空间直线、平面的平行 （15大题型）（原卷版）-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

空间直线、平面的平行（15大题型）

【题型归纳目录】

题型一：基本事实4的应用

题型二：等角定理的应用

题型三：直线与平面平行的判断定理的理解

题型四：直线与平面平行的判定

题型五：补全直线与平面平行的条件

题型六：直线与平面平行的性质

题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系

题型八：由线面平行的性质求长度问题

题型九：平面与平面平行的判定定理的理解

题型十：平面与平面平行的判定

题型十一：补全平面与平面平行的条件

题型十二：平面与平面平行的性质

题型十三：由面面平行证线面平行

题型十四：空间平行的转化

题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用

【思维导图】

空间直线'平面的平行

两平面平行的判定

【知识点梳理】

知识点一、平行线的传递性

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示：a\\b,ft||c=>a||c.

知识点二、等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

知识点三、直线和平面平行的判定

文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此

平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.

图形语言：

a

符号语言：aua、bua,a//b=>a//a.

知识点诠释：

(1)用该定理判断直线。与平面a平行时，必须具备三个条件：

①直线a在平面a外，即aa；

②直线6在平面a内，即bua；

③直线a,Z>平行,即a||6.

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立.

知识点四、两平面平行的判定

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

图形语言：

//

符号语言：若aua、bua,aC\b=A,且a〃4、blip,则a〃尸.

知识点诠释：

(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.

(2)定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行n面面平

行.

知识点五、判定平面与平面平行的常用方法

1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法.

2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行

于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交

的直线平行.

3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行.

知识点六、直线和平面平行的性质

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记

为：线面平行则线线平行.

符号语言：若。〃a,au/3,aC/3=b,则。〃b.

图形语言：

知识点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”.可以用符号表示：若alia,

au/3,a[}/3=b,则a||6.这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a

与6平行时，必须具备三个条件：(1)直线。和平面a平行，即alia；(2)平面a和夕相交，即

a[}/3=b

(3)直线。在平面广内，即au".三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线

平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误.

知识点七、平面和平面平行的性质

文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：若a〃尸，a^y=a,J3^y=b,则。〃从

图形语言:

知识点诠释：

(1)面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理.

(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有

直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线(否则将导致这

两个平面有公共点).

知识点八、空间平行关系的注意事项

直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之

间的转化关系，具体转化过程如图所示.

【典型例题】

题型一：基本事实4的应用

【例1】(2025•高二・云南大理•期末)如图，在棱长为3的正方体/BCD-48GA中，尸，。分别为棱3C,C。

的中点.

(1)证明：ADJIPQ.

(2)求三棱锥工-耳。尸的体积.

【方法技巧与总结】(证明两直线平行的常用方法)

(1)利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；

(2)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

(3)利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.

【变式1-1](2025・高一・全国・随堂练习)如图，把一张矩形的纸对折两次，然后打开，试说明：为什么这

些折痕是互相平行的？

【变式1-2](2025・高一•全国•随堂练习)如图，在长方体中，底面是边长为。的正方形,

高为2°,点N分别是CO和ND的中点.

⑴判断四边形"AWC的形状;

⑵求四边形ACV4U的面积.

【变式1-3］（2025•高一•全国•课时练习）如图，空间四边形/BCD,E、〃分别是48、AD的中点，F、G

分别是5C、CQ上的点，且C义F=H，求证：直线E”与直线尸G平行.

Cn

题型二：等角定理的应用

【例2】（2025・高一•全国•课后作业）若4B///0,BCUB'C,且//3C=45。，则N43'C'等于（）

A.45°B.135°C.45°或135°D.不能确定

【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同,

若相同，则两角相等；若不同，则两角互补.

