广东省潮洲市2023-2024学年高二年级下册期末检测数学试题（解析版）

广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题

本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答

题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.

一、选择题(本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择

题)(一)单项选择题(本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40

分)

1.函数/(x)=xe*在x=l处的切线斜率为()

A.]B.ec.2eD.4e

【答案】C

【解析】由/(x)=xe、，则r(x)=(x+l)e=/,(l)=2e,

所以函数/(x)=xe*在％=1处的切线斜率为2e,

故选：B.

2.某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩X~N(100,a2)(a>0),试卷满分150

分，统计结果显示P(XK90)=4,则P(100<X<110)=(

)

9

D.—

10

【答案】B

【解析】因为X~N(100,a2),p(XK90)=L，

所以尸(XW90)=P(X2H0)=B，

14

所以P(90<X<110)=l—2x—=

105

所以P(100<X<110)=|.

故选：B

3.已知随机变量X的分布列为:

X12345

P0.10.3a0.10.1

则矶X)=().

A.0.4B.1.2C.1.6D.2.8

【答案】D

【解析】依题意可得a=l—0.1—0.3—0.1—0.1=04,

所以双X)=1x01+2x03+3x04+4x01+5x01=2.8.

故选：D.

4.(a—20)6的展开式中/廿的系数为().

A.60B.120C.15D.30

【答案】A

6r

【解析】二项式(a—2^)6展开式的通项为：Tr+1=C^a-(-2)''b'（0〈r〈6且reN）,

故该展开式中/片的系数为C；(-2)2=60.故选：A

5.已知函数〃x)=£—52—2%,若在(1,2)上单调递减.则实数。取值范围是

()

1、55、1

A.a>—B.—C.一D.<7>—

2222

【答案】B

【解析】由=一q2一2%,得/'(x)=312

因为〃龙)在(1,2)上单调递减，所以/''(ElWO在(1,2)上恒成立,

31

即/'(x)=3d—2依—2W0,得—x——在(1,2)上恒成立，

2x

31

令g(X)=：X__(xe(1,2)),易得g(x)在(1,2)单调递增，

乙X

所以g⑴<g(x)<g(2)，即g<g(x)<g,所以〃

故选：B.

6.椭圆M的左、右焦点分别为耳，工，过点片且与长轴垂直的直线交椭圆加于A,B

两点.若△AB6为等边三角形，则椭圆M的离心率为().

A.BB.1C.BD.叵

3222

【答案】A

【解析】设|前|=加，因为鸟为等边三角形，^\\AF2\=2m,|^|=V3m=2c,

因为|A£|+|A闾=3机=2a,所以椭圆M的离心率为£=®B.

a3m3

7.近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统

计，潮州古城区2019年至2023年（用x=l,2,3,4,5表示年份）接待的游客人数》（十万

人）的数据如下表：

Xi2345

y1215192430

由此得到丁关于x的回归直线方程为y=公+4.4,则可以预测潮州古城区2024年接待的

游客人数约为（）十万人

A.36.5B.37C.35.2D.35.6

【答案】D

【解析】由题意得提=3，7=20,代入亍=法+4.4,得20=3〃+4.4,解得6=5.2,

所以》关于尤的回归直线方程为亍=5.2%+4.4,当％=6时，y=5.2x6+4.4=35.6.

故选：D

8.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母

A3个球标有字母8；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球

2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在

第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母2的球，则在第三个盒子中任取一个球.

如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）

A.0.59B.0.41C.0.48D.0.64

【答案】A

【解析】设4=“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,

2="从第一个盒子中取得标有字母B的球”，

R="第二次取出的球是红球”，

731

则容易求得P(A)=—,P(RIA)=-,

10102

4

P(R|B)=不，

,17,43

P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|8)P(B)=—x——|--x—=0.59.

