湖北省某中学2024-2025学年高二年级下册3月月考数学试卷（含答案解析）

湖北省武汉中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为()

A.10B.12C.13D.30

2.已知｛%｝是等差数列，也｝是等比数列，且％=3也=9吗=4吗4=加设4=。/",数列

｛%｝的前〃项的和为则4=()

A.242B.243C.244D.245

3.已知函数〃尤)的导函数为了K》)，且满足/(x)=2/(e)x+lnx,则/'(e)=()

A.--B.-eC.-D.e

ee

4.若函数/(x)=3+2+clnx(a,b,c均为非零常数)既有极大值也有极小值，则()

XX

A.ab<0B.be<0C.ac>0D.b2+Sac>0

5.由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配

到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分

到同一个医疗点，则不同的分配方法有()种

A.540B.684C.756D.792

6.在数列｛4｝中，q=4,%=5a.+2x5",〃eN*,前”项和为4,则下列说法中不正确

的是()

A.a„=2(n+l)-5"-1

133

B.7；=(-n+-)-5n--

〃288

an+l5n+10

an~n+1

D.8]=10an-3

7.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意

一个检测点安检即可进入.现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女

生人数相等的可能情况有()

A.66种B.93种C.195种D.273种

8.已知｛4｝是递增的等比数列，若％-22+4=1,则当％取得最小值时，6=()

16

AA.—

25

B.1

C.4

D.16

二、多选题

9.已知。>0且"e,则函数/(龙户^-alnx的图象可能是()

2

10.函数/(x)=(x-l)(x+x+«)(£/eR),则下列说法正确的是()

A.当«=-2时，/(%)的极小值为/(-1)

B.y=f(x)+a为奇函数

C.当-2<a<0时，/(%)一定有三个零点

试卷第2页，共4页

D.若直线y=x-a与/(x)有三个交点石,尤2，三，则xl+x2+x3=Q

11.已知定义在R上的函数/'(x),g(x)的导函数分别为尸(*,g'(x),且〃x)"(4-X),

/(1+x)-g(x)=4,尸(x)+g”+x)=O,贝!J()

A.g(x)关于直线尤=1对称B.g'⑶=1

C.尸(尤)的周期为4D.尸5)45)=0(〃eZ)

三、填空题

12.函数y(x)=e2m在(0,1)处切线的方向向量与向量B=(1,2)共线，则"=.

13.已知函数/(x)=xlnx-依2+。，当x>l时，关于x的不等式/(x)<0恒成立，则实数。

的取值范围是.

14.为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参

与一次.游戏规则如下：

第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋；

第二步，学生自行选择空格放上2枚白棋；

最终，每当有4枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获

安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况.

现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放

上白棋，则他获二等奖的方法数有种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则

在“点击摇奖后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有种.

图①图②

四、解答题

15.已知等比数列｛q｝的前〃项和为

⑴若&,S。$6成等差数列,求生+%-2ag的值.

(2)若存在ZeN,使得邑+3,1+9,S“6成等差数列，证明：对于任意的。2间小，。*成

等差数列.

16.已知函数/(x)=ax?+(a-2)x-lnx.

(1)当。=0时，求函数，(x)在尤=1处的切线方程；

(2)证明：当0＜。＜1时，函数/(》)的极小值小于0.

17.己知数列｛%｝为等差数列，且满足%,=2%+lGzeN+).

⑴若q=1,求数列,一*—]的前〃项和S"；

aa

[n„+lJ

+1

⑵若数列也｝满足改+么=6我，且数列｛a„-bn｝的前"项和Tn=(3n-4)?2"8,求数列也｝

的通项公式.

18.已知函数/(x)=orlnx.

⑴当a＞0时，讨论函数〃x)的单调性；

⑵当0＜。＜2时，若曲线上的动点尸到直线2x-y-lle=0距离的最小值为2&e(e为

自然对数的底数).

①求实数”的值；

②求证：/(x)＜ex+cosx-2.

19.已知函数"x)=lnx,过点(qj(⑷)作曲线y=/(x)的切线，交y轴于点(0,%)，若小＞0,

则过点(％,八生))作曲线的切线，交y轴于点(。,%),以此类推，得到数列｛5｝.

(1)当正整数“22,试求出。“与的关系式；

(2)当正整数"22.

