几何新定义问题常考考点 预测练-2025年中考数学三轮复习

几何新定义问题常考考点预测练

2025年中考数学三轮复习备考

一、单选题

1.定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”•若点A。,2）,幸福直线是

x=-2,则点A关于这条幸福直线的对称点8的坐标是（）

A.(—1,2)B.(1,—2)C.(5.—2)D.(—5,2)

2.如图，在AABC中，ZC=90°,定义：斜边与NA的对边的比叫做NA的余割，用“cscA”表示.若

该直角三角形的三边分别为a,b,c,贝I]CSCA=£,那么下列说法正确的是（）

a

A.cscBsinA=1B.escB=—C.escAcosB=lD.esc2A+cscB=l

c

3.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值上称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等

腰VABC中，NA=50。，则它的特征值上等于（）

,10「5C13T5-10-8

A.—B.—C.—或一D.—或一

138108135

4.定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割

成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角

形的相似线.在VABC中，ZA=30。，若过顶点8能画出两条相似线，则-3的度数可能是（）

A.60°B.75°C.90°D.120°

5.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,A,B为。。外两点，AB=1.给出如下定义：平移

线段A8,得到。。的弦AF（A,9分别为点A,8的对应点），线段A4,长度的最小值称为线段A3

到。。的“平移距离”，若点42者B在直线y=^x+2石上，记线段A3到0。的“平移距离”为4,

3

则4的最小值是（）

6.对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN,给出如下定义：线段跖V上各点到x轴距离的最大

值,叫做线段肋V的“轴距”，记作加V.例如，如图，点M（-2,-3）,N（4,l）,则线段MN的“轴距”

为3,记作“v=3.已知点E（-L〃z）,F（2,m+2）,线段跖关于直线y=2的对称线段为G".若

=3,则m的值为（）

C.7或一1D.I或5

7.定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”.如图，四边形4?。是“邻

等对补四边形"，AB=AD,NA=90。，S四边.CD=16,CD=l,则BC的长为（）

8.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义：在图形G上若存在两点“，N,使

△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点尸为图形G的T型点，APAW为图形G关于点P

的T型三角形.若H（0,-2）是抛物线y=/+"的T型点，则w的取值范围是（）

A.n>-lB.n<-lC.«<--D.n>--

44

9.定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆

叫作“等弦圆”•现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为（）

A.与B.2-72C.V2-1D.2A/2-2

10.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形A7上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于

图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线跖的“伴随点例如：如图1,已知点

4（1,2）,3（3,2）,P（2,2）在线段AB上，则点P是直线EF:x轴的“伴随点”.如图，x轴上方有一等边三

角形轴，顶点A在，轴上且在上方，OC=«，点尸是VABC上一点，且点尸是直

线轴的“伴随点”，当点尸到无轴的距离最小时，则等边三角形ABC的边长为（）

11.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.如图,

在平面直角坐标系中，矩形。的边OA=6,OC=8,点M（4,0）,在边AB存在点P,使得

!CMP为“智慧三角形”，则点尸的坐标为（）

A.（6,2）或（6,6）B.（6,2）或（6,3）

C.（6,1）或（6,3）或（6,6）D.（6,1）或（6,2）或（6,6）

12.在平面直角坐标系xQv中，对于已知的点"（小乂），和图形尸，给出如下定义：如果图形厂上存

在一点N值,%）,使得当%=%时，MNW2,则称点M为图形/的一个“垂近点”.以下说法正确的

是（）

①若图形/为线段AB,4-3,2）,8（3,2）,点/（-1,3.5）是线段的“垂近点”；

②如图1,图形/为以坐标原点。为圆心，2为半径的圆，直线>=尤+26与x轴交于点C、与〉轴交

于点。，如果线段C。上的点都是。。的“垂近点”，则T4641；

③如图2若图形尸为抛物线y=工炉一4,以点P（a,0）为中心，边长为2的正方形ABC。，AB//CD//x

4

轴，AD〃BC〃y轴，若正方形ABC。上存在“垂近点”，则。的取值范围为：-1-2百WQV-1或

1VQ«1+2,\/5.

