江西省景德镇市2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

江西省景德镇市2024-2025学年高一(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若毛na<0,cosa<0,则a所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.抛一枚质地均匀的硬币100次，58次出现正面朝上，若再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为()

11981

BCD

A.血1OO2-

98

3.角a的终边与30。的终边关于y轴对称，贝以=()

A.k-180°-30°(/ceZ)B.k-360°-30°(fceZ)

C.k-180°+150°(fcGZ)D.k-360°+150°(fcGZ)

4.仇章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石(古代容量单位)，验得米内夹谷,

抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为()

A.361石B.341石C.314石D.360石

5.抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件N表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件N相互

独立的是()

A.第二次朝上的数字是奇数B.第二次朝上的数字为2

C.两次朝上的数字之和为9D.两次朝上的数字之和为10

6.已知cos(33。+cr)=-,且0。<a<90°,则tan(33。+cr)sin(57°—a)—cos(147°—a)=()

7157

A-SB-5C-4D.一元

7.函数y=sin%(k>0)在［0,6］内至少出现3次最大值，贝必的最小值为()

3545

D

A.2-4-3-2-

8.如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域(由扇形。8c去掉扇形。2D

构成)涂上颜色，已知0B=20厘米，。4=x厘米，扇形环面区域面积为100平方厘

米，圆心角为。弧度.记扇环4BCD的周长为y厘米，y的最小值为()

A.y最小值为20厘米

B.y最小值为40厘米

C.y最小值为60厘米

D.y最小值为80厘米

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是()

A.终边在y轴上的角的集合为｛。旧=1+2kn,kEZ)

B.(-2,0)是函数/(*)=tan(3x-刍的图象的一个对称中心

C.把分针拨快15分钟，则分针旋转形成的角度为90。

D.tanl>sinl>cosl

10.已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件a和B,若p(4)=贝1()

A.P(一a)=(3

1

B.0<P(XB)<-

17

D.若/、8相互独立，贝IJ/和B至少有一个发生的概率为2

11.已知函数/(%)=sin®%+9)®>0,\(p\<^),x=一3为/(%)的零点，x=洲y=/(%)图象的对称

轴，且/(%)在区间/()上单调，下列结论正确的是()

o4

A.gto+g=g+k.7i9其中kEZ

4Z

n71

=4

C.当函数y=在区间G，J)上单调递增时，则3=6

o4

D.3的最大值为7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为

0.4,摸出黑球的概率为0.3,则摸出红球的概率为.

13.函数y=lg(1-sin2x)+73x—口的定义域是.

14.小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同(

每局任何一人输赢概率均为0.5).现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛.

若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

要得到函数y=2s讥(2x-/的图象，可以从正弦函数y=s讥久图象出发，通过图象变换得到，也可以用

“五点法”列表、描点、连线得到.

(1)由y=s讥无图象变换得到函数y=2s讥(2%-9的图象，写出变换的步骤和函数；

(2)用“五点法”画出函数y=2s讥(2支冶)在区间有和上的简图.

外

2-

1•

O2L2nTnx

,6T~6

-1■

-2

16.(本小题15分)

某用电器电流/(nM)随时间t(s)变化的关系式为/(t)=Asin^t+0)(4>0,3>0,|勿<今，如图是其部分

图像.

(1)求/(t)=Asin(a>t+9)的解析式；

(2)若该用电器核心部件有效工作的电流|/(t)|必须大于150质爪4则在1个周期内，该用电器核心部件的

有效工作时间是多少？(电流的正负表示电流的正反方向)

17.(本小题15分)

有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也

装有四张卡片，分别写有函数：/!(%)=/,^(x)=-%+1,4(%)=

(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率;

(2)若从甲，乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，

则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率.

18.(本小题17分)

在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了

100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值.若根据这次成绩，学校建议成绩排名前70%的学生选报物理，成绩排名后30%的学生选报历

史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？(小数点后保留一位)

(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成

绩从高到低依次有4+,A,B三个等级，若两个模块成绩均为2+,则直接参加；若一个模块成绩为4+,

另一个模块成绩为4则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二

人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+,A,B的概率分别为|,I，~乙在每个模块

考试中取得A+,A,B的概率分别为。~甲、乙在实验操作中通过的概率分别为g，W求甲、乙至少

有一个人能参加物理竞赛的概率.

