高考数学 压轴圆锥讲义：圆锥曲线中的证明问题

专题14圆锥曲线中的证明问题

一、考情分析

圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现，主要有两大类：一是证明点线位置关系，如直线或曲

线过某个点、直线平行与垂直、直线对称等问题,二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关

系，如相等与不相等.

二、解题秘籍

（一）证明直线或圆过定点

证明直线过定点,通常是设出直线方程y=爪+〃2,由已知条件确定人,“2的关系.若〃2=成+人,

则、=丘+相=左@+0）+。,则直线过定点（-。㈤,证明圆过定点，常见题型是证明以AB为直

径的圆过定点尸,只需证明

22

【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期质量检测）已知椭圆C：宏+方=1（。>6>0）

的离心率为B，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/：>=去+7〃与椭圆C交于异于点B的两点P,。,直线3尸,2。与x轴相交于

m（即。）,若工+'=1,求证：直线/过一定点，并求出定点坐标.

XMXN

【解析】（1）,**—=—―,2d!=4,ci=2,c=V3,Z?2=a2—c2=1-

a2

故椭圆方程为1+

y=kx+m

（2）联立直线和椭圆可得/2_，解得。+4〃b2+8协吠+4加―4=0.

彳+'=

于是有：A=（86w）2-4（l+4左2）（44一4）>0=>"<4左2+1,

8km4m2-4

为+“—一，取2=干口

由题意叱”

分另U和y=。联立得,为=■——,XN-■—0,

1-%1-%

11y1-y,1-yr\-kx,—ml-kx.-m、

由——十—=1,得一^+^^9=1,即——1—+——--=1

XMXN占X2%/

整理得（2后+1）%马+（m一1）（%+%2）=°，

整理得（m—1）（2左+1+7九）=0,解得机=1或者相

当〃?=1时，直线/：y=履+1过点民与题意矛盾，应舍去.

故直线/的方程为：>=区-1-2七过定点为（2,-1）.

【例2】（2023届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试）在平面直角坐标系中，

已知点尸（2,0），直线/:x=g,点M到/的距离为d,若点M满足IMF|=2d，记M的轨迹为C

⑴求C的方程；

⑵过点F（2,0）且斜率不为0的直线与C交于P,。两点，设4-1,0）,证明：以尸,。为直径的圆

经过点A.

【解析】（1）设点”（x,y）,则d=x-J，阳刊=J（x-2）2+y2,

由=2d，得y/（x-2）2+y2=2x-1，两边平方整理得3x2-y2=3,

2

则所求曲线C的方程为炉-工=1.

3

（2）设直线加的方程为x=（y+2,P（药,乂）,。（々,%）,

联立方程［二;=3，消去了并整理得（犷f丁+12h+9=0,,

因为直线加与C交于两点，故fw土乎，此时A=（12/）2-4（3?-1）-9=36（?+1）>0,

,,12t9n

所cr以M+%=一短二丁"%=三二？，而

%+9=r（乂+%）+4,%%=（明+2）®2+2）=产乂%+（％+%）+4.

又AP=（再+1,%）,AQ=（演+1,%）,

所以”-4°=（玉+1）（电+1）+%%=%%+玉+&+玉马+1

/c\9产+936产9（-3*+1）

=（产+1）%%+3〃%+%）+9=12---------2——+9=12--------+9=0.

\…2\力）2）3?-13』—13」—1

所以AP，AQ,即以R。为直径的圆经过点A.

（-）证明与斜率有关的定值问题

证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题，此类问题通常是把

斜率之和或斜率之积用点的坐标表示，再通过化简使结果为定值，此外证明垂直问题可转化为

斜率之积为-1，证明两直线关于直线X=f或y=r对称，可转化为证明斜率之和为0.

22

【例3】（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆M|：3+2=l（a>b>。）的

ab

JQ

左、右焦点分别为耳，工,|耳闻=2，面积为;的正方形ABCD的顶点都在得上.

⑴求必的方程；

22

⑵己知P为椭圆M,：3+-y=1上一点，过点P作陷的两条切线k和k，若k,12的斜率分别

2a2b

为求证：上的为定值.

