第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式单元综合测试卷

一、单选题

1.若1>0,&>0,且〃+b=4,则下列不等式恒成立的是（）

A11C11八

A.一>-B.-+-<1

ab2ab

C.y[ab>2D.2172-Z

a+b8

【答案】D

【解析】

【分析】

由基本不等式，求得。64（手）2=4,进而逐项判定，即可求解.

【详解】

由。>0,b>0,且a+b=4,可得>64（"；与=4,

当且仅当a=b=2时，等号成立，

对于A中，由所以A错误；

ab4

11a+b4

对于B中，1+1=£±£=A>1；所以B错误；

ababab

对于C中，由ab<4,可得y[ab<2,所以C错误；

对于D中，三士艺士（巴心）2=4,所以“2+6222x4=8,

22

所以二所以D正确.

a+b8

故选：D.

2.“a>b>0”是“2>1”的（）

b

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】

解：由。>6>0,得反之不成立，如。=-2,b=-l,满足f>l,但是不满足。>人>0,

bb

故Z>6>0”是4>1”的充分不必要条件.

b

故选：B

3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）

与营运年数元（xeN*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润上

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据题意得到二次函数的解析式为y=-（x-6）2+11,再利用基本不等式求解"的最大值即可.

【详解】

根据题意得到：抛物线的顶点为（6,11）,过点（4,7）,开口向下，

设二次函数的解析式为y=a（x-6y+ll（a<0）,

所以7=a（4-6）2+11,解得。=—1,即y=-（%—了+11,

因为X£N*,

所以上=-0.-6）2+11=一无一生+124一2后+12=2,

XXX

25

当且仅当工=一，即无=5时取等号.

x

故选：C

4.设加+〃>0,则关于冗的不等式0—戏(〃+%)>0的解集是(

A.[x\x<-nx>m]B.{x\—n<x<m}

C.{%|%<一机或冗>〃}D.{x\—m<x<n}

【答案】B

【解析】

【分析】

不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集.

【详解】

不等式变形为（x-m）（尤+〃）<0,方程（X-m）0+〃）=。的两根为私一〃，显然由根+〃>0得根〉-〃，

所以不等式的解为f<x<m.

故选：B.

5.若不等式o^+办一4<0的解集为凡则实数。的取值范围是（）

A.—16<a<0B.a>—16

C.—16<«<0D.a<0

【答案】C

【解析】

【分析】

fa<0

考虑4=0和"0两种情况，得到"2八，解得答案.

[A=a-+16a<0

【详解】

当a=0时，ax2+av-4<0,即T<0,成立；

fa<0

当awO时，需满足：2M八，解得一16<。<0.

[AA=6T+16。<0

综上所述：-16<aW0.

故选：C

6.若0<x<2,则无（2-幻的最大值是（）

31

A.2B.—C.1D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式求解.

【详解】

因为x（2-x）v（x2）=1，当且仅当x=2-x,即x=l时成立，

所以x（2-x）的最大值是1,

故选：C.

7.已知关于x的不等式o^+Zzx+oO解集为{x|-2<x<3},则下列说法错误的是()

A.。<0

B.不等式ar+c>0的解集为{尤在<6}

C.a+b+c>0

D.不等式cx'-fer+avO的解集为，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件得-2和3是方程中?+6x+c=0的两个实根，且a<0,根据韦达定理可得6=-。,c=-6a,根

据/,=_〃,c=-6a且。<0，对四个选项逐个求解或判断可得解.

【详解】

由已知可得一2,3是方程G?+Z>x+c=O的两根，

-2+3=--,

则由根与系数的关系可得0且a<0,解得3=-%=-6°,所以A正确；

-2x3=-,

、a

对于B,依+。>0化简为九一6<0,解得％<6,B正确；

对于C,a+b+c=a-a-6a=-6a>0,C正确；

对于D,cf-Zzx+〃<0化简为：6x2—x—1<0,解得-D错误.

故选：D.

8.已知集合4={“2—4<0},对于任意的―，使不等式好+及—>2%-1恒成立的x的取值范围为()

A.{x|x<l或x>3}B.{小<-1或x>3}

C.{x|x<-l}D.{x|x>3|

【答案】B

【解析】

【分析】

、/\fx—1>01工―1<0

解不等式求出集合A,原不等式可转化为(zx+"l)(x-1)>0对reA恒成立，由］+一］>0或x+/_］<0即

可求解.

【详解】

由»-4V0,得-2Wt<2,所以A={r|-2WY2},

由不等式尤2+比一/>2》一1对于任意的一24/W2恒成立,

即不等式d+(/_2)x+lT>0对于任意的-2Vt<2恒成立,

所以即不等式(x+/T)(x-1)>。对-2VW2恒成立，

x-l>0x-l<0

所以只需或1+一<。对于任意的一2^2恒成立，

%+，一1>0

\X>1\x<l

只需mv或x<l—对于任意的一2纪2恒成立・

因为-1<1-所以只需x>3或％v-1,

故选：B.

二、多选题

9.已知正实数〃，匕满足〃+人=2,下列式子中，最小值为2的有()

11?

