等比数列的概念（8大题型）

4.3.1等比数列的概念

【题型1等比数列的定义】

1、(2021.陕西延安.高二校考阶段练习)下面各数列是等比数列的是()

(1)-I,-2,-4,-8；

(2)1,2,3,4;

(3)x,x,x,x；

,..1111

(①1，丁不

A.(l)(2)(3)(4)B.(l)(3)(4)C.(l)(4)D.(l)(2)

(4)

【答案】c

【解析】对于(1),公比为2,即为等比数列；

234

对于(2)由于‘二二，即(2)不是等比数列；

对于(3)当尤=0时，不是等比数列；

对于(4)公比为:，即为等比数列.故选：C.

2、(2022.高二课时练习)已知数列a,«(1-«),，…是等比数歹U，则实数a的取值范

围是()■

A.owlB."0或。C.a^OD.aA0日ail

【答案】D

【解析】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0,

所以aw0且1-awO,所以a*0且awl.故选：D.

3、(2023•贵州黔东南•高二校考阶段练习)数列1,1,1........1,…必为()

A.等差数列，但不是等比数列B.等比数列，但不是等差数列

C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列

【答案】C

【解析】数列1,1,1，…，1,…是公差为0的等差数列，

也是公比为1的等比数列.故选：C.

4、（2022.高二课时练习）已知数列｛m｝的前〃项和S〃=m-1（。是不为零且不等于1的常数）,

则数列｛劭｝（）

A.一定是等差数列B.一定是等比数列

C.是等差数列或等比数列D.既非等差数列，也非等比数列

【答案】B

【解析】当ri>2时，an=Sn-Sn-1=（a-V）an-1；

当时，=满足上式.

/.an=（a-l）an」,nUN*.

・••器=J故数列｛即｝是等比数列.故选：B

un

5、（2023•湖南长沙•高二长郡中学校考期中）已知数列｛%｝是等比数列，那么下列数列一定是

等比数列的是（）

A.B.｛anan+,｝C.｛旭（明｝D.｛4+%+J

【答案】AB

【解析】由题意知｛〃,｝为等比数列，设其公比为q（q*o）;

•••数列L是以2为首项「为公比的等比数列，故A正确;

IAJ/q

对于B,受Q=等=d,

unun+\un

•••数列佃4“｝是以为首项,42为公比的等比数列，故B正确；

对于C,当%=1时,ig（d）=o,数列作（端）｝不是等比数列，故c错误；

对于D,当4=-1时,…用=0，数列也+%｝不是等比数列，故D错误.故选：AB.

【题型2等比数列的通项与基本量】

1、（2023•甘肃甘南•高二校考期中）在等比数列｛4｝中，%=1,%=9，则%=（）

A.3B.3C.3或3D.

【答案】B

【解析】令等比数列国｝的公比为夕,贝,

所以/=9,解得/=3,所以％=砧2=卜3=3.故选：B.

2、（2023•辽宁沈阳•高二康平高级中学校联考阶段练习）等比数列｛%｝中,若

q+%+q+a4=3（q+a3）,则公比为（）

A.1B.2C.1D.2或一2

【答案】B

【解析】设等比数列｛4｝的公比为虱尸。）,

因为q+为+/+/=3（6+%），可得/（l+q+q?+，）=34］（1+/）,

所以l+4+q2+l=3（l+/）,即l+q2+q（l+q2）=3（l+d）,即如+:）=2（1+/）,

因为1+〃％。，所以4=2.故选：B.

3、（2023•河北衡水•高二衡水第二中学校考期中）在等比数列&｝中,4%,%,2%成等差数

歹U,贝U&f空=（）

U14

A.1B.JC,2D.4

24

【答案】C

【解析】设等比数列也｝的公比为q（qwo）,

由于4a5,%,2&成等差数列，

所以2%=4%+2〃6，%=2%+々6应2=2+.应2=2,

22

所以仁组"应.故选：C

%4卬41

4、（2023•云南曲靖・高二曲靖民族中学校考期末）在等比数列｛4｝中,%+〃2=W（%+，则｛%｝

的公比可能为（）

A.-1B.-2C.2D.4

【答案】ABC

【解析】设｛%｝的公比为q,所以卬+生”3而+卬力,

解得4=-1或4=一2或“=2.故选：ABC.

