内蒙古呼和浩特第二中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试卷（含解析）

内蒙古呼和浩特第二中学2023−2024学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．若成等差数列，则（

）A． B． C． D．4．设为实数，且，则下列不等式正确的是（

）A． B．acC．ba>ab5．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（

）

A． B． C． D．6．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（

）

A． B．C． D．7．已知函数y=f(x-1)的图象关于x=1对称，且对y=f(x)，xR，当x1，x2（-）时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的xR恒成立，则实数a的范围（

）A．-<a< B．a<1 C．a< D．a8．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知数列的前项和为，，且，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列10．下列说法正确的是（

）A．已知等比数列an是递增数列，是其公比，则B．数列an的前项和为为常数.对任意常数都是等差数列C．设，则的最小值为D．设，则的最小值为911．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则（

）A． B．函数的一个周期为4C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．.13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是14．函数与函数公切线的斜率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知集合，集合.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17．已知函数.(1)若，求在区间上的极值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，求证：.18．若正整数最大公约数为1，则称互质.对于正整数是不大于的正整数中与互质的数的个数，称为欧拉函数.例如.设数列是等比数列，且.数列的前项和为，满足.(1)求的通项公式；(2)设，求的前2024项和（结果用表示，数字用分数）；(3)证明：.19．已知函数.(1)在的切线斜率为2，求；(2)当时，①，证明：；②判断的零点个数，并说明理由.

参考答案1．【答案】C【分析】求得集合A,B的并集，根据补集的概念和运算，即可求得答案.【详解】∵，，,∴，∴.故选C．2．【答案】B【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求出结果.【详解】则命题“，”的否定为，.故选B.3．【答案】B【分析】由题意可得：2lgb＝lga+lgc＝lg（ac），进而根据对数的运算性质可得【详解】因为lga、lgb、lgc成等差数列，所以2lgb＝lga+lgc＝lg（ac），即b2＝ac．故选B．4．【答案】D【分析】取特殊值可求得A、B、C错误，由作差法可得D正确.【详解】由可知，不妨取，对于A，，所以A错误，对于B，当时，ac2<bc对于C，，可得C错误；对于D，，即可得，即D正确.故选D.5．【答案】A【分析】借助的图象，判断和的符号，从而得到答案.【详解】由图可得：时，，单调递增，则，所以，时，，单调递减，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以当时，，单调递减，则，所以，时，，单调递增，则，所以，综上：的解集为.故选A.6．【答案】A【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为R，对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B.对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C；对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D.故选A.7．【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】的图象关于对称，的图象关于对称，即是偶函数，当，，时，成立，此时为减函数，则在，上为增函数，若对任意的恒成立，等价为若对任意的恒成立，即，当时，不等式成立，当时，不等式等价为，当时，，当且仅当时取等号，则，即，得.故选．【关键点拨】本题主要考查不等式恒成立，利用函数奇偶性和单调性的性质，利用参数分离法以及基本不等式的性质进行转化是解决本题的关键．8．【答案】B【分析】函数上存在点关于原点的对称点在函数的图象上，从而可以转化为函数与的图象在上有交点的问题，再分离参数得到，设，通过求导判断的单调性，求的值域即可得到答案.【详解】由题意可知，函数上存在点关于原点的对称点在函数的图象上，可以转化为函数关于原点对称的函数与的图象有交点，函数关于原点对称的函数为即，所以，与在上有交点，由得，设，即与y=gx在上有交点，

，令，得，所以在上单调递增，令，得，所以在上单调递减，所以，，又由，，，所以，所以要想有交点，的取值范围为.故选B.【方法总结】分离参数解决图象交点问题将参数移一边，即，从而只需要研究这一个函数的性质，从而得到参数的取值范围.9．【答案】ABD【分析】根据给定条件求出判断A；求出数列的通项及前项和判断BCD.【详解】数列的前项和为，，且，则，即，解得，A正确；由，得当时，，两式相减得，即，，显然不满足上式，因此，数列不是等比数列，C错误；显然，B正确；因为，，则，于是是等比数列，D正确.故选ABD.10．【答案】AD【分析】对于A，根据递增数列的定义结合等比数列的通项公式分析判断，对于B，根据等差数列的定义分析判断，对于CD，利用基本不等式分析判断.【详解】对于A，因为等比数列an是递增数列，所以且，即，且，所以，且，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，当时，，所以当时，不满足，所以数列an不一定是等差数列，所以B对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9，所以D正确.故选AD.11．【答案】BCD【分析】对于A，根据奇函数的性质分析判断，对于B，令，可判断其为偶函数，再结合为奇函数，可求出其周期判断，对于C，利用的周期分析判断，对于D，由，利用并项求和判断.【详解】对于A，因为为上的奇函数，所以，所以，因为，所以，所以A错误，对于B，令，因为，所以，所以，所以为偶函数，因为为上的奇函数，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数，即函数的一个周期为4，所以B正确，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以，所以，，，，，，，，，，所以，所以D正确.故选BCD【关键点拨】此题考查利用赋值法求抽象函数的值，考查抽象函数的奇偶性、周期性，解题的关键是根据已知的关系式合理赋值求解，考查逻辑推理能力和计算能力.12．【答案】12【分析】根据对数和指数运算法则计算可得结果.【详解】易知.故答案为：12.13．【答案】[3，）【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”的原则求得答案.【详解】由题意，，而函数的对称轴为：，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数的增区间为：，又因为函数在上单调递增，所以.故答案为：.14．【答案】1或【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率.【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为；易知，，因此公切线斜率为，因此，可得，即又易知，整理可得，即，即，解得或；因此可得斜率为或.故答案为：1或.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，从而可求出；（2）由题意得⫋，转化为对任意的恒成立，根据二次函数的性质可求得结果.【详解】（1）由，得，所以，解得，所以所以，当时，，所以；（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以⫋，因为，则对任意的恒成立，令，所以，即，解得或，所以的取值范围为16．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式；（2）由裂项相消法可求出.【详解】(1)由，又有，，两式相减得，因为，所以，又，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为，公差为，所以，(2)所以，.17．【答案】(1)极小值，无极大值(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数可得在区间上的极值；（2）求出f'x分、讨论，可得答案；（3）当时只需证明，设，利用导数求出最小值可得答案.【详解】（1）当时，，则，1f0单调递减极小值单调递增所以fx在区间上有极小值f（2）函数的定义域为，当时，，从而f'x<0，故函数在0,+∞当时，若，则，从而f'x<0若，则，从而f'x>0故函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，函数在0,+∞上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增.所以最小值为，只需证明：，即证成立，设，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，可得，即，得证.18．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析；【分析】（1）根据等比数列定义求出首项和公比可得，再由之间的关系式即可得；（2）利用错位相减法可求得的前2024项和；（3）采用作差法可得，即可得出结论.【详解】（1）由可得，；又因为数列是等比数列，设的公比为，可得，因此；所以，即；可得；即；当时，满足上式，即可得；所以的通项公式分别为，（2）由（1）可知，设；则两式相减可得，即，所以（3）设，即可得，当时，，原不等式成立；当时，，即可得，所以，即19．【答案】(1)；(2)①证明见解析；②两个【分析】（1）根据导数的几何意义代入计算解方程可得；（2）①对函数求导并构造函数利用函数单调性即可证明得出结论；②对不同区间上的单调性进行分类讨论，并利用零点存在定理可得在上有两个零点.【详解】（1）由可得,可得，解得；（2）当时，，其定义域为；可得；①当时，令，则，令，则；因此可知在上单调递增，即，因此，可得在上单调递增；所以，即在上单调递增，因此，即可得时