①证明：an-%＜-2；

②是否存在正整数上(左23),使得%，的，…,见依次成等差数列？若存在，求出左的所有取值；

若不存在，试说明理由.

试卷第4页，共4页

《湖北省武汉中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BCAABDBDBCDBCD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案.

【详解】先从三对双胞胎中选出两对，有C；=3种选择，

然后从选出的两对双胞胎中每对中选出一个人，共有C；xC；=4种选择.

根据乘法原理，总共有3x4=12种选法.

故选：B.

2.C

【分析】由等差数列与等比数列的相关概念，结合题意，写出通项公式，可得答案.

【详解】由题意可得等比数列间的公比4=去=3,通项公式£=布"2=3"T,

则％==1,44="=27,

所以等差数列｛%｝的公差d=母等=詈=2，通项公式为=4+(〃一1”=2«-1,

则c.=4力所以7；=。|+。2+。3+04=1+9+45+189=244-

故选：C.

3.A

【分析】求导得尸(无)=2­(0)+/,代入运算即可得解.

【详解】因为〃x)=2-(e)x+lnx,所以〃尤)=2/(e)+f

所以/'(e)=2-(e)+L所以((e)=-L

ee

故选：A.

4.A

【分析】根据题意得出广(工)在(o,+。)内有两个不相等的实数根，列出不等式组即可判断.

【详解】由题意，狡x)=-"乌+£="Jb,2a,x>o,c?0,

XXXX

所以在C%2一bx-2々=0在(。,+8)内有两个不相等的实数根，

答案第1页，共12页

A=/?2+Sac>0

b八

不妨设这两根分别为王，工2，贝卜玉+x?——〉。，

C

2a八

%工2=-----〉0

所以A=62+8ac>0,bc>0,ac<0,则"<0,

故选：A.

5.B

【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士

6名可分为2,2,2和2,1,3两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法.

【详解】先安排医生，再安排护士.

安排医生，方法数有A；=6种；

再安排护士，护士6名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为2,2,2和2,1,3

两类：

如果是2,2,2,一共有*=3种,

A；

如果是2,1,3,又分为若甲乙在2人小组中，贝I有C；=4种;

若甲乙在3人小组中，则有CjC；=12种,

最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点,

所以一共有C；+C；C；A阳=(3+4+12)x6x6=684种分配方法.

故选：B.

【分析】利用递推关系式构造出等差数列，可求出数列｛%｝的通项公式，再利用错位相减法

求和，根据所求可对各选项做出判断.

【详解】由题意，。用=5a,+2x5〃，等式两边同时除以5”+1可得=£+g

答案第2页，共12页

A7

所以，数列｛2｝是首项为力，公差为|■的等差数列.

则b.=g+|（〃T）=^^，%=5"2=2（〃+1）51.故A正确;

所以，7；=4x5°+6x51+...+2nx5,-2+（2n+2）x5^1,

则51=4x5]+6x52+...+2〃x5"T+（2”+2）x5",

两式相减可得T7；=4*5。+2*5|+…+2X5"T—（2〃+2）*5"=4+2XW^J—（2〃+2）X5"

1

=4-|（1-5--）-（2«+2）X5»=|-^2«+|^X5\

所以7>%+1y5"《故B正确；

\2o）o

2（〃+2）x5"5n+10

对于C,.故C正确;

an2（M+1）X5"-'n+1

对于D,8升=（4〃+3卜5”—3,lOan-3=2O（〃+1>5"T-3=4（〃+l>5”—3,

则87>10凡-3.故D错误.

故选：D.

7.B

【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过。人，一个

检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进

行讨论求解即可.

【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有A；A；=36种不同的结果;

②三个检测点中，一个检测点通过。人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两

女，共有C；C；C；C；=54种不同的结果;

③六人均在同一个检测点通过，共有C；=3种不同的结果.

则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有36+54+3=93种.

故选：B.

8.D

【分析】由已知得4（4-1）2=1,有4>0,及知=产不T，则孙取得最小值等价于

"1）

答案第3页，共12页

5S

函数/(q)=\取得最小值，利用导数法得q=g时，知取得最小值，即可求解.

q-l4

【详解】设｛%｝的公比为g,由%一2%+%=1得，q(q-l)2=i,故q>。，

又因为｛〃,｝是递增的数列，所以4>1,

105

因为%=。0°==而，所以如取得最小值等价于函数〃q)=4取得最小值,

®T)q-i

5/(q_1)_q5q”(旬-5)

求导得尸(q)=

伍-1)~(g-if

令广⑷>0得令_f(q)<0得

5

所以=\在上单调递减，在上单调递增,

54=3-16

故当4=一时，出取得最小值，此时(51丫

4匕TJ

故选：D

9.BCD

【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数

的最值，根据最值的取值范围，可得答案.