5、（2023・高二课时练习）已知等比数列｛4｝是递减数列,若用,的是方程/一5x+4=0的两个

根,求生和q.

【答案】…、q=；

【解析】由Y一5x+4=0,解得士=1、尤2=4,

因为％,应是方程£一5》+4=0的两个根,且等比数列｛%｝是递减数列，

所以4=4,%=1,所以四二。“？，则1=4/,解得4=g或4=-g,

当4=；时〃“=4'（；］符合题意，

当"=时4=4X,数列｛4｝的奇数项为正数，偶数项为负数，不符合题意，

所以4=4、q=；.

【题型3等比中项及其应用】

1、（2022.广西梧州•高二校考期中）6-1与6+1的等差中项和等比中项分别是（）

A.V3,±V2B.A/3,V2C.V3,-V2D."±2

【答案】A

【解析】与1+i的等差中项是君T；6+I=G,

百-1与6+1的等比中项是球6-1）（6+1）=±®故选：A

2、（2023•上海普陀•高二校考期中），七=疑”是“G是小b的等比中项”的（）条件

A.既不充分也不必要B.充分不必要C.必要不充分D.充要

【答案】A

【解析】当G=a=》=0时，满足G=«F,不满足G是a、。的等比中项；

当G是外。的等比中项，如a=l/=4,G=-2，但不满足G=«F,

故“G=”是“G是a、6的等比中项”的既不充分也不必要条件故选：A

3、（2023•河南信阳•高二信阳高中校考阶段练习）已知数列｛4｝是等比数列，函数y=x1—5x+6

的零点分别是。2M10,则“6=（）

A.2B.±V6C.±73D.76

【答案】D

【解析】由题意可得〃2〃10=6>°，〃2+。10~5>°，所以的>°，％0>°,

故必>。,且&=J%4o=",故选：D

4、（2021.河南洛阳.高二校考阶段练习）等比数列｛q,｝的各项都为正数,且a5a64a7=18,贝[]

log36Z]+log3a24--1-log3tz10等于（）

A.12B.10C.8D.30

【答案】B

【解析】等比数列｛%｝的各项都为正数，

。5。6=。4。7,「•。5。6+。4。7=2。5。6=18,/.=9,

log3al+log3a2+…+logsGo=log3-a,■■-a10）=log3（a5a6丫=10.故选：B

5、（2023•甘肃兰州•高二校考期末）已知数列&｝为各项均为正数的等比数列，若

aa

a2a4+2a3a5+46=25,贝[]%+%=（）

A.5B.-5C.±5D.无法确定

【答案】A

【解析】由等比数列的性质可得：出%=片,4a6=s，

2

所以〃2%+2〃3〃5+〃4〃6=25可化为a；+2/%+d=25,gp（a3+a5）=25,

又因为数列｛为｝为各项均为正数，所以%+%=5,故选：A.

【题型4等比数列的性质】

1、（2022.全国.高二课时练习）设&｝是等比数列，且4+%+/=1,%+q+a4=2，贝[]%+Q7+=

)

A.12B.2C.30D.32

【答案】D

【解析】设该等比数列的公比为“,

因为q+/+q=l,

所以由名+生+。4=2=>a^q+a2q+a3q=1q{a}+々2+%)=2=4=2,

所以〃6+%+〃8=〃彼5+%夕5+Q3g5=q53+%+/)=25X]=32,故选：D

2、（2023•辽宁葫芦岛•高三校联考阶段练习底等比数列｛4｝中，已知%%%=蜷，则必有（）

A.%=1B,a15=1C.%3=1D.%4=1

【答案】D

【解析】根据等比数列下标性质，由Q4a5〃9=a?—>2a14=〃2—*〃14=。2,

在等比数列｛见｝中,各项均不为o,所以必有知=1.故选：D

3、（2023•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期中）已知正项等比数列｛q｝中,%出也=4,则