A.①②③B.①②C.①③D.②③

二、填空题

13.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”.如图，

在平面直角坐标系xQv中，矩形。1BC的边0C=4,3c=6,点”（-3,。），在边BC上存在点尸，使

得为“美丽三角形”，则点尸的坐标为：.

14.新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲤鹏三角形”，其中

较长的边称为“鲸鹏边”，两条边所夹的角称为“鲸鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，VABC为

k

“鳏鹏三角形”，A3为"鳏鹏边”，则NBAC为“鲸鹏角”，其中A,8两点在反比例函数y=—图像上，，

x

且A点横坐标为-1,点C坐标为（0,3）,当VABC为直角三角形时，k=.

15.新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形

的一条弦的长度为3cm,且这条弦将等边三角形分成面积1:2的两个部分，那么这个等边三角形的边

长为cm.

16.新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的

“等腰直角线”.已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4,它的面积是.

三、解答题

17.感知定义：如果三角形的两个内角a与£满足a+2^=90°,那么我们称这样的三角形为“类直

角三角形

尝试运用

图1图2

(1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为110。，请直接写出它的两个锐角的度数；

⑵如图1,在钝角三角形ABC中，NABC>90。,AB=5,BC=3岔,AA8C的面积为15,求证：NABC

是“类直角三角形”.

(3)如图2,在Rt^A3c中，ZC=90°,BC=3,AB=5,在边AC上是否存在点D,使得AABD是“类

直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.

18.【阅读理解】

定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度

值如图1中，AD和AE分别为VABC的边上的高和中线45=10,DE=5,则VABC的边

的“中偏度直'为］=2.

【尝试应用】

如图2,在RtZkABC中，ZBAC=90°,AB=40,AC=30,

(1)BC=,BC边上的高=；

(2)求VABC的边的“中偏度值”；

【拓展延伸】

如图3,点A为直线/上方一点，点A到直线/的距离45=12,点8在直线/上，且A5=15,若点C

在直线/上，且AC=13,

(3)求VABC的边3c的“中偏度值”.

A

AA

19.［定义］若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做对称

四边形.

①平行四边形是一个对称四边形.()

②对称四边形的面积等于对角线乘积的一半.()

［应用］如图，已知对称四边形ABC。，ZBAD=60°,ZABC=9Q°,AB^BC,P是AD上一点，

AEJL3P于E,在3尸的延长线上取一点凡使EF=BE,连接AF,作/皿＞的平分线AG交所于

G,于连接CG.

①求NE4G的度数.

②若以线段CB,CG,AG为边构成的三角形是直角三角形，求cos/CBM的值.

20.定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角.

(1)如图1,—D是VABC中/A的好望角，/A=a,请用含a的代数式表示一。.

(2)如图2,在VABC中，NBAC的平分线与经过BC两点的圆交于点D,E,且

ZACE+ZBDE=180°.求证：-4DB是VABC中NACB的好望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，

①取弧CE的中点尸，连接CD,CF,若CO=4,CF=j6,求圆的半径

②若NS4c=90。，BC=6,请直接写出线段AE的最大值.

21.数学活动中，给出如下定义：如果三角形有一边上的中线等于这边长的2倍，那么我们称这个三

角形为“奇异三角形”.如图1,在VABC中，CD为A3边上的中线，若CD=2AB,则VABC即为“奇

异三角形

(1)如图2,在AASC中，AB=AC=历，BC=2,求证：AABC是“奇异三角形”;

⑵如图3,已知线段AC，直线/于点C,且AC=2,若直线/上存在一点8,使得AASC是“奇异三

角形”，求BC的长.

22.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.

图1图2图3

(1)如图1,若四边形ABC。是圆美四边形，求美角ZA的度数.

⑵在(1)的条件下，若。。的半径为5.

①则3。的长是.

②如图2,在四边形A5CD中，若C4平分/BCD,求证：BC+CD=AC.

