辅助圆的妙用（含答案）-2025年中考数学几何模型方法巩固练习

第3讲辅助圆的妙用

模块1本质原理

很多题目中没有出现圆，但是如果利用圆的特征添加圆，能让题目解起来变得十分简单.因此，辅助圆思想是我

们解题中非常重要的工具.

续表

辅助圆的本质原理就是：锁定圆的轨迹，利用圆的性质与定理，确定边角关系.

辅助圆的惯用性质、定理如下：

(1)等量关系定理(图3.1)

在同圆或等圆中，等圆心角(NAOB=NDOC)、等弧(血=前)、等弦(AB=CD)、等弦心距(OF=OG),知一推三;

求证的核心是：△AOB^ACOD.

(2)垂径定理(图3.2)

垂径定理中的五个条件：过圆心的线(AB)、垂直弦(ABLCD)、平分弦(CE=DE)、平分优弧©=丽)、平分

劣弧(女=助)，知二推三；求证的核心是：△COE=ADOE.

图3.1图3.2

（3）圆周角定理及其推论

①同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（如图3.3所示，^AOB=2zC=2ND=2NE）.

②同弧或等弧所对的圆周角相等（如图3.3所示，ZC=Z0=ZE）.

③直径所对的圆周角是直角（如图3.4所示，ZC=ZD=90°）.

D

O“----D

\!

\、/'

\/

V一一，

B

图3.3图3.4

④圆内接四边形对角互补,，外角等于内对角（如图3.5所示，乙4+4BCD=180。,进而/A=/l）.

图3.5

（4）圆幕定理

①相交弦定理（图3.6）.

结论：PA-PB=PC-PD.

证明提示：AAPCADPB.

②切割线定理（PA为切线）（图3.7）.

图3.6.图3.7

结论：PA2=PC-PD.

证明提示:△PACS/XPDA.

③割线定理（图3.8）.

图3.8

结论:PA-PB=PCPD.

证明提示:△PBC^APDA.

模块2场景演练

四点共圆的判定

类型1:双垂直型

1.如图3.9所示,AB是。。的直径,CD是弦，且CO团于点K.E为劣弧一-AC上的一点，连接AE交DC的

032

延长线于点F.求证:E,F,B,K四点共圆.

A

4

B

图3.9

类型2：双锐角型

2.如图3.10所示,四边形ABCD内接于。O,P,Q,R分别是AB,BC,AD的中点.连接QP与DA的延长线交于点

S,连接RP与CB的延长线交于点T.求证:S,T,Q,R四点共圆.

图3.10

类型3：对角互补型

3.如图3.11所示,P为△ABC内一点,D,E,F分别在BC,CA,AB边上，已知P,D,C,E四点共圆,P,E,A,F四点共圆.

求证:B,D,P,F也四点共圆.

图3.11

辅助圆的应用：计算与证明

4.如图3.12所示，在四边形ABCD中,,AB=AC=40,若/.CAD=76",Z.BDC=13。,则乙CBD=^BAC=

A

图3.12

5.如图3.13所示,正方形ABCD的中心为O,面积为5cm2,,P为正方形内一点，且乙OPB=45°,PA-.PB=1:2

，则PB=,.

6.如图3.14所示，平面上有四个点人,0》。其中/人08=120。,/人©3=60。△0=BO,AB=2百,则0C=

7.如图3.15所示，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=BC,点P为△48c外一点（P与C在直线AB异侧），且

乙APB=45。..设点P关于AB的对称点为E,连接PE,CE,线段AB与CE的数量关系为.

图3.15

8.如图3.16所示，已知四边形ABCD,AB\\CD,AB=AC=AD=a,BC=8且2a>b，则BD=

图3.16

9.如图3.17所示,四边形ABCD是正方形,M是BC上一点，ME团4M交NBCD的外角平分线于点E.求证：

AM=EM.

10.如图3.18所示，已知△4BC是等腰三角形，AB=AC=2迎点D在BC上(不与BC的中点重合),连接

AD.作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于点F,连接AE,DE.