【变式2-1］（2025•高一•全国•课后作业）给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式2-2］（2025・高一•全国•课后作业）已知/因/尸0,BC//QR,乙43c=30°,则々Q?=（）

A.30°B.30。或150°

C.150°D.30°或120°

［变式2-3］（2025•高一,全国•课后作业）若OAUOA,OBHOB,,5.ZAOB=130°,则AAO'B=

A.130°B.50°C.130。或50。D.不能确定

题型三：直线与平面平行的判断定理的理解

【例3】（2025•高一•江苏南通・阶段练习）在空间四边形/8C。中，£,尸分别为边/氏/。上的点，且

AE-.EB=AF-.FD=\A,又8,G分别为2C,C。的中点，则（）

A.AD〃平面EFG,且四边形所G”是矩形

B.斯//平面2C。，且四边形EFGH是梯形

C.HG〃平面ABD,且四边形EFG/7是菱形

D.£〃//平面4DC,且四边形EFG8是平行四边形

【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项）

（1）明确判定定理的关键条件.

（2）充分考虑各种可能的情况.

（3）特殊的情况注意举反例来说明.

【变式3-1］（2025・高一•全国•课前预习）下列说法正确的是（）

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，则///a

B.若直线。在平面a外，则a//<z

C.若直线。与直线b不相交，直线bua,则a//a

D.若直线a//6,bua,那么直线。平行于平面a内的无数条直线

【变式3-2］（2025•高一•全国•课后作业）在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,Q

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）

【变式3-3］（2025・高一•福建龙岩•期中）设加，〃是不同的直线，见方是不同的平面，则下列命题正确的是

)

A.若mIln,nua,则m//eB.若m/la,nlIm,则”//c

C.若根//%〃〃a,则D.若ndla,mu/3,ac/3=n,则

题型四：直线与平面平行的判定

【例4】（2025•高一•全国・单元测试）在多面体48CDE尸中，点。是矩形48CD的对角线的交点，棱EFIIBC

且斯=；2C.求证：/。〃平面CDE.

【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项）

（1）欲证线面平行可转化为线线平行解决.

（2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、

等比例线段、相似三角形.

【变式4-1］（2025•高二•安徽淮南•期中）如图，长方体/BCD-中，AB=AD=1,4A、=2,点、p为

。，的中点.

（1）求证：直线5D"/平面尸/C；

（2）求异面直线8鼻、4P所成角的大小.

【变式4-2］（2025•高三・全国・专题练习）如图，在四棱锥中，底面4BCD是正方形，点/在棱P4

上（不与端点重合），E,厂分别是尸。，/C的中点.证明：斯//平面P8C.

【变式4-3］（2025•高一・贵州•期中）如图，在四棱锥尸-ABC。中，PDLCD,底面48CZ）为矩形，对角线

8。与/C相交于点。，尸。=2,点B到平面PCD的距离为1,5为PC的中点.

（1）求证：尸///平面皮）E.

（2）求三棱锥P-ADE的体积.

题型五：补全直线与平面平行的条件

【例5】（2025•高三•全国・专题练习）如图，四棱锥N-3CDE中，N是3C的中点，四边形3CDE为平行四

边形，且OCL平面ABC.试探究在线段/E上是否存在点“，使得儿W〃平面40?若存在，请确定M

点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法）

（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（ata,bua,a\\b^a\\a）,

其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平

行的性质定理auana|⑼；（4）利用面面平行的性质（a||£,a邨,a||a=>a||£）.

【变式5-1］（2025・高三•全国•专题练习）如图，已知正方体/BCD-44G2,点E是棱的中点.在棱

84上找一个点尸，使直线48与平面EFG平行并证明.

【变式5-2］（2025・高一•全国・专题练习）如图，在等腰直角三角形4BC中，AC=BC=4,。是NC的中点,

£是上一点，且。E44B.将沿着。£折起，形成四棱锥尸-8CDE,其中/点对应的点为P.在

PF

线段尸2上是否存在一点尸，使得C尸〃平面PDE?若存在，指出一的值，并证明；若不存在，说明理由.