(3)在(1)的条件下，如图3,若AC是O。的直径，请用等式表示线段AB,BC,C。之间的数量关

系，并说明理由.

23.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.

图2图3备用图

⑴如图1,四边形ABC。的顶点A、B、C在格点上,请你在5x7的网格中分别画出3个不同形状的

等邻边四边形A3。，要求点D在格点上;

(2)如图2,在口ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点,AD=DE,ZAFE=NB,请证明四边

形是等邻边四边形；

(3)如图3,在nABCD中，48=60。，AD=8,M、N分别为CD、3c边上一点(N不与两端点重合)，

连结AM、AN,AM=AB,DM=3,当四边形AVOW是等邻边四边形时，请直接写出BN的长度.

参考答案

题号12345678910

答案DCDDBDCCBB

题号1112

答案DB

1.D

【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征.熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的

关键.

由点A关于幸福直线x=-2的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于一2,即

B（-2x2-1,2）,然后作答即可.

【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直，

•••点A与点B的纵坐标都相同

B（-2x2-l,2）,即3（-5,2）,

故选：D.

2.C

【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可.

【详解】解：A、cscB.sinA=1@=?*l,原说法错误，不符合题意；

bcb

B、cscB=^,原说法错误，不符合题意；

b

C、cscAcosB=--=l,原说法正确，符合题意；

ac

2

D、CSCA+CSCJB=4+7*1.原说法错误，不符合题意；

ab

故选：C.

3.D

【分析】分两种情况：NA为顶角或为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，

即可得到它的特征值人.

【详解】解：当/A为顶角时，

・•,等腰VABC中，ZA=50°,

18。？和J8。-5。=65?,

22

当NA为底角时，

・••等腰VABC中，ZA=5O°,

・•・顶角为：180?2?A180?2?5080?,

**•特征值^=|^=|.

1nQ

它的特征值k等于S或3

135

故选：D.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理.掌握等腰三角形的两底角相等是解题的

关键，注意分类讨论.

4.D

【分析】根据三角形内角和180度可以得出，三角形中一个角是锐角，若另一个相似角也是锐角，则

从此角顶点不能画出相似线；若另一个角是直角，则从直角顶点只能画出一条相似线；若另一个角是

钝角则从此角顶点可以画出两条相似线.

【详解】解：若N3是锐角，并且NA=30。，从顶点3不能画出相似线，所以A、B排除；

若23是直角，并且NA=30。，从顶点B只能画出一条相似线，所以C排除；

若是钝角，并且NA=30。，从顶点2可以画出两条相似线，所以D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了相似线概念，正确理解题目是解题关键.

5.B

【分析】如图，设直线y=/x+2相交y轴于点交x轴于点C,则C(-6,0),D(0,2^),设。。

交y轴于点A',在y轴的左侧作等边03’,过点A作AAUCD于点A,求出A4'的长，可得结论.

【详解】解：如图，设直线y=gx+2否交y轴于点，交x轴于点C,则。(-6,0),£»(0,2^3),

OC=6,OD=2y/3,

CO厂

tanNCDO=布=5

ZCDO=60°,

设。。交y轴于点4,在y轴的左侧作等边03',过点A作A4UCD于点4,

DA^OD-OA=2石-1,

河=A'D-sin60°=互避，

2

・・・线段AB到QO的“平移距离”4的最小值="且，

2

故选：B.

【点评】本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

6.D

【分析】本题考查了轴坐标与图形变化一对称，线段“轴距”的定义等知识，分两种情况讨论：①当

|-/W+4|>|-m+2|,②当卜机+4|〈卜机+2],分别求出，〃的值即可，理解新定义，掌握知识点的应用是

解题的关键.

【详解】解：：点E（-U〃），F（2,m+2）,

.-.E,尸关于直线y=2的对称点G（—L—”7+4）,H（2,-m+2）,

*.*当|—+4|N|—根+2〔，"GH=3,

/.|-«7+4|=3,

.•.〃?=1或〃?=7（舍去）；

当|一M+4|<|—2|,dgH=3,

|—fn+2|=3,

〃z=5或加=一1（舍去），

综上可知小的值为：1或5,

故选：D.