(1)证明:A,D,B,E四点共圆.

(2)AD-AF的值是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

A

F

图3.18

辅助圆的应用：定弦定角

如图3.19所示，在△ABC中,AB的长为定值（即AB=a）,ZC的角度为定值（即/C=a）,该图形为定弦定角模型.

情景1如图3.20所示当/C<90。时，点C在小ABC外接圆。O的优弧—4CB上运动（不与点A,B重合）.此

时,OA=OB=OC,NAOB=2/ACB.

情景2如图3.21所示当/C=90。时，点C在AABC外接圆0O上运动（不与点A,B重合）.此时,OA=OB=OC.

情景3如图3.22所示，当/。90。时，点C在公ABC外接圆。O的劣孤-4B上运动（不与点A,B重合）.此

时,+乙4cB=180°.

模型的识别：定弦定角

11.如图3.23所示，已知AB=3,BC=4,点P是矩形ABCD内一点且4PBC=NPCD,则△PBC面积的最大

值为.

12.如图3.24所示，在RtAACB中，乙ACB=90°,AC=3,BC=4,两顶点B,C分别在x轴的正半轴和y轴的

正半轴上运动，则顶点A到原点0的最大距离为.

图3.24

13.如图3.25所示，40=60。,48=6,点A,B分别在射线OM,ON上运动，以AB为斜边在其右侧作等腰Rt

△ABC,,则点O与点C的最大距离为.

14.如图3.26所示，4。=45°,AB=6,点A,B分别在射线OM,ON上运动，在运动中，△40B面积的最大

值为.

ON

图3.26

15.如图3.27所示，已知抛物线y=-曰/+誓%+百与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C,在抛物线对称轴上找到一点Q，使乙4QC=N4BC,此时点Q的坐标为.

16.如图3.28所示，已知抛物线y=-|x2+|^+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点，交y轴于点C,连接AC,B

C,在抛物线的对称轴上找到一点Q，使得^AQC=45。,此时点Q的坐标为.

图3.28

17.如图3.29所示在△4BC中,AC=4,BC=6,/ACB=3(T,D是.△ABC内一动点,。。为△4CD的外接圆,00

交直线BD于点P,交边BC于点E,若^力E=⑦则AD的最小值为.

图3.29

18.如图3.30所示，顶点为M的抛物线y=-/+2x+3与x轴交于A,B两点与y轴交于点C,若在第一

象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=。4,过点D作.DG回x轴于点G,设AADG的内心为I,则CI的最小

值为.

图3.30

19.如图3.31所示，在正方形ABCD中，AB=2,,点E在边AD上，点F在边BE上，且乙BFC=NCED,,则D

F的最小值为,

图3.31

遇见中考：定弦定角

20.（2022.通辽）如图3.32所示,。O是△4BC的外接圆AC为直径若48=2低BC=3,点P从B点出发，

在△4BC内运动且始终保持乙CBP=Z82P,当C,P两点距离最小时，动点P的运动路径长为.

图3.32

辅助圆的应用：定角定高

如图3.33所示，在△ABC中,ADLBC于点D,其中NBAC=a为定角度,AD=h为定值，该图形为定角定高模型.

情景①如图3.34所示，当/BAC=90。时，探究BC的最小值.

先:作△ABC的外接圆。0;

再:连接OA;

后:由图知AONAD,当AO=AD（或h）时,BC取得最小值.

情景2如图3.35所示当/BAC<90。时探究BC的最小值.

先作△ABC的外接圆。O;

再:连接0A,0B,0C,过点。作0ELBC于点E;

后:由图知A0+0ENAD,当AO+OE=AD时,BC取得最小值.

【分析】因为/BAC=a,所以/B0E=a,贝!]BE=rsina,故

BC=2rsina.①

又r+OE^AD,则r+rcosaNAD,即

AD

、②

由式①②可得BC2修经

1+cosa

当点A,O,E共线时，即AO+OE=AD,BC取最小值，此时BD=DC.

