利用导数研究函数的单调性【8类题型】（原卷版）-2025年高考数学重难点复习突破

热点专题3-3利用导数研究函数的单调性

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷(文)，第20(1),5分高考中，利用导数研究函数单

2024年北京卷，第20(1),5分调性为重要考点。考生需掌握

导数定义、性质及求导方法，

2023年I卷第第19(1),5分

通过导数正负判断函数单调

2023年乙卷(文)，第20(2),7分

区间。此考点强调导数与函数

(1)函数的单调区间

2023年乙卷(理)第16题，5分单调性的直接联系，要求考生(2)单调性与导数的关系

能准确求解导数并据此分析(3)含参函数单调性讨论

2022年新高考H卷，第6题,5分

函数在特定区间的单调性。备

2022年甲卷第12题，5分

考时，应注重基础知识的巩固

与解题技巧的提升，通过大量

2021年浙江卷第7题，5分

练习增强实际应用能力。

【题型1】求单调区间或讨论单调性(不含参)

【题型2】函数与导函数图像之间的关系

【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围

【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围

【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围

【题型6］最多有1个极值点的函数单调性分析

【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析(可因式分解)

【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析(不可因式分解)

【题型1】求单调区间或讨论单调性(不含参)

基础知识

判断函数y=/(x)的单调性的步骤:

第1步，确定函数的定义域;

第2步，求出导数求x)的零点;

第3步，用/(x)的零点将式x)的定义域划分为若干个区间，列表给出〃尤)在各区间上的正负,由此得

出函数y=/(x)在定义域内的单调性.

注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开.

1.(2024・四川成都•三模)已知函数/'⑺是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f^)=x(l-lnx),

则当x<0时，/(x)的单调递增区间为.

InX

2.函数y=—的单调递增区间是()

A.1一B.(e,+oo)C.D.(0,e)

3.已知函数=1)—Inx,判断了⑺的单调性，并说明理由；

4.(2024•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=x-lnx-..判断函数的单调性.

【巩固练习1】函数y=工的严格递减区间是.

x-2

【巩固练习2】函数/(元)=:尤2-mx的单调递减区间为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(l,+oo)D.(0,2)

【巩固练习3X2024•四川巴中•一模)已知奇函数“X)的导函数为/'(x),若当x<0时〃尤)=尤2-幺,

且/''(T)=0.则/(x)的单调增区间为.

【巩固练习4】(2024•河北保定•二模)已知函数/'(x)=(x-2e2)lnx-or-2e2(aeR).若a=l,讨

论“X)的单调性;

【巩固练习5】(2024•湖南邵阳•三模)己知函数〃司=变手土g(awR),若a=2,求的

单调区间.

【巩固练习6】(2024•全国•模拟预测)己知函数讨论函数/(x)的

单调性.

【题型2】函数与导函数图像之间的关系

基础知识

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/（X）单调递增o导函数/（X）20（导函

数等于0,只在端点成立，其余点满足/'（x）＞0）；原函数单调递减o导函数/'（x）W0（导函数等

于0,只在端点成立，其余点满足/（不）＜0）.

导数的绝对值与函数值变化的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快,这时

函数的图象就比较"陵直''（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较''壬

缓”.

5.「（元）是函数/（尤）的导函数，y=r（x）的图象如图所示，则＞=/（》）的图象最有可能是下列选

项中的（）

6.函数y=/（x）的图象如图所示，y=/（尤）为函数y=/（x）的导函数，则不等式叶⑺＞0的解集

A.(-oo,-3)u(-l,0)u(1,+oo)B.(-oo,-3)u(-1,0)D(0,1)

C.(-3,-l)u(l,+«)D.(-3,-l)u(O,l)

【巩固练习1］已知函数y=/（x）的导函数（（x）的图象如图所示，那么对于函数y=/（x）,下

列说法正确的是（）

A.在(-双-1)上单调递增B.在。,+力)上单调递减

C.在尤=1处取得最大值D.在x=2处取得极大值

【巩固练习2】已知函数y=/(x)(xeR)的图象如图所示，则不等式#'(*)>0的解集为().

A.[o,g]“2,+oo)

B.b叫呜,2,

C.(f0)U,，2)

D.(-1,0)U(1,3)

【巩固练习3】已知函数y=/(x)的图象是下列四个图象之一，函数y=r(x)的图象如图所示，则

函数y=/(x)图象是()

【巩固练习4】y=/'(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象最有可能是()

【巩固练习5】(多选)己知函数/(x)的定义域为R且导函数为f(x),如图是函数y=/(x)的图象,

则下列说法正确的是()

A.函数Ax)的减区间是(-2,0),(2,收)

B.函数/(X)的减区间是(-8,-2),(2,+8)

C.x=-2是函数f(x)的极小值点

D.x=2是函数/(%)的极小值点

【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围

基础知识

已知函数的单调性问题

①若/(X)在某个区间上单调递增，则在该区间上有了'(x)恒成立(但不恒等于0)；反之，要满

足/'(x)>0,才能得出/(x)在某个区间上单调递增；

②若/(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有了'(x)W0恒成立(但不恒等于0)；反之，要满

是/(x)<0,才能得出/(幻在某个区间上单调递减.

