几何证明压轴题（4大题型+高分技法+限时提升练）原卷版-2025年中考数学重难点复习专练（北京专用）

重难点05几何证明压轴题

明考情・知方向

北京中考几何证明题的特点在于强调几何直观、模型应用、综合性考查以及创新性情境设置，同时难度逐

年提升，注重学生逻辑推理能力和实际应用能力的培养。这些特点体现了北京中考数学试题对学生全面素

质的重视。解答几何证明题需要多种解题策略。例如，学生可以通过构造辅助线、利用相似性或全等性来

简化问题。北京中考几何证明题近年来更加注重创新性和情境设置。例如，2023年的一道几何综合题涉及

等腰三角形、菱形和正方形的判定，考查了学生灵活运用多种几何知识的能力。2024年的几何题则通过动

态几何画板演示，帮助学生更直观地理解几何元素之间的关系。从近年的题目来看，北京中考几何证明题

的难度呈现逐年上升的趋势。例如，2024年的几何压轴题被认为是近年来最难的一道几何题，考查了学生

对旋转、相似、全等等复杂几何变换的综合运用能力。

热点题型解读

探究数量关系

,最值问题

几何证明压轴题1

几何与三角函数综合

：含相似几何证明

【题型1探究数量关系】

考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂

直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活

运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

工-（五一2一3五不:元瓦1骊师布天孽M扃不孚三穗预语一匚一在仄7加币「一2互记=3涓;7万二旅活万工五于点

D,连接4D,在上截取CE,使CE=BD,连接

⑴直接判断/£与的位置关系

（2）如图2,延长AD,CB交于点、F,过点E作EG〃//交8c于点G,试判断尸G与N3之间的数量关系,

并证明；

⑶在（2）的条件下，若4E=2,CE=6,求EG的长.

2.（2024年北京市中考真题）已知NA£4N=a（0°<a<45。），点B,C分别在射线/N,AM±.,将线段8c

绕点B顺时针旋转180°-2a得到线段BD,过点。作AN的垂线交射线于点及

图1图2

⑴如图1,当点。在射线/N上时，求证：C是NE的中点；

（2）如图2,当点。在内部时，作。尸〃/N,交射线于点尸，用等式表示线段EF与NC的数量

关系，并证明。

3.（2024年北京市顺义区中考二模）如图，ZUBC中，AB=AC,ABAC=a,。为/C上一点（不与点

/、C重合），将线段D4绕点。顺时针旋转得到线段DE,连接AD.并延长到点F，使DF=BD,作

射线尸E,交射线区4于点G.

⑴依题意补全图形；

⑵求证：BG=IDE；

⑶在射线切上取点〃（不与点G重合）,使N"=/G.连接C〃、CF,用等式表示线段S与CF的数量

关系，并证明.

4.（2024年北京市门头沟区九年级中考一模）如图，AB=BC,448C=90。，点P在射线48上，且

NCEP=90。，点尸在EP上且EF=EC,连接/尸，取/尸的中点G,连接EG并延长至H,使G〃=GE,

连接

图1图2

（1）如图1,当点P在线段48上时.

①用等式表示AH与CE的数量关系；

②连接BE,直接写出BH,3E的数量关系和位置关系；

⑵如图2,当点P在线段N2的延长线上时，依题意补全图形2,猜想②中的结论是否还成立，并证明.

5.（2024年北京市东城区北京二中教育集团模拟预测）如图1,在中，N4CB=90°,NABC=60°,D

为边上一点，DEJ.4B于D,连接8瓦P为8E中点.

（1）连接尸。、PC,判断与尸C的数量关系，并直接写出/。尸。的度数；

⑵如图2,将△/£>£绕点A顺时针旋转々度（0°<a<180。）.

①请你依据题意补全图形；

②在旋转过程中，/DPC的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由.

6.（2024年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟）在等边△4BC中，点。为8c的中点，点£为4D

上一点（不与/、。重合）将线段£8绕点E顺时针旋转至斯，使点歹落在民4的延长线上，在图1中补

全图形：

⑴求/CE尸的度数；

⑵探究线段NC,AE,NF之间的数量关系；

⑶将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点“，连接C",当=时，请写出CH+CE的

最小值.

