福建省厦门某中学20242025学年高一年级下册3月月考 数学试卷（含解析）

福建省厦门第六中学2024母025学年高一下学期3月月考

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知万，瓦1均为单位向量.若2=3+八则行与1夹角的大小是（）

71—兀27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3百，c=2,A+C=—,则6=

6

A.y/13B.6C.7D.8

3.若向量满足|M|=3,g-B|=5,6-5=1,贝！（）

A.72B.35/3C.2A/3D.372

4.已知圆柱的底面半径与球的半径均为1,且圆柱的侧面积等于球的表面积，则

该圆柱的母线长等于（）

A.1B.2C.3D.4

5.在VABC中，AB=5,BC=6,AC=1,则VA3c的面积为（）

A.5百B.2岳C.475D.6a

6.若圆锥的轴截面是一个顶角为三，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的

所有截面中，截面面积的最大值为（）

A.乎B.2月C.ID.3百

7.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中

两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过

点尸作两坐标轴的平行线，其在X轴和y轴上的截距。力分别作为点尸的X坐标和y

坐标，记尸（。力）.若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为凡则该坐标系

中”（玉,弘）和两点间的距离为（）

B.一尤2)2+(%-%)2-2(%-%)(乂-％)8$)

22

C.A/(x1-x2)+(y1-y2)+2|(x1-x2)(y1-y2)|cos6>

D.1(%一%『+(X-%『一2|(占一尤2)(M一%)|cos夕

8.湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颍的《黄鹤楼》而

名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平

面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出

人与镜子的距离风.沿直线将镜子向后移距离再次从镜中观测楼顶，并测量出

此时人与镜子的距离网（网>叫）.若小张的眼睛距离地面的高度为拉，则黄鹤楼的

高度”可表示为（）

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列说法中，错误的是（）

A.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

B.正四面体是一种特殊的正三棱锥

C.平行六面体是一种特殊的斜四棱柱

D.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个

边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是2n

10.已知VA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）

A.若sinA>sinB,贝!JA>B

B.若/+>2<02,则VA3C为钝角三角形

C.若acosA=AosB,则VA3C为等腰三角形

D.若。=2,4=30。的三角形有两解，则。的取值范围为（1,2）

11.已知点尸在VA3C所在的平面内，2eR,则下列命题正确的是（）

A.若西・丽=丽.k=汽.西，则点P是VA3C的垂心

B.^（PA+PB）-AB=（PB+PC）BC=O,贝I］同=|啊=|园

/____________、

__,AD4d

C.若福=%口一+L——，则动点尸的轨迹经过VA3C的内心

|AB|sinB因sinC

-►;1—>;1—►

D.若AP==——+--AB+口——+-AC,则动点尸的轨迹经过VABC

|AB|cosB2j^|AC|cosC2,

的外心

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知平面向量£=（2,1）,5=（-1,3）,则石在£上的投影向量为（结果

用坐标表示）

13.在正四棱台中，AB=2，A4=LAA=0，则该棱台的体积

为.

AT

14.已知VABC中，点〃在边8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当土取得最

AB

小值时，BD=.

四、解答题（本大题共5小题）

15.已矢口a=（-l,0）,b=（2,1）.

⑴若丽=21B，配=2+/且A、B、C三点共线，求加的值.

（2）当实数上为何值时，人之一方与Z+2S垂直？

16.如图，在菱形ABCD中，BE^-BC,CF=2FD.

2

W^EF=xAB+yAD,求3x+2y的值；

⑵若|通1=6,ZBAD=60°,求前.丽.

17.海岸上建有相距40g海里的雷达站GD,某一时刻接到海上6船因动力故障

发出的求救信号后，调配附近的4船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为

a=ZBCA=45°,/3=ZACD=30°,y=ZBDC=45°,3=ZADB=15°.

（1）救援出发时，力船距离雷达站C距离为多少？

（2）求A3之间的距离，并判断若/船以30海里每小时的速度前往6处，能否在3

小时内赶到救援（说明理由）？

18.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥下部是正四

棱柱与G2(如图所示)，且正四棱柱的高OQ是正四棱锥的高PQ的4

倍.