7.(23-24高三.江苏南京.期末)已知函数/(司=$3一%2+依+i在区间［o,2］上单调递增，则实数。

的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

8.（23-24高三上.江苏淮安•阶段练习）已知函数/（x）=2d-liu,若〃尤）在区间（2m,机+1）上单调

递增，则实数机的取值范围是.

9.（2024•陕西西安•三模）若函数=f—依+lnx在区间（l,e）上单调递增，则。的取值范围

是（）

A.[3,+oo)B.(—oo,3]C.〔3,e~+1]D.口,e~—1]

【巩固练习1］（2023年新课标全国H卷数学真题）已知函数〃x）=ae£-lnx在区间（1,2）上单调递

增，则。的最小值为（）.

A.修B.eC.e-1D.e-2

【巩固练习2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设ae（0,1）,若函数〃x）=优+（1+a），在（0,+力

上单调递增，则。的取值范围是.

【巩固练习3］己知函数〃月=；尤3+_|尤2+X+］在（_力,0）,（3,+co）上为增函数，在（1,2）上为减

函数，则实数a的取值范围为（）

102105

A.一AB.C.(-oo,-2]

32

【巩固练习4】（23-24高三上•山东青岛•期末）若函数/（x4e'+a/T在g+8）上单调递增，贝°°

的取值范围是.

【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围

基础知识

已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

10.若函数〃了）=丘-/加在区间（L”）单调递增，则％的取值范围是_；若函数f（x）在区间（1,”）内

不单调，则上的取值范围是

11.(23-24高三上.山东济南.阶段练习)已知函数/(x)=2x-asinx在R上不是单调函数，则实数

m的取值范围是.

【巩固练习1】已知函数/(x)=(lT)lnx+⑪在(1,+8)上不单调，则。的取值范围是()

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C.[0,+oo)D,(^»,0]

【巩固练习2】若函数〃耳=；-■|/+以+1在区间(1,4)上不单调，则实数。的取值范围

是.

九21

【巩固练习3](2024•宁夏银川•三模)若函数/(九)='-Inx在区间(狼加+§)上不单调，则实数

机的取值范围为()

22

A.0<m<—B.—<m<\

33

2

C.—<m<1D.m>l

3

【巩固练习4】(23-24高三上•福建三明•期中)已知函数〃耳=以2-4依-山1，则/(尤)在(1,3)上不

单调的一个充分不必要条件是()

A.〃£1一B.ciGI—,+C0Ic.〃£1一D.〃£[一,%

【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围

基础知识

存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题

12.若函数/(x)=(x-〃2)2+lnx在区间(1,2)上有单调递增区间，则实数加的取值范围是

13.(23-24高三上•福建泉州•阶段练习)若函数刈力=原-3内2-2》在［1,4］上存在单调递增区间,

则实数。的取值范围为()

A.［-l,+oo)B.(-l,+oo)C.卜8,一］D.\8,一\)

【巩固练习1】若函数g(x)=ln尤+；/一。一1)尤存在单调递减区间，则实数。的取值范围是()

A.［3,+oo)B.(3,+oo)

C.(-oo,3)D.(-oo,3］

【巩固练习2］若函数/(元)=lnx-g62_2x存在单调递减区间，则实数。的取值范围是.

；，1)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围

【巩固练习3］若函数/(x)=lnx+G；2_2在区间

是()

A.(-co,-2)B.C.(-2,+co)D.(-8,+oo)

【巩固练习4】若函数/(x)=d+时/在上存在单调递减区间，则机的取值范围

是_______

【题型6］最多有1个极值点的函数单调性分析

基础知识

利用导数判断函数单调性的步骤

(1)确定函数/(X)的定义域；

(2)求出导数/'(X)的零点；

(3)先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时广(x)的正负是确定的，即/(x)单调

(4)当零点在定义域内时，用广(x)的零点将〃x)的定义域划分为若干个区间，列表给出广(x)在

各区间上的正负，由此得出函数，=/(尤)在定义域内的单调性；

14.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求无)的单调区间.

15.(2023•全国•高考真题)已知函数〃x)=a(e*+a)-尤.⑴讨论的单调性;

16.(2024•全国•高三专题练习)已知函数〃无)=x-lnx-《.判断函数的单调性.

【巩固练习1】已知函数〃x)=q+lnx-l,aeR.讨论函数/⑴的单调性;

X

【巩固练习2】已知函数/(x)=ox-21nx.讨论函数/(x)的单调性;

【巩固练习3】(2024•陕西渭南•二模)已知函数/(x)=ln(x+l)—如，其中〃zeR.讨论〃尤)的

单调性;

【巩固练习4】（2024•山东枣庄•模拟预测）已知函数/（x）=e，-/-x,/'（尤）为/（x）的导数，讨论了'（尤）

的单调性;

【巩固练习5]（2024•浙江宁波•模拟预测）已知函数/（x）=e*-依-1.讨论/（X）的单调性;

【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）

基础知识

这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下：

第一步：求/（x）的定义域

第二步：求出/'（幻，通分

第三步：令广（x）=0,因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参

第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时/（x）只有一个极值点

第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令（。）＞0,解出x的

取值范围，得函数的增区间；令/'(x)<0,解出x的取值范围，得函数的减区间.

注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“U”、“或”连接，而应

用“和隔开.

17.已知函数"X)=；f+(1-a)x-aInx(aeR).讨论函数的单调性；

18.已知函数〃尤)=办-：-(。+1)111彳(。/0)