黑龙江省多校联考2024-2025学年高二下学期5月阶段测试（四）数学试题【含答案解析】

阶段测试卷（四）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解不等式可得集合，根据对数函数的定义可得集合B，进而求解.【详解】因为，所以，则，因为，所以，则，所以，故选：B2.已知集合，，若，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数函数的性质求出集合，再由交集的结果求解即可；【详解】由，所以，因为，所以，即，故选：D.3.已知集合满足，则不同的的个数为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】列举出满足要求集合，得到答案.【详解】由可得，，故不同的的个数为.故选：C4.已知命题，，命题，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题【答案】A【解析】【分析】分别判断命题、的真假，即可得答案.【详解】解：因为命题，，所以为真命题；命题当时，，故为真命题.故选：A.5.已知命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【详解】，成立的否定为：，成立．命题，，则是，.故选：C.6.已知三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成的真命题的个数有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质和指数函数的性质判断即可.【详解】若选择①②为条件：则，又，则，故，则，故若①②则③，为真命题；若选择①③为条件：，则，又，即，所以，即，故若①③则②，为真命题；若选择②③为条件：，又，所以，则，故若②③则①，为真命题．故选：D.7.设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是（）A. B. C. D.ac2＜bc2【答案】D【解析】【分析】根据不等式的开方和取倒的性质可判断AB，作差可判断C，当时可判断D.【详解】由b＞a＞0，可得，即，A正确；由b＞a＞0，可得，所以，B正确；由，所以，C正确；当时，ac2=bc2，所以D不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.8.已知，且，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件.【详解】由，即，又，所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错；由，即，所以，当且仅当时等号成立，C、D错.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】AC【解析】【分析】根据两个集合“相交”的定义，利用元素与集合的关系求解即可.【详解】由题意，集合与“相交”，当时，由，解得，此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”；当时，由，解得，此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”；综上所述，或；故选：AC.10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.存在，使得是真命题；C.若命题“，”为假命题，则实数n的取值范围是D.已知集合，则满足条件的集合B的个数为15【答案】AC【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误.【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，即选项A正确；对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解，即存在，使得是假命题，即选项B错误；对于C：若命题“，”为假命题，则若命题“，”为真命题，即无实数解，则，解得，即选项C正确；对于D：因为，所以，又因为，所以满足条件的集合有无数个，即选项D错误.故选：AC.11.下列有关最值的结论中，正确的是（）A.已知，则函数的最大值为0B.已知，，则的最小值为8C.已知，，则的最大值为4D.已知，为实数，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式验证各选项的最值即可.【详解】对于A，，则，，当且仅当，即时取等号，A错误；对于B，由，，得，且，，，当且仅当，即时取等号，B正确；对于C，，由，得，解得，当且仅当时取等号，C正确；对于D，显然要取到最大值，必有，此时，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛，本题各个选项均是求代数式最值，所以考虑利用基本不等式求最值.基本不等式中最核心的点在于构造出定值，对代数式进行合理整理化简求得定值是本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求得的最小值，即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立．又命题“，”是真命题，所以，即实数a的取值范围为．故答案为：13.已知集合，，若，，则________.【答案】19【解析】【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值.【详解】因为，，，，所以，所以5和6是方程的两个根，所以，解得，，所以.故答案为：19.14.已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.【详解】设，则在单调递增，又，所以，即，故.则.由题意是的充分条件，则，所以有，故实数m的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集为，集合，集合.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合，再利用并集、补集、交集的定义求解.（2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】解不等式，得，则，或，当时，，所以，.【小问2详解】由，得，而，当时，，解得，此时满足，因此；当时，，解得，所以实数的取值范围是.16.已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；.（1）若成立，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质得到，解得即可；（2）依题意可得真包含于，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为二次函数的对称轴为，若成立，即在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，即的取值范围为；【小问2详解】因为，，又是的充分不必要条件，所以真包含于，所以(等号不同时成立)，解得，经检验，当或时，，所以的取值范围为．17.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求的值及表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.【答案】（1），（2）隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为68万元【解析】【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加可得出的解析式；（2）利用基本不等式得出的最小值及对应的x的值.【小问1详解】依题意，当时，，即，解得，.【小问2详解】.当且仅当，即时“”成立.答：隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为68万元.18.某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完.（1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大?最大利润是多少万元?【答案】（1）（2）全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元【解析】【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.【小问1详解】当时，，当时，，所以【小问2详解】若，则，当时，；若，则，当且仅当，即时，等号成立，此时．因为，所以当全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．19.问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题；（1）若正实数，满足，求的最小值；（2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由；（3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值.【答案】（1）9（2），理由见解析（3）当时，取得最小值【解析】【分析】（1）由题可知，进而利用基本不等式中1的妙用求解即可；（2）由，结合基本不等式求解判断即可；（3）令，则