(1)若AB=6,PO、=2,求该几何体的体积.

(2)若正四棱锥的侧棱长为6,PO、=2,

(i)求正四棱锥尸-A用GR的侧面积.

(ii)若Q,N分别是线段4片，尸片上的动点，求AQ+QN+NG的最小值.

7E

19.已知。，b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，满足A=§,

A/3OCOSC+asinC=2厉.

⑴求6；

(2)若VA3C为锐角三角形，且外接圆圆心为。，

(i)求前•衣的取值范围；

(ii)求AOAC和△O3C面积之差的最大值.

参考答案

I.【答案】C

【详解】己知&=5+八两边平方可得价=(5+1)2.

则(石+02=斤+2方］+12,所以花2=52+251+乎.

因为a,"K均为单位向量,所以।商|=|5|=忆|=1.

根据商2=1万「=1,b2=\b|2=1!?2=1c|2=1.

rr1

将其代入32=后+251+12可得：l=l+2b-c+l-贝1］八。=一5.

1rr11

设5与乙的夹角为。，0<0<71,且|6|=|cr|=l,b-c=--,可得一e=lxlxcos。，即

八1

cose=——.

2

一27r

因为owew万，所以e=y.

则在与才夹角的大小是9看77.

故选C.

2.【答案】A

【详解】：A+C=9，

6

71

：.B=7T_(A+C)=_,

6

*.*a=34，c=2,

-1-由余弦定理可得：b^aSaccosB=J(3后+2,-2X3/X2X曰=屈.

故选A.

3.【答案】D

【详解】由忖一可=5两边取平方，\a-b^=a2-2d-b+b2=25,

则有9-2+麻=25,则网=3立,

故选D.

4.【答案】B.

【详解】设圆柱的母线长为％,则2兀・％=4兀，解得％=2.

故选B.

5.【答案】D

■、辛hjj▼।时、九八AB?+BC?—AC?25+36—491口__.任巾g_r

【详解】由题设cosB=---------------二----------=—,且3为二角形的最大角,

2ABBC2x5x65

所以sinB=口役，则VABC的面积为5=工45・5。5m5=二5乂6、3区=6指.

5225

故选D.

6.【答案】C

【详解】由题意得，圆锥的轴截面t是顶角为9胃IT的等腰三角形，圆锥的母线长为

1=3,

设过圆锥顶点的截面三角形顶角为1，则0＜。(彳，

1Q7rq

则截面面积为S=]/2sina=]Sina,当1=,时，Smax=-,

故选C.

7.【答案】A

【详解】以。为坐标原点，原x轴正方向为x轴，垂直于x轴的方向为y轴建立平

面直角坐标系，

则在直角坐标系下，M^+^cos^^sin0),N(%+y2cos0,%sin夕)，

2

则\MN\=cos0-x2-y2cos9)+sin0-y2sin0\

=-％y+(%-%『+2(%-%)(%-%)os®•

故选A.

8.【答案】A

【详解】

如图，由△ABCs/\poc知：—=!^|,即|oc|=2^,

hH.H

由△。石Fs△尸OF可知——=7—-7,即(OF=―m―,

机2\0F\h

,TTah

则|0日一因=邛「誓=可得”=------

m,一叫

故选A.

9.【答案】AC

【详解】对于A：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱

台，

只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故A错误；

对于B：正四面体是四个面都是全等的正三角形的四面体，

而正三棱锥的定义是：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心

的三棱锥，

因此正四面体是一种特殊的正三棱锥，故B正确；

对于C：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，

而侧棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱，

因此平行六面体不一定是斜四棱柱，故C错误；

对于D：直观图面积为S直=；X2X2X¥=6，

根据直观图与原图面积关系可得5原=20S直=2底,故D正确.

故选AC.