7.C

【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形”

定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键.

^BC=x,AB=AD=y,根据“邻等对补四边形”定义得NC=ZA=90。，再根据

S四边形ABCD=SvABD+SvBCO=16得％=32-X①，5/32=+AD?=+CZ）2得2y2=工2+1②，将①

代入②得64-2x=V+1,由此解出X即可得BC的长.

【详解】解：设BC=x,AB=AD=y,

・・•四边形ABC。是邻等对补四边形"，ZA=90°,

/.ZC=ZA=90°,

S四边形ABC。=^^ABD+Leo=16,CD=1,

:.-ABAD+-BCCD=16

22f

2

/.y+x=32f

即y2=32-%①，

2222

在及△ABD中，由勾股定理得：BD=AB+AD=lyf

在RhBCD中，由勾股定理得：BD2=BC2+CD2=^+1,

.•.2丁"+1②，

将①代入②，得：64—2x=x2+1,

/.（X+1）2=64,

.,.无+1=8或x+l=—8,

由无+1=8,解得：x=7,

由1+1=-8,解得：1=-9（不合题意，舍去），

BC=%=7.

故选：C.

8.C

【分析】>=炉+〃是对称轴为y轴的抛物线，顶点为（。,〃），根据新定义可知：a与抛物线的两点能

组成等边三角形，即直线A"与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点/、N,根据题意

得/4HO=30。，ZOAH=60°,OH=2,利用三角函数求出点A的坐标，利用待定系数法求一次函

数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有8（0,-2）是抛物线y=Y+”的T型点，因此列方程

/+〃=岛-2,有解时才有结论得出，即A20,解不等式即可.

【详解】

解：如图，-2）是抛物线”的T型点，

ZAHO=30°,

tan300=—,

OH

OA=2x——=,

33

，通过H的直线的解析式为：y=岛-2,

y=X2+n,

二当Y+〃=A—2有解时，才有2)是抛物线y=/+〃的丁型点,

BPA=3-4(n+2)>0,

/5

n<——,

4

当代二时，H(0,-2)是抛物线y=V+〃的T型点，

4

故选：C.

【点睛】本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还

考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，等边三角形各角都是60。，熟练掌握三线

合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时,两函数解析式组成方程组,

有交点就是方程组有解.

9.B

【分析】当等弦圆。最大时，则0。经过等腰直角三角形的直角顶点C,连接CO交A3于尸，连接OE,

DK,再证明DK经过圆心，C5J_AB,分别求解AC,BC,CF,设。。的半径为r,再分别表示砂、

OF,0E,再利用勾股定理求解半径「即可.

【详解】解：如图，当等弦圆。。最大时，则。。经过等腰直角三角形的直角顶点C,连接CO交A3

于尸，连接OE,DK,

ZACB=90°,

CF1AB,

■,AC=BC,ZACB=90°,AB=2.

AC=BC=42,AF=BF=CF=-AB=1,

2

设O。的半径为〃，

/.CD=y/r2+r2=^2r=EQ,OF=l—r,OE=r，

•：CFLAB,

-,EF=QF=^r,

22

r=（i-r）+（2^r）2,

整理得：r2-4r+2=0,

解得（=2+V5,r2—2—\^2,

■：OC<CF,

.•/=2+0不符合题意，舍去，

当等弦圆最大时，这个圆的半径为2-夜.

故选：B.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之

间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用等知识.熟练掌握以上知识是解本题的关键.

10.B

【分析】本题考查了几何新定义，切线的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，理解新定义

是解题的关键.当P到x轴的距离最小时，点P在线段上，设VABC的边长为"，以C为圆心。为

半径作圆，当OC与x轴相切时，如图所示，切点为H,此时点尸是直线跳■:x轴的“伴随点”.且点

P到x轴的距离最小，则C的纵坐标为。，即CH=。，VABC是等边三角形，且轴，设BC交

于点。，则AD人BC,得出根据。C=遂即可求解.

