概率统计（解答题压轴题）学生版-高考数学

专题26概率统计（解答题压轴题）

目录

①概率与函数........................................................1

②概率与数列........................................................3

③概率综合..........................................................6

④二项分布..........................................................8

⑤超几何分布.......................................................11

⑥正态分布.........................................................13

⑦非线性回归分析...................................................17

①概率与函数

1.（2023秋・江西新余•高三新余市第一中学校考开学考试）现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老

年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责

人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间

类型情况如下表所示：

双人间三人间

入住房间的类型单人间

人数366024

⑴若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽

取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为九求自的分布列和数学期望.

⑵记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的机（机＞2且

〃[wN*）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为I,

否则该组标为II.记询问的某组被标为II的概率为P.

（i）试用含旭的代数式表示P；

(ii)若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为的概率，试求g(p)的最大值及此时机的值.

2.(2023春・广东•高二校联考期末)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校

举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是

3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，

最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分;

而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张

三取胜的概率均为

(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？

(2)第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为/(p),求出了(。)的最大值点P0.

3.(2023・全国•高三专题练习)某企业包装产品时，要求把2件优等品和“(”22,且〃eN*)件一等品装在

同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,

否则该箱产品记为从

⑴试用含"的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率P；

(2)设抽检5箱产品恰有3箱被记为5的概率为了(0),求当”为何值时，/(P)取得最大值，并求出最大值.

4.（2023秋•贵州•高三凯里一中校联考开学考试）为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经

过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当参赛甲、乙两位中有一位

先赢得三局比赛时，则该选手获胜，则比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛

结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为。（。<P<1）.

⑴若比赛进行三局就结束的概率为/■（0,求/（。）的最小值；

（2）记（1）中，“P）取得最小值时，。的值为4,以P。作为。的值，用X表示甲、乙实际比赛的局数，求

X的分布列及数学期望E（X）.

②概率与数列

1.（2023・浙江•模拟预测）立德中学有甲、乙两家餐厅，如果赵同学上一天去甲餐厅用午餐，那么下一天去

甲餐厅的概率为0.6,如果上一天去乙餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.8,已知赵同学第一天

去甲餐厅用午餐的概率为05

⑴求赵同学第二天去乙餐厅用午餐的概率；

⑵设赵同学第〃去甲餐厅用午餐的概率为月,，判断4与心的大小，并求乙.

2.（2023春•山西运城•高二校联考阶段练习）设一个正三棱柱ABC-每条棱长都相等，一只蚂蚁

从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行

的概率相等，且每次爬行都相互独立.若蚂蚁爬行”次后，仍然在上底面的概率为£.

⑴求片之;

（2）求月的表达式.

3.（2023・全国•高三专题练习）某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A、8两种民生消费产品

（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为不、

113

购买3的概率为:，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为:、购买8产品的概率为前

344

一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为1、购买B产品的概率也是如此往复.记某人第〃次

来购买A产品的概率为

（1）求尸2,并证明数列是等比数列；

（2）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，

那么公司每天应至少准备A、B产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.

4.（2023•全国•高三专题练习）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个

台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为1每步上两个台阶的概率为2:，为了简便描

述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登

上第"个台阶的概率为匕，其中weN*,且"V998.证明：数列｛匕「与｝是等比数列.

5.（2023•全国•高三专题练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月

21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.某校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行

传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如

此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第九次触球者是甲的概率

记为P”,即q=L

⑴求乙（直接写出结果即可）；

（2）证明：数列［匕为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.

6.（2023秋•安徽合肥•高三合肥一中校联考开学考试）为庆祝中国共产党成立102周年，学校某班组织开

展了"学党史，忆初心"党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规

则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对

的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答

题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求：

⑴若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；

⑵若第一次由甲组答题，记第〃次由甲组答题的概率为匕，求匕.

③概率综合

1.(2023•河北沧州•校考三模)甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三

人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人

累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.

根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为乙、丙比赛乙胜概率为《，丙、甲比赛丙胜概率

为:，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.

⑴比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；

(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.

2.(2023•全国•学军中学校联考模拟预测)双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者

组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中

的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再

次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决

(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%,求：

①队伍A和D在决赛中过招的概率；

②D在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；

⑵若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为75%,其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先

前与对手已有过招的概率.