针对情景1与情景2的解题点睛①当BC取最小值时，SAABC也取最小值；②当BC取最小值时,BD=D

c.

模型的识别：定角定高

类型1:模型直接用

21.如图3.36所示在△4BC中，点B,C在直线1上运动，且Z.BAC=60°,D是BC边上一点，且AD1BC.AD

=3,则BC边的最小值为；AABC面积的最小值为

BDC

图3.36

22.如图3.37所示,在菱形ABCD中，AB=6,乙4BC=60°,AC与BD相交于点。，点E,F是对角线BD上的

两点，且4EAF=60。,当EF取得最小值时，AE的长为.

图3.37

23.如图3.38所示，有块边长为4m的正方形营地ABCD,在它的中心O处架设了一盏可以自由旋转的探照灯，

已知探照灯照射的角NEOF始终是45。,，设在探照灯旋转过程中某时刻营地被照明部分的面积为S,则S的最小

值为.

图3.38

24.如图3.39所示,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是边BC,CD上的动点，则△4前面积的最小值为

图3.39

25如图3.40所示，点A,B分别在y轴、x轴的正半轴上.AAOB的两条外角平分线交于点P,点P在反比例函

数y=(的图像上.PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线交y轴于点D,连接CD.

(1)ZP的度数为，点P的坐标为.

(2)AAOB面积的最大值为.

图3.40

类型2：构造相似

26.图3.41是某市街道的一部分，因自来水抢修，需在4B=3m,AD=6M的矩形ABCD平面开挖一个△AEF

的工作面,其中E,F分别在直线BC、直线CD上，且/.EAF=30。,为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF

的面积最小，那么△2EF面积的最小值为m2.

图3.41

27.图3.42是某座城市街道的一部分，因自来水抢修需在AB=4m,AD=6M的矩形ABCD区域内开挖一个

△4EF的工作面，其中E,F分别在BC,CD边上（不与B,C,D重合），且/.EAF=45。,,为了减少对该路段的拥堵影响，

要求△4EF面积最小，此时△4EF的面积为nA

BE

图3.42

辅助圆的应用：米勒圆

如图3.43所示,两定点A,B在NC的一条边上，另有一动点P在NC的另一条边上，连接AP,BP,则点P在何

处时NAPB最大？

解题方法：如图3.44所示，过A,B两点且和NC的另一边相切作。O,当点P运动到切点P处时，乙4PB最

理论依据：同弧所对圆周角相等（（"P'B=乙4DB）,,圆外角小于圆周角（（“DB〉/APB）.

此类问题叫作米勒圆，也叫作最大张角问题.

图3.43图3.44

模型的识别：米勒圆

28.如图3.45所示，在正方形ABCD中，AB=8,,点E是AD边上一点，连接BE,CE过点B作于点F,

当心最小时，BF的长为.

图3.45

29.如图3.46所示，点A的坐标为(0,2),点C的坐标为(4,6),点P在x轴正半轴上运动，当乙4PC取得最大值时，

点P的坐标为

图3.46

30.如图3.47所示,A(0,8),B(0,2),点E为x轴正半轴上一动点，设tan乙=zn,则m的取值范围是

31.如图3.48所示,在矩形ABCD中，AB=6tAD=8,,点E,F分别是边CD,BC上的动点，且^AFE=90。,当

DE取时，乙4ED最大.

BC

图3.48

32*.图3.49为矩形足球场的示意图，宽力B=66科球门EF=8科且EB=尸4点P,Q分别为BC,AD上的点,

BP=7m/BPQ=135。.一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（

QEMF）最大?此时PM的长度为m.

遇见中考：米勒圆

33.（2022•桂林）如图3.50所示,某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知

乙4。8=30。,MN=WM=40m,,当观景视角NMPN最大时,游客P行走的距离OP是_________m.

B

O

图3.50

第3讲辅助圆的妙用

1.如图J3.1所示，连接BE,BF.

因为AB是＜30的直径,所以/AEB=/BEF=90。.

又CD_LAB,则NFKB=90。,因此NFKB=NFEB=90。,故E,F,B,K四点共圆.