log?4+log22+…+log2a2024=（）

A.1012B.2024C,21012D,22024

【答案】B

【解析】由题意知正项等比数列｛q｝中,%%侬=4,

则〃1%024=。2a2023=…=。1012〃1013=4/

010122024

log2aA+log26t2+•••+log2a2024=log2（aAa2…-a^^log^a^'^=log24=log22=2024,

故选：B

4、（2023•全国•模拟预测）已知各项均为正数的数列｛外｝满足对任意的正整数机,“都有

A.：B.叵C.272D.472

84

【答案】B

【解析】解法一对于勺+“=。1A，取根=1,得%+i=W“，

所以数列｛%｝是首项为%,公比为由的等比数列，

所以为=《，贝！］。6=q6=8，得d=20,

FJ匚I”+々4々5__a3+a6_1_V2

r/T以i2~i—i―~^3~~A1

a2al+a6a3a6+a3a9a6+a944

解法二对于4+”=%。",取根="=3，得&=d,又。6=8,

所以为=2虚,贝口魅+%'=一+—R=a=述=也.故选•B

a2al+a6g4+4484

5、（2023•云南昆明•高三昆明市第十中学校考开学考试）设小｝是等比数列,且q+为=7,

生+&=21,贝[]%+%（）=.

【答案】189

【解析】由国｝是等比数列，设其公比为“,

贝（]6+44,Q3+4fa5+a8,%+4。构成等比数列，且公比为二,

「%+%=/（%+%）,；"=3,

贝[]%+a10=44（/+必）=21x9=189.

【题型5等比数列的证明】

1、（2023•全国•高二专题练习）记名为数列｛q,｝的前〃项和，已知吗+（时1）%++a“=2S"-1证

明：电,｝为等比数列；

【答案】证明见解析

【解析】由已知得叫+（"T）%++a„=2S„-l（

（“+1）0[+7吗++2an+an+l=25„+1-1,

相减可得,Oi+a2++a„+an+i=2%-2S”.

因为■+/++a”+4+i=S“+i,

所以有S“+i=2s用一2S“,即S,!+1=2S„.

”=1时，由已知可得4=2S「l=2a「l,所以％=1,H=1,

所以，｛S.｝是首项为1,公比为2的等比数列.

2、（2023・高二课时练习）已知数列｛““｝满足：4=1,%=2%+3g2）.

（1）求证：｛4+3｝为等比数列；

(2)求也｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析；(2)%=*-3

【解析】(1)已知递推公式4=2%+3,两边同时加上3,得：«„+3=2(a„-1+3)(n>2),

因为%>。，67〃+3>0，所以^^=2(〃22),

Un-\十J

又%+3=4*0，所以数列｛%+3｝是以％+3=4为首项、以2为公比的等比数列.

(2)由(1)a„+3=4x2"-1=2"+1,贝［］%=2向—3(〃eN*).

2

3、(2023・天津北辰•高二校考期末)已知数列｛4｝的前”项和为S“，且S"=—在数列间中,

26"+1=%(此2),4=0.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)证明：1+1｝是等比数列.

【答案】(1)a,=n；(2)证明见解析

2

【解析】(1)因为数列「“｝的前"项和为S",且S”号

当”=1时,a,=S,=L^=1,

n-\)"+(7?n2+nn1—n

当心2时，q=S-e=F-1)----=n,

222

1

%=也满足%=〃,故对任意的〃wN*,an=n.

(2)当〃N2时,26“+1=岫，可得么=；%一:，所以，么+1=；(%+1),

且4+1=1,则4+1>。,&+1=，4+1)>0,L,

以此类推可知，对任意的〃eN*,2+1>。,所以,^=^>2),

因此,数列也+1｝是公比为g的等比数列.

4、(2023下•甘肃张掖•高二高台县第一中学校考阶段练习)已知数列｛%｝的首项,

3%

2%+1

(1)证明：数列］j为等比数列；

(2)求数列｛见｝的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）%=六

【解析】（1）因为>=胃卢=[+』，所以J-T=3T，

un+l^unun+l^un

所以数列弓t1是首项为I,公比为g的等比数列.

（2）由（i）可求得LI=|X[T,所以，=2、]]+1=亨,即为=

an3⑶an<3；33+2

5、（2023下•高二课时练习）数列｛%｝中，4=2,­3，且｛%/｝是以3为公比的等比数列，

记2=%1+%”（〃wN*）.

（1）求的、为、%、%的值；

（2）求证：也｝是等比数列.