【详解】由/(x)=e;alnx,求导可得f'[x)=史三，易知函数/'⑺在(0,+切单调递增,

令g(x)=xe*,求导可得g<x)=e"(l+x)>0在(0,+oo)上恒成立,

则g⑺在(0,+力)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0<。,

易知三/e^+力1使得8口:。/。，则与6'。=。，即/'(瓦)=0,

当。<x<x。时，/'(无)<0,则函数/(尤)在(0,用)上单调递减；

当x>x。时，/'(x)>0,则函数在(如+力)上单调递增，

所以/(力2/(5)=抑-alnxo,由/6"。=<7,则〃%)=e*(1-飞111%)，

当0<a<e,即0<毛<1时，/(%)>/(^)=6^(l-xolnxo)>O,故A错误，B可能正确;

当”>e,即毛>1时，令/z(x)=l-xln、(x>l),求导可得/i'(x)=-lnx—l<0,

答案第4页，共12页

则函数M力在(1,+8)上单调递减.

由//⑴=1-0>0,〃(2)=1-21n2<0则存在使得力(石)=0,

所以当%>1时，此时了(不)符号不定，故CD可能正确.

故选：BCD.

10.BCD

【分析】利用导数确定极值判断A；利用奇函数的定义判断B；由极大值、极小值的正负判

断C；利用中心对称的性质判断D.

【详解】对于A,当。=一2时，/(尤)=(x-l)“x+2),求导得y'(x)=3(x-l)(x+l),

当x<-l时，r(x)>0,当T<x<l时,r(x)<0,/(-1)为/(x)极大值,A错误;

对于B,令g(x)=/(x)+a=丁+(a-l)x,则g(-x)=(-x)3+("1)(-彳)=-g(x),

函数y=f(x)+。是奇函数，B正确；

对于C,f'(x)=3x2+a-l,当一2<。<0时，令于'(x)=。的二根％=e(0」)，

%=-J^^e(-l,0),当x"或x>当时，f'(x)>0；当Xi"。?时，f\x)<0,

x

函数/(X)在y,药),(打转)上递增，在(石,马)上递减，f(i)>f(°)=-a>0,f(x2)<f(l)=0,

由三次函数的图象特征知，函数y=/(x)的图象与X轴有3个交点，C正确；

对于D,由选项B知，函数y=/(x)的图象关于点。-。)对称，而直线>=尤-。关于点(0，-。)

对称，

因此函数>=/(尤)的图象与直线丁=”-。的3个交点关于点(。,-。)对称，

其交点的横坐标王,无2,尤3满足%+%+尤3=0，D正确.

故选：BCD

11.ACD

【分析】由题意,根据函数的对称性,合理赋值即可判断A；利用导数求导可得g'(x)=-g(2-x)、

f(l+x)-g'(x)=0,通过合理赋值即可判断BCD.

【详解】i/(x)=/(4-x),得/(l+x)=/(3-x)①，

f(1+九)一g(%)=4②,得f(3—x)—g(2—x)=4(3),

由①②③，得g(x)=g(2-%),所以函数g(x)图象关于直线x=l对称，故A正确；

由g(%)=g(2一%),得g'(尤)=-g'(2-尤),令％=1,得g'⑴=。；

答案第5页，共12页

由/(l+x)-g(x)=4,得l(l+x)-g，(x)=O,

令x=l,得尸⑵=g")=0,

f'(2+x)-g'(l+x)=0@,

又广(x)+g，(l+x)=O⑤，令x=2,得#2)=g'⑶=0,故B错误；

④⑤两式相加，得了'(2+x)+f(x)=0,得/(4+x)+1(2+x)=0,

所以r(x)=/'(4+x),即函数f'(x)的周期为4,故C正确；

由1(2+尤)+/(%)=0,令x=2,得/'(4)+,(2)=0,所以((4)=0,

所以/'(Dg'(l)=/'⑵g'(2)=/,(3)g,(3)=/,(4)g,(4)=...=r(〃)g，(〃)=0(〃eZ),故D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式

g(x)=g(2-尤)、1(2+x)-g?l+x)=0和/'(2+x)+r(x)=0是解题的关键，原函数与导函数的联

系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.