【解析】（1）根据对称性,不妨设正方形的一个顶点为A（x,x）,

f222

由3+5r=1，得一=答nh记，

aba+b

所以2#^X2#^=y，整理得12（/+〃）=7aV.0

又/一/=（曲]=i,②

I2J

由①②解得4=4,〃=3,

22

故所求椭圆方程为土+^=1.

43

22

（2）由已知及（1）可得M,:土+上=1,

286

设点尸（不，%）,则To=6//]

设过点P与相切的直线/的方程为y-y0=k（x-x01

与[+[=1联立消去y整理可得（4/+3）/+诙（%-去。）工+4[（%-"）2-3]=0,

令A=[8%（%一处））丁-4x（442+3卜4[（%一履。）2-31=0,

整理可得（%-4*—25%+y；-3=0，③

根据题意K和k2为方程③的两个不等实根，

所以麻号3中4卜-：（片-4）3,

明=一=/—4=一1

3

即秘2为定值

4

22

【例4】（2023届天津市第四十七中学高三上学期测试）已知椭圆C：a+方=1（。>6>0）

的右焦点和上顶点均在直线x+y-6=0上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)已知点A(2,l)，若过点B(3,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点M,N.直线AM和直线

AN的斜率分别为尤和目,求证：尢+质为定值.

【解析】(1)对于直线%+y-4=0,当x=0时,y=石，当>=。时=

因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线％+y-百=。上，

所以6=石,c=邪,

所以〃=Z?2+c2=6,

22

所以椭圆方程为1+==1,

63

(2)因为3(3,0)在椭圆外，过点3(3,0)的直线/与椭圆C交于不同的两点，

所以直线/的斜率一定存在，

所以设直线/方程为了=以》-3),设M(占,％),N(X2,y2),

y=k(x-3)

由2，得(1+2/)，-12左、+18/-6=。，

—+—y=1

163

A=144/-4(1+2k2)(18k2-6)=-24k2+24>。,得一1<女<1,

nk218左2-6

%+x

21+2/*1-l+2k2

,,y一1储-3%-1%—1kx?-3k—1

因为勺=脑=不1%2=^AN

玉一2x?—2%2—2

kx^—3k—1kx?-3k-1

所以上1+左2=

玉一2入2—2

(kX1—3k—1)(%2—2)+(kx?—3k—1)(玉一2)

(%-2)(X2-2)

%[2玉%—5(玉+%)+12]—(项+9)+4

xxx2—2(%+x2)+4

2

18V-6「12k2.12k4

M2---------55-------7+12]----------t+4

1+2左21+2左21+2左2

18^6_2."+4

l+2k21+2F

-4A:2+4c

=---；---=-2

2k2-2

(三)证明与线段长度有关的等式

证明与线段长度有关的等式问题,一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式，再借助根

与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等.

[例5](2023届江苏省高三上学期起航调研)在平面直角坐标系xOy中,抛物线

c：/=2x.A,4为c上两点，且分别在第一、四象限.直线A4与尤正半轴交于4,

与y负半轴交于A4.

⑴若ZA,OA2>90。,求4横坐标的取值范围；

⑵记△的重心为G,直线AA,4G的斜率分别为自,k2，且&=2%.若1|=21A,A41,证明:

力为定值.

【解析】(1)设4pl■，芳；4(拳斗；4

22

幺04>90。，；.西-MvO,即U+M%<。,-4<%%<0,

直线A4的方程为:

整理可得,y=」一尤+丹二，令y=o,则无3=-华e(°，2),

%+%/+%2v7

即A3横坐标的取值范围(0,2)；

(22\

2L+A

(2)AA04的重心为G232,4(一号，。)，

\7

%+%,、

k=32(一+%)2

'•Ly；+货一犬+贡+3%%，又匕且&=2《.

+

TT,yty2…

32

2(%+%)

-----.化简得,y：+货=-4%%,

y；+£+3%%

号，。，4。，

144121_与_0：+1_1)(%+/2『+4

4(M+%y

=Efya+yzY=(3-2%%+及)(y；+2乂%+£)=(-6%%)(-2%%)=12

(yyj(X%)2(x%)2

即2=28，所以/为定值.