210510

(二)多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小

题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)

9.定义在R上的函数y=/(%),其导函数丁=/'(九)的图象如图所示，则下列说法正确

的是()

A.2)是/(力的极小值，/⑴是〃尤)的极大值

B.〃—1)是/(%)的极大值,/⑴是/(光)的极小值

C.7(%)在(-8,-2)上单调递增

D.“X)在(-1,1)上单调递减

【答案】BD

【解析】由图知1f(—2)=o,r(-i)=o,r(i)=o,

当x<—2时，/，(%)<0；

当-2<x<-1时，r(x)>0；

当一1<%<1时，/f(%)<0；

当％>1时，/(%)>0.

所以“X)在(—8,—2),(—1,1)上单调递减，在(―2,—1),(1,+。)上单调递增,

所以“X)的极大值为/(—1),极小值为/(—2),/⑴.

故选：BD

10.某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比

赛.下列说法正确的是（）

A.被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为好

63

B.被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为"

63

C.如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法

D.如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法

【答案】AC

c'c310

【解析】被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为二1=二，A正确；

C963

C1C320

被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为:/,B错误；

C963

如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，

包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有C；=35种；

第二种情况，甲乙恰有1人入选，有C；C；=70种选法，

则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，

共有35+70=105种选法，C正确，D错误.

故选：AC

11.如图、在长方体ABCD—中，AD=DD]=2,AB=2。E，F,G分

别是A3,BC,的中点.则下列说法正确的是（

A.2。//平面6跖

B.B[C上D1E

三棱锥B-GEF的体积为石

D.若点P在平面A3CD内，且2。//平面GEF,则线段长度的最小值为2&

【答案】ABC

【解析】对于A,连结AC,DXA,BCX.E，尸分别是A5，的中点.

则EF/AC,EF.平面ARC,ACu平面ARC,

所以跖〃平面ARC,

因为A。GE,GE<Z平面A〃C,gu平面ARC,所以GE//平面ARC,

又EFGE=E,E£GEu平面GEE,；•平面A。。//平面GEF,

又•.•DCu平面ARC,.•.2。//平面GEE,A正确；

对于B,由题意知四边形BCC4为正方形，则4C，BCi，

又A31平面BCC4，耳Cu平面3。。]四，

故ABJ_3]C,BQAB=B,_BG，ABu平面ABC]Z）i,

Z.BtC±平面ABCXDX.

又：2Eu平面ABC]。­故B选项正确；

对于C,%,尸尸=%所尸=』x（』x^\^xl]x2=Y3,；.C选项是正确的；

D—kjtLrLr—DtLr312VI3

对于D,因为2尸//平面GEF,而平面A。。//平面GEE,且点尸在平面ABC。内，

则点P的轨迹是平面AQC与平面A5CD的交线，即直线AC,

所以2P的最小值在2P1AC时取到.

此时在.QAC中，ADt=2A/2,2c=4,AC=4,A，上的高为J42—（挺『=，

VD1P±AC,：.中=2=用,故D错误.

故选：ABC

二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共

有种.（用数字作答）

【答案】36

【解析】2名老师都不站在两端，故有A；种站法；剩下3个位置，站3名学生，有A；种站

法，

故不同的站法共有A；A；=36种.

故答案为：36.

13.已知函数/(x)=2e，—2〃。+3的图象为曲线C,若曲线。存在与直线>=%垂直的

切线，则实数机的取值范围是.

【答案】

【解析】f(^)=2ex-2mx+3,fr(x)=2ex-2m,

・・・曲线C存在与直线>=%垂直的切线，

/'(x)=2e"-2加=—1有解,：.m=ex,

故实数掰的取值范围是+8]

故答案为：[,—00]

14.“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详析九章算法》中，是中国古代数学

文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为

%,第3行的第3个数字为出、…，第〃+1行的第3个数字为%，贝!]%=，数

列<'>的前几项和Sn=

Iq

第

0行

1

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

1331

第

4行

14641

第

5行

15101051

【答案】①21②——

n+1

【解析】由题意知%=c3,4=C；=21.

111111222

----1--------HH-------—yH7+H~=----------1-----------H

2anx(n+l)

\。2nC2C3Cn+i1x22x3

=2

In+\)n+1

2n

故答案为：21，7.