【详解】解：当尸到x轴的距离最小时，

点尸在线段上，

设VABC的边长为。，以C为圆心。为半径作圆，当0c与尤轴相切时，如图所示，切点为此时

点P是直线斯：了轴的“伴随点”.且点P到*轴的距离最小，

则C的纵坐标为。，即CH=a,

：VABC是等边三角形，且BC_Ly轴，设BC交于点O,则AD13C,

BD=DC=—a,

2

：.C（^a,a\,

•/OC=非,

解得：a=2或-2（舍去），

等边三角形ABC的边长为2；

故选：B

11.D

【分析】由题意可知：“智慧三角形”是直角三角形，则NCRM=90。或NCMP=90。，设P（6,a）,则

AP=a,BP=AB-AP=8-a,分两种情况：若NCPM=90°；若NCMP=90。，分别利用勾股定理进

行计算即可得到答案.

【详解】解：由题意可知：“智慧三角形”是直角三角形，贝l」NCPM=90°或NCMP=90°,

,••矩形。45。的边。4=6,OC=8,点尸在边上，

BC=OA=6,OC=AB=8,

二.OM=4,

:.AM=OA-OM=6-4=2,

设P（6,a）,贝=BP^AB-AP=8-a,

M-

若NCPM=90。，在Rtz\BCP中，由勾股定理得：C尸=3尸+BC2=（8-a）2+62,

在RSM4P中，由勾股定理得：MP'=AM'+AP-=iL+a1,

在RtAMCP中，由勾股定理得：CM2^MP~+CP2=22+o2+（8-a）2+42,

CM2=OC2+OM2=82+42=80,

2a2-16。+104=80,

解得：a=2或a=6,

.才（6,2）或46,6）；

若NaWP=90。，在RtZXBCP中，由勾股定理得：CP2=BP2+BC2=（8-a）2+62,

在RtAM4P中，由勾股定理得：MP-=AM2+AP2=21+a2,

在RtaMCO中，由勾股定理得：CM2=OC2+OM2=82+42=80,

■.■CM2+MP'=CP',

.-.80+22+a2=（8-a）2+62

解得：a=\,

P（6,l）,

综上所述,尸（6,2）或P（6,6）或尸（6,1）,

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、坐标与图形，理解题意，得出“智

慧三角形”是直角三角形是解此题的关键.

12.B

【分析】本题考查了新定义“垂近点”的理解，函数图象上点的特点，理解新定义、掌握函数图象上点

的特点是解题的关键；

①依据“垂近点”的定义，进行判断即可，注意满足占=%时，MNV2即可；

②线段C。上任意一点都是。。的“垂近点”，可知线段CZ）在是圆。的弦，得到-24处＜2,解不等式

即可;

③当尸点在y轴右侧时，。>0,如图1,当M点与。点重合时，NQ-l,l(a-l)2-4),贝U

4

ACV=i(a+l)2-4-1=2,即可求解；如图2,当M点与8点重合时，得至】JMN=-1-1(a+l)：+4=2,即

44

可求解；当p点在y轴的左侧时，«<o,同理可解.

【详解】解：①当x=—l时，|2-3.5|=1.5<2,叫(-1,3.5)是线段A3的“垂近点”，

故①正确，符合题意；

②;线段C。上任意一点都是EO的“垂近点”，

线段CD在是圆0的弦，

・圆。的半径是2,

.-.-2<2Z?<2；

—1W6W1,

故②正确符合题意；

③■.•点尸(0,0)是正方形的中心，可得正方形的边长为2,

,B(a+1,-1),C(a+l,l),D(q—1,1),

设正方形上点M是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点NIXN，外)，使得当为=为时，MN<2,

