辽宁省沈阳市某中学2024-2025学年高一年级下册4月阶段测试数学试卷（解析版）

沈阳市第二十中学2024—2025学年度（下）阶段验收

高一年级数学试卷

时间：120分钟分数：150分

试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分）第二部分：非选择题型（12—

19题92分）

第I卷（选择题共58分）

一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

71

1.下列函数中，周期为2的是

XX

A.y=sin—B.y=sin2xC.y=cos—D.y=cos4x

【答案】D

【解析】

【分析】根据周期公式求解即可.

_2万

【详解】根据公式7=同

X

、=5诂5的周期为丁=4不，故A错误；

y=sin2x的周期为T=»,故B错误；

Y

y=««二的周期为丁=87，故C错误；

-4

TT

，=©0$4%的周期为7=不，故D正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题.

2.设扇形的周长为4c7”，面积为Ian?,则扇形的圆心角的弧度数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】设扇形的半径为广，弧长为/,则根据周长及面积联立方程可求出厂,/,再根据a=—即可求出.

r

【详解】设扇形的半径为广，弧长为/,

2r+l=4

则＜1,,，解得r=1,/=2,

—rl=l

[2

所以a=-=2,故选B.

【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧度角的定义，属于中档题.

3.函数/(x)=sin(0x+")(<y>0,。<。<不)在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线,

只需把/(%)图象上所有的点()

A.向左平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变

32

71

B.向右平移一个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3

2%1

C.向左平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变

32

977

D.向右平移上个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3

【答案】B

【解析】

【分析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可.

【详解】由图像可知：，=逐一一值=于所以T5所以至一解得：0=2.

所以/(x)=sin(2x+0).

\71,।----(D-F2k万2兀

又图像经过[一丘>1],所以｛6"2,解得：甲二工,

'Q<(P<71

所以/(x)=sin[2x+?-J

对于A：把“龙)图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到〃x)=sin[2x+《-J,再把所得图象上

所有点的横坐标缩短到原来的g,纵坐标不变得到/(x)=sin14x+故A错误；

对于B：把了(%)图象上所有的点向右平移(个单位长度，得至ij/(x)=sin(2x),再把所得图象上所有点

的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变=sinx.故B正确；

对于C：把“力图象上所有的点向左平移行-个单位长度，得到〃x)=sin(2x+2])=sin2x,再把所

得图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变/(%)=sin4].故C错误；

对于D：把/(%)图象上所有的点向右平移g个单位长度，得至U/(x)=sin[2x-g],再把所得图象

上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到"X)=sin.故D错误;

故选：B

4.已知向量M=(l,sin8)石=(cosa-2),若少15，则5M2，一5111夕85。一2852夕=()

459

A.—B.—C.--D.—1

545

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量垂直性质，即可得正切值，然后再用弦化切思想即可求解.

【详解】因为Z=(i,sine),B=(cose,-2)^z,B，

所以a•5=(1,sin6)•(cos0,-2)=cos2sin8=0=>tan6=),

sin20-sin0cos0-2cos20

而sin23-sin0cos0-2cos20-

sin20+cos20

119

-2_

----9

242

_tan。-tan。-2_-4-

1--5-

25

tan0+1-+1-

44

故选：C.

5.已知向量满足H=4,忖=2,卜一q=4,则）在办方向上的投影向量是（）

A.-B.-C.-D.4

8442

【答案】D

【解析】

【分析】先由题意求出的值，再根据投影向量的概念即可得结果.

【详解】因为。|=4,W=2,|a—4=4,

I——|2一2一一一2|一|2一一।一|2—一

所以卜一可=a-2a-b+b=卜|-2〃/+砰=16-2a.B+4=16,

即7石=2,

a-bbb

所以）在五方向上的投影向量是-［7T.万［=3，

\b\\b\2

故选：D.

6.函数y=—的部分图象如图所示，则（函+砺）通=

【答案】D

【解析】

【分析】首先结合正切函数图象得到点A与点B的坐标，进而表示出西和丽，然后利用向量数量积的坐

标运算法则进行解答即可.

【详解】在y=柩1］》-'J中，

令y=0,得％=2,所以点A的坐标为（2,0）；

令y=l,得x=3,所以点B的坐标为（3,1）.

04=（2,0）,OB=（3,1）,

.1.04+OB=（5,1）,AB=（1,1）,

（OA+OByAB=（5,1）.（1,1）=6.