12.1

【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义及方向向量的意义求出”.

【详解】函数〃x)=e2*求导得［(幻=2皿2口,则函数/(x)的图象在(0,1)处切线斜率

/0)=2环

由切线的方向向量与向量5=(1,2)共线，得切线斜率为2,

因此2a=2,所以a=l.

故答案为：1

⑶紧］

【分析】根据导数，分别讨论。的范围，求出函数的单调区间，进而求得满足条件的范围.

【详解】由题意，/z(x)=lnx-2ax+l,

当时，f^x)=Inx-2依+1>0在恒成立，

所以/(%)>/⑴=。在(1,+。)恒成立，不合题意；

当a>0时，令g(%)=/4X)=Inx-2ax+l,x>1,

则g'(%)=—2a,且—£(0,1),

%x

i1

①当2aN1时，即a2—,g^x)——2a<0,

2x

答案第6页，共12页

所以g(x)在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)<g(l)=l-2a?0,即/(x)40,

所以/(x)在(1,+e)上单调递减,

所以/(x)</⑴=0在(1,+8)上恒成立，符合题意；

②当0<2a<1,即0<a<—,—>1,

22a

g'(x)=--2a=―—到，

XX

当时，g'(x)>0,g(x)在［1,，)上单调递增，

当xe］或,+°°卜寸，g'(x)<0,g(x)在,+coj上单调递减，

又g⑴=1-2”>0,所以当xe(l,：小寸，g(x)>0,

所以在上单调递增，则fM>/⑴=°在卜2］上恒成立，

所以0<。<；不符合题意，

综上所述，ae

故答案为：

14.454

【分析】对于第1空，根据条件，结合图形，即可求解；对于第2间，根据条件，结合图形，

分类讨论，再排除重复情况，即可求解.

【详解】对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成二条线的不同情况有4种，

对于小红，9枚棋子形成三条线的形状(下称为“三线”)必然由一行、一列和一对角线构成，

由于第一列已经确定，所以当第一或四行连上时，对角线还有1种情况；

当第二行或三行连上时，对角线还有2种情况，因此“三线”共有2xl+2x2=6种，

由于小红总能保证奖励最大化，所以只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉2枚棋子(下称

为“准三线”)即可.

因此，从第一列之外的5枚棋子中去掉2枚形成的“准三线”共6C；=60种,

但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到.

答案第7页，共12页

其一，第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到（如下图），

重复计算的“准三线”，可以以由3个不同的“三线”得到（如下图），重复计算的“准三线”有

2x2=4次；

其二，第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到（如下图）,

□□□□

重复计算的“准三线”有2x1=2次.因此，“准三线”实际上只有60-4-2=54种，

故答案为：4,54.

15.（1）0

（2）证明见解析

【分析】（1）根据条件，利用等比数列的前〃项和公式得到/=-g,即可求解；

（2）根据条件，利用等比数列的前鼠项和公式得到小=-；，再利用等差中项法，即可求解.

【详解】（1）设等比数列｛（｝的首项为q,公比为4,又邑，与，56成等差数列，

若4=1,则S3=34,89=9%,$6=6%,不满足题意，所以

36

则由2s9=邑+56,得到24（142=4（1〃）+%（1—4）,化间得至1」2/=1+/,

\—q1—41-q

解得小=-;或/=1（舍），

11

以a2+%—2%=+q-）—%q（l———2x—）—0.

（2）由题知2st+9=1+3+1+6,若4=1,贝12（9+无）4=（3+左）4+（6+^）^,显然不成立,

则"1,所以2「心产）二/一产）+小一产）,

\-q1-qX-q

整理得至|J2/=1+/,解得或d=1（舍），

答案第8页，共12页

aaaa

又„t+2+«m+5=4“+2(1+炉)=5,„+2，m+i=a,"+d=-„1+2，

a

所以2am+8=am+2+am+5,故对于任意的meN,m+2，％+8，％n+5成等差数列.

16.(l)3x+y-l=0

(2)证明见解析

【分析】(1)由函数解析式，求得导数，从而求得切点与切线斜率，根据点斜式，可得答案；

(2)明确定义域，求导，从而可得函数的单调性，求得极小值，结合题干参数的取值范围，

可得答案.