当尸点在y轴右侧时，a>0,

如图1,当M点与。点重合时，%—),

片

6-

5-

\「

__1___1___1___1______1___1___1______1___1___1__J—__1___1___1___1__

1

-8-7-6-5一4-3-2-1O123/15678&\AW=-(«+l)29-4-l=2,

4

-5-

-6-

图1

解得：a=1+2用或］-2出(舍),

如图2,当M点与8点重合时，M“+l,37-),

.•.MV=-L」(a+l)2+4=2,解得：q=l或

4

图2

a=-3(舍)，

.-.l<a<l+2V7时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；

当P点在y轴的左侧时，a<0,

如图3,当M点与C点重合时，N(a+1,1(«+1)2-4),

4

:.MN=-(a+l)2-4-1=2,

4

图3

解得：。=一1一2近或-1_2近(舍)，

如图4,当四点与A点重合时，…1)一),

.,w=-l-l（«-lf+4=2,解得：a=-1

图4

或a=3（舍）,

-1-26WaW-1时，正方形上存在抛物线的“垂近点”;

综上所述：-1-26VaV-l或lVaWl+2近时，正方形上存在抛物线的“垂近点”.

故③错误，不符合题意；

故选：B.

13.卜4,3+6）或卜4,3-6）或1-4,£|

【分析】本题主要考查了矩形的条件、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成

为解题的关键.

先说明“美丽三角形”是直角三角形，然后分AM为斜边和直角边两种情况，分别运用勾股定理求解即

可.

【详解】解：如图，即是4国的中线，且为“美丽三角形”，

2

ZHEF=ZF,ZHEG=Z.G,

/.ZFEG=NHEF+ZHEG=ZF+ZG=-xl80°=90°,

2

“智慧三角形”是直角三角形.

如图：当AM为斜边时，

设点尸（Tp）（0（尸＜6）,

VA（0,6）,M（-3,0）,

/.PM2=(^+3)2+(p-0)2=1+p1,PA2=(-4-0)2+(p-6)2=16+(p-6)2,

MA2=(-3-O)2+(6-O)2=45,

VAAMP为“美丽三角形”，即直角三角形，

当NAPAf=90°时，

­•MAL=PM~+AP->

.•.1+/+16+(°—6)2=45,解得：p=3-如或3+行，

...点尸的坐标为尸(-4,3+⑹或(-4,3-灼;

9I

・•・45+l+p2=i6+(p-6),解得：O.；

如图：当A"为直角边，NM4P=90。时，点P不在边3C上，不符合题意.

故答案为：卜4,3+石）或卜4,3-逐）或14,；］

14_9百+45或_5+行

112

【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨

论.

分别讨论当=90。或NAC5=90。时，设CD=a,分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点

A和点3坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求人即可.

【详解】解：如图，当NBAC=90。时，

分别过A,8作轴于点D,AD于点E,

设CD=a,

：.ZBEA=ZADC=90°,

ZEBA+NEAB=90°,ZDAC+ZEAB=90°,

:.NEBA=NDAC,

：.ABEA^^ADC,

,口=+AB八

由寇思，——=2,

AC

.EBEA

.・--=--=2,

ADDC

点横坐标为一1,点C坐标为(0,3),

BE=2a,EB=2,

ED=1+2a,OD=a+3,

A(-l,a+3),B(-1-2aM+1),

-1,(a+3)=(-1-2a)(a+1),

解得，

°=二1±好(负舍)，贝|〃=士在，

22

.=_(a+3)=_5+J

如图，当NACB=90。时，

分别过A,B作轴于点D,于点R

设CD=a,

・•・ZCFB=ZADC=90°,

ZBCF+ZCBF=90°,ZBCF+ZACD=90°,

ZCBF=ZACDf

：.^CBF^^ACD,

:.收=空地,

CDAD

〈A点横坐标为一1,点。坐标为（0,3）,

BF=Ca,CF=6，

OD=a+3,

1,61+3),B^—y/3ci,3—y/3^,

二.-1.(a+3)=—y/3a(3—^3),

解得，a=9百+12,

11

.,_((9.+12)_9右+45

••k=—(Q+3)=-----------F3=---------------

[11)11

故答案为：一述±竺或一任5.