3.（2023•湖北咸宁•校考模拟预测）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的aG战队，捧

起了英雄联盟sn全球总决赛的冠军奖杯.据统计，仅在历/沏,〃平台,S11总决赛的直播就有3.5亿人观看.电

子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注.已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队

参加，采取"双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下:

第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2）,两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组.

第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3）,获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落

入败者组两支队伍对阵（即比赛4）,失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组.

第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5）,失败队伍被淘汰（获得季军）;获胜队伍成为败者组第一名.

第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6）,争夺冠军.假设每场比赛双方获胜的概率均为

0.5,每场比赛之间相互独立.问:

⑴若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？

（2）已知队伍8在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率.

4.（2023秋・广东佛山•高三统考开学考试）某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G由

3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系

统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修.

（1）求系统需要维修的概率；

（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正

常工作的概率为且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作.问：。满足什么条

件时可以提高整个系统G的正常工作概率？

5.（2023春•福建•高一福建师大附中校考期末）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即

胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负

者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者

组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛4、B、C、。四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场

比赛为决赛.

⑴假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%,求：

①A获得季军的概率；

②。在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；

（2）若4的实力出类拔萃，有4参加的比赛其胜率均为75%,其余三人实力旗鼓相当，求。进入决赛且先前

与对手已有过招的概率.

④二项分布

1.（2023秋•云南•高三校联考阶段练习）某公司有A,B,C,D,E五辆汽车，其中A车的车牌尾号为1,

3车的车牌尾号为2,C车的车牌尾号为5,。车的车牌尾号为9,E车的车牌尾号为8.已知在车辆限行日，

车辆禁止出车，在非车辆限行日，每辆车都有可能出车或不出车，且A,B,C三辆汽车在非车辆限行日出

车的概率均为J,D,E两辆汽车在非车辆限行日出车的概率均为:，且五辆汽车是否出车相互独立.该公

/3

司所在地区汽车限行规定如下:

汽车车牌尾号车辆限行日

1和6星期一

2和7星期二

3和8星期三

4和9星期四

0和5星期五

(1)求星期三该公司恰有两辆车出车的概率；

⑵求星期一该公司出车数量的分布列和期望.

2.(2023秋•云南曲靖•高三曲靖一中校考阶段练习)某中学高三年级为丰富学生课余生活，减轻学习压力,

组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该年级男、女同学各50名进行调查,

部分数据如表所示:

喜欢篮球不喜欢篮球合计

男生20

女生15

合计

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根据所给数据完成上表，依据。=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该校高三年级学生喜欢

篮球与性别有关？

⑵社团指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范罚分线处定点投篮.已知这两名男生进

球的概率均为彳，这名女生进球的概率为每人投篮一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数X

的分布列和数学期望.

3.(2023秋•山西大同•高三校联考阶段练习)近日，某企业举行"猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员

工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率

均为。(0＜。＜1)，且猜中每道谜语与否互不影响.

⑴分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；

(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求。的取值范围.

4.(2023秋•重庆开州•高三重庆市开州中学校考阶段练习)某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了"趣

味数学"闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10

道题中的6道题.

(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；

(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯

关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大?

5.（2023秋・安徽•高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）统计学是通过收集数据和分析数据

来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择

适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取

需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率

是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高

中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决：

⑴从两名男生（记为片和与）、两名女生（记为G|和&）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、

不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是

男生的概率，结合计算结果分析三种抽样；

⑵一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作

为样本.用X表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和数学期望.结合计算

结果分析两种摸球方式的特点.

⑤超几何分布

1.（2023秋•高二课时练习）从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数.

求X的分布、期望与方差.

2.(2023•陕西商洛•陕西省丹凤中学校考模拟预测)某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，

随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8组，得到如图所示的频率分布直方图.

率

频

距

组

so44

o4O

oS.Q

So28

S

o20

So16

OO8

O6065707580859095100评价指标

(1)求。的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1);

(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在[70,75)和[85,90)内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随

机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在[70,75)内的学员人数为X,求X的分布列与数学

期望.

3.(2023・全国•高二专题练习)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印

发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是

国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为

建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正

态分布并把质量差在(〃-b,〃+b)内的产品为优等品，质量差在(〃+G〃+2b)内的产品为一等

品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽

取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数作为〃的近似值，用样本

标准差s作为b的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

［参考数据：若随机变量自服从正态分布贝hP(〃-+b卜0.6827,

P(//-2cr<^<//+2a)»0.9545,尸(〃一3crWjW〃+3a)®0.9973.

