课时练习2022-2023学年高二数学北师版选择性必修一课时一椭圆的简单几何性质+含解析

课时练习20222023学年高二数学北师版选择性必修一课时一椭圆的简单几何性质+Word版含解析（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）1.椭圆的标准方程是（）A.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）B.$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）C.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$（$a>b>0$）D.$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=0$（$a>b>0$）2.椭圆的焦距是（）A.$2a$B.$2b$C.$2c$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$a+b$3.椭圆的长轴与短轴之比是（）A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{b}{a}$C.$\frac{c}{a}$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$\frac{c}{b}$（其中$c^2=a^2b^2$）4.椭圆的离心率是（）A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{b}{a}$C.$\frac{c}{a}$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$\frac{c}{b}$（其中$c^2=a^2b^2$）5.椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于（）A.$2a$B.$2b$C.$2c$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$a+b$二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）6.椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，则其长轴长度为________。7.椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，则其短轴长度为________。8.椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，则其焦距为________。9.椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，则其离心率为________。10.椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，则其上任意一点到两个焦点的距离之和为________。三、解答题（共5小题，每小题10分，满分50分）11.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求证：椭圆的焦距等于长轴与短轴之差的绝对值。12.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求证：椭圆的离心率等于焦距与长轴之比。13.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求证：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。14.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求证：椭圆的长轴与短轴互相垂直。15.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求证：椭圆的中心在原点。四、计算题（共5小题，每小题8分，满分40分）16.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的焦距。17.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的离心率。18.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的长轴与短轴之比。19.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和。20.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的中心坐标。五、应用题（共5小题，每小题10分，满分50分）21.在一个椭圆的长轴上，有两个点A和B，它们到椭圆中心的距离分别为3和4，求椭圆的离心率。22.在一个椭圆的短轴上，有两个点C和D，它们到椭圆中心的距离分别为1和2，求椭圆的长轴与短轴之比。23.已知椭圆的焦距为6，长轴与短轴之比为sqrt31，求椭圆的标准方程。24.已知椭圆的离心率为frac12，长轴与短轴之比为2，求椭圆的标准方程。25.已知椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，长轴与短轴之比为3，求椭圆的标准方程。一、选择题1.A2.B3.C4.D5.E二、填空题6.2a7.2b8.a2b29.a2+b210.fracab三、解答题11.已知椭圆的标准方程为fracx2a2fracy2b21，求证：椭圆的焦距等于长轴与短轴之差的绝对值。证明：由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a。设椭圆的焦点为F1和F2，则根据距离公式，有F1F2=2a2c，其中c为椭圆的焦距。又由椭圆的性质可知，a2=b2+c2，即c2=a2b2。代入F1F2的表达式，得F1F2=2a2sqrt(a2b2)。化简得F1F2=2sqrt(a2b2)，即椭圆的焦距等于长轴与短轴之差的绝对值。12.已知椭圆的标准方程为fracx2a2fracy2b21，求证：椭圆的离心率等于焦距与长轴之比。证明：由椭圆的定义可知，椭圆的离心率e等于焦点到中心的距离与长轴之比，即e=fracca。又由椭圆的性质可知，a2=b2+c2，即c2=a2b2。代入e的表达式，得e=fracasqrt(a2b2)。化简得e=sqrt(1fracb2a2)，即椭圆的离心率等于焦距与长轴之比。13.已知椭圆的标准方程为fracx2a2fracy2b21，求证：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。证明：设椭圆上任意一点为P，焦点为F1和F2。根据距离公式，有PF1+PF2=2a。又由椭圆的性质可知，PF1+PF2=2a2c，其中c为椭圆的焦距。代入PF1+PF2的表达式，得2a2c=2a，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。14.已知椭圆的标准方程为fracx2a2fracy2b21，求证：椭圆的长轴与短轴互相垂直。证明：设椭圆的长轴为AB，短轴为CD。由椭圆的性质可知，AB的中点为椭圆的中心O，CD的中点也为椭圆的中心O。又由椭圆的定义可知，AB的长度为2a，CD的长度为2b。根据勾股定理，有AO2+CO2=AC2，即a2+b2=AC2。又由椭圆的性质可知，AC=2c，其中c为椭圆的焦距。代入AC的表达式，得a2+b2=4c2。又由椭圆的性质可知，a2=b2+c2，即c2=a2b2。代入a2+b2的表达式，得a2+b2=4(a2b2)。化简得3b2=3a2，即b2=a2。因此，AB与CD互相垂直。15.已知椭圆的标准方程为fracx2a2fracy2b21，求证：椭圆的中心在原点。证明：设椭圆的中心为O，焦点为F1和F2。由椭圆的性质可知，OF1=OF2=c，其中c为椭圆的焦距。又由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a。设椭圆上任意一点为P，根据距离公式，有PF1+PF2=2a。又由椭圆的性质可知，PF1+PF2=2a2c。代入PF1+PF2的表达式，得2a2c=2a，即2c=0。因此，c=0，即椭圆的中心在原点。四、计算题16.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的焦距。解：由椭圆的定义可知，焦距c=sqrt(a2b2)。代入a=2，b=1，得c=sqrt(2^21^2)=sqrt(3)。17.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的离心率。解：由椭圆的定义可知，离心率e=fracca。代入a=2，c=sqrt(3)，得e=frac2sqrt(3)。18.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的长轴与短轴之比。解：由椭圆的定义可知，长轴与短轴之比为fracab。代入a=2，b=1，得fracab=2。19.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和。解：由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a。代入a=2，得2a=4。20.已知椭圆的标准方程为fracx22fracy211，求椭圆的中心坐标。解：由椭圆的定义可知，椭圆的中心坐标为(0,0)。五、应用题21.在一个椭圆的长轴上，有两个点A和B，它们到椭圆中心的距离分别为3和4，求椭圆的离心率。解：由椭圆的定义可知，离心率e=fracca。由题意可知，A和B到椭圆中心的距离分别为3和4，即a=4，c=3。代入离心率的表达式，得e=frac34。22.在一个椭圆的短轴上，有两个点C和D，它们到椭圆中心的距离分别为1和2，求椭圆的长轴与短轴之比。解：由椭圆的定义可知，长轴与短轴之比为fracab。由题意可知，C和D到椭圆中心的距离分别为1和2，即b=2，a=2。代入长轴与短轴之比的表达式，得fracab=1。23.已知椭圆的焦距为6，长轴与短轴之比为sqrt31，求椭圆的标准方程。解：由椭圆的定义可知，焦距c=sqrt(a2b2)，长轴与短轴之比为fracab。由题意可知，c=6，fracab=sqrt31。代入焦距和长轴与短轴之比的表达式，得6=sqrt(a2b2)，fracab=sqrt31。解得a=6sqrt3，b=6。因此，椭圆的标准方程为fracx2(6sqrt3)^2fracy26^21。24.已知椭圆的离心率为frac12，长轴与短轴之比为2，求椭圆的标准方程。解：由椭圆的定义可知，离心率e=fracca，长轴与短轴之比为fracab。由题意可知，e=frac12，fracab=2。代入离心率和长轴与短轴之比的表达式，得frac12=fracca，fracab=