【变式5-3］（2025・高一•全国・专题练习）如图，正四棱锥尸-/BCD的侧棱长和底面边长均为13,〃为侧

棱尸/上的点，且尸N:M4=5:8.在线段8。上是否存在一点N,使直线ACV〃平面P8C?如果存在，求出

5N:2VD的值，如果不存在，请说明理由.

题型六：直线与平面平行的性质

【例6】(2025•高一•江苏南通・阶段练习)如图，四边形A8CD是平行四边形，点尸是平面/次第外一点.

(1)求证：3C//平面上4。；

(2)M是PC的中点，在DWr上取一点G,过G和/P作平面交平面于“G,求证：APHHG.

【方法技巧与总结】(性质定理应用的注意事项)

(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用.

(2)性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.

【变式6-1］（2025・高一•全国•课堂例题）如图所示，已知产是口/88所在平面外一点，分别是

（1”与8c是否平行？说明理由;

（2）MM与平面上4。是否平行？试证明你的结论.

【变式6-2］（2025•高一•吉林•期中）如图，在四棱锥P-N2CD中，底面ABCD是正方形，点/在棱P/上

（不与端点重合），E,尸分别是尸。，NC的中点.

（1）证明：斯//平面尸2C.

⑵若平面X43c平面£77=/,证明：EF//1.

【变式6-3］（2025•高一•广东深圳•阶段练习）如图，已知四棱锥S-4BC£＞中，底面4BCD是平行四边形,

s

(1)若E为侧棱的中点.求证："//平面EDB；

⑵若过4瓦后的平面与S。交于点尸，求证：EF//DC；

题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系

【例7】(2025•高一・山东青岛•期中)如图，四棱锥尸-N3co中，底面/2C。为梯形，AB”CD,AB=4,CD=2,

点M在棱上.

⑴求证：8//平面尸48；

PM

(2)若心//平面版4C,探索平面阪4C的哪条线与尸3平行，做出此线，并求77K的值.

MD

【变式7-1](2025・高一•新疆省直辖县级单位•阶段练习)如图，在正方体力BCD-44GA中，AB=2,F

为的中点，点E为8的动点.若M〃平面/吕C,求线段E尸的长度.

【变式7-2］（2025・高一•全国•课前预习）如图，矩形/BCD所在平面与半圆弧方所在平面相交于CD,M

是而上异于C,。的点.在线段上是否存在点P,使得MC//平面处。？说明理由.

【变式7-3］（2025•高一•吉林长春•期中）如图，已知等腰梯形48c。中（图1）,

/。//8C,NB=/。=g8C=2,E是JBC的中点，AE^BD=M,将ABZE沿着/E翻折（图2）,使得直线

AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥A-4ECD.

（图1）（图2）

（1）求直线DC与4M所成的角的大小；

（2）在线段8。上是否存在点P,使得KP//平面耳若存在，求出与尸：4c的值；若不存在，请说明理

由.

题型八：由线面平行的性质求长度问题

【例8】（2025・高三•全国・专题练习）如图所示，在四面体4BCD中，M、N、P、。分别是四面体的棱

AD.DC、CB、22上的点，且M、N、P、。在同一个平面上，已知四边形肱VP。平行于四面体的一组对

棱NC和3。，若AC=BD=p,求四边形MVP。的周长.

【变式8-1］（2025•高一•全国•课后作业）如图，长方体/BCD-的底面/BCD是正方形，其侧面展

开图是边长为4的正方形，E,尸分别是侧棱上的动点，点尸在棱幺4上，且/尸=1,若斯//平面

PBD,求£尸的长.

【变式8-2］（2025・高二•全国•课后作业）如图，E是棱长为1正方体的棱GA上的一点,

且瓦”/平面第尢，求线段CE的长.

【变式8-3］（2025・高二・湖南•阶段练习）图1：平行四边形N5CD中，AC1BC,AC=BC=1,现将△仞C

沿/c折起，得到三棱锥。-NBC（如图2）,且点M为侧棱。。的中点.