112

15.庭或仙

【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由。©|BC,AADESAABC,然后由相似三角形面积

比等于相似比的平方，求得答案.

【详解】如图，根据题意得：DE\\BC,

A

当SAADE=2s四边形BCED时，

q.c=o-Q

.°AABC一乙.J,

DE:BC=A/6:3,

DE=3cm,

BC=5/60111，

当S«ADE=5S四边形BCED时，

q,Q—1-Q

□△AOE-Q&ABC-：）,

DE:BC=®3,

•：DE=3cm,

BC=6cm，

即这个等边三角形的边长为："cm或gem,

故答案为：R或6

16.4+40或12

【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,VABC是等腰直角三角形，AD==4,

AB2+BC2=2AB2=AC'=16,

AB=2V2，

梯形ABC。的面积为g（3C+A£＞）xAB=*及+4卜20=4+40；

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,VABC是等腰直角三角形，CD=AC=4,

：.Z.BAD=NB=90°,ABAC=45°,

，ZC4D=Z£>=45°,

ZACD=9Q°,

，AACD是等腰直角三角形，

AD=正AC=4夜，

梯形ABCD的面积为：(g+4£＞卜48=*0+4应卜2四=12；

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,VABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；

综上所述，它的面积为4+40或12.

故答案为：4+40或12

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

17.(1)20°,50°

(2)见解析

3Q

⑶存在；CD=-^CD=-

【分析】(1)根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可；

(2)过点A作AD1BC于点。，根据三角形面积求出4£»=^^=:患=2百，再根据勾股定理

求出2Z)=JAB2_AZ)2=小5。_(2不了=5证明△AD3SAS4,得出NDW=NC,求出

NA4C+NC=ND4S+44C+NC=2NC+N54C=90。，即可证明结论；

(3)分两种情况：当NA+2NABD=90。时，当2NA+NABD=90。时，根据三角形相似的判定和性质，

勾股定理，求出结果即可.

【详解】(1)解：•••某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为110。，

Ja+2£=90°

[+£=70。

£=20。

解得:

c=50°

它的两个锐角的度数为20。，50°.

(2)证明：过点A作于点。，如图所示:

A

•・•BC=3小,△ABC的面积为15,

2sc2x15/T

...AD=_^ABeC_=_=2,5,

BC3也

•・・AB=5,

・・・根据勾股定理得:

BD=ylAB2-AD2=后-(232=75,

CD=BD+BC=y/5+345=4^/5,

.AD_2有CD_4A/5

BD75AD245

.AD_CD

’•茄一茄

•:ZADB=ZCDA,

：.Z\ADB^/\CDA,

：.ZDAB=ZC,

ZZMC+ZC=ZZMB+ZBAC+ZC=2ZC+ZBAC=90°,

・•・VABC是“类直角三角形”;

(3)解：当ZA+2ZABD=90。时,

ZA+ZABD+ZDBC=90°,

：.ZABD=ZDBC,

过点。作DEIAB于点E,如图所示:

C

CD=DE,

■:BD=BD,

:.RuB£)£^RtABr>C(HL),

:.BE=BC=3,

：.AE=AB-BE=5-3=2,

根据勾股定理得：AC=lAB2—BC2=152—32=4,

^CD=DE=x,贝！JAD=4—x,

根据勾股定理得：AD2=DE2-^AE\

即(47)2=£+22,

解得：x3,

3

：.CD=~；

2

当2NA+ZABD=90°时，

,/ZA+ZABD+ZDBC=90°,

：.ZDBC=ZAf

,:ZBCD=ZACB,

：.AABCs^BDC,

.CDBC

••一，

BCAC

CD3

即Bn——=-,

34

解得：8=彳9；

4

39

综上分析可知：。=彳或CD=：.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理应用，三角形全等

的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质.

2412

18.(1)50,24(2)—(3)6或—

77

【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的

思想方法.