2.如图J3.2所示，连接AC,BD.

因为P,Q,R都是中点，所以PQ\\AC,PR\\BD,,则乙PQB=^ACB,Z.PRA=ZADB.

又/ADB=NACB,则/PRA=NPQB,故S,T,Q,R四点共圆.

图J3.1图J3.2

3.如图J3.3所示，连接PE,PF,PD.

因为A,E,P,F四点共圆，所以/AFP=NCEP.

又C,D,P,E四点共圆，贝！J/BDP=/CEP,即/AFP=NBDP,于是NBFP+NBDP=180。,故B,D,P,F四点共圆.

4.38°,26°.

以点A为圆心、AB为半径作辅助圆，则点C,D均在。A上,所以ZCBD=|zCX£)=38°,ZBAC=2ZBDC

5.2cm.

如图J3.4所示，连接0A,0B.

因为ABCD是正方形，所以/AOB=9(T,/OAB=45。.

又/OPB=45。,则A,B,0,P四点共圆，于是/APB=NAOB=90。.

在RtAABP中，PA2+PB2=482..设PA=k,PB=2k,则k2+4k2=5,解得k=l,故PB=2cm.

图J3.3图J3.4

6.2.

因为NAOB=120o,NACB=6(r,AO=BO,所以点A,B,C在以点O为圆心、OA为半径的圆周上.

又4B=2百，故0C=0A=0B=皆=2.

7.AB=V2CE.

如图J3.5所示，连接AE.

因为点P、点E关于AB对称，所以NAPB=/AEB=45。.

又/ACB=9(T,AC=BC厕点A,B,E在以点C为圆心的圆上，于是CA=CB=CE.因为4B=所以AB=42

CE.

8.V4a2一炉.

如图J3.6所示，以点A为圆心、a为半径作圆，则点B,C,D都在圆上.延长BA交。A于点E,连接ED.

因为AB〃CD,所以/CAB=NDCA,NDAE=NCDA.

又AC=ADJI]ZDCA=ZCDZDAE=ZCABACAB丝ZiDAE,则ED=BC=b.

因为BE是直径.所以/EDB=90。.由勾股定理得ED2+BD2=BE2,^

BD=yjBE2-ED2=J(2a)2_炉=V4a2-b2.

9.如图J3.7所示，连接AC,AE.

因为四边形ABCD是正方形，所以/ACD=45。.

又CE是外角平分线，则/DCE=45。,于是/ACE=90。.由NAME=90。可知A,M,C,E四点共圆，所以/AEM=NA

CB=45。,贝!!/EAM=45。.故AM=EM.

10.(1)因为AB=AC,所以/ABC=NACB.

又点E与点C关于AD对称，贝!]AE=AC,DE=DC,于是/AEC=/ACE,/DEC=/DCE,即NAED=/ACB,贝！|/A

ED=NABC,故A,D,B,E四点共圆.

(2)ADAF的值不会发生变化，恒为8.

证明如下：如图J3.8所示，连接CF.

因为点E与点C关于AD对称，所以FE=FC厕/FEC=/FCE.

又/DEC=/DCE厕/FED=/FCD.

因为A,D,B,E四点共圆，所以/FED=/BAF,于是NBAF=/FCD,则A,B,F,C四点共圆，故/AFB=NACB=NABC.

又因为NBAD=NFAB,所以△ABDs/\AFB,则枭=禁，故AD-AF=AB2=8.

11.4.

如图J3.9所示由NPBC=NPCD得/P=90。以BC的中点。为圆心、OB长为半径画圆，作PELBC,则

111

S&PBC=1•BC-PE<j--PO=jx4x2=4.

12.V13+2.

如图J3.10所示，因为NCOB=90。,所以点。在以BC的中点D为圆心、OD长为半径的圆上运动，此问题就转

化为点A到。D上的距离，故点A到原点O的最大距离为AD+00=713+2.

13.3+3V3.