B

图（2）

（1）求证：AMLBD

（2）N为//C8的角平分线上一点，若ON〃平面如，求线段DN的长.

题型九：平面与平面平行的判定定理的理解

【例9】（2025・高一•全国•课后作业）已知〃J”是两条直线，a,乃是两个平面，有以下三个命题:

①m,〃相交且都在平面夕外，机||a,m||/7,n//a,n\\J3,则a〃夕；

②若m||a,m则a〃6；

③若打||a,"||夕，m//n,则a〃尸.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式9-1］（2025•高一•全国•课后作业）如图，在下列四个正方体中，P,R,Q,M,N,G,H为所

在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与尸，R,。三点所在平面平行的是（）

P一

【变式9-2］（2025•高二・安徽•学业考试）下列关于平面平行的命题，正确的是（）

A.若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

C.若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行

D.若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行

【变式9-3］（2025・高一•四川泸州•期末）平面。与平面方平行的充分条件可以是（）

A.。内有无穷多条直线都与月平行

B.直线加仁a,冽2/?,且mlla,mH/3

C.直线加ua,直线〃u〃，且加〃

D.a内的任何一条直线都与广平行

题型十：平面与平面平行的判定

【例10】（2025・高一•全国•课后作业）在正四棱台/BCD-481G2中，AB=2a,A4=Ga,

E,尸分别是的中点.证明：平面EEBQ"平面3DG.

【变式10-1】（2025•高一・广东•期中）如图，在正方体/8。。-44。口中，M为。，的中点.

（1）求证：BDJ1平面AMC；

⑵若N为C£的中点，求证：平面/MC〃平面切⑦「

【变式10-2］（2025・高一•新疆省直辖县级单位•阶段练习）正方体如图所示

(1)求证:幺与〃平面GBO.

⑵平面ABXDX//平面CtBD.

【变式10-3】(2025・高一•全国•课后作业)如图，在多面体/BCD跖中，底面22CD是平行四边形，点G

和点a分别是CE和C尸的中点.证明：平面BOGH||平面4叩.

题型十一：补全平面与平面平行的条件

【例11】（2025・高一•全国•课前预习）如图，在正方体/BCD-4耳中，P为。□的中点.能否同时过

0，B两点作平面a,使平面a〃平面尸NC?证明你的结论.

【变式11-1】（2025•高一•全国•课后作业）如图，在四棱锥P-48CD中，是等边三角形，BC1AB,

BC=CD=20AB=AD=2.若PB=3BE,则在线段3c上是否存在一点F，使平面AEFII平面PCD?若存

在，求出线段阳的长；若不存在，请说明理由.

【变式11-2】（2025•高一・辽宁抚顺・期末）如图（1）,在梯形「5CD中，BC//PD,PD=1BC,/是尸。

中点，现将A/AP沿N8折起得图(2),点M是尸。的中点，点N是8c的中点.

(1)(2)

(1)求证：MM//平面尸42；

(2)在线段尸C上是否存在一点£,使得平面EAW〃平面尸48?若存在，请指出点E的位置并证明你的结论;

若不存在，请说明理由.

【变式11-3](2025•高一・云南昆明•期中)如图，已知P是平行四边形A8CZ)所在平面外一点，M、N分

别是Z8、PC的三等分点(/靠近8,N靠近C)；

(1)求证：儿W//平面R4Z).

(2)在依上确定一点。，使平面"乂。〃平面B4D,并证明.

题型十二：平面与平面平行的性质

【例12】（2025・高一•全国•课后作业）如图所示，平面四边形/8CO的四个顶点/,B,C,。均在平行四边

形49仁。外，且BB',CC,。。互相平行，求证：四边形/BCD是平行四边形.

【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）

面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面

的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.

【变式12-1】（2025•高一・山西太原•阶段练习）如图，四棱锥尸-48c。中，底面48co为平行四边形，E、

尸分别为尸2c的中点，平面上43c平面PC。=/.

