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有界闭区域上连续函数的性质分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u15879有界闭区域上连续函数的性质分析综述 [2]设函数在区间上定义，若对于任意给定的正数，存在，只要，满足时，就有，则称函数在区间上一致连续。在以上定义中，若固定，就能得到在点的连续性。即在区间上一致连续在区间上连续。注：此命题的逆命题不一定是成立的。定理1.3.5若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。证：设函数在闭区间上连续，那么在这一区间的任意一点，都能找到对应的，使得当时有。这是因为，当充分小时，有，所以。以表示。显然，所有区间的总体覆盖了区间，因此存在着有限多个区间也覆盖了区间。设使这些区间中最小的一个长度，并设为区间上彼此距离小于的任意两点。那么。事实上，点属于众多区间的某个区间，但不超过。按照的定义，可得。连续函数性质的应用连续函数的性质有着非常广泛的应用，如日常生活中连续升温或下连续降温，数目年轮的连续增加，出行时距离目的地距离的连续减少等等，这类事件都可以抽象地用数学上的连续函数来描述。此前我们通过讨论函数的性质，如有界性，最值性，介值性等性质的学习，局部了解了函数。此外，从某一点的连续性延伸到某一区间内的一致连续性，更是函数性质从局部到整体上的延伸拓展，使研究的函数性质更深入全面。下面我们通过例题进行讨论。 例1.4.1设在上连续，且存在，证明：函数在上有界。 证： 取，则，当时， 又，即： 在上连续， 在上连续。 根据有界性定理，都有成立 取 证毕。例1.4.2函数。若在有理点上取无理数值，在无理点上取有理数值，证明不是上的连续函数。证：显然，不是上的连常值函数。因此，若是上的连续函数。由最值定理知，是一闭区间。但由题设，当时，至多是可数集，当，也至多是可数集，故函数的值域至多是可数集。这与为闭区间矛盾。类似地，闭区间上：Riemann函数和Dirichlet函数都不是连续函数，因为这两个函数的值域分别是可数集和有限集，无法充满闭区间。例1.4.3证明方程在区间内至少有一个根。证：令，则在区间上连续，又，，由零点存在定理，使得即， 方程在区间内至少有一个根。例1.4.4讨论函数在上的一致连续性。解：易知函数在上连续，设。当时，设，则：，且，所以在上一致连续。当时，，且所以在上一致连续。综上所述，在上一致连续。例1.4.4现有一圆柱筒，其宽为，长为，将圆筒套在另一曲线筒：上，圆筒可沿着筒滑动，但筒的中心轴必须平行于轴。若要使筒可以成功地经过曲线筒：所规定的部分。问：为任意小

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