72+1

三、解答题(本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题

17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.在公差为3的等差数列｛4｝中，34+1=%，数列他“｝满足a=2%+2(〃eN*)

(1)求数列｛2｝的通项公式；

(2)设数列｛&｝满足求｛5｝的前〃项和

解：(1)•.♦等差数列｛4｝满足3%+1=%，公差为3,

所以3(%+3)+l=q+12,所以％=1,

则4=1+3(〃-1)=3〃-2,

数列也｝的通项公式为bn=2%+2=23"=8"；

(2)由(1)知。“=3〃一2,bn=8",

•l-Cn=an+包=3"-2+8"

所以=[1+4+7++(3n-2)]+(8+82+83++8")…

H(1+3H-2)8X(1-8")3n2-n8x(8"-1)

=-2-+1-8+-7-'

能z。3rr-n8n+l-8

所以S“=---------+----------

"27

3

16.已知函数y(x)二耳/一4o¥+91nx在％=3处取得极值.

(1)求实数。的值；

(2)求函数/(九)在区间上工?]上的最小值.

解：(1)由题意得/(%)的定义域(0,+8),>f'(x)=3x-4a+-

X

因为函数/(尤)在x=3处取值得极值，所以/'⑶=9—4a+3=0

解得々=3

此时，r(x)=3x-12+-=3^~1^X-3\

XX

令刀⑴>。得0<x<l或x>3,令/(力<0得l<x<3,

故函数/(X)在(0,1),(3,转)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以函数/(尤)在x=l处取极大值，在x=3处取极小值，符合题意，所以。=3.

(2)由(1)得“X)一i2x+91nx,=~DO3),xe［e,e］

2x

令用x)>0,得3<x<e2,所以函数［3,e2］单调递增，令/'(x)<0,得

e<x<3,所以函数在［e,3］单调递减，所以函数/(x)在％=3处取极小值,

所以当xe［e,e?］时，/(x)的最小值为/(3)=91n3-y

17.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”

活动.并对某年级100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在

［80,100］内，为成绩优秀.

成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数510152520205

(1)根据以上数据完成2x2列联表，并为断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有

关；

优秀非优秀合计

男10

女35

合计

(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：

规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为夕(每次抽奖互不影响，且夕的

值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率)，中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10

分.若学生甲成绩在［80,100］内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并

求其数学期望.

参考公式：K2=-----------------------,”=a+〃+c+d.

附表:

K2>k)

网00.1500.1000.0500.0100.005

k。2.0722.7063.8416.6357.879

解：⑴

优秀非优秀合计

男104050

女153550

合计2575100

假设玲：此次竞赛成绩与性别无关.

,100(10x35—40x15)24

K2=—-----------------------=-<2,706，

25x75x50x503

所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关;

、251

(2)p=-----=—

1004

9

尸(X=0)=C

16

方133

P(X=5)=C------=—,

2448

1

P(X=10)=C；

161

X的分布列为:

X0510

931

P

16816

311

期望值E(X)=5x-+10x—=一=2.5(分)

8162

18.如图，在三棱柱ABC-A与G中，侧棱底面ABC，底面是正三角形,

AB=AAX=3,点E、歹分别在AB、AC上，且==

BiG

（1）求证：AE〃平面BCF；

（2）求直线8片与平面BCF所成角的余弦值.

解：（1）在线段上取一点G,使CG=，8C,连结EG、FG,

3

在.ABC中，因为AE=LA3,CG=-BC,所以股=些=2,

33ABBC3

所以EG〃A。且EG=2AC,

3

因为C]P=gaG，4G〃4c，且a£=AC,

2

所以A歹〃AC，且AE=§AC,

所以EG4/且EG=AE，

故四边形AFGE为平行四边形，所以AElEG,

又AE<Z平面BCE，/6（=平面8。p，所以4EI平面BCF.

（2）以5为坐标原点，Bx,BC,88]所在直线分别为x,y,z轴建立如图空间直角

坐标系，

因为底面DA5C是正三角形，AB=AAl=3,所以点6（0,0,0）,点C（0,3,0）,

点A-^-,-,0，点4（0,0,3）,点G（0,3,3）,

n-