⑶假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品

进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X,求X的分布列以及期望值.

4.(2023春・安徽宣城•高二统考期末)中国乒乓球队号称梦之队，在过往的三届奥运会上，中国代表团包

揽了全部12枚乒乓球金牌，在北京奥运会上，甚至在男女子单打项目上包揽了金银铜三枚奖牌.为了推动世

界乒乓球运动的发展，增强比赛的观赏性，2021年世界乒乓球锦标赛在乒乓球双打比赛中允许来自不同协

会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员5名，其中种子选手3名；乙协会的运动员3名，其中种子

选手2名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛

(1)设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率;

⑵设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X).

⑥正态分布

1.(2023•广西柳州•统考模拟预测)新高考改革后广西采用"3+1+2”高考模式，"3"指的是语文、数学、外语，

这三门科目是必选的；"1"指的是要在物理、历史里选一门；"2"指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门

中选择2门.

⑴若按照"3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；

(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外

的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（240,602）.

①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；

②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分"，请结合统计学知识

分析上述宣传语的可信度.

附：P（〃—b4X4〃+b）a0.6827,-2<r<X<//+2（r）«0.9545,P（〃一X4〃+3cr卜0.9973.

2.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤

梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：

凤梨数量（盒）[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

购物群数量（个）12m2032m

⑴求实数机的值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数（盒）；

⑵假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布其中〃为（1）中的平均数，4=12100.若

该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在［266,596）（单位：盒）内的群为“一级群”,

销售数量小于266盒的购物群为"二级群"，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每

个"优质群”奖励1000元，每个"一级群"奖励200元，"二级群"不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资

金？（群的个数按四舍五入取整数）

附：若X服从正态分布X~〃），贝U尸（〃一CT<X<〃+。0.683,尸（〃-2。<X<〃+2。）。0.954,

P（〃—3cr<X<〃+3b）a0.997.

3.（2023•广东•校联考模拟预测）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进

行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，

两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.

（1）若甲第一关通过的概率为:，第二关通过的概率为求甲可以进入第三关的概率；

J6

（2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前

400名发放奖励.

①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人，己知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，

请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙："这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人"，请

结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量贝I］尸（〃一crVXW〃+<T）B0.6827；P（//-2cr<X<//+2cr）«0.9545；

P（〃一3crVX<〃+3b）~0.9973.

4.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨,

每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，

得到数据如下表：

消费金额（千元）[2,3)[34)[4,5)[5,6)[6,7)[7用

人数406040302010

以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布NJ。?），4分别为这200个家庭消费金额的

平均数元及方差52（同一区间的花费用区间的中点值替代）.

⑴求元和S2的值;

⑵试估计这200个家庭消费金额为［2.86,7.18］的概率（保留一位小数）；

⑶依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为

［2.86,7.18］的家庭个数为X,求X的分布列及期望.

参考数据：42.06"44；

若随机变量4~N（〃b2）,则尸（〃一。<。4〃+。）=。.6827,P（〃一2bVJV〃+2b）=0.9545,

尸+=0.9973.

5.（2023•福建宁德•福建省宁德第一中学校考二模）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读

逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，

通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分

布直方图，如图所示.

A频率

［砺

0.045r..............—I

0.020.................—

0.010…L

嘴

u5060708090100分钟

⑴根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数工(单位：分钟)；(同一组数据用该

组数据区间的中点值表示)

(2)若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N(〃,100),其中〃近似为样本平均数最，求P(64<XW94)；

⑶为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组［50,60),

［60,70),［80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于［80,90)的人

数4的分布列和数学期望.

附参考数据：若，则①尸(〃-6<XV〃+6)=0.6827；②尸(〃-25<X<〃+25)=0.9545；③

P(M—36<XW〃+35)=0.9973.

6.(2023•广西•校联考模拟预测)为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋

进新征程"知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：

成绩(分)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数242240284

⑴求抽取的100名学生竞赛成绩的方差d(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)；

⑵以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布其中〃近似为样本平均

分无，接近似为样本方差$2,若<X4〃+2b,参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若X>〃+2b,

参赛学生可获得“参赛先锋证书”.

①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得"参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)；

②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得"参赛先锋证书”.

附：若X~N(〃,cr2),则尸(〃一b<XV〃+b)土0.6827,P("—2b<XW〃+2b)20.9545,

尸(〃-3。<X4M+3b)B0.9973；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分元=75.

