得出结果.

An

AF

(2)先由AE2=CE.£>E得出苗=弁，结合ZE=Z£证明△ACBSWUJ,得到/C4E=ZD,

DEAn

再通过圆的性质及等量代换推出NE£+NOAC=9。。，即/。4E=90。，从而证明结论.

（3）过点C作“，必，先利用平行线性质得出NCyG=NCBA,结合三角函数值求

出FG长度，再通过相似三角形得出PG长度，进而得到五P=04,证明力切三AAS,

得出FH=CH,根据等腰直角三角形的性质证明ZAFC=45。.

【详解】（1）解：.•FC是。。的直径，

/.ZBAC=90°,

在RtZXABC中，tanZABC=——,AC=5,AB=15

AB9

：.tan/ABC=』=!

153

（2）证明：如图，连接A。，

.AECE

9，~DE~~^*

•：ZE=ZE,

：./\ACE^ADAE,

.\ZCAE=ZD.

-：OB=OA,

..NB=NBAO,

・・•"=",

:.ZCAE=ZBAO.

・・・5C是。。的直径,

:.ZBAC=90°,

.\ZBAO+ZOAC=90°,

ZCAE+ZOAC=90°,即ZOAE=90°,

:.OA±AE.

••・OA是。。的半径，

是。。的切线.

(3)NAFC=45。，理由如下：

如图，过点C作“，桁，垂足为H,CH与FG交于点P,

/.FG[IAB,

：.ZCFG=ZCBA,

：.tanZCFG=tanZCBA=-

3,

•;CG=2,

:.FG=6,

•・•ZAFG=ZPCG,ZAGF=ZPGC,

•••△AFGsAPCG,

.FGAG

**CG-PG'

.6_J_

"i-PG'

：.PG=1,

：.FP=5,

：.FP=CA,

APFH^AACH(AAS),

FH=CH,

■.■ZFHC=90°,

，△八才是等腰直角三角形，

:.ZAFC=45°.

【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及

三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和

计算.

14.(l)ZABC=70°,ZCDM=55°

(2)473

【分析】(1)由圆周角定理得4cB=90。，即得NABC=90。-NC43=70。，进而根据等

腰三角形的性质得NOCB="3C=70。，即可得ZDCM=/BCM=；/。惚=35。，最后根据

ZDMC=90。即可求解；

(2)由切线的性质得NOG3+4c尸=90。，进而得NO