（1）证明：1//4B；

⑵证明：£尸II平面尸/8；

PG

（3）在线段上是否存在一点G,使尸G//平面"E?若存在，求出一的值；若不存在，请说明理由.

【变式12-2］（2025・高三・河北•专题练习）如图所示正四棱锥S-48CD,SA=SB=SC=SD=2,AB=母,

P为侧棱SD上的点.且5尸=3尸£>,求:

(1)正四棱锥S-4BCD的表面积；

(2)侧棱SC上是否存在一点£,使得5E〃平面尸/C.若存在，求处的值；若不存在，试说明理由.

【变式12-3](2025・高一・广东佛山•阶段练习)如图，在六面体/3CDEF中，DEHCF,四边形48c。是

平行四边形，DE=2CF.

(1)证明：平面4DE//平面8CF.

(2)若G是棱8c的中点，证明：AEHFG.

题型十三：由面面平行证线面平行

【例13】（2025・高一・浙江杭州•阶段练习）在底面是菱形的四棱锥尸-中，ZABC=60°,

PA=AC=a,PB=PD=41a，点E在尸。上，且PE:ED=2:1,平面以3c平面尸CT»=/.

⑴证明：/〃CD；

（2）在棱PC上是否存在一点尸，使〃平面/EC?证明你的结论.

【变式13-1］（2025・高一•全国•课堂例题）如图，在正方体/BCD-4耳G，中，E,F,P,0分别是2C,

CQi，ADX,5。的中点.求证:

（1）尸。〃平面/^?64；

⑵EF〃平面B3QQ.

【变式13-2］（2025・高三•全国・专题练习）如图，已知多面体/8CDE尸的底面4BCD为正方形，四边形3DEF

是平行四边形，ABLCF,BC=2,G是CF的中点.证明：0G〃平面4EF.

【变式13-3】（2025・高三•全国•专题练习）如图，AD//BC,ADJ.4B,点、E、厂在平面4BCD的同侧,

CF//AE,AD=\,AB=BC=2,平面NCFE_L平面48CD,£/=£。=月.求证：8月〃平面4DE；

题型十四：空间平行的转化

【例14］（2025・上海嘉定・三模）在长方体/BCD-44G4中，AD=DDX=\,AB。,E、F、G分别为

AB、BC、G。的中点.

DiGCi

⑴求三棱锥/-GEF的体积；

（2）点尸在矩形/BCD内，若直线A尸〃平面EFG,求线段长度的最小值.

【变式14-1］（2025•高一•全国・专题练习）如图，在棱长为2的正方体/38-4吕G4中，£为棱4a的中

点，F,G分别是棱CC「8c上的动点（不与顶点重合）.作出平面4DG与平面C84G的交线（要求写

出作图过程），并证明：若平面&DG//平面AE产，则斯///Q；

【变式14-2］（2025・高一•全国•假期作业）在三棱柱/2。-4月。中，点。、4分别是/C、4。上的点,

AD

且平面BC{DH平面ABXDX,试求差的值.

【变式14-3］（2025•高一・安徽•阶段练习）如图，在正方体48co中，M为棱43的中点.

（1）试作出平面与平面48cZ）的交线/,并说明理由；

（2）用平面4MG去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为匕，匕化V%）,求?的值.

”2

题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用

【例15】（2025•高一•福建宁德•阶段练习）如图所示正四棱锥S-4BCD,SA=SB=SC=SD=2,

AB=6,P为侧棱SO上的点，且SP=3P。，求:

（1）设平面”3c平面SCD=/,求证：ABIII；

（2）求三棱锥尸-/CD的表面积.

【方法技巧与总结】（空间平行关系的注意事项）

直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之

间的转化关系，具体转化过程如图所示.

