线性代数试题及答案下载

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一、单项选择题（每题2分，共10题）1.二阶行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值为（）A.-2B.2C.10D.-102.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(k\)为常数，则\(\vertkA\vert\)=（）A.\(k\vertA\vert\)B.\(k^n\vertA\vert\)C.\(\vertk\vert\vertA\vert\)D.\(\vertk\vert^n\vertA\vert\)3.若矩阵\(A\)的秩\(r(A)=3\)，则\(A\)中（）A.所有3阶子式都不为0B.至少有一个3阶子式不为0C.所有4阶子式都不为0D.至少有一个4阶子式不为04.设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三维向量，则下列向量组中线性无关的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2\)5.齐次线性方程组\(Ax=0\)（\(A\)为\(m\timesn\)矩阵）有非零解的充分必要条件是（）A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltm\)D.\(r(A)\ltn\)6.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则\((A^)^{-1}\)=（）A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^\)D.\(\vertA\vertA^\)7.若\(A\)是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.\(\vertA\vert^2=1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的行向量组是正交单位向量组D.\(A\)的列向量组是正交单位向量组8.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(\lambda\)满足（）A.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.\(\vert\lambdaA-E\vert=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.\(\vertA+\lambdaE\vert=0\)9.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)的矩阵是（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\4&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)10.若\(n\)阶方阵\(A\)与\(B\)相似，则下列说法错误的是（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(r(A)=r(B)\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于矩阵运算正确的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（当\(AB=BA\)时）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列条件中能推出\(A\)可逆的有（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(r(A)=n\)C.\(A\)的列向量组线性无关D.齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\lts\)D.向量组中任意一个向量都可由其余向量线性表示4.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=b\)为非齐次线性方程组，则（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，则方程组有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，则方程组无解C.若\(r(A)=n\)，则方程组有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，则方程组有无穷多解5.下列关于正交矩阵性质正确的是（）A.若\(A\)是正交矩阵，则\(A^TA=AA^T=E\)B.正交矩阵的行列式为\(1\)或\(-1\)C.若\(A,B\)是正交矩阵，则\(AB\)也是正交矩阵D.正交矩阵的列向量组是标准正交向量组6.设\(\lambda\)是方阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量C.\(\lambda\)满足特征方程\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.\(A\)的不同特征值对应的特征向量线性无关7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵）正定的充分必要条件是（）A.\(A\)的特征值全大于\(0\)B.\(A\)合同于单位矩阵\(E\)C.存在可逆矩阵\(C\)，使得\(A=C^TC\)D.\(A\)的顺序主子式全大于\(0\)8.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的秩B.\(A\)与\(B\)有相同的行列式C.\(A\)与\(B\)有相同的迹（主对角线元素之和）D.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式9.若\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A^2=A\)，则（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(r(A)+r(A-E)=n\)C.\(A\)可相似对角化D.\(A\)的列向量组线性相关10.以下关于矩阵的秩正确的有（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，则\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)可逆，则\(r(AB)=r(A)\)三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)为正整数）。（）2.若矩阵\(A\)的行向量组线性无关，则\(A\)的列向量组也线性无关。（）3.齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系是唯一的。（）4.若\(A\)为正交矩阵，则\(A\)的转置\(A^T\)也是正交矩阵。（）5.相似矩阵一定有相同的特征向量。（）6.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)是正定二次型。（）7.若\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的秩小于\(n\)。（）8.矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)一定是实数。（）9.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，则\(\alpha_1\)一定能由\(\alpha_2,\alpha_3\)线性表示。（）10.对于\(n\)阶方阵\(A\)，若\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，则\(A\)可通过初等行变换化为单位矩阵\(E\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的定义及判定方法。答案：定义：对于\(n\)阶方阵\(A\)，若存在\(n\)阶方阵\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，则称\(A\)可逆，\(B\)为\(A\)的逆矩阵。判定方法：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)的列（行）向量组线性无关等。2.说明向量组线性相关和线性无关的概念。答案：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，则线性相关；若仅当\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)时上式成立，则线性无关。3.简述求矩阵特征值和特征向量的步骤。答案：步骤：先求特征多项式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)，令\(f(\lambda)=0\)求出特征值\(\lambda_i\)；再对每个\(\lambda_i\)，解齐次线性方程组\((\lambda_iE-A)x=0\)，其非零解即为对应\(\lambda_i\)的特征向量。4.解释二次型正定的概念及判定方法。答案：二次型\(f(x)=x^TAx\)，对任意非零向量\(x\)，都有\(f(x)>0\)，则称\(f\)正定。判定方法：\(A\)的特征值全大于\(0\)；\(A\)的顺序主子式全大于\(0\)；\(A\)合同于单位矩阵\(E\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论线性方程组解的结构，以及基础解系在其中的作用。答案：对于非齐次线性方程组\(Ax=b\)，其解由特解和对应的齐次线性方程组\(Ax=0\)的通解组成。基础解系是\(Ax=0\)解空间的极大线性无关组，通过基础解系可表示出\(Ax=0\)的所有解，进而得到\(Ax=b\)的通解。2.探讨相似矩阵在理论和实际应用中的意义。答案：理论上，相似矩阵有相同的特征值、行列式、秩等性质，有助于简化矩阵运算和研究矩阵性质。实际中，如在物理、工程领域，相似变换可将复杂矩阵化为简单形式，便于分析系统的特征，如振动频率、稳定性等。3.论述正交矩阵的性质及其在几何和其他领域的应用。答案：正交矩阵性质有\(A^TA=AA^T=E\)，\(\vertA\vert=\pm1\)等。在几何中，正交变换保持向量长度和夹角不变，如旋转、反射。在其他领域，如数据处理中用于数据的正交化，可消除数据相关性，提高计算效率和稳定性。4.谈谈矩阵的秩在研究线性代数问题中的重要性。答案：矩阵的秩能反映矩阵的“有效信息”数量。判断线性方程组解的情况，\(r(A)=r(A|b)\)时有解，\(r(A)\ltr(A|b)\)时无解。还能判断向量组线性相关性，秩小于向量个数时