19.(本小题17分)

已知函数/(X)=sin(2x+着)，xeR.

(1)求f(x)的对称轴方程，单调递增区间；

(2)若不等式[/(x)]2-2asin(2x+-2a+1<0对任意x£(-"电时恒成立，求实数a应满足的条件;

(3)将函数/(©的图象横坐标变为原来的《得到函数gO)的图象，若存在非零常数九对任意xeR,有

g(x+2)=71g(x)成立，求满足条件的实数的集合.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：s讥a<0,a在第三、第四象限或y轴负半轴上；

1•1cosa<0,.1.a在第二、第三象限或%轴负半轴上.

取交集可得：a所在的象限是第三象限.

故选：C.

分别由sina<0,cosa<0求得a终边的范围，取交集得答案.

本题考查三角函数值的符号，考查交集及其运算，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由题意可知，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率为3，

故再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为去

故选：D.

利用古典概型概率公式可求得抛一次硬币正面向上的概率.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：角a的终边与30。的终边关于y轴对称，

则a=k-360°+150°（fcGZ）.

故选：D.

先求与大小为30。的角的终边关于y轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求a即可.

本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：因为抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，

则样本中夹谷的频率为部=（，

因为这批米内共1805石，

所以这批米内夹谷约为1805=361（石）.

故选：A.

根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解.

本题主要考查了利用样本估算总体，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：抛掷骰子两次，共有6x6=36个基本事件数，

则％={(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),

(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6)},共18个基本事件,

所以P(N)=||，

设事件M为“第二次朝上面的数字是奇数”，则事件M与事件N是对立事件，故A错误；

设事件尸为“第二次朝上面的数字是2"，贝UFuN,

所以事件F与事件N不是独立事件，故3错误；

设事件E为“两次朝上面的数字之和是9"，

则醒={(6,3),(3,6),(5,4),(4,5)}共4个基本事件,

则P(E)得」

因为事件EN={(3,6),(5,4)},

所以。脚)=:=需,

111

所以P(N)P(E)Ex/表=P(EN),

所以事件E与事件N相互独立，故C正确；

设事件Q为“两次朝上面的数字之和是10”，

则事件Q={(6,4),(4,6),(5,5)},

Q1

所以P(Q)=5=W，

因为事件NQ={(6,4),(4,6)},

7I

则P(NQ)=数=云，

所以P(N)P(Q)=々手P(NQ),所以事件Q与事件N不相互独立，故。错误.

故选：C.

根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的定义，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：因为85(33。+a)=?且0。</<90。，

所以33。+a€(33。,123。)，

可得sin(33。+a)=1—cos2(33°+a)=/，

则tan(33。+cr)sin(57°—a)—cos(147°—a)

=tan(33°+a)sin[90°-(33°+a)]-cos[180°-(33°+a)]

=tan(33°+a)cos(33°+a)+cos(33°+a)

=sin(33°+a)+cos(33°+a)

43

=—I—

55

_7

=5-

故选：A.

利用同角三角函数基本关系式可求得sin(330+a)的值，进而利用诱导公式即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思

想，属于基础题.

7.【答案】4

【解析】解：函数y=sin与x(k>0)在[0,6]内至少出现3次最大值，贝也取最小值时，

函数y=sinyx(fc>0)在[0,6]内正好包含1个周期，

•••[,普=6，求得k=|,

~2

故选：A.

由题意利用正弦函数的图象，正弦函数的周期性和最大值，可得、.矍=6,由此求得k的值.

本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的周期性和最大值，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：0B=20厘米，。2=万厘米，圆心角为8弧度，

则弧长筋=如，弧长诧=208,

所以扇环力BCD的周长的长度y=+200+2x(20-%),

因为扇形的面积公式可得颉x2。2—匏x/=100,

所以8=就3(°<“<2°)，

所以y=2x(2。—x)+Q+20)x=2x(20—吗+鹄22J2x(20—x)x碧=40,

当且仅当2x(20-久)=是色，即x=10时取等号，

所以扇环力BCD的周长的最小值为40米.

故选：B.

根据弧长公式求出y关于x的函数表达式，根据均值不等式可求得y的最小值.