7.（2023年北京市H~一学校中考模拟）如图，AB=AC,ABAC=90°,过点C作直线/L/C,点。，E

是直线/上的动点（。在E的右侧）且满足。石=48,连接AD,//AD的平分线与射线/£交于点尸，与

射线NC交于点G.

（1）如图1,当点C在线段上，且/C/E=30。时，若/8=6,求线段EF的长;

（2）如图2,当点。在点C左侧时，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段NG,CD,跖的数量关系，并证明.

【题型2最值问题】

考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知i

识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二］

次函数或者利用几何性质解答。

袖--5瓦7年花束标疝।反市号薮孽珅题稹拟一厂如酉厂在扬便为万的定方形一好员一币:而另一亚一的范瓦一1由

边CD上一动点，设DQ=t（。如2）,线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE1AB

于点E,过M作MF1BC于点F.

C1）当51时，求证：△PEQ三△NFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S

的最小值.

9.（2024年北京市第二中九年级中考模拟）问题探究:

（2）如图2,在矩形A8CZ）中，AB=3,边2C上存在点尸，使N/PO=90。，求矩形面积的最小值；

问题解决：

（3汝口图3,在四边形4SCD中，AB=3,ZA=ZB=90°,ZC=45°,边。卜.存在点尸，使N/Q5=60。,

在此条件下，四边形/BCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

10.（2024年北京市第H^一中学中考三模）如图1,在等腰RtZ\/8C中，4=90。，点。、£分别在边

AB、AC±,AD=AE,连接。C,点M、P、N分别为DC、8c的中点.

⑴观察猜想：

图1中，线段尸M与PN的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明：

把绕点”逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,判断△尸九W的形状，并说明理由；

⑶拓展延伸：

把△NOE绕点/在平面内自由旋转，若40=4,48=10,求APMV面积的最大值.

11.（北京市东城区2023年九年级中考一模）如图，在正方形/BCD中，E是边8c上一动点（不与点8,C

重合），连接DE,点C关于直线的对称点为。，连接/C'并延长交直线OE于点P,尸是中点，

（1）求"DP的度数;

⑵连接AP,请用等式表示/尸，BP,OP三条线段之间的数量关系，并证明;

⑶若正方形的边长为/，请直接写出的面积最大值.

12.(21-22九下•北京北京师范大学附属实验中学•一模)△4BC为等边三角形，48=8,NDL8C于点。，E为

线段上一点,AE=2色.以/£为边在直线右侧构造等边三角形连接CE,N为CE的中点.

(1)如图1,斯与ZC交于点G,连接NG,BE,直接写出NG与的数量关系；

(2)如图2,将△，环绕点/逆时针旋转，旋转角为■为线段斯的中点，连接DN,MN.当30。＜。＜120。

时，猜想乙D7W的大小是否为定值，如果是定值，请写出功的度数并证明，如果不是，请说明理由；

⑶连接BN,在△/环绕点/逆时针旋转过程中，请直接写出线段的最大值.

【题型3几何与三角函数综合】

主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、

翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线.还需熟练掌握三角

函数定义及特殊三角函数值。

13.(北京市石景山区2022-2023学年中考二模)【模包蓬立】

(1)如图1,ZUBC和都是等边三角形，点C关于的对称点尸在AD边上.

①求证：AE=CD；

②用等式写出线段BD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,ZUBC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足为。，点C关于的对称点尸在8。边

上.用等式写出线段BD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)在(2)的条件下，若/。=4后，BD=3CD,求cos//F8的值.

A

A

14.（2023年北京市燕山地区中考二模）如图，在每一个四边形4BCD中，均有AD//BC,CD1BC,

Z^4BC=60°,AD=8,8c=12.

（1）如图①，点M是四边形/2CO边4D上的一点，则△2MC的面积为；

（2）如图②，点N是四边形4BCD边/。上的任意一点，请你求出△2NC周长的最小值；

⑶如图③，在四边形ABCD的边/。上，是否存在一点尸，使得cosNAPC的值最小？若存在，求出此时

COSNBPC的值；若不存在，请说明理由.

