高数下第9章测试题及答案

高数下第9章测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.二元函数\(z=\ln(x+y)\)的定义域是（）A.\(x+y\gt0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x\gt0,y\gt0\)D.\(x\neq0,y\neq0\)2.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)3.函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微是函数在该点连续的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设\(D\)是由\(x=0,y=0,x+y=1\)围成的区域，则\(\iint_Ddxdy\)等于（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(2\)5.二次积分\(\int_0^1dx\int_0^xf(x,y)dy\)交换积分次序后为（）A.\(\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx\)B.\(\int_0^1dy\int_y^1f(x,y)dx\)C.\(\int_0^xdy\int_0^1f(x,y)dx\)D.\(\int_0^xdy\int_y^1f(x,y)dx\)6.设\(z=e^{xy}\)，则\(dz\)等于（）A.\(e^{xy}dx\)B.\(e^{xy}dy\)C.\(ye^{xy}dx+xe^{xy}dy\)D.\(e^{xy}(dx+dy)\)7.函数\(f(x,y)=x^2+y^2\)在点\((0,0)\)处（）A.有极大值B.有极小值C.无极值D.不是驻点8.设\(D\)是圆域\(x^2+y^2\leq1\)，则\(\iint_D(x^2+y^2)dxdy\)等于（）A.\(\frac{\pi}{4}\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.\(2\pi\)9.已知\(z=f(x^2-y^2)\)，则\(\frac{\partialz}{\partialy}\)等于（）A.\(f^\prime(x^2-y^2)\)B.\(-2yf^\prime(x^2-y^2)\)C.\(2yf^\prime(x^2-y^2)\)D.\(-f^\prime(x^2-y^2)\)10.设\(z=\frac{y}{x}\)，则\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)等于（）A.\(\frac{1}{x^2}\)B.\(-\frac{1}{x^2}\)C.\(\frac{1}{x}\)D.\(-\frac{1}{x}\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪些是多元函数的概念（）A.二元函数B.三元函数C.\(n\)元函数D.复合函数2.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数存在，则（）A.函数在该点连续B.函数在该点可微C.函数沿\(x\)轴方向可导D.函数沿\(y\)轴方向可导3.计算二重积分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)时，常用的方法有（）A.直角坐标法B.极坐标法C.换元法D.分部积分法4.设\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，则复合函数\(z=f(\varphi(x,y),\psi(x,y))\)的偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}\)为（）A.\(\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)B.\(\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partial\psi}{\partialx}\)C.\(\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partial\varphi}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partial\psi}{\partialx}\)D.\(\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partial\varphi}{\partialy}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partial\psi}{\partialy}\)5.函数\(z=f(x,y)\)的驻点满足（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=0\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=0\)C.\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=0\)D.\(\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=0\)6.下列区域中，是有界闭区域的有（）A.圆\(x^2+y^2\leq1\)B.矩形\(0\leqx\leq1,0\leqy\leq1\)C.半平面\(x\geq0\)D.区域\(x^2+y^2\lt1\)7.关于二元函数的全微分，下列说法正确的是（）A.全微分存在则偏导数存在B.偏导数存在则全微分存在C.全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)D.全微分与偏导数无关8.计算\(\iint_Dxydxdy\)，其中\(D\)由\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)围成，下列计算正确的是（）A.\(\int_0^1dx\int_0^xxydy\)B.\(\int_0^1dy\int_y^1xydx\)C.\(\int_0^1xdx\int_0^xydy\)D.\(\int_0^1ydy\int_y^1xdx\)9.设\(z=x^3+y^3-3xy\)，则（）A.驻点为\((0,0)\)B.驻点为\((1,1)\)C.在\((0,0)\)处有极值D.在\((1,1)\)处有极值10.多元函数的极值点可能是（）A.驻点B.偏导数不存在的点C.边界点D.连续点三、判断题（每题2分，共10题）1.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续，则偏导数一定存在。（）2.二重积分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的值与积分区域\(D\)的划分方式无关。（）3.若函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，则函数在该点沿任何方向的方向导数都存在。（）4.函数\(z=f(x,y)\)的驻点一定是极值点。（）5.交换二次积分\(\int_0^1dx\int_0^xf(x,y)dy\)的积分次序后为\(\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx\)。（）6.设\(z=f(x,y)\)，则\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)一定成立。（）7.若\(D\)是由\(x=0,y=0,x+y=1\)围成的区域，则\(\iint_D1dxdy=\frac{1}{2}\)。（）8.函数\(z=x^2+y^2\)在点\((0,0)\)处的梯度为\((0,0)\)。（）9.计算二重积分时，极坐标下\(dxdy=rdrd\theta\)。（）10.多元函数\(z=f(x,y)\)的全微分\(dz\)是\(\Deltaz\)的线性主部。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微的定义。答案：若函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示为\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)，其中\(A,B\)与\(\Deltax,\Deltay\)无关，\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)，则称函数在点\((x_0,y_0)\)处可微。2.写出计算二重积分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的直角坐标计算公式。答案：若\(D\)是\(X-\)型区域：\(a\leqx\leqb,\varphi_1(x)\leqy\leq\varphi_2(x)\)，则\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\)；若\(D\)是\(Y-\)型区域：\(c\leqy\leqd,\psi_1(y)\leqx\leq\psi_2(y)\)，则\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx\)。3.求函数\(z=x^2+3xy+y^2\)的偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。答案：\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x+3y\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=3x+2y\)。4.简述多元函数极值的必要条件。答案：若函数\(z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)在点\(P_0(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)\)处取得极值，且函数在该点的偏导数存在，则\(\frac{\partialf}{\partialx_i}|_{P_0}=0\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，即驻点是极值点的必要条件。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续、偏导数存在、可微之间的关系。答案：可微能推出连续且偏导数存在；偏导数存在且连续能推出可微；但连续推不出偏导数存在，偏导数存在也推不出连续，偏导数存在也推不出可微。2.在计算二重积分时，如何选择合适的坐标系（直角坐标或极坐标）？答案：若积分区域是矩形、三角形等边界由直线围成，或被积函数关于\(x,y\)形式简单，用直角坐标；若积分区域是圆、扇形等，或被积函数含\(x^2+y^2\)，用极坐标可简化计算。3.讨论函数\(z=x^3-3x+y^2\)的极值情况。答案：先求偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}=3x^2-3\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)，得驻点\((1,0)\)和\((-1,0)\)。再求二阶偏导数判断，在\((1,0)\)处有极小值\(-2\)，在\((-1,0)\)处无极值。4.举例说明多元函数在实际问题中的应用。答案：如在经济学中，生产函数\(Q=f(K,L)\)（\(Q\)为产量，\(K\)为资本，\(L\)