本题主要考查扇形的面积公式，以及基本不等式的公式，属于基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：终边在y轴上的角的集合为：｛。旧=/2时#62｝乂8旧=苧+2雨#62｝=例”>

kn,kGZ],4选项错误；

因为3x(—专冶=—3由正切函数的对称性，

可得(—白，。)是函数/⑶=tan(3x—勺的图象的一个对称中心，8选项正确；

把分针拨快15分钟，分针顺时针旋转，则分针旋转形成的角度为-90。，C选项错误；

因为1=—«57°18,>45°,

71

在(0,/上，y=tcmx单调递增，所以tanl>tan45°=1：

在(0,1)上，y=cosx单调递减,所以cosl<cos45。=年,

在(01)上,y=sinx单调递增,所以1=sin90°>s讥1>sin45°=年;

综上所述，有tanl>1>s讥1>cosl,。选项正确.

故选：BD.

终边在y轴上的角包含正、负半轴的角，判断4

根据正切函数的对称性判断B；

由任意角的定义判断C；

先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定tanl、cosl、sinl的取值范

围，即可比较大小，判断D.

本题考查了三角函数的性质，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

11

对于P(4)=I，则P(/)=l-]=i，A正确；

对于B,p(4)=；,p(8)=当力UB时，PQ48)=PQ4)=；,B错误;

对于C,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

当ZUB时，P(AB)=P(A),此时PQ4+B)=P(B)=/PQ4+B)取得最小值,

当a、B互斥时，p(a+B)=p(a)+p(B)=*,P(A+B)取得最大值，

故右WP(4+B)w台c正确；

对于D,若A、8相互独立，则P(48)=3x：=白，

111

+

则p（a+B）=P（A）+P（B）-PQW）4-3-2-

故选：ACD.

根据题意，由对立事件的性质分析4由积事件的定义分析B,由和事件的定义分析C,由相互独立事件的

性质和和事件的性质分析。，综合可得答案.

本题考查概率的应用，涉及积事件、和事件的性质以及相互独立事件的概率计算，属于基础题.

11.【答案】AD

【解析】解：由题意可得，sin(13+0)=±L所以[a+R=3+灯兀，匕GZ,故A正确；

又％=—，为/(%)的零点，所以sin(—*3+9)=。，

所以——(JL)(p=攵2几，々2EZ，

4

可得20=]+々1兀+k27r=5+(々1+七)"，

所以w=3+空”兀，因为⑷工百，所以0=±也故8错误；

4ZZ4

当函数y=f(x)在区间G，》上单调递增，贝心3+0=5+2/OT,kEZ,

函数y=f(x)的最小正周期所以即

所以348,又2a=5+2kji—，

所以3=1+4/c—2七，所以3为奇数，故C错误；

又348,所以3的最大值为7,故。正确.

故选：AD.

利用已知可得f3+w=3+七兀，hez,可判断a；一%+夕=卜2冗,kEz,计算可判断B；由已知可

4Z42

得生结合^3+w=J+2/OT,kez,计算可判断CD.

CO44r2

本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

12.【答案】0.3

【解析】解：由题意可知，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，

所以摸出红球的概率为1-（0.4+0.3）=0.3.

故答案为：0.3.

根据摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，求解概率.

本题主要考查了对立事件的概率关系，属于基础题.

13.【答案】[0,；）u（牛,3]

【解析】解：由题意可知，（AsiMx>0,即卜兀-*<无<卜7r+》”，

（3%—x2>010<%<3

可得xe[0W）u（竽,3],

所以函数/（久）的定义域为[0*u卷,3].

故答案为：[0,$U岑,3].

根据三角函数的性质结合函数定义域列式求解即可.

本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题.

14.【答案】60

【解析】解：•小王获胜概率：P（小王）=0.5（直接赢第4局）+0,5X0.5（第4局小明赢，第5局小王赢）=

0.75■

小明获胜概率：P（小明）=0.5x0.5（第4、5局均小明赢）=0.25,

总奖金比例：小王：小明=0.75：0.25=3：1,

小王应得奖金：80x击=60元.

故答案为：60.

利用条件概率，根据当前比赛结果，计算两人后续可能获胜的概率，并按比例分配奖金.

本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题.