【答案】（1）%=6,4=9,%=18,4=27;（2）证明见解析

【解析】（1）由数列]“｝中,4=2,…，且数列｛。1A+J是以3为公比的等比数列，

可得知a,+i=6-3"T,则%%=6x3=18,解得％=6,

又由。3。4=6x3~=54,解得。4=9,

同理可得%=18,4=27.

（2）证明：由。/用=6-37，可得a.）,”=6.3",贝！]乎=3,

Un

所以数列｛4｝的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且首项分别为2,3,公比为

3,

a2x

所以2n-i=3"T,a2n=3x3"T=3",

因为“=a2n-l+。2n,所以=3且4=%+g=5,

b“2x3+3

所以数列出｝是首项为5,公比为3的等比数列.

【题型6由等比数列构造新数列】

1、（2022.宁夏银川.高三银川一中校考阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家

朱载埼发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理

论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影

响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次

成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为（）

A.2aB.C.213D.2^3

【答案】B

【解析】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为｛“/,公比为4,

贝眄=1,&=2,所以靖2=^=2,即心25,

/j_A4j_

所以新插入的第4个数为«5=面=2五=.故选：B.

2、（2023•福建福州•高二福建省福州第一中学校考期末）已知数列｛%｝是等差数列,且

&=0,%+g+%=6，将出，%，%，%去掉一项后，乘吓三项依次为等比数列也｝的前三项，贝弛=

（）

A.22fB,2,,+2C.23-"D.2,1+3

【答案】c

【解析】在等差数列｛%｝中，3%=+〃4+%=6，解得%=2,而/=。，即有公差,

等差数歹［］｛为｝的通项氏=%+（〃-4时=6-〃，则的=4,%=3,%=2,%=1,显然去掉的,

3%,%成等比数列,贝（］数歹U也｝的首项为4=g=4,公比4=^=3,

所以2=丽"T=4x（g）i=23-.故选：C

3、（2023•山东青岛•高二统考期中X多选）已知数列也｝是一个无穷等比数列，前”页和为S”，

公比为4,则（）

A.将数列｛q｝中的前左项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列

B.取出数列｛%｝的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列

C.从数列｛%｝中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列

D.数列不是等比数列

【答案】ABC

【解析】由于数列&｝是一个无穷等比数列，前"项和为s.,公比为q,

对于A：将数列0｝中的前上项去掉,

剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，故A正确；

对于B：取出数列a｝的偶数项，

剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列且公比为“2,故B正确；

对于C：从数列以｝中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列且公比为,

故c正确；

对于D：数列｛〃“｝是一个无穷等比数列，

故数列仍是公比为一的等比数列，故D错误.

Van）]

故选：ABC.

4、（2023•北京•高二北京市八一中学校考期中）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正

项等比数列,则中间三个数的积等于.

【答案】27

【解析】依题意外=1,“5=9，所以=9，所以“3=3或。3=-3（舍去），

所以。2“3。4==27

5、（2023・上海•高二校考期中）设为、«2、…、生,是各项不为零的等差数列，壮4,且公差必0,

若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则满足题意的所有数对

1为

a

【答案】（4T）,（4,1）/（4,1）,（4,-4）

【解析】设数列｛q,｝的公差为应

则各项分别为：的,%+d,%+2d/…6,且qWO,dw0

假设去掉第一项,则有（4+d）（«1+3d）=m+2d）2,解得"=。,不合题意；

去掉第二项，有qW+BdHai+Zdy,化简得：4/+q"=0即d（4d+q）=o，解得八斗，

因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项〃+4d=。）,

所以数对［吟）=（4,一4）;

去掉第三项,有q（%+3d）=（4+d）2,化简得：/一=。即d（d-4）=。,解得d=q

则此数列为:a,2a,3a,4a,...,此数列仍然不会出现第五项，

因为出现第五项,数列不为等比数列，所以数对，，?/（4」）；

去掉第四项时，有q（q+2d）=（q+d）2,化简得：4=0,不合题意；

当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，

即"=0,不合题意.

所以满足题意的数对有两个为（4,-4）;（4,1）.