A.labB.a2+b2C.-+-D.—

abab

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断.

【详解】

b>0,.\2=a+b>2y[ab,.\0<ab<l,当且仅当〃=。=1时等号成立.

由〃后1,得2〃区2,的最大值为2,A错误;

222

a+b=(a+b)-2ab>4~2=2fB正确；

11a+b2

—I—二----------=>2,C正确;

abab

2

D正确.

ab

故选：BCD.

10.已知。<b<c,且acvO,则下列不等式中一定成立的是()

A.ac<bcB.ab1<cb2C.a(a-b)>0D.ac(a-c)>0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质即可判断.

【详解】

因为且ac<0,所以c>0,a<0,故ac<bc,A正确.

当〃=0时，ab1=cb1,B错误.

a-b<Q,。（。-6）>0,C正确.

a-c<0,ac(a-c)>0,D正确.

故选：ACD.

11.解关于x的不等式：ax12+(2-4a)x-8>0,则下列说法中正确的是()

A.当a=0时，不等式的解集为{尤卜>4}

B.当a>0时，不等式的解集为{x|x>4或

C.当〃<0时，不等式的解集为卜1--〈xv4

D.当。=-g时，不等式的解集为0

【答案】ABD

【解析】

【分析】

讨论参数。，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.

【详解】

A：a=0,则2x-8>0,可得解集为何无>4},正确；

B：a>0,则(ax+2)(x-4)>0,可得解集为{x|x>4或,正确；

C：a<0,当一工<4时解集为〈尤<4]；当一工=4时无解；当一工>4时解集为[无4Vx<—2],错误;

a[aJaa

12

D：由C知：ci=——,即—=4,此时无解，正确.

2a

故选：ABD

11

12.设a>b>c>0,则当2。9+—+—--10«c+25c9取最小值时，下列说法正确的是().

aba{a-b)

A.a=V2B.b=2V2C.c=^~D.a+b+c=3屈

【答案】AC

【解析】

11

将原式整理为丁+〃。+二一-+a(a-b)+a9-10ac+25c9,根据基本不等式和二次函数的性质可得选项.

aba{a-b)

【详解】

因为〃所以

1199

式^=---FabH-------------F-b)+Q—1Oac+25c

aba(a-b)

112

=-----FabH-------------F一b)+(ci—5c)

aba{a-b)

N2J----ab+2J------------CL{CLZ?)+0=4

Vabya(a-b)

ab=l

当且仅当Q(〃-与=1,即〃=&,b=叵,c=正时，等号成立，此时〃+6+°="2也,

u2510

fl=5c

故选：AC.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，属于中档题.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等““一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题

13.不等式”^4的解集是_________.

x-2

【答案】{x|2<x«12}

【解析】

【分析】

移项通分化简，等价转化为进一步等价转化为二次不等式(组)，注意分母不能为零，然后求解即

得.

【详解】

原不等式等价于生?-420,化简得U—NO,又等价于］"2一"(；一;

x-2x-21x-2^0

解得：2<x<12,

故答案为：{%|2<xW12}.

14.函数y=J,2—2履+4的定义域为R,则实数上的取值范围为.

【答案】原么4

【解析】

【分析】

函数y=J履2一2履+4的定义域为R，等价于近2一2近+420恒成立，然后分左=0和左力。两种情况讨论求

解即可得答案

【详解】

函数y=依-2履+4的定义域为R，等价于爪2一2履+4>0恒成立，

当左=0时，显然成立；

当上力0时，由八=（一2左）2—4）1x440,得0〈左（4.

综上，实数上的取值范围为噫以4.

故答案为：噫女4

15.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后

用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的

取值范围为.

【答案】10<V<40

【解析】

【分析】

根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.

【详解】

第一次操作后，利下的纯药液为V70,

v-io

第二次操作后，利下的纯药液为V-10———X8,由题意可知：

V-10-^-Z^X8<V-60%=>V2-45V+200<0=>5<V<40,

V

因为V210,所以10WV440,

故答案为：10<V<40

21

16.已知尤>0,y>0,满足x+2y+—+—=6,存在实数如对于任意无，y,使得mWx+2y恒成立，则加

xy

的最大值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

首先根据题意得到xyW（x+2y）2,从而得至|」6<口+2田+；^―,Bp2<%+2y<4,再根据旭（了+2y恒成

82y+x

立，即可得到优的最大值.

【详解】

因为1>0,y>0,

所以-=L-2y<L(x+2y)、(x+2»,

2248

乙C212y+x/\2y+x->.8

6=x+2yH1—=x+2yH---------2(x+2y)H-------------=(x+2y)H----------

所以Xy)孙l〃(％+2»I72y+x.

8

8

gp6>(x+2v)+-------,

2y+x

(x+2y)~-6(x+2y)+8<0,解得2<x+2y<4.

因为加Wx+2y恒成立，所以加《(犬+2工)疝/即〃?W2.

所以机的最大值为2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.