如图J3.ll所示，作△AOB的外接圆01,连接CI并延长，分别交。I和AB于点（。，和点D.

当0运动到O时，0C最大，此时△AOB是等边三角形，则B(y=AB=6,故=CO'=CD+。0'=巳

独+个。'=3+3W.

14.9+9V2.

如图J3.12所示，作aAOB的外接圆。I,则由/AOB=45。,得NAIB=90。,所以△AIB为等腰直角三角形教A1

=—AB=3V2.

2

当OIXAB时,△AOB的面积最大，直线01交AB于点C,此时。。=3+3位,所以=|X6X(3

+3V2)=9+9V2.

25215.(1,2)或(1,-2).

易证/ACB=90。,如图J3.13所示，作RtAABC的外接圆OE,则NACB=NAQB=90。,此时△AQB为等腰直角三

角形，所以EQ=AE=BE=2.故点Q的坐标为(1,2)或(1,-2).

设(26《).因为/人(^=/©8人=45。,所以©,(2,：6人四点共圆.此时圆心在直线x=2与线段BC的中垂线y=x

的交点处，则(q-丁=(4-|)2+(10)2,解得q=亨或手，故点Q的坐标为&吟)或Q-).

17.2g—6.

如图J3.14所示,因为AE=碇，所以NACB=NCDP=30。,则.Z.BDC=180°-30°=150。,因此点D在以BC

为弦、/BDC=150。的圆弧上运动.

如图J3.14所示，设点D运动的圆弧圆心为点M,当A,D,M三点共线时，AD最小，取优弧BC上一

点N,连接MB,MC,NB,NC,AM,MD,则.乙BNC=180°-乙BDC=30。,所以NBMC=60。.

因为BM=CM,所以ABMC为等边三角形厕/MCB=6(F,MC=BC=6.

八iiE//c\

/\\B//\

/\\//\

I\\;//:

\\M：

\\//

\\/

\\//

、、、''、/

N

图J3.14

又乙ACB=30。,贝(J乙4cM=90。,于是

AM=yjAC2+MC2=V42+62=2V13,

止匕时,ADAM-MD=2V13-6.

]83同一3二

'2'

如图J3.15所示，连接IO,ID,IA.

因为I是△4DG的内心,所以易得.△ADI=△AOI,,由双内模型可得，"/0=90。+26°=.。=13

5°.

y八

图J3.15

又OA为定线段,NOIA恒等于135。,则点I在以OA为弦、所含的圆周角等于135。的圆弧上.

当点I在线段CE上时，CI的值最小，则

CI的最小值=CE-OE=J(|)2+(|+3)2—誓=吟至1.

19.V5-1.

如图J3.16所示由

———]=ABCFs/\BEC=>BC2=BF•BE,

/ECB—/2J

因此

BC=ABAB2=BF-BE

AB2=BF-BE=>

BC2=BF•BEZ.ABF=/ABE

0ABAF^ABEA=>ZBAE=ZAFB=90°,

所以点F在以AB为直径的圆弧上，当点F在线段DG上时，DF的值最小，故

DF的最小值=DG-GF=^JAG2+AD2-FG=%一1.

图J3.16

20V3.—兀.

3

如图J3.17所示取AB的中点J.

因为AC是直径，所以NABC=90。,则/ABP+ZPBC=90。.

又/BAP=NPBC,则.ZB4P+乙48P=90。,因此/APB=90。,故点P在以AB为直径的。J上运动，当点J,P,C

共线时，PC的值最小.

在RtACBJ中，BJ=W,BC=3,则tanNC/B=£=低即/BJC=60。,故当C,P两点距离最小时，动点P的

运动路径长为言•2兀B=今加

DOU3

21.2V3;3V3.

图J3.17

当BC取最小值时,BD=DC,NBAD=30。,所以tan300=筹=等=当即BD=V3,in=2其故

=|BC7ntlt,4。=|x2V3X3=3G

22.2V3.

当EF取最小值时,E0=FO,NEAO=30。,所以cos30。=丝=二=£即AE=2V3.