15.【答案】解：（1）步骤1：把y=s讥％图象上所有点向右平移g个单位长度，得到函数丫=sin（x-9的图

象；

步骤2：把y=sin（x-金图象上所有点的横坐标变为原来的，倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-9的

图象；

步骤3：最后把函数y=sin（2x-金的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2s出（2%-

学的图象.

【解析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案;

（2）利用“五点法”画出图象.

本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了“五点法”作函数y=4s讥（wc+w）的图象，属于基础题.

16.【答案】/(t)=300s讥(150nt+，

【解析】解：⑴.倜期T=2x岛一（一嬴）］=4,

••・3=牛=150TT,

又a=300,

/(t)=300sin(1507rt+(/?),将点(一嬴，0)代入上式，得sin(s-§=0,

又阳

(P——=09可得0=2,

oo

・•・/«)=300sin(1507Tt+，

(2)当tC[0,/)时,此时150TT力+\W[),学

L25666J

可得|/Q)|=|300sin(1507Tt+7)1>150<3,

6

贝Usin(15O7zt+〉竽或sin(1507rt+9)<一苧，

匚匚[、j7T-ylc7T27r一p.47r.yl7T.57r

所以jV15O7Tt+"V亏或亏V1507Tt+7<―■>

3。33oD

解得喘<t<焉或盛<t<焉

由上」=J_」工」，

300900450'100900450

得在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是与+与=之S.

45U43U

(1)根据题意可得函数的振幅与周期，即可得4,3,再利用待定系数法求0即可；

(2)由题意令te[0点，可得=|300s讥(150忒+，>150，W,根据正弦函数的单调性解不等式，即

可得解.

本题主要考查由函数y=4s讥(3%+3)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求

出3,由特殊点的坐标求出9的值，可得函数的解析式，还考查了正弦函数的图像和性质，属于中档题.

17.【答案】j；

6

1

4,

【解析】解：(1)根据题意，若从乙盒中任取两张卡片，设/="这两张卡片上的函数的定义域不同”，

fi(x)=x2,其定义域为R,

上(%)=-%+1,其定义域为R,

%(久)=口，其定义域为[0,8),

A(x)=*其定义域为{X|比丰0},

从乙盒中任取两张卡片，有盘=6种取法，1="两张卡片上的函数的定义域相同”，只有1种取法，

则P(1)=j,

故P(A)=1-P(4)=j;

(2)根据题意，现从两盒中各取一张卡片，设两张卡片恰好“奇遇”为事件B,

月(久)=K2,偶函数，不具有单调性，

%Q)=-刀+1,既不是奇函数也不是偶函数，是减函数，

%(%)=口，既不是奇函数也不是偶函数，是增函数，

月(x)=：是奇函数，不具有单调性，

从甲，乙两盒中各取一张卡片，有4X4=16种取法，其中“奇遇”的情况有：奇函数-人(%),偶函数

-AW，增函数一%(x),减函数一%。)，共4种情况，

则P(B)=2.

(1)根据题意，设4="这两张卡片上的函数的定义域不同”，求出4个函数的定义域，由古典概型公式求

出P(7),进而计算可得答案；

(2)根据题意，设两张卡片恰好“奇遇”为事件8,分析4个函数的奇偶性和单调性，结合古典概型公式计

算可得答案.

本题考查古典概型的计算，涉及函数的定义域求法和奇偶性、单调性的判断，属于基础题.

18.【答案】a=0.005；不低于71.4分；

551

1200,

【解析】解：(1)根据题意可得20a+30a+60a+70a+20a=1,解得a=0.005；

又前几组的频率依次为0.1,0,15,0.35,

所以第30%分位数在(70,80)内，且为70+丝蒜尚竺=71.4,

所以他的物理成绩应不低于71.4分较为合适；

2221116

2

-X-+XXX----

(2)依题意甲能参加物理竞赛的概率P甲55575

111

+2XXX5-3-

乙能参加物理竞赛的概率P乙=齐2-2-5-

二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为:

」(1一「尹)(1一0乙)=「(1一妗(1一花)=品・

(1)根据频率分布直方图的性质求解即可；

(2)先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件

乘法概率公式求解即可.

本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题.

19.【答案】对称轴方程为x=：+单调递增区间为［后+时5+向上”；

1

与，+8）；

当4=1时，｛7n|/n=E;/