22_

【例6］已知双曲线C:=-与=l(a>0,6>0)的离心率是右，点尸是双曲线C的一个焦点，且点

ab

F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.

(1)求双曲线C的标准方程.

⑵设点M在直线段；上，过点加作两条直线//,直线乙与双曲线C交于A2两点，直线4与

MAME

双曲线C交于E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明:

MDMB

［解析】根据双曲线的对称性,不妨设F(c,O)，其渐近线方程为bx±ay=O,

因为焦点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.

所以2=―

因为双曲线C的离心率是6,

6Z=1,

所以,2=，解得

b=2.

c2=a2+b2

2

所以,双曲线c的标准方程为-

(2)证明：由题意可知直线4的斜率存在，设知

直线4：y=(x-；

+t,A（xl,yl）,B（x2,y2）.

y=k（x--^）+t

11

联立x+——k9——kt+t9+4=0

162

X2

22

2kt--k2^-k--kt+t+4

所以"+%=_

2“I%=162

k2-4k2-4

1俨+1）（4/+15）

故|〃4眼4=仔+1)仁+i)X\X2一工（玉+%）+而

44K

俨+1）（4/+15）

设直线6的斜率为匕同理可得|羽0卜四同=

4依一4

因为直线AB与直线OE的倾斜角互补,

所以左=一匕所以二=小,

（无2+1）（4*+15）（小+*4产+15）

则，即\MA\-\MB\=\MD\-\ME\,

4K4|r2-4|

ME

所以画=

MB

（四）证明代数式的值为定值或证明与代数式有关的恒等式

证明此类问题一般是把代数式用点的坐标表示后化简或构造方程求解

22

【例7】（2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期检测）椭圆C的方程为1r+方=1（°>6>0）,

过椭圆左焦点K且垂直于x轴的直线在第二象限与椭圆相交于点尸，椭圆的右焦点为工，己

知tan=*，椭圆过点j.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点B作直线/交椭圆C于48两点，交V轴于M点，若庇=%藕，

施=%瓯,求证：4+4为定值.

,2贵

22

【解析】（1）依题可知：PFt=-,t/…7«-c6

所以12/-12。2=2岛c,即6

解得海

又•.•椭圆C过点A）瓦:，则:+J=1

a2=oT2.2

a=2

联立＜£=省可得＜

b=l,

a2

cA

31=/3

L24b2

椭圆C的标准方程为三+y2=i.

4

（2）设点A（%,%）、3（%,/（百，。）,

由题意可知，直线I的斜率存在，可设直线/的方程为y=左1-百）,

y=左卜_@

22

联立\2，可得（4k+l）x-8辰2%+12左2—4=0,

——+V2=1

14,

由于点尸2在椭圆C的内部，直线/与椭圆。必有两个交点,

由韦达定理可得看+x2=常、,X•Z=空A

MA=4AF2,MB=4BF2,M（0,y0）,

得（占，%-%）=4（石-尤i,一yJ,（%，%-%）=&（有一%，-%）,

24/-2(12r-4)

.：一।——(%+%)-2%x?必?+1一.

一4--6-X、石-々-3-若(X]+4)+xj2-(12k2-4)-24k2~

3+—4FTT

22

【例8】(2023届广东省揭阳市高三上学期8月调研)已知”、总是椭圆C：上+2=1的

43

左、右焦点，点P(m㈤(〃卢0)是椭圆上的动点.

(1)求△尸百鸟的重心G的轨迹方程；

⑵设点。(sj)是△尸与鸟的内切圆圆心,求证：m=2s.