故选D.

【点睛】本题考查数量积的运算和正切函数的性质，求解的关键是根据正切函数的图象得到点的坐标，然

后根据向量数量积的坐标运算求解，考查转化能力和计算能力.

7.如图，在VA3C中，NA=90°,NB=60°,AB=2,D为线段AC的中点，DM±BC,E为线段DM

的中点，E为线段AB上的动点，则访.国的最大值与最小值的差为（）

A.2.73B.JC.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】采用解析的方法，以A为坐标原点，A5AC所在直线分别为乂丁轴建立平面直角坐标系,

写出各个点的坐标，利用得到M的坐标，进而求出访•丽的解析式，由此可得答案.

【详解】如图，以A为坐标原点，A5AC所在直线分别为羽y轴建立平面直角坐标系：

因为在VA3C中，NA=90°,/B=60°,AB=2,D为线段AC的中点，所以仙。|=2百,

则3(2,0),C(0,2@,D(0,⑹，所以丽=(2,—2月，

设尸(m,O)(OWmW2),CM=tCB,贝!J(%,%-26)=(2/,-2技)

所以贝2/,2®—2后)，故丽=3，Q—2后)，

——---3

又因为DML3C,所以r>ArCB=4/—6+12r=0nr=—,

一8

+,J39百(39用

所以EF

M'故石1工I88J

—.—.(3127

EF-CB^2\m--\+—^2m+6,因为0«mW2,所以6W2m+6W10

即EFCB的最大值与最小值的差为10-6=4.

故选：D.

jr37r

8.设函数/(力=25皿◎¥+0)-1(。＞0),若对于任意实数0"(力在区间上至少有2个零点,

至多有3个零点，则。的取值范围是()

(.16]r.16、(.20]r.20)

I3」L3jI3」L3；

【答案】B

【解析】

jl371

【分析】利用换元，将原问题转化为丁=5皿。在区间-G)+(p,—(o+(p上至少有2个，至多有3个r,

_44_

使得sint=L,继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案.

2

【详解】令/(1)=0,则sin(0x+°)=:，令+则sin/=；,

jl371

则原问题转化为丁=5也,在区间-CD+(p,—CO+(p上至少有2个，至多有3个3

_44_

使得sin/=，,求。的取值范围；

2

作出y=sint和y=1■的图象，如图：

131171

结合图象可知满足条件的最短区间的长度为-------=2兀,

66

,.,.',17兀71871

取长区间的长度为-------=，

663

一g「371G1(Ttco)8兀右，/16「416

故得2兀+。］一一十°J<3-,解得4V0<可，即4,—

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分，部分选

对得部分分.

9.下列关于向量的说法正确的是()

A.任意向量。，瓦0,满足(1+/?)•］=万下+/?,1

B.若H=B•个且乙则

C.若非零向量25满足展B=则万/区

abab

D.任意两个非零向量4和B,向量同+同与向量忖一w垂直

【答案】ACD

【解析】

【分析】利有向量的运算律，向量数量积运算，向量垂直的性质即可作出判断.

【详解】对于A,根据向量数量积分配律(。+5)1=万1+5吃成立，故A正确；

对于B,由方V=石］可得同•同cos(第4=WR|cos(瓦,

因为己彳0，所以同COS仅©=WCOS(50,所以e不一定成立，

举反例：如同=G,倒寸=$W=1,甯,4=：此时&W6,故B错误；

对于C因为非零向量方万满足益名=同啊,所以cos(%5)=l,

即万,5=0,所以@/区，故C正确;

/、2

abababa2

对于D,由于

K

abab

所以向量同+%与向量间下垂直’故D正礁

故选：ACD.

2

10.已知函数/(X)=1—2sg+](xeR),下列说法正确的是().

A.函数了(%)是奇函数B.函数/'(%)的值域为-gg

■rr3■JT

C.函数“X)是周期为万的周期函数D.函数“X)在上单调递减

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.