AEAE2

23.（4V2-4）m2.

如图J3.18所示，当S取最小值时,GM=GN,此时乙MOG=22.5°.

V2-1,即GM=2

图J3.18图J3.19

24.16V2-16.

如图J3.20所示ShAEF=\-EF-AG.

以EF为斜边，作等腰RMEOF,,则点A在以点O为圆心、OE为半径的圆上.

图J3.20

设OH=a，则S"EF=l-EF-AG=^-2a-4=4a由半角模型知AG=AB=4).

因为AO+OHNAG=4,所以V2a+a>4,解得aN4近一4,故S^AEF>16V2-16.当然，依然还可以直接用E

G=GF搭建勾股求解.

25.(1)45°,(3,3).

如图J3.21所示作PMXOA于点M,PNXOB于点N,PH±AB于点H.

易证△PAM丝ZiPAH,同理可证4BPN丝△BPH,所以

1

乙APB=4APH+乙BPH=j(4MPH+4NPH)=45°

因为PM=PN,所以可以假设P(m,m).

又P(m,m)在y==上，则m=3,故P(3,3).

(2)27-18V2.

如图J3.22所示当SAABP最小时,SAAOB最大以AB为斜边，作等腰R3ARB,则点P在以点R为圆心、

AR为半径的圆上.

设RV=a，则S4ABp=^-AB-PW=^-2a-3=3a.

因为PR+RVNPW=3,所以V2cz+a>3,解得a2-3,因此S^ABP>9或-9,故

S^AOB)max=SPMON-2S“AB=9-2(9a-9)=27-18Vl

256

A'

/BNx1守

B

图J3.21图J3.22

26.6.

如图J3.23所示,把^ADF绕点A顺时针旋转90。并把边长缩小为原来的|彳导至!]△ABG,贝1)AG=^AFt^EAG

=60。.过点E作ENXAF于点N,此时S^=--AF-FN

AEF2.H

因为AF=2AG,AN=WNE,所以

S"EF=*NE=2=2晶GB\EIC

S&AGE-AG-ANV33'

图J3.23

即S"EF=¥~S»AGE又(SzkAGE)而九=刁.川5-GEmin，根据“定角定高”模型可得GEmin=2BE=2百，故

2

(SMEF)mm=誓{^ACE}min=誓x]x3x2g=6(m)

27.24/-24.

如图J3.24所示，把△ADF绕点A顺时针旋转90。并把边长缩小为原来的|彳导到△ABG,则噜=|,N£2G=4

3AF3

5。.过点E作EN±AF于点N,此时ShAEF=^AF•EN因为AF=|AG,4N=NE,所以

S^AEF1-AF-NE

S^AGE-AG-AE2'

即SAAEF=|SAME•同26题可得G£min=2BE=8tan22.5。=8夜—8,故

(SA4EF)m讥=I(SAAGE)min=|X：X4X(8&-8)=(24/-24)(m2).

28.喑

当/EBF最小时,/BEF最大.

如图J3.25所示，过点B,C作。O与AD相切于点E,此时/BEF最大.连接EO并延长交BC于点G,则EG垂

直平分BC,即CG=4,贝(]CE=V42+82=4右,故^BC-EG=|£C-BF,即|x8x8=|x4V5XBF,解得BF=

2

16V5

51

当/EBF最小时,BF的长为噌.

图J3.24

29.(-2+2V6-0).

如图J3.26所示，过点A,C作。Q与x轴正半轴相切于点P,连接QA,QP,此时NAPC最大AQ=PQ,作AC

的中垂线，交AC于点B,交。Q于点D,E.

因为A(0,2),C(4,6),所以B(2,4),直线AC的解析式为y=x+2.

又DE,AC,则设直线DE的解析式为y=-x+b,将B(2,4)代入得4=-2+b,解得b=6,所以直线DE的解析式为y=-x

+6.

因为圆心Q在直线DE上,所以设Q(x,-x+6),则P(x,O),因此力Q=QP,即%2+(-x+4)2=(-%+6产解得

%1=-2+2