【解析】(1)连接P。,由三角形重心性质知6在2。的三等分点处(靠近原点)

设G(x,y),则有根=3元,”=3y

又史+式=所以"+空=即％+32=1

43434

Q2

△尸耳居的重心G的轨迹方程为—r+3y2=1("0)；

4''

(2)根据对称性，不妨设点?在第一象限内，易知圆。的半径为等于f,

利用等面积法有：S/F]居=学尸耳|11•/=—II

-t+-|PF2-t+-\F1F2FXF2-n

结合椭圆定义:|尸耳|+|尸定义4,|瑞玛|=2

有，解得/=/

由P(m,ri)、月(T,0)两点的坐标可知直线P片的方程为依-Q"+l)y+〃=0

根据圆心。到直线PFX的距离等于半径，有3__n

击2+(—+1)23

|3$—根+2]

《2+(+])2=1,1•9/—6sm+12s—6m+3—n2=0

222

；・3s2-2sm+4s-2m+1--=0，又+—=1

343

化简得12s之—8sm+16s-8根+加之=o,即(12s?—8^+^2)+(165—8m)=0

(2s—m)(6s—m)+8(2s—m)=0,即(2s—m)(6s—m+8)=0

由已知得一2<相<2,—1<5<1,贝!)6s—m+8〉0

所以2s-加=0,即m=2s.

三、跟踪检测

1.(2023届湖南省长沙市一中等名校联考联合体高三上学期11月联考)设椭圆C：

22

5+/=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F\,F『A,B是该椭圆C的下顶点和右顶点，且

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)经过点的直线/：>=云+加交椭圆C于尸,。两点(点产在点。下方)，过点尸作x轴

DE

的垂线交直线AB于点D，交直线8。于点£,求证：—为定值.

【解析】(1)由题可得,|明=77式=6,

所以。?+/=5,

因为椭圆的离心率为正，所以e=£=3,

2a2

结合椭圆中。2二片一片可知,^^2,/^].

所以椭圆C的标准方程为—+/=1.

(2)依题意作如图:

%

设尸（西，％）,。小,%）,直线/的方程为i=云+机

将点（2,-1）代入得：加=-2左—1,

直线/：y=kx-{lk+\）.

由于椭圆C：—+4（0,—1）,5（2,0）,

联立方程+>=1得（4%2+1）尤2-8%（2左+l）x+16F+16左=。,

y=kx-（2k+i）

由A=—64左>0,得k<0,

16左2+8左16k2+16k

%1+%22=---4--左-25-+-1---，勺为工22=--4---V；-+--1-----，

直线A5的方程为：x-2y-2=0,

直线8。的方程为：y=-%（x-2）,

X?一乙

yx=村_（2左+1）

y2=kx2_（2k+1）

16k+8左①

x+x=

124V+1

2+16左

下面证明②：（%一2）%+（%2-2）%—（％—2）（x2-2）

=（再一2）［^%2—（2k+1）］+（%2-2）［A%J-（2k+1）］—（再一2）（%2—2）

=（2左一I）七%—（4左一1）（玉+%）+8左,

运用①中的韦达定理：（2左—1）石马—（4左—1）（%+%）+8左

,c,八16上~+16左/..八16左~+8Kc,

=（2左一1）——--------（4左一1）——-——+8k

''4F+1v'4人2+1

32k3+32k2-16k2-16k-64k3-32k2+16F+8A:+32k3+Sk八

一—u,

4产+1

即②成立，

，X+上-2）=2x三工，即点E和尸的纵坐标之和等于。点纵坐标的2倍,

%2一/2

DE

。点是线段£P的中点，即而■=：1,

DE

综上，中=1,故为定值.

r22一

2.（2023届河南省焦作市高三上学期期中）已知椭圆C：2+方v=1（。>>>0）的离心率为

丰，点M（l,0）,G（4,0）椭圆C的右顶点A满足2血+彩=。.

（1）求椭圆C上一点尸到点M的最小距离；

⑵若经过M点的直线/交椭圆。于石,尸两点,证明：当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实

/_________\

数4,使得血=2自+陷.

[]GE\MJ

【解析】（1）解：A（。,。），

因为2丽'+ZS=G,所以2（1—。,。）+（4—凡0）=。，

即（6—3。,。）=0,所以6—30=0,解得。=2,

i,曷心率e=9=£=Y2，所以c=V2,

all

所以）2=片_02=2、

所以椭圆的标准方程为工+《=1,

42

设P（x,y）,（-2K2）,

则1PM=/=^（X-1）2+2-1%2=gx-2『+1.