【题型7等比数列的单调性与最值】

1、（2023•北京房山•高二统考期末）设各项均为正数的等比数列｛%｝的公比为q，且2=bg2%,

贝！］“也｝为递减数歹厂是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】由题设4,=4/1>0且4>°,贝时“=log2%+（"T）log2q="log2q+log2%,

q

若也｝为递减数列,故log2“<0,则。<4<1,充分性成立；

若0<”1,则1呜”0,易知也｝为递减数列，必要性也成立；

所以“｛〃｝为递减数列"是“。<”广的充分必要条件.故选：C

2、（2023•广西•统考模拟预测）已知正项等比数歹心。“｝满足。8=8,勺+4@=：,贝必出取最

大值时"的值为（）

A.8B,9C.10D.11

【答案】B

【解析】设等比数列｛%｝的公比为如>。）,有包，=/+4/g,

由函数〃力=炉+4">0）单调递增，且,可得4―

有%=2,%。=g,由数列｛a,,｝单调递减,

所以4取得最大值时〃的值为9,故选：B.

3、（2023•山西忻州统考模拟预测）在等比数列｛%｝中，若%+。3=62,〃2+〃4=31,则当的2a„

取得最大值时，"=

【答案】6

【解析】在等比数列｛4｝中，ax+a3=62,a2+a4=31,

a、+u1

所以公比A

所以q+%=。1++1=62,解得％=学,故q=当xg

易得见单调递减，且%>。，

E^_31,31,

因为必=为>1,%=加<1，

所以当时,4>1,当"27时,0<。“<1,

所以当％的%取得最大值时，〃=6.

4、（2022.黑龙江齐齐哈尔.高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列｛4｝的公比为q,

前n项积为I,并且满足条件卬>1,>1,卜<。，则下列结论正确的是（）

A.。6a8>1B.0<q<lC,4>1D.1没有最大值

【答案】B

【解析】在等比数列｛4｝中,由4>1,,得才。>1,即有4>。,4>。,

若心1,则%>1,%>1,止匕时片>°,与已知条件R<0矛盾，

因此。<”1,B正确，C错误；

显然数列小｝是递减数列，由丹<°，得％<1<%,贝心％=婿<1,A错误;

由于M=,当〃eN*,〃M5,31,而£>0,则小乜,当心6时,*<1,则

1n

&i<T〃,

因此当〃<6时，（逐渐增大，当心6时，1逐渐减小,

所以7■的最大值为"，D错误.故选：B

5、（2023•甘肃武威・高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）（多选）关于递减等比数列

｛4｝,下列说法正确的是（)

A.当q>0时，0<”1B.当q＞。时，q＜。

C.当4<。时,q>iD.—＜1

4+1

【答案】AC

【解析】A.当%>。，0<4<1时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项,

所以数列｛4｝递减，A正确；

B.当4>。,4<。时，｛/｝为摆动数列，故B错误；

C.当4<。,4>1时,数列｛4｝为递减数列，故C正确；

D.a用-a”=（q-1）<0，当.>。时,q<\止匕时马->1，

（an+\

当生<0时,…，子<1,故D错误.故选:AC.

Un+\

【题型8等比数列的实际应用】

1、（2023•浙江杭州•高二统考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相

生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单

音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于期.而早在

16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重

要贡献.若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为（）

C1C1

A.5/B.24yC.4/D.2。

【答案】B

【解析】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为了,公比为皿的等比数列｛4｝,

第四个单音的频率为4="（加）3=2：/.故选：B.

2、（2023•河北保定•高二校联考阶段练习）提丢斯一波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个

简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维・提丢斯发现的，后来被柏林天

文台的台长波得归纳成一条定律，即太阳系第〃颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A.U.

为单位）构成数列｛%｝,且数列｛巩｝从第二项开始各项乘以10后再减4构成一个等比数列.

已知4=1,%=1。，则太阳系第5颗行星与太阳的平均距离为（）

A.1.6B.2C,2.8D,200

【答案】c

【解析】设数列｛q,｝从第二项开始各项乘以10再减4得到的等比数列为也｝,公比为q,

因为4=1,——,所以d=6,%=96，所以八*=16,所以"2.

A+4

因为勿=%L=3x2"T,所以”=3x23=24,故％=曦-=2.8.故选：C.

3、（2023•广西柳州•高三统考阶段练习）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗,

苗主责之粟9斗,猪主日：“我猪食半羊.”羊主日：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”

今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔

偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马

的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪

的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（）斗.

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A.-B.1C.3D.y

【答案】B

【解析】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2,

设猪的主人赔偿的粟斗数为x,