【详解】(1)当a=0时，/(X)=—2x-In尤，/⑴=一2,求导可得f(x)=一2-L所以/⑴=一3,

所以函数/(尤)在x=l处的切线为>+2=-3。-1),即3x+y-1=0.

(2)证明：/(x)的定义域为(0,+“)，且/(X)=("D(2X+1),

X

当。>0时，令尸(x)>0,则无〉工，所以/'(X)在+6］上单调递增;

令/(x)<0,贝|0<x<_l,所以/(x)在I。」］上单调递减.

a\a)

故当X=工时，f(x)取极小值，

当0vav1时,ln〃---1-1<0

17.(1)

⑵"=2"

【分析】(1)根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出4,=2〃-1,再应用裂项相消法

计算求和；

(2)先应用。也=1-7；7,再结合2片+%也解得4=2,得出为=3〃-1,最后计算得

出口.

【详解】(1)当月=1时，由%=2见+1,

贝|Ja?=2%+1,由〃1=1,贝ij%=3,

所以等差数列｛%｝的公差为4-4=2,所以%=1+(〃—1>2=2〃—1,

答案第9页，共12页

_J_=］=U_J____

cinan+x（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+lJ

故数列｛”“｝的前〃项和++8d击〉

4

（2）当〃=1时，囚4=4=（3—4）x2?+8=4,可得4=1,

当”22时，anbn=4_%=［（3…）.2叫8卜［（3n-7）.2"+可

=3n.2向一2用一3〃.2"+7.2"=2"（6〃-8-3〃+7）=2"（3〃一1）,

将“=1代入上式，则q4=2x（3_l）=4=7J,

综上所述，ae=2"(3〃-l),〃eN\

，/、,20

02a=22x0x2—1)=20,可得仇=丁，

,20

又因为%=24+1,则4=五二，

21

由方程2仿+6?=6也，可得赤(24+1)+/4=1,解得%=2,

由的=2%+1=5,则等差数列｛q｝的公差为3,所以。"=3"-1,

由anbn=2"(3〃-1),〃eN+,则bn=2".

18.(1)函数f(x)的单调递增区间为单调递减区间为/.J

⑵①a=l；②证明见解析

【分析】(1)对函数求导，结合。的取值范围分析可得函数/(x)的单调区间；

(2)①利用导数的几何意义，结合动点到直线2尤-y-lle=0的最小值列等式即可求出“的

值；②分0<xWl和x>l两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得

证.

【详解】(1)函数〃x)的定义域为(0,+8)"'(尤)=a(lnx+l),

因为a>0,令/''(x)>0,得：尤>:，令广(x)<0,得：0<x<~,

所以函数“X)的单调递增区间为g，+e],单调递减区间为(0,

22一1

(2)①由(1)知：/'(%)=a(lnx+l).由/'(%)=2n〃(1叫+1)=2n1叫=——In=e°,

答案第10页，共12页

士T(2、----1±-i

又〃％)=町)1叫)=ae"x[——lj=(2-6z)efl-，,所以切点e。，(2-〃)即

由(1)可知，切点在直线2x-y-He=O的上方，

2T--1

所以-2e。+(2-a)J+lle=2娱，整理得起尹=e，

V？TT

、22

设^—1—x,贝lja-.......,0<〃<2,二.％〉0,

ax+1

2i

(也可构造//(a)=々e。)

“x?xex

设〃(x)=W，x>0,则〃'⑴=含产〉0在(0,+“)上恒成立.

所以X(X)=♦，在(0,+。)单调递增.

22

又・・・"(l)=e,又.二_1=1,/.〃=1,方程枇丁丁匕只有1解：a=1-

②依题意：要证xlnx<e"+cosx-2,

当0<xWl时，xlnx<0,令m(x)=e*+cosx—2,0<xWl,

m'⑺=e"-sinx>0,「.m^x)在(0,1]上单调递增

.・.m(力>机(0)=1+1—2=0,所以不等式成立；

当x>l时，要证xlnx<e"+cosx—2,BPxlnx-ex-cosx+2<0.

设/z(x)=xlnx—eX-co&x+2,x>l,贝|/zr(x)=lnx-ex+sinx+l,x>l.

设夕(x)=lnx-e，+sinx+l,x>l,贝！J"e"+cosx,x>\.

当x>