(1)根据题意和题目中的数据，可以计算出，AACB中BC边上的高和该边上的中点到BC的距离，

(2)根据“中偏度值”的定义即可求解；

(3)分两种情况：当AC在澳的外部时，当AC在A的内部时，画出图形，分别计算即可.

【详解】解：(1)VZBAC=90°,AB=40,AC=30,

BC=^AB2+AC2=A/402+302=50，

•/-ACAB=-BCAD,

22

—x40x30=—x50xAD,

22

/.AD=24,

故答案为：50,24；

(2):AE为R^BAC斜边上的中线,

...BE=25,

:.AE=BE=CE=25,

:.DE=y/AE2-AD2=7252-242=7^

24

则△ABC的边5c的“中偏度值”为—；

(3)①当AC在△ABD外部时，作△ACB的中线A£,如图,

AD±BC,AD=12,AC=13,AB=15,

CD=VAC2-AD2=7132-122=5,BO=YJAB2-AD2=A/152-122=9，

/.BC=BD+CD=14,

A£；为△ABC的中线,

:.CE=-BC=7,

2

:.ED=CE—CD=7—5=2,

即点石到AD的距离为2,

12

则△ABO的边BC的“中偏度值”为—=6；

2

②当AC在△ABD内部时，作△ACB的中线AE,如图,

•・・AD_L5cAD=12,AC=13,AB=15,

.\CD=VAC2-AZ)2=7132-122=5,BD=y]AB2-AD2=V152-122=9,

:.BC=BD—CD=4,

*/A石为△ABC的中线,

:.CE=-BC=2,

2

:.ED=CE+CD=2+5=1,

即点E到AO的距离为7,

12

则AABC的边BC的“中偏度值”为y；

12

综上所述，AABC的边8C的“中偏度直，为6或1.

19.(1)①x；②/

(2)①30°；②cosNCBM=叵或近

44

【分析】(1)①本题考查平行四边的性质根据平行四边形的性质判断即可得到答案；②根据轴对称

图形的性质判断即可得到答案；

(2)①本题考查垂直平分线的性质与等腰三角形的三线合一，根据=AEYBP,得到

AB=AF,从而得到/BAE=ZFAE=-ZBAF，根据ZFAD的平分线AG交所于G得到

2

NDAG=ZFAG=1/FAD,结合角度加减关系求解即可得到答案;②本题考查解直角三角形的应用，

设=BC=y,先证AABESABCN表示出AG,分类讨论斜边，结合勾股定理及三角函数求解

即可得到答案；

【详解】解：(1)①平行四边形的对角线不一定垂直，故①的答案为：x；

②对称四边形的一条对角线被一条对角线互相平分，故对称四边形的面积等于对角线乘积的一半，故

②的答案为:4;

⑵①；EF=BE,AE±BP,

：.AB^AF,

：.NBAE=ZFAE=-NBAF,

2

'//网。的平分线AG交所于G,

：.ZDAG=ZFAG=-ZFAD,

2

NEAG=-ZBAF--ZFAD=-ZBAD=30°；

222

®^BM=x,BC=y,

CM=J"-尤2,

ZABE+ZBAE=ZABE+ZCBM=90°,

：.ZBAE=ZCBM,

'：ZAEB=ZCMB=90°,

:.AABES^BCM,

.AEAB_BE_r-

BMBCCM

・・・4£=氐，AB=6y,BE=《3(y2_x2),

EG=BM,

MG=BE=J3(y2—f)

CG=《MC?+MG2)=—I,

,：AEYBP,NE4G=30。，

・•・AG=2EG=2x,

(I)当以AG为斜边，

CB2+CG2=AG2,

即y2+(2^y2-X2)2=(2x)2,

,y=1Ji。］或y=~|抗展(不符合题意舍去)，

2__

止匕时：BM=x,BC=—vlOx,

・

••cos/NCCBJ\d-B-M---------；

BC4

(II)当以CG为斜边，

CB2+AG2^CG2,

即(2x)2=(2柠=？/，

.，.y=|■"x或y=-g"x(不符合题意舍去)，