当丈=2时疗ML=1，

所以椭圆C上一点尸到点M的最小距离为1；

（2）证明：当直线/的倾斜角为0时，直线/与x轴重合，

不妨取矶-2,0）*（2,0）,

则的=（-3,0）,||二七|^=(一10)豆=及

=(-1，°),

IGFI2

GEGF

由丽=2I——1+

、同十团，得吟5

7_、

GEGF

所以此时存在实数2，使得过0=4

R+H

当直线/的倾斜角不为0时,设直线方程为x=7畋+1,石（药,乂）,打々，%），

贝也=相％+1,%=叫+1，

K+£=1

联立:42，消尤得(M+2)y2+2g；—3=0,

x=my+1

2m3

贝1%+%=—疗+2'"%疗+2'

k.k：XI%一■(◎-3)+%(〃3-3)

GEGF

-4x2-4(myl-3)(my2-3)

6m6m

2。跖-3(%+%)

疗+2W+2=0-

（以-3）（纵-3）（以-3）（%-3）

所以直线GE,GF的倾斜角互补，则GM平分ZEGF,、

所以当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实数九使得的=力S+S,

GEGF）

[\\\\7

综上所述，当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实数2,使得GM=A

22

3.已知椭圆C东+方=1（。>6>0）的长轴长为43,工为C的左、右焦点，点

*%，%）（%工。）在C上运动，且cos4Pg的最小值为[连接P&P鸟并延长分别交椭圆C

于M,N两点.

(1)求C的方程；

⑵证明：旨工+「^为定值.

3△0"^^OF2N

【解析】(1)由题意得。=2,

设忸耳||尸国的长分别为机“根+〃=2a=4

22

,、2,_2/12b1,=2b]1

m,i加2+〃2_42(\-4c-2mn=------z-----^2~~r~江口/口

则cos/耳尸耳=--------------m--+--nL-----------rnn(m+n\a，当且仅

2mn2mnI-I

当加=九时取等号，

从而甘-1=L得与=；•方=3,

a22a-4

22

则椭圆的标准方程为土+匕=1;

43

（2）由（1）得£（—1,0）,8（1,0）,

设M（占,％）仆（々,为），

设直线尸河的方程为X=5y-1,直线PN的方程为x=8y+l,

%%

%o+11

X——y-1「/\21/\

由2?，得江"+49-3Dy-9=。，

X2>2yy

143

-9=_9y（）2=-9%2_______=-3%2

22-22

则s3（.+1）\[3（x0+1）+4y03x0+4.y0+6x0+3-2x0+5,

Vo?r

.y二-3%

2%+5，

-3%

同理可得当=

5—2%'

S；1%（河+冈）

所以aA

0/\OPN_2,2=_A+A+i

T一_j十iUi%.

、丛OMF、建*'-R||yJ/陷旧I

%+%+i=12

3

2x0+55-2x0,

4.（2022届湖北省十堰市丹江口市高三下学期模拟）已知双曲线c:1-《=l（a>0/>0）的

ab

左、右顶点分别为A，4,右焦点为尸（2,0）,点尸为c上一动点（异于4,4两点），直线尸4和

直线尸4与直线x=l分别交于两点，当尸尸垂直于无轴时，△尸44的面积为2.

⑴求c的方程；

（2）求证：NMFN为定值，并求出该定值.

【解析】（1）由题意知c=2,则1+62=4.当尸尸轴时,|「尸|=幺，

a

故△出&的面积5=12a-久=/=2,解得°=b=也.

2a

故C的方程为=

22

（2）由（1）得A（—"o），4（60）,设尸（%,%）卜。#±0）,

则直线叫：户小5+点）,令X=l,得3入（1+®

直线尸仆=O（A®令x=l得以=言（1-®

故刈（1,加），"（1,%）,

因为%/，可=一，尤;-巾=2,故如%=-1,

又加=(-1,%),成=(7,4),贝|］丽不=1+%%.