10.【答案】ABD

【详解】对于A,因为sinA>sinB,由正弦定理可得所以A>3,A正确；

对于B,由余弦定理cosC=^2~-<0,可知C为钝角，B正确；

2ab

对于C,因为acosA=bcosB,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

所以2A=23或2A+2B=TC,即VABC为等腰三角形或直角三角形，C不正确；

对于D,因为三角形有两解，所以6sinA<a<b,即。的取值范围为（1,2）,D正确.

故选ABD.

11.【答案】ABD

【详解】A.由丽・丽=而・/=丽•（而一斤）=而.55=0,

即尸3LAC,同理PC_LAB,PAA.BC,则点尸是VA3C的垂心，故A正确；

B.^（PA+PB）AB=（PB+PC）BC=O,则点尸是VABC垂直平分线的交点，则

|PA|=|PB|=|PC|,故B正确；

C.由正弦定理得凶=网，故区同sinB=|Z@sinC,

sinCsinB

AB

故而=彳2(AB+AC\,

网sinB同sin8

一,22►

取BC的中点N，则”

/

2121

D.丽=1-----------+—-AB+]------------+—■AC

cosB2码cosC2,

这+工+工(AB+AC)

cosBACcosC2

设BC的中点为N,1（AB+AC）=W,

AAB

所以Q=+酝

网cosBACcosC

AABBCAACBC

APBC=+AN-BC=-A\BC\\BC\+AN-BC

|A51cos3IACICOSCj

=ANBC，

所以反一而.觉=（衣一布）居=而.居=0,

故点P在的中垂线上，故动点尸的轨迹经过VABC的外心，故D正确.

故选ABD.

2£

12.【答案】

555

【详解】因为£=(2,1),1=(-1,3),

所以£0=2X(-1)+1X3=1,/=22+12=5,

b-aa1-2

所以方在2上的投影向量为

555

13.【答案】城/?«

66

【详解】如图，过人作AM_LAC,垂足为M,易知A"为四棱台A5CQ

的高，

因为AB=2，AB[=1,A4,=V2,

贝|JA。]=』AG=Lx6A四=-,AO=-AC=l-xy/2AB=^2,

22222

故AM=；(AC—AG)=#，则AiM=yl^-AM2

所以所求体积为V=k(4+l+”^jx4l=△叵

326

14.【答案】^-1/-1+A/3

【详解】［方法一］:余弦定理

设CD=2BD=2m>0,

则在AABD中，AB'=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=加+4+2m,

在AACD中，AC?=CZ)2+AZ)2-2CZ>ADCOSZADC=4M2+4-4优，

AC2_4m2+4-4/71_4(疗+4+2m^-12(l+m)

A12

所以AB?-m2+4+2mm2+4+2m=4------------

(m+l)+----

'7m+1

>4——12=4-2^

2+])•/—

V7m+1

当且仅当加+1=-^即加=6-1时，等号成立,

m+1

所以当r三取最小值时，,77=73-1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，0C为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,百)，B(-t,0)

,AC2_(2I『+34/+4j_____12_>4_26

AB"。+丁+3/+2f+4("i)+&

I7/+1

当且仅当/+1=6\即5。=1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=X,CD=2x.由余弦定理得

c?=%?+4+2x

/.2c2+b2=12+6x2,

b2=4+4x2-4x

c2=X2+4+2X

/.2c2+〃=i2+6%2,

b2=4+4x2-4x

令商”则2c0%2=12+6F

12+6x212+6x2

/.t2+2==6>6-2^,

c2x2+2x+4（x+l）+^—

I7X+1J

z2>4-273,

3

当且仅当x+「二I'即x=6+l时等号成立•

［方法四］:判别式法

设8D=x,贝l］CD=2x

在△"£>中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=x2+4+2x,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosZADC=4x2+4-4x,

uur、［AC~4x?+4—4x4x?+4—4x

所以--=--------，记f---------，

AB-x?+4+2尤x?+4+2尤

贝I］（4T）f_（4+2f）x+（4_4r）=0

由方程有解得：A=（4+2/）2-4（4-/）（4-4r）>0

即/_8+4V0，解得：4-2A/3<Z<4+2A/3

所以，min=4—2g,此时X=---=出-1

4-t

所以当空取最小值时，x=y/3-l,即80=&-1.