【详解】由于y(x)=i---—=,+1~z=z.~x,又函数的定义域为R,

J'，2sm%+]^sinx+12smx_|_]

所以定义域关于原点对称，

811

2sin(-x)_]2-sinx_]i2*-1]2sinx

而f(—X)=2sg)+1=2-sinx+1=尸2sinx_|_2sinx

+1

故/(x)为奇函数，A正确，

"1n3224

由于sinxe[-l,l],所以2、地,€工2,2sinx+le-,3—e

222sinx+l33

,,,211“

从而1一声qj©一§，§，B正确，

2sin%

2sin(x+»)]2-sin1]-112sinx

/(x+%)=Hf(X),

2sin(x+^)+]2-sinx+]+1l+2sinx

所以/(%)不是周期为万的周期函数，C错误，

jr347137r

由于y=sinx在上单调递减，所以y=2.+l在上单调递减,

从而在pv上单调递增，则y=——77在pv上单调递减，

237r

则〃x)=l-而「在7,丁上单调递减，D正确.

2+1122

故选：ABD.

11.己知函数/(x)=Asin(ox+0)(o>>O,O<0<〃)，其部分图象如图所示，其中B为最高点,

B.若〃xJ=/(X2)=g,则上一工2上=3

D.若g(x)=/(Tx),g(x)在单调递减且g(x)2g［；］,则/的最大值为三

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,由题可得函数周期，据此可判断选项正误；对于B,由题可得。无+。=二+2版或§+2E,

66

卜乩,据此可判断选项正误；对于c,由题可得£y［g)=o,然后结合

由g(x)在1篇〕单调递减且

tn5n3…

—+—=—兀+2左兀

862

玩5兀71

可得4二+二2二+2版，然后由,的存在性结合左eZ可判断选项正误.

1262

左eZ

【详解】对于A,如图，过8点作x轴垂线，垂足为C,因tane=g,|A邳=M，

sin26＞11-cos20

则nl嬴蓊——cos0--7=,sin0—-,

9cos209VWVW

则|AC|=3,忸C|=l,设函数最小正周期为T,

对于B,因忸C=l,则a=l,又由图可得=且点oj在减区间图象上,

兀15715兀

所以一＞＜一+0=兀+2为1=＞°=——+2E,keZ,因0＜夕＜兀，贝=—

23666

715兀

则/⑺=sin—XH-------

26

.715兀71.,〜7T57r5兀_,4

则一XH----——F2kli或一XH-----------2左兀,左£Z,则%=---F4左或x=4左,

2662663

则当（）（）时，,_々|而4

keZ,/Xi=/x2=g一，故B正确;

Imin3

对于C,由B分析，fsin7i=0,fsin—=/(l)=sin-7i=-—

62v732

sin2兀=0,

则K0」.3—1一3」+0+工+3+1+走+「0,

22222222

又由A可知函数最小正周期为4=12x」，2025-12x168+9,

3

则冢如吟部二+。+工+

22

过史，故c错误;

2

tTl5K

对于D,由B分析，g(x)=sin——XH-------,因工£

26

/7t57r।2tn.”5兀~tn5兀

贝IJ—X+—e—+—,一H-------单调递减且g(x)2g

26U122686z

力i5兀3〜

—d-----=—兀+2左兀16，乙

862t——+16k

3

tn5兀、兀…

则《—+—>—+2kji,则《t>一4+24人,

1262

keZ

keZ

-4+24k<—+16k

因I存在,则〈3=>

keZkeZ

则7=L+i6左4L+i6=，.故D正确.

333

故选：ABD

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案写在答题纸上.

12.如图，以5为始边作角1与，［。＜，＜方＜々＜兀)，它们的终边分别与单位圆相交于点P,。，已

知点。的坐标为,若OPLOQ,求p的坐标为

【解析】

【分析】首先由点在单位圆上，求X,再根据三角函数的定义求Sin/=丰,cos,=孚，最后利用诱导

公式求sine,cos«,再根据三角函数的定义求点的坐标.

【详解】因为点Q在单位圆上且0</<1,所以好+jgj=1,得彳=乎.

即Q[挛,E1，且由三角函数定义知，sin,=@,cos,=26.由OPLOQ,得：

I55)"5"5

..(A兀、n2百(D71^).D亚,,A/52A/

smi=sm[〃+5j=cos//=—^—,cosa=cos[〃+eJ=—sin//=---,故产--

岳的生生A/52y/5

故答案为：—~-~•

I35)

7T7T

13.已知函数/(x)=sin(3x+。)(一兀V。〈兀)的图象关于点(二,0)对称，当犬£(0,—)时，/(%)>0.若

66

g(©=f(x)+2|/(x)I,g(x)在白77勺7F上的值域为

63

【答案】［0』

【解析】

【分析】利用正弦函数的对称性，结合函数值情况求出。，再在指定区间上化简函数g(x)并求出值域.