因止匕可7.丽=1+加yw=0，

故FM_L—V,即ZMFW=90°.

5.（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考）记以坐标原点为顶点、F。,0）为焦点

的抛物线为C,过点F的直线/与抛物线C交于A,5两点.

⑴已知点M的坐标为(-2,0)，求ZAMB最大时直线AB的倾斜角；

⑵当I的斜率为g时,若平行I的直线m与C交于M,N两点，且AM与BN相交于点T,证明:

点T在定直线上.

【解析】⑴设直线的方程为无=，町+1,4(%乂),3(々,%)(%＞。，%＜。)

记,=&/8牖=£厕tana='=4，tan〃―会=一如

tana+tan尸________3（%f）________

则tanZAMB=tan（二+齐）=

1-tanatan[3"+1）M%+3m（%+%）+9

由题设得抛物线方程为/=4x

A>0

y1=4x

2

联立7肖去犬得y?一4小丁一4=0;・<yx+y2=4机，=4y/m+l

x=my+1

Ji%=-4

._____12/12

tanNAMB=^H令，=贝=

8m2+58f--

1?

由单调性得当，=1时,tanZAMB最大为了,此时根=0,直线AB的倾斜角为90°

（2）设T（x0,y0）,TM=AZ4（2*1）则由AB〃MN得/=选

.jyM-y0=^（yA-y0）.,,上°\

y—y4[

又<"A"=-"-=3=%+%=8同理加+%=8

XA-XB%+为2

8—2%=2(8—2%)又18—2y0=0%=4

，点T在定直线y=4上.

6.在平面直角坐标系xQy中,点尸的坐标为(0,g),以线段M尸为直径的圆与x轴相切.

(1)求点M的轨迹E的方程；

⑵设T是E上横坐标为2的点,OT的平行线/交E于A,B两点,交曲线E在T处的切线于点

N,求证：|N7f=5^卜口目.

【解析】⑴设点M(x,y),因为尸(。，£|,

所以M尸的中点坐标为，牛D，

因为以线段MR为直径的圆与x轴相切,

所以见…，即国州=叱』

所以"的轨迹E的方程为x2=2j.

（2）因为T是E上横坐标为2的点,所以由（1）得（2,2）,所以直线OT的斜率为1,

O\

因为///OT,所以可设直线/的方程为y=x+m,加r0,

由/=2y,得y=；/,得＞=x,则曲线石在7处的切线的斜率为y'J=2,

所以曲线E在T处的切线方程为y=2x-2,

所以N+2,2加+2）,所以闪7「=（w+2-2）2+（2w+2-2）2=5m2,

[y=x+m1

联立《23，化简得£一2]-2根=0,有A=4+8加＞0,解得根〉-二,

x2=2y

设A&,%2），3（%2，%），则+/=2,%光2=-2根，

因为N,A,B在/上，所以|则=四|占-（〃2+2）|,|7\«卜0,2-（m+2）|,

所以=2卜-（〃工+2Mx2-（加+2）|=4士龙2—（冽+2）（菁+%）+（加+2）[=2/，因为

|NT『=5根2,所以|NT「二素尺4卜]凡国.

7.己知双曲线「Y-V=生双曲线r的右焦点为£圆c的圆心在y轴正半轴上，且经过坐

标原点。，圆C与双曲线「的右支交于4、2两点.

⑴当AOM是以尸为直角顶点的直角三角形，求△。物的面积；

（2）若点A的坐标是（6,1），求直线AB的方程；

（3）求证：直线AB与圆f+y2=2相切.

【解析】（1）由题意AO朋是以尸为直角顶点的直角三角形,"2形,0）,

所以点A在直线x=2加处，设A（2四,y）,代入x-y2=4,解得＞=±2,取y=2

则A（2应,2）,所以△。出的面积=gx20x2=2点;

（2）设圆C圆心坐标为（0,m）,因其过原点，则厂=根.

故圆。方程为：X2+（y-m）2=m2.

代入点4（有,1）,得5+（1-mJ=7n2,解得m=3.