⑦非线性回归分析

1.(2023•四川绵阳,统考二模)抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄

入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量

与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体

药物摄入量为无(单位：mg),体内抗体数量为y(单位：AU/mL).

10101010

Zz,

力,4

i=lZ=11=1i=\

29.2121634.4

九

12--

10-,

8-•

6-•

4-.

2

O2468101214161820222426x

(1)根据经验，我们选择>=。尤”作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将y=cxd两边取对

数，得lny=lnc+dln无，可以看出Inx与Iny具有线性相关关系，试根据参考数据建立V关于x的回归方程，

并预测抗体药物摄入量为25mg时，体内抗体数量》的值；

(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布N:(0.48,0.032),那这

种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为多少？

附：①对于一组数据(%,%)«=1,2,L,10),其回归直线片向+°的斜率和截距的最小二乘估计分别为

“_

Z%匕-

尸二二，a—v—/3u;

Z-nu

i=l

②若随机变量Z〜N(〃,cr2),则有尸(〃一b<Z<//+cr)«0.6826,P(/z-2cr<Z<〃+2b)«0.9544,

尸(〃一3bvZv〃+3b)b0.9974；

③取e22.7.

2.(2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考三模)经观测，长江中某鱼类的产卵数》与温度x有关，现将收集

到的温度占和产卵数》(=1,2,…,10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.

1010101010

储Zx£(西-寸

1=11=1i=lZ=1Z=1

36054.5136044384

10101010

2(—)2^(x;-x)(z,-z)

1=11=1i=\i=l

3588326430

[10

表中有=百0=In%,彳=6

iu,=i

九

350-.•

300-

250-

200-•

150-*

100-•

50-,

.•••

I4111II1II»

°202224262830323436%

(1)根据散点图判断，y=a+bx,y=n+m石与y=*济哪一个适宜作为，与x之间的回归方程模型并求出J

关于x回归方程；(给出判断即可，不必说明理由)

(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中"死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，

其中"死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出"死卵”个数的分布列及数

学期望.

附：对于一组数据(4,耳),(名,3)「••("”#")，其回归直线丫=。+尸"的斜率和截距的最小二乘估计分别为

B=上―------------,a^v-(3u.

E(M/-M)2

i=\

3.（2023•四川泸州•四川省泸县第四中学校考模拟预测）党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的

中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式

现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水

平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十

年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码后1,

现用两种模型①y=6x+“，②y=c+da分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析,

得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下值：

10101010

yt余行)2-(%-刃a-元)

i=\i=lZ=1i=l

752.2582.54.512028.67

[10

表中4=Z%.

,=i

⑴根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选模型，求出y关于1的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y

的预报值.（回归系数精确到0.01）

附：对于一组数据（XQ,）其回归直线y=°+标的斜率和截距的最小二乘估计分别为

八£（乙-可（y-9）.

^=J5H；----；—，a=y-bx

i=l

4.（2023•贵州毕节•统考模拟预测）某新能源汽车公司对其产品研发投资额尤（单位：百万元）与其月销售

量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.

⑴通过分析散点图的特征后，计划用

y=ln（bx+a）作为月销售量>关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于

x的回归方程;

⑵公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投

资11百万元进行产品促销后，月销售量J的分布列为:

345

321

p3PPp+d

结合回归方程和J的分布列，试问公司的决策是否合理.

人£（西-尤）（y-y）Exiyi-nx-y

参考公式及参考数据：♦=J————------^^=y-^c,ln7-1.95.

z=li=l

y0.691.611.792.082.20

e"（保留整数）25689

5.（2023•安徽六安•安徽省舒城中学校考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指

标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数

X；与该机场飞往A地航班放行准点率为（z=l,2,L,10）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过

初步处理后得到的一些统计量的值.

放行准点率/百分比

84-.

83-.

82-•

81-.,

80-,

79-,

78-•

77-•

76-

75-

74----J----1----1----1----1----1----1----1----1----1----

20122013201420152016201720182019202020212022年份数

10101010

XyTz%%之入

i=li=\Z=1Z=1

2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8

_1io

其中q=如（玉_2012）,F=

1Ui=\

⑴根据散点图判断，y=bx+a^y=cln（x-2012）+d哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关

于年份数尤的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由

此预测2023年该机场飞往A地的航班放