2017考研试题及答案

2017考研试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\ln(x+1)\)的定义域是（）A.\(x>-1\)B.\(x\geq-1\)C.\(x<-1\)D.\(x\leq-1\)2.下列极限中，值为\(1\)的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.设函数\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，则\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)等于（）A.\(f^\prime(a)\)B.\(f^\prime(0)\)C.\(f(a)\)D.\(f(0)\)4.函数\(y=x^3-3x\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)5.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，则\(\intf(2x)dx\)等于（）A.\(F(2x)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)C.\(2F(2x)+C\)D.\(F(x)+C\)6.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)7.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)8.设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(0,1)\)，则\(P(X\leq0)\)等于（）A.\(0\)B.\(0.5\)C.\(1\)D.\(0.25\)9.设\(X\)，\(Y\)为两个随机变量，且\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，则（）A.\(X\)与\(Y\)相互独立B.\(X\)与\(Y\)不相关C.\(X\)与\(Y\)同分布D.\(X=Y\)10.设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服从（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)答案：1.A2.A3.A4.D5.B6.B7.C8.B9.B10.A多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sinx\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导的充分必要条件是（）A.函数在点\(x_0\)处连续B.左导数\(f^\prime_-(x_0)\)和右导数\(f^\prime_+(x_0)\)都存在C.\(f^\prime_-(x_0)=f^\prime_+(x_0)\)D.函数在点\(x_0\)处有定义4.下列积分中，值为\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，下列结论正确的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)为常数）D.\(|AB|=|A||B|\)6.向量组\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)线性相关的充要条件是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.向量组的秩小于\(3\)C.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.向量组中任意两个向量线性无关7.设随机变量\(X\)服从泊松分布\(P(\lambda)\)，则（）A.\(E(X)=\lambda\)B.\(D(X)=\lambda\)C.\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）D.\(X\)只能取非负整数8.设\(X\)，\(Y\)为两个随机变量，且\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)，则（）A.\(X\)与\(Y\)相互独立B.\(X\)与\(Y\)不相关C.\(Cov(X,Y)=0\)D.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)9.下列关于正态分布的说法正确的有（）A.正态分布的概率密度函数图像关于\(x=\mu\)对称B.正态分布的参数\(\mu\)决定了图像的位置，\(\sigma\)决定了图像的形状C.标准正态分布是\(N(0,1)\)D.若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)10.设总体\(X\)的分布函数\(F(x;\theta)\)含有未知参数\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是\(\theta\)的一个估计量，则（）A.若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，则\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的无偏估计量B.若\(\hat{\theta}_1\)，\(\hat{\theta}_2\)都是\(\theta\)的无偏估计量，且\(D(\hat{\theta}_1)<D(\hat{\theta}_2)\)，则\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效C.若\(\lim_{n\to\infty}P(|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon)=1\)（\(\forall\varepsilon>0\)），则\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一致估计量D.估计量的评选标准有无偏性、有效性和一致性答案：1.AB2.BCD3.BC4.AB5.ACD6.ABC7.ABCD8.BCD9.ABCD10.ABCD判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是单调递减函数。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处一定连续。（）3.函数\(y=x^3\)的二阶导数\(y^{\prime\prime}=6x\)。（）4.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)。（）5.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=BA\)，则\((AB)^n=A^nB^n\)。（）6.向量组中若有零向量，则该向量组一定线性相关。（）7.设随机变量\(X\)的概率分布为\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)（\(k=1,2,3,4,5\)），则\(E(X)=3\)。（）8.若\(X\)与\(Y\)相互独立，则\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）9.总体\(X\)的样本均值\(\overline{X}\)是总体均值\(\mu\)的无偏估计量。（）10.假设检验中，犯第一类错误的概率就是显著水平\(\alpha\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√简答题（每题5分，共4题）1.简述函数极限与数列极限的关系。答案：函数极限与数列极限紧密相关。海涅定理指出，函数\(f(x)\)在\(x\tox_0\)时极限为\(A\)的充要条件是，对任意以\(x_0\)为极限的数列\(\{x_n\}\)（\(x_n\neqx_0\)），都有\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\)。这体现了两者在本质上的联系。2.简述矩阵可逆的充要条件。答案：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件有多个。如\(|A|\neq0\)；存在\(n\)阶方阵\(B\)，使得\(AB=BA=E\)；\(A\)的秩\(r(A)=n\)；\(A\)的行（列）向量组线性无关；齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解等。3.简述随机变量的数学期望和方差的定义及意义。答案：数学期望\(E(X)\)是随机变量取值的加权平均，离散型\(E(X)=\sum_{i}x_ip_i\)，连续型\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，反映取值中心位置。方差\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)，衡量随机变量取值相对期望的离散程度。4.简述矩估计法的基本思想。答案：矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。因为样本来自总体，样本矩在一定程度上反映总体矩特征。通过令样本的\(k\)阶原点矩等于总体的\(k\)阶原点矩，建立方程求解，从而得到总体未知参数的估计值。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数的单调性与导数的关系，并举例说明。答案：函数单调性与导数密切相关。若函数\(f(x)\)在区间\(I\)内导数\(f^\prime(x)>0\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增；若\(f^\prime(x)<0\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递减。例如\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，当\(x>0\)，\(y^\prime>0\)，函数在\((0,+\infty)\)递增；当\(x<0\)，\(y^\prime<0\)，函数在\((-\infty,0)\)递减。2.讨论向量组线性相关和线性无关的判定方法及应用。答案：判定方法有定义法，即看是否存在不全为零的数使线性组合为零向量。还有利用矩阵的秩，向量组的秩小于向量个数则线性相关，相等则线性无关。在解线性方程组、确定向量空间的基等方面有应用，比如判断方程组解的情况，确定基向量来表示其他向量。3.