【变式15-1】（2025•高一•福建龙岩・期中）如图1,在平面四边形中，PA1AB,CDHAB,

。=248=2尸。=240=4.£是线段尸（;上靠近尸端的三等分点，尸是线段8的中点，DE^PF=MM

△PDC沿CO折成四棱锥尸-/BCD,连接尸/,PB,BD,如图2.

图1图2

(1)在图2中，证明：P4//平面BDE.

(2)在图]中，求\向PM的\值.

【变式15-2](2025・高一•广东广州•期中)一正三棱台木块NBC-44G如图所示，已知

2AC=34G=6,AAX=2，点。在平面45。内且为△45。的重心.

（1）过点。将木块锯开，使截面经过4G平行于直线/c,在木块表面应该怎样划线，并说明理由；

（2）求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比；

（3）在棱台的底面44G上（包括边界）是否存在点使得直线OM//平面/CG4?若存在，求37长的

取值范围；若不存在，说明理由.

【变式15-3】（2025・高一•安徽芜湖•期中）如图，在正四面体S-4BC中，48=4,E,F,R分别是S3,

SC,S4的中点，取SE,即的中点M,N,。为平面S2C内一点.

⑴求证：平面必依〃平面yl£F；

(2)若R0〃平面4叼，求线段尺。的最小值.

【强化训练】

1.（2025・高三•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，四棱柱/BCD-48GA中，四边形为平行四边形，E,F

DEDF1八CG

分别在线段上，且有===；&在。£上且平面值〃平面瓦%,贝U==（）

EJJD尸D[2

2.（2025•高一・山东临沂・期末）图1是边长为1的正六边形48C7）M,将其沿直线尸。折叠成如图2的空间

3

图形4E'F-8'D'C',若/'£'=],则几何体4ER'-8'D'C'的体积为（）

3.（2025•高一•浙江杭州•期末）已知正四面体ABCD中，E是棱AC上一点,过E作平面a,满足ABI/a,CD

//a,若/氏CO到平面。的距离分别是3和9,则正四面体/BCD的外接球被平面a截得的截面面积为

（）

A.99兀B.100KC.103兀D.1087r

4.（2025•高一咛夏固原•期末）在三棱锥尸-4BC中，AC=PB,且直线ZC与PB所成的角为60。，E,F分

别为棱PC,N8的中点，则直线Eb与/C所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.30°或60°D.45°或60°

5.（2025•高一・陕西西安•期末）设机，〃为两条不同的直线，a,分为两个不同的平面，且加ua,nua,

则“a〃7”是“冽〃/且〃//£”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2025・高一・江苏常州•期末）已知方表示两条不同的直线，见力,7表示三个不同的平面，下列推理正确

的是（）

A.aCB=a,buanallb

B.acB=a,allbnblIa,且blI/3

C.aJ[0,acy=a,/3cy=b=allb

D.aH0,aua,bua=al10

7.（2025・高一•安徽六安•期末）如图，在正方体488-44GA中，〃1,尸分别是的中点,

有四个结论：

①4P马CM是异面直线；

②相交于一点;

③MNHBD、；

（4）MNII平面BB\D\D.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2025・高一•江苏南京•期末）已知两个不重合的平面。，夕，二条不重合的直线a,b,c,则下列四个命

题中正确的是（）

A.若。〃6,bua,则。〃aB,若"j_九Me,则。〃c

C.a//[3,b//p,aua,bua,则a〃夕D,a||a,au夕，ap\^=b,则。〃6

9.（多选题）（2025・高二・云南昆明•期末）如图，在正方体/BCD-/4。。中，及己G分别是棱8%qGC9

的中点，则（）

B.3G〃平面/EQ

C.点。在平面内D.点尸在平面内

10.（多选题）（2025•高一,甘肃临夏•期末）如图，在棱长均为1的四棱锥尸-/BCD中，O为底面正方形的

中心，分别为侧棱尸4心的中点，贝。（）

B.平面PCDH平面OMN

D.四棱锥尸-4BC。的体积为变

C.ONX.PB