15.【答案】⑴-;

⑵-1

【详解】（1）由题意可得，通=（＜-!）,前=（2〃-1,相），

且A、B、C三点共线，则可得须〃及S

即-4m-（2m-l）（-l）=0,

解得加=一；；

（2）由题意可得，质-6=（-%-2,-1）,万+25=（3,2）,

因为防一5与商+2B垂直，贝IJ可得3（—左一2）+2x（T）=。，

Q

解得人=-}

16.【答案】⑴-1；

⑵-9；

【详解】（1）因为在菱形ABQ中，BE^BC,CF^2FD.

__.__.__.i__,2__.

^EF=EC+CF=-AD——AB,

23

2I

故x=-],y=/,所以3x+2y=-l；

(2)显然衣=荏+莅，

所以".而=(荏+而)-(5砺一1硝

22

=^1AB+-AD--ABAD……①，

326

因为菱形ABC。，且I通1=6,ZBAD=60°,

故|而|=6,(丽丽)=60。.

所以荏•丽=6x6xcos6(T=18.

?11

故①式二一X62+-X62——xl8=-9.

326

故无5•丽=-9.

17.【答案】(1)120海里

⑵AB=400，能在3小时内赶到救援，理由见解析

【详解】(1)在△ADC中，因为ZACD=3O。，NBDC=45。,ZADB=75°,

所以ZDAC=180°-ZACD-ZBDC-ZADB=30°,ZADC=NBDC+ZADB=120°,

DCACBn406AC

又DC=406,所以由正弦定理可得及-------------------,解得

sinZDAC-sinZADCsin30°sinl20°

AC=120,

所以/船距离雷达站C距离为120海里;

BCDC

(2)在ABDC中，根据正弦定理可得

sinZBDC~sinZDBC

BC40A/3

即------=---------------------------解得BC=4072，

'sin45°sin(180°-45°-30c-45°)

在VABC中，由余弦定理可得AB?=12()2+(40及了一2x120x40&cos45。=8000,

解得A3=40上，

因为4船以30海里每小时的速度前往8处，而史好=越＜3,

303

所以能在3小时内赶到救援.

18.【答案】(1)312

(2)(i)326(ii)京29+81

【详解】(1)由条件可知，正四棱柱的高。0=8,

所以正四棱柱的体积为6x6x8=288,

三棱锥P-A1BC2的体积为:*6x6x2=24,

所以该几何体的体积为288+24=312；

(2)(i)。丘府-？？=4夜,所以4G=40x3=8,

正四棱锥2-A4GR侧面的高为7^二不=2出，

所以正四棱锥的侧面积为4xgx8x26=32石；

(ii)如图，将长方形ABBM，△尸44和展开在一个平面,

P\=PB}=PC}=6,A,耳=B|G=8,设/4耳尸=£

42

cosNA用尸=cosNPBG=cosa=—=—,4g=A\-8AB,=8A/2

63

NA4A=f，所以sina=—^,

43

诉l、j.0°•^24^/^

所以sm2a=2sinacosa=2x—x—=------,

339

cos2a=l-2sin2a==-g,

/4n(兀c)7C_.7C._

cosNA4a=cosI—+2crI=cos—cos2a-sm—sin2a

V2+45/10

~18

当AQ,N，G四点共线时，AQ+QN+NQ最短,

所以AC】={AB；+B、C；-2ABi-BG•cosZA^C

所以AQ+QN+NG的最小值为g729+875.

19.【答案】(1)2

(2)(i)(-2,1)；(ii)也

12

【详解】(1)由正弦定理得,

abb--

则7F一丽石可，即。=—

Tsinl|+C

又也acosC+asinC=2退,则2asin[C+弓)=2^/3,

则2-----z--―•sinfC+—1=2相,即b=2.

Sm3+CV

(2)(i)由祐/=前.网-网=前.前-丽.丽,

因为。为VABC外接圆圆心，即外心,

所以招品△就2」/,BO.BA=-BA=-c2,

2222

由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA=4+c2—2c,

—.—.