高中数学国赛试题及答案VIP

高中数学国赛试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,x)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)3.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)4.若\(\log_{2}x=3\)，则\(x\)的值为（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(4\)D.\(2\)5.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，则公差\(d\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函数\(y=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)的最大值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)7.直线\(3x+4y-5=0\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定8.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，则\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)9.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\neq-1\)D.\(x\inR\)10.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.关于直线方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），以下说法正确的是（）A.当\(A=0\)，\(B\neq0\)时，直线平行于\(x\)轴B.当\(B=0\)，\(A\neq0\)时，直线平行于\(y\)轴C.直线的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直线在\(y\)轴上的截距为\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）3.已知\(\{a_{n}\}\)是等比数列，公比为\(q\)，则以下正确的有（）A.若\(q\gt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递增数列B.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)C.\(a_{m}\cdota_{n}=a_{p}\cdota_{q}\)（\(m+n=p+q\)）D.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)（\(q\neq1\)）4.以下哪些是椭圆的标准方程（）A.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）B.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）C.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)D.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)5.对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)），以下说法正确的是（）A.\(A\)决定函数的振幅B.\(\omega\)决定函数的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)决定函数的初相D.函数图象可由\(y=\sinx\)经过平移和伸缩变换得到6.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则以下正确的是（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\)的真子集个数为\(7\)个D.\(B\)的子集个数为\(8\)个7.下列不等式中，正确的有（）A.\(x^{2}+1\geq2x\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）C.\(a^{2}+b^{2}\geq2ab\)D.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)，则以下运算正确的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)D.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0\)9.以下哪些是导数的运算法则（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^{2}}\)（\(v\neq0\)）D.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三边，根据余弦定理，以下正确的是（）A.\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cosA\)B.\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cosB\)C.\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)D.\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上单调递增。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）4.两条直线斜率相等，则这两条直线平行。（）5.双曲线的离心率\(e\gt1\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）7.数列\(1,1,1,\cdots\)是等差数列也是等比数列。（）8.函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定义域是\((0,+\infty)\)。（）9.向量\(\overrightarrow{AB}\)与向量\(\overrightarrow{BA}\)大小相等，方向相反。（）10.若\(f(x)\)是偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=3x^{2}-6x+2\)的对称轴和顶点坐标。答案：对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函数\(a=3\)，\(b=-6\)，则对称轴\(x=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=3-6+2=-1\)，顶点坐标为\((1,-1)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同时除以\(\cos\alpha\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，将\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：两直线平行斜率相等，已知直线斜率为\(2\)，设所求直线方程为\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，求其前\(5\)项和\(S_{5}\)。答案：先求公差\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，即\(5=1+2d\)，得\(d=2\)。由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，\(n=5\)时，\(S_{5}=5\times1+\frac{5\times4}{2}\times2=25\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的单调性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_{1}\ltx_{2}\)，\(y_{1}-y_{2}=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\gt0\)，\(y_{1}\gty_{2}\)，函数单调递减；在\((-\infty,0)\)上，同理任取\(x_{1}\ltx_{2}\lt0\)，\(y_{1}-y_{2}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\gt0\)，\(y_{1}\gty_{2}\)，函数也单调递减。2.已知椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），讨论\(a\)，\(b\)变化时对椭圆形状的影响。答案：\(a\)决定椭圆的长半轴长，\(a\)越大，椭圆越扁长；\(b\)决定短半轴长，\(b\)越大，椭圆越接近圆。当\(a\)固定，\(b\)增大，椭圆变圆；当\(b\)固定，\(a\)增大，椭圆更扁。3.讨论等比数列\(\{a_{n}\}\)中，公比\(q\)对数列的影响。答案：当\(q\gt1\)且\(a_{1}\gt0\)，或\(0\ltq\lt1\)且\(a_{1}\lt0\)时，数列递增；当\(q\lt-1\)且\(a_{1}\gt0\)，或\(-1\ltq\lt0\)且\(a_{1}\lt0\)时，数列递减；\(q=1\)时，数列为常数列；\(q\lt0\)时，数列正负交替。4.讨论直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是几何法，比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相离；二是代数法，联立直线与圆的方程得方程组，消元后判断所得一元二次方程判别式\(\Delta\