15.（2024年北京师范大学附属中学中考一模）已知：在矩形48C。中，AB=6,AD=2^,尸是2C边上

的一个动点，将矩形/BCD折叠，使点4与点尸重合，点。落在点G处，折痕为所.

（2）如图2,当点P与点8,C均不重合时，取EF的中点。，连接并延长尸。与G尸的延长线交于点连

接PF,ME,MA.

①求证：四边形旌尸尸是平行四边形；

②当tan/M4D=；时，求四边形ME尸尸的面积.

16.（2023年北京市东城区中考数学一模）如图，在正方形/BCD中，AB=3,M是CD边上一动点（不

与。点重合），点。与点E关于所在的直线对称，连接/E,ME,延长C3到点尸，使得B尸=DM,

连接即，AF.

(1)依题意补全图1;

(2)若DM=1,求线段跖的长；

(3)当点河在。。边上运动时，能使尸为等腰三角形，直接写出此时tan/O/M的值.

图1

17.(2024年北京市第H^一中学中考三模)在UBC中，NABC=90°,AB=BC,点。为平面内一点.

(1)如图1,若点。在线段3c上，且NA4O=NC4。，求tanNBAD；

(2)如图2,若点。为△ZBC内部一点，且/ADC=135。，连接/。，点E为4D的中点，连接BE,用等式

表示线段皿，BE,8的数量关系，并证明:

⑶若点。满足N8DC=135。，当43=拒时，请直接写出AD的最值.

【题型4含相似几何证明】

主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角:

形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键.

石「一756环无亲海痣三稹7矩形7友方币「二8二荷方二j1煮丁在近万仁―近江运苏一逢接7万厂息

射线/£绕点A逆时针旋转30。，交直线CD于点F.

⑴如图1,当点尸恰好与点C重合时，则NE4D=度;

⑵过点E作EG，/尸于点G,连接DG.

①如图2,当尸落在线段CD上时.求/GOC的度数；

FG

如图3,当尸落在线段CD的延长线上且FD=DG时，求下.

19.（2023年北京市海淀区中关村中学中考一模）如图，矩形/08C的顶点8,/分别在x轴，y轴上，

点C坐标是（5,4）,。为8c边上一点，将矩形沿/。折叠，点C落在x轴上的点E处，的延长线与x

轴相交于点尸.

⑴如图1,求点。的坐标；

（2汝口图2,若P是4尸上一动点，PMJL/C交NC于M,PNLCF交CF于N,设/尸=3FN=s,求s

与-之间的函数关系式；

⑶在（2）的条件下，是否存在点P,使APMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

20.（2024年北京市陈经纶中学中考一模）已知：4ABD和4CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）,

点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE,AE交BD于点

G.

图2

（1）如图I,求证：Z_EAF=NABD；

（2）如图2,当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF,MF的延长线交ED于点N,ZMBF=

yNBAF,AF=|AD,试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论.

21.（2024年北京市平谷区中考二模）如图，在△NBC中，NBAC=a°,48=/C,点。为平面上一点,

连接40,将4D绕着点/逆时针旋转a°得到线段连接。E,取DK的中点凡取2C的中点G,连接

DC,取。。的中点M,连接尸

⑴依题意补全图形；

⑵猜想/GFM的度数（用含a的式子表示），并证明.

22.（2024年北京大学附属中学中考零模）已知，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=90°,点。为NC边上

一动点，连接2。，过点C作8。的垂线交8。的延长线于点

（1）如图1,过点A作NN〃3C交”的延长线于点N,连接DN.

①依题意补全图形；

②用等式表示NND"与/MX7之间的数量关系，并证明.

（2）如图2,当点。恰为/C的中点时，E为BD上一动点,连接4E,将射线4E绕点A逆时针旋转90。交射

线CH于点、F.若32,且点£在运动的过程中始终满足上-族=28.请直接写出3E的取值范围