四、解答题

17.(1)设孙<0,试比较(/+_/)(元-y)与(d-y2)(x+y)的大小；

(2)已知1<。+人<3,-2<a-b<2,求2a+38的取值范围.

317

【答案】⑴答案见解析；(2):<2a+3b<=.

22

【解析】

【分析】

(1)通过作差化简原式等价于-2孙(x-y),通过分为%>丫和了<y两种情形得结果;

(2)将2a+3》用。+人，线性表示，结合不等式的性质即可得结果.

【详解】

(1)(x2+/)(x-^)-(x2-/)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

,：xy<0,.•.当尤>、时，尤一>>0,

—2xy(x—y)>0,

得(/+V)(x-y)>(V-V)(x+y)；

当时，x-y<0,-2xy(x-y)<0,

得(Y+力(x-y)<，-力(x+y).

(2)^2a+3b=m(a+b)+n(a-b),

m+n=2,

则

m-n=3,

解得〃;=1,九=一;

贝ij2〃+3Z?=g(a+Z?)—g(〃一匕).

l<a+Z?<3,—2<a—Z?<2,

g</(a+6)<g,-l<-^(a-Z7)<l.

.35.1...17

..—<—(a+b)——(a-b)<——.

2222

^^3<2a+3b<—17.

18.已知二次函数丫=加+法-cz+2.

⑴若关于x的不等式axi+bx-a+2>0的解集是{刃-l<x<3},求实数a,匕的值;

(2)若6=2,<7>0,解关于x的不等式以耳云-a+2>0.

【答案】(1)。=-1,b=2

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；

(2)根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

(1)

由题意知，T和3是方程aj^+bx-。+2=0的两根，

所以-&。,解得。=-1,匕=2；

/y、c—a+2

(2)

当0=2时，不等式ax^+bx-〃+2>0为aj^+2x-〃+2>0,

即(ax-a+1)(x+1)>0,所以1%}x+l)>0,

当p=T即a=l时，解集为{小

当/<一1即0<。<1时，解集为，x|x<p或》>-!}；

当g>T即">1时，解集为［无«>伫^或x<T}.

aIa

ah

19.(1)已知c>a>Z7>0,求证：--->----.

c-ac-b

(2)已知a>0,b>0,〃+人=1,求证：—+

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由条件可得c-a>0,c-6>0,11然后可得c一—a〈一c—h，然后可证明；

abab

(2)由条件可得1+工=2+匕l+：=2+；(1+邛1+9=(2+4(2+£|=5+2©+小，然后利用基本

不等式证明即可.

【详解】

(1)\9c>a>b>0,c-a>0,c-b>0

11cc

*.*b>0f.'・一<：,又c>0,/.一<-9

abab

c~bab

<----,又c—a>0,c-6>0,------〉------

bc-ac—b

(2)因为a>O,b>O,a+b=l

所以1+工=1+^^=2+2,同理1+工=2+巴

aaabb

所以(1+规1+(!12+覆2+£|=5+2]+酢5+4=9

(当且仅当。=b=g时等号成立)

20.近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡

议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业

在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某4企业春节期间加班追产提供

20)(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到，=(x+2)(万件).同时A企业

7240

生产(万件)产品需要投入成本为(〃+7+2x)(万元),并以每件(6+7)元的价格将其生产的产品全部售出.

注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本

(1)求A企业春节期间加班追产所获收益式(元)(万元)关于政府补贴x(万元)的函数关系式；

(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】(1)R(x)=38-2龙—-，噫/20；(2)即当政府的专项补贴为4万元时，A企业春节期间加

x+2

班追产所获收益最大，最大值为18万元;

【解析】

（1）依题意得到我（无）的函数解析式；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；

【详解】

解：（1）依题意可知，销售金额（6+邛）=（6+*]"+2）万元，政府补贴x万元，成本为

7272

7/H----F2x=7（x+2）H---------F2x万万｝；

tx+2

（40「72172

所以收益R（x）=6+—-（x+2）+.r-7（x+2）+—-+2x=38—2尤——怎/20

k十乙JJ\）十4Js,乙

727272

（2）由（1）可知R（x）=38—2x——-=42-2（x+2）——-=42-2（x+2）+--,娱/20

x+2x+2Lx+2_

其中2（x+2）+922小2"+2卜白=24,当且仅当2（x+2）=W，即尤=4时取等号，

~72~

所以R（x）=42-2（x+2）+—<42-24=18,

所以当x=4时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；

即当政府的专项补贴为4万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；

21.设有一元二次方程d+2（7〃—l）x+（7”+2）=O.试问：

⑴为何值时，有一根大于1、另一根小于1.

（2）m为何值时，有两正根.

【答案】⑴相<T；⑵一2〈机4士手.

【解析】

【分析】

⑴设一元二次方程的两个根分别为玉，X一旦%<1,x2>l,利用韦达定理有

（777+2）+2（777-1）+1<0,进而求出机的取值范围；

A=4（/W-1）2-4（/W+2）>0

（2）由题意得卜+々=-2（〃[-1）>0,进而求出机的取值范围.

Xj-x2=m+2>0

【详解】

⑴设