7T7T

【详解】由函数/(%)=sin(3%+?)的图象关于点(一,0)对称，得sin(3x—+9)=0,即cos0二。，

66

717r71IT

而一兀<0<兀，则e=——或夕=一，当0=—时，f(x)=sin(3x——),

2222

由Ixw(/八0,兀-\),4倚日—兀<G3x—兀v八0,/(%)<0,不符合题意,

622

jrjr7L7L71

当夕=一时，/(x)=sin(3x+—),由%w(0,一),得一<3%+—<兀，/(%)>0,符合题意,

22622

兀

因此/(%)=sin(3x+—)=cos3x,由工£［14］,得3%£［于兀］,cos3x<0,

则g(x)=cos3x+2|cos3x|=-cos3xe[0,1],

所以所求值域为［01L

故答案为：。1］

14.若平面向量〃石满足同=1,无亍=1石1=33-5=2,则夹角余弦的最大值是

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】利用向量的坐标运算，结合基本不等式即可求最大值.

【详解】以之为了轴正方向上的单位向量建立平面直角坐标系，贝*=(1,0),

则由a•c=1n(羽y)•(1,0)=1nx=1,

由B・c=3n(w)・(l,O)=3n〃2=3,

又由a・B=2n(x,y)・(m,")=2n3+〃y=2n“y=—l,

a-b2

H=丽=尸衍

2

故答案为：y.

四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平行四边形A8C。中，AB=3,AD=2,若M，N分别是边BC,CO所在直线上的点，且满足

BM=kBC^CN=kCD>左e(—1,1).

(1)当NZM5=90°,k=；时，求向量由■和前夹角的余弦值;

(2)当1ZM3=60°时，求R0.R7的取值范围.

【解析】

【分析】⑴利用向量数量积的应用可求福•丽丽耳，利用夹角公式可求夹角的余弦值.

(2)利用数量积的运算律可求;W.丽，根据二次函数的性质可求其范围.

【小问1详解】

当A=工时，AM=AB+-BC=AB+-AD,同理丽=而+!费，

2222

而NDAB=90°,故莅.通=0,

13

y_13_13A/W

故cos

5x®一丽—F

2

【小问2详解】

AM=AB+kBC=AB+kAD,AN=AD+(l-k)AB,

故丽.而=[(而+(1—左)诟)}(正+左亚)

^kAD~+(l-k)AB2+(l+k-k2)ADAB

=4左+9(1—左)+(1+左一左2)x2x3xg

=~3k2-2k+12=-3(k+]-]+—,

I3j3

因为一1(人＜1,故7〈刀口血《卫，

3

_,_.(37-

故AM-AN的取值范围为[7,可.

11兀

sin(兀-x)COS(3TI-%)cos(一兀-x)cos(---bx)

16.已知/(x)=---------------------------------------

7T

COS(2K-x)sin(7i+x)cos(—+x)

(1)求/(幻的解析式.

(2)若/(x)+2/(x—$=新，求tanx的值.

若函数g(x)=cos(ox+2)，如图A3是直线)=在与曲线y=g(x)的两个交点，若

(3)

62

(2)tanx=2

S1E71

(3)[kn-----,k兀7](keZ)

1212

【解析】

【分析】(1)利用诱导公式化简函数式并求出x的范围即可.

(2)由(1)的结论，结合同角公式计算得解.

(3)根据给定图象求出函数g(x),再利用余弦函数的单调性求出单调减区间.

【小问1详解】

、sinx(-cosx)(-cosx)sinx

依题意,/(x)=--------------------------------=cosx,

cosx(-sinx)(-sinx)

由sinxcosxwO得九。一,keZ

2

所以/(%)的解析式为/(x)=cosx(x^—,keZ).

【小问2详解】

由(1)及于。)+2于(x----)=A/5,得cosx+2cos(x—3)=,贝!J2sinx+cosx=^/^,

22

两边平方得dsin?x+4sinxcosx+cos2x=5=5sin2x+5cos2x，

整理得(sin%—2cos%产=0,因此sinx=2cos%,所以tanx=2.