将圆C方程与「炉-》2=4联立得"-3）2：9,消去X得：2_32=0

[x--y=4

解得％=1,%=2.又8点在双曲线右支，故B（2立2）.

y—11

则.方程为：

化简为y=喙芭一班）+1即,=吟芭X-2?2

（3）证明：由题直线A8斜率必存在，

故设直线A8的方程为>=依+机,&（.xi,yi）,B（X2J2）,

圆C的方程为f+（y-bp=k。>。），

由二，消去y得：（1一%BY_2近_（.+4）=o

1一/W02kmm2+4

由题意，得：,A）。，且不+々=

;二?1二,消去X化简得——以―

由

mm22

所以=(何+)(^2+)-kxxx2+km®+x2)+m=2,

一左2M2_4k2+2左2加2_|_2_加2左2

m2+4,2kmm

即一左2.+km---7+m2=2

1-k21-k21-k2

m-4k八2c\m\a

=>----z—=2=m=2+2k=>/=v2

I—TiTF

得原点0到直线AB的距离"=*'=夜，所以直线AB与圆/+丁=2相切.

\1+k

8.（2023届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考）已知直线《：y=-：|x+2与椭

圆£：=+上=1相切于点“，与直线乙：y=+f相交于点N（异于点M）.

422

（1）求点M的坐标；

（2）直线4交E于点4（%,凶）,5（和％）两点,证明：AANMs^MNB.

『ZE消y得:

【解析】（1）V-2缶+2=0,解得：片夜,故”（也

、x2+2y2=4

广-7+2

（2）联立，V2，解之得:122J

"7+'

.克

联立"1"尤+',消>得：x2+y/2tx+t2-2=0,

x2+2yz=4

由题可得：A=8-2/>0,...玉+n=々^,再电=「-2.

陷=^^卜_&-字，冲=^^卜一应一争

|WA||A®|=—X[X2-y/2-^^t(Xi+X2)+y/2-^-t

2I2)I2)|

=#-2-收-?

乙乙/\/ItT

——=——，又ZAA®=ZMNB,：.AANMs^MNB.

NMNB

22

9.（2023届重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期月考）已知椭圆C:52=l（a>b>0）的

ab

左、右顶点分别为42,椭圆C的长半轴的长等于它的焦距，且过点

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵设椭圆C的右焦点为尸，过点厂的直线/与椭圆C相交于拉,N两点（不同于A,3），直线

AM与直线BN相交于点P，直线4V与直线BM相交于点。，证明：2。，无轴.

22

【解析】（1）由题意〃=2c,即人=行，=丘,故椭圆0：^+金=1，

代入点（l,j,可得/y+=1,解得c=l,a=2/=百，

22

故椭圆的标准方程为：—+^-=1.

43

（2）由题意右焦点有（1,。）,4-2,0）,8（2,0）,

123

若直线/斜率不存在，直线方程为：X=1，代入椭圆方程可得（+《=1,解得y=±（即

33

1133

故直线AM:y=5（x+2）,4V:y=-i（x+2）,3M:y=-5（x-2）,BN:y=5（x—2）,

1C、y=-J（x+2）

y=-（zx+2）

联立，可得尸（4,3）；联立，；，可得。（4,一3）,

y=-（-«-2）

Xp=42,故尸Q_L无轴;

若直线I斜率存在,直线方程为：V=k（x-D，与椭圆联立

y=k（x-l）

,尤22，即（4公+3）%2—8左2%+4左2—12=O,A>O恒成立,

——+—=1

143

8k2

不妨设必占,%）,N（X，力），故＜

24左2-12'

x.x=——：---

''24公+3

故直线加"广eI（x+2）,AN:片必（x+2），3：尸工（x-2）,

入2+2

BN-.y=^-（x-2\

X2-2

%

y二（x+2）“c°

玉+2/_4石光2+2工2-6七

联立（x-2）‘"将"3々+占-4

）2

y=

x?-2

%

y二-（x+2）

入2+2_4XJX+2%-6X

联立'可得.=32-42一