2024高考数学二轮复习第一部分题型专项练中档题保分练五文

PAGEPAGE1中档题保分练(五)1．(2024·惠州模拟)Sn为数列{an}的前n项和，a1＝3，且Sn＝an＋n2－1，(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)由Sn＝an＋n2－1①，得Sn＋1＝an＋1＋(n＋1)2－1②.∴②－①得an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋1－an＋(n＋1)2－n2，整理得an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝eq\f(1,2n＋12n＋3)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).则Tn＝b1＋b2＋…bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))))＝eq\f(n,32n＋3).2．(2024·阳春一中模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90˚，平面AA1C1(1)求证：AA1⊥A1B；(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60˚，求点C到平面A1ABB1解析：(1)证明：∵平面A1ACC1⊥平面ABC，交线为AC，又BC⊥AC，∴BC⊥平面A1ACC1，又AA1⊂平面A1ACC1，∴BC⊥AA1，∵∠AA1C＝90˚，∴AA1⊥A1C，又∵BC∩A1C＝C，∴AA1⊥平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC，∴AA1⊥A1B.(2)法一：由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A⊂平面A1ABB∴平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交线为A1B.点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的A1B边上的高，设其为h.在Rt△AA1C中，A1A＝2，∠A1AC＝60˚，则A1C＝2eq\r(3).由(1)得，BC⊥A1C，∴Rt△A1CB中，BC＝3，A1B＝eq\r(21).h＝eq\f(BC×A1C,A1B)＝eq\f(6\r(3),\r(21))＝eq\f(6\r(7),7).即点C到平面A1ABB1的距离为eq\f(6\r(7),7).法二：点C到平面A1ABB1的距离为h，则由VC­AA1B＝VA­A1BC得：eq\f(1,3)S△AA1B·h＝eq\f(1,3)S△A1BC·AA1，由(1)可知A1A⊥A1B，BC⊥A1C.∴Rt△A1CB中，BC＝3，A1B＝eq\r(21).∴S△AA1B＝eq\f(1,2)AA1·A1B＝eq\r(21)，S△A1BC＝eq\f(1,2)BC·A1C＝3eq\r(3)，∴h＝eq\f(S△A1BC·AA1,S△AA1B)＝eq\f(6,7)eq\r(7)，即点C到平面A1ABB1的距离为eq\f(6\r(7),7).3．如图所示是某市有关部门依据该市干部的月收入状况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000，请依据该图供应的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必需从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．解析：(1)∵月收入在[1000,1500)的频率为0．0008×500＝0.4，且有4000人，∴样本的容量n＝eq\f(4000,0.4)＝10000；月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500＝0.2；月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500＝0.15；月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500＝0.05.∴月收入在[2500,3500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为0．2×10000＝2000.(2)∵月收入在[1500,2000)的人数为0．2×10000＝2000，∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×eq\f(2000,10000)＝20(人)．(3)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为0．4＋0.2＝0.6>0.5，∴样本数据的中位数为1500＋eq\f(0.5－0.4,0.0004)＝1500＋250＝1750(元)．4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)(2024·洛阳模拟)在极坐标系中，直线l：ρcosθ＝－2，曲线C上随意一点到极点O的距离等于它到直线l的距离．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若P、Q是曲线C上两点，且OP⊥OQ，求eq\f(1,|OP|)＋eq\f(1,|OQ|)的最大值．解析：(1)设点M(ρ，θ)是曲线C上随意一点，则ρ＝ρcosθ＋2，即ρ＝eq\f(2,1－cosθ).(2)设P(ρ1，θ)、Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，\f(π,2)＋θ))，则eq\f(1,|OP|)＋eq\f(1,|OQ|)＝eq\f(2＋sinθ－cosθ,2)≤eq\f(2＋\r(2),2).(选修4－5：不等式选讲)(2024·洛阳模拟)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a、b、c均为正实数，且满意a＋b＋c＝m，求证：eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)≥3.解析：(1)因为函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|，所以当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)，综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：据(1)求解知m＝3，所以a＋b＋c＝m＝3，又因为a＞0，b＞0，c＞0，所以∴eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)＋(a＋b＋c)＝(eq\f(b2,a)＋a)＋(eq\f(c2,b)＋b)＋(eq\f(a2,c)＋c)≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b2,a)·a)＋\r(\f(c2,b)·b)＋\r(\f(a2,c)·c)))，