【小问3详解】

./5兀、A/35兀兀C75兀兀C777"

由C0S(<2)XH---)=---，倚ZRCOXH----=---F2A兀,(DX?---=F2K71,KEZ,

62x66l6622

IT7TJTjJT

由|A5|二：,得I%—Wlmin=Z，因此句X-Wlmin=Z，解得刃=2,g(%)=COS(2x+—)

663o

Sjr3兀兀

由2EV2%H-----<2/CJI+7i,GZ,解得E-----<x<kn-\-----,keZ,

61212

5ITjr

所以g（x）单调递减区间为Ik兀—记,k兀+—］（/：eZ）.

17,设函数/（x）=-cos2jr+Qsinx+Q+2（Q£A）.

（i）若/！^］=°，求/［2］的值•

（2）求函数/（%）在R上的最小值；

（3）若方程/（x）=0在（0,兀）上有四个不相等的实数根，求”的取值范围.

【答案】（1）f

4

2,a>2

2

⑵“%=一宁+。+1,-2<a<2

2〃+2,a<—2

⑶-l<a<2-2后

【解析】

【分析】（1）利用/［、J=0求得a,由此求得/

（2）利用换元法，对。进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.

（3）利用换元法，结合二次函数零点分布等知识来求得。的取值范围.

【小问1详解】

因为=所以2a+2=0即a=—1.

止匕时/(x)=-cos2x-sinx+1,

【小问2详解】

令sinx=/,/e[-l,1],则/(x)=g(f)=/+W+a+l,对称轴为"-£

①—■|<一1,即a>2,/(%)1ran=g(T=2.

②-1W-■|<1,gp-2<a<2,=g[-"|]=-?+a+l.

③-1"〉】，即a<—2,/(x)而口=g⑴=2a+2.

2,a>2

2

综上可知，f(x)mjn=<—1+a+L—2<a<2.

2a+2,a<-2

【小问3详解】

令sinx=1,XG(O,7i).

由题意可知，当0<f<l时，sinx=f有两个不等实数解,

所以原题可转化为g（。=/+a+a+1=0在（0,1）内有两个不等实数根.

0<--<1

2

A=4-4(a+l)〉0,n_]<q<2-2点.

所以有<

g(0)=a+l>0

g(l)=2a+2〉0

18.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨

潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.

下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表:

时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00

水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

（1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系：

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只

要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.

①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港

所需时间）？

②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船

必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，

（忽略出港所需时间）？

7T

【答案】⑴y=3sin—Z+10

（2）①16个小时；②23时

【解析】

【分析】（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式.

（2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式y»6.5+5即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单

调性求解不等式.

【小问1详解】

以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图：

斗

13-••

10”••••

7-••

4

~O-3691215182124/

根据图象，可考虑用函数y=Asin（m+夕）+〃刻画水深与时间之间的对应关系，

13—713+7

由数据和散点图可以得出人=上一=3,h=-------=10,7=12,夕=0,

22

由T=」=12,得所以这个港口水深y与时间♦的关系可用y=3sin殳/+10近似描述.

6966

【小问2详解】

TT7T|

①依题意，y26.5+5=11.5时就可以进出港，由3sin—/+10211.5,得sin—fN—,

662

TVTT57r

则一+2fai<—一+2E,左eZ,解得1+12左</<5+12Z#eZ,

666

又0WY24,因此1WM5或13WY17,而该船1:00进港，则可以17:00离港，

又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00,且该时刻水深为7米，大于6.5米，

所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时.

②依题意，吃水深度丸=6.5—。.5«-17),则要求为y—/725/221,

当fw[21,27],时，y-/z=3sinW+05-5单调递增，

又当f=23时，y-h=5,则由y—〃25/221,解得1223,

所以该船应在23时停止卸货，离开港口.

19.己知函数/(x)=sin(&>x+0(O>O,O<0<7i)满足/+=,若将/(%)的图象上每个

点先向左平移£个单位长度，再向上平移;个单位长度，所得的函数g(x)为偶函数.

12/

(1)求〃%)的解析式；

7t717t

(2)若对于任意的玉£0,—，总存在—，使不等式

[/(xj]-(4+m)/(xJ+2根+6<g(%2)成立，求实数的取值范围；

⑶若函数4x)=2/(%)+1的图象在区间可eR,a<b)上至少含有20个零点，在所有满足条

件的区间[a,可上，求人。的最小值.

【答案】(1)/(x)=sin[2x+1)

9

(2)m<——

4

/、2