一次函数（单元复习 5大易错+5大压轴）（解析版）-2024-2025学年八年级数学下册（人教版）

一次函数（5大易错+5大压轴）

01思维导图

目录

【易错题型】...................................................................................1

易错题型一识图并分析图象信息................................................................1

易错题型二利用一次函数的定义求参数..........................................................6

易错题型三根据一次函数的图象和性质求参数...................................................8

易错题型四含参数的一次函数的图象和性质......................................................9

易错题型五一次函数图象的共存问题...........................................................13

【压轴题型】..................................................................................17

压轴题型一利用一次函数的性质解决分配方案问题..............................................17

压轴题型二利用一函数的性质解决最大利润问题................................................20

压轴题型三利用一次函数的性质解决行程问题..................................................24

压轴题型四利用一次函数的性质解决几何问题..................................................27

压轴题型五利用一次函数的性质解决折叠的综合问题............................................32

02易错题型

易错题型一识图并分析图象信息

例题：（2024•甘肃临夏•中考真题）如图1,矩形48CD中，5。为其对角线，一动点尸从。出发，沿着

QfBfC的路径行进，过点尸作尸0LCD,垂足为。.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与x

的函数图象如图2,则/。的长为（）

图1图2

A.谨「7611

Bc.-----D.—

3-144

【答案】B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

【详解】解：由图象得：CD=2,当2P=4时，PQ=CD=2,此时点P在8C边上,

设止匕时B尸二Q,贝!J5Z)=4—Q,AD=BC=2+a,

在Rt^BCD中,BD2-BC2=CD2,

即:(1)2-(<z+2)2=22,

2

解得：a=1,

8

二.AD=a+2=—

3

故选：B.

巩固训练

1.（2024•河南南阳•三模）如图，在。3C中，48=5、BC=3、/C=4,点P在线段4B上以每秒1个单

位长度的速度从点A向终点B移动.过点尸作尸ML/C于点M,作PN18C于点N,连接线段

的长度y与点尸的运动时间:（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点£的坐标为（）

1612

D.

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形

等.过点于。，先证是直角三角形，利用面积法求出。，再证四边形7WW是矩形,

推出=可知当点P与点。重合时，PC最小，即最小，由此可解.

【详解】解：如图所示，过点C作CC/8于。，连接C。,

B

2

•・•在中，AB=5、BC=3、AC=4f

AAB2=52=32+42=BO?+,

是直角三角形，即/4CB=90。,

:・S=-AC'BC=-AB-CD

ARC22F

ACBC4x312

.•,CD=

AB55

・•.AD=yjAC2-CD2=—

5

-PMVAC,PNIBC,/ACB=9。。，

・•・四边形尸MCN是矩形,

:.MN=PC,

・•・当A/N最小时，即PC最小,

・•・当点。与点。重合时，夕。最小，即"N最小,

-CD=—

5

・••MM最小值为F，此时/尸=g

1612

・•・点E的坐标为

故选C.

2.（2024•广东深圳•三模）如图（1）,点尸为菱形/BCD对角线/C上一动点，点E为边CD上一定点，连

接PB,PE,BE.图（2）是点尸从点/匀速运动到点C时，△P2E的面积y随4P的长度x变化的关系

图象（当点尸在3E上时，令V=0）,则菱形/BCD的边长为（

A.5B.6C.2A/3D.275

【答案】A

【分析】根据图象可知，当x=0时，即点尸与点A重合，此时S^BE=12,进而求出菱形的面积，当x=8

时，此时点尸与点C重合，即4C=8,连接利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果.本题考查菱

3

形的性质和动点的函数图象.熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键.

【详解】解：由图象可知：当x=0时，即点尸与点A重合，此时SA，BE=12,

S菱物BCD=2s9ABE=24,

当尤=8时，此时点P与点C重合，即ZC=8,连接AD,交/C于点0,

贝hBD±AC,OA=OC=4,OB=OD,

$菱形IBCD=万".BD=24,

BD=6,

OB=OD=3,

•••AB=yIOA2+OB2=5，

菱形/BCD的边长为5；

故选4

3.(23-24九年级下•山东淄博•期中)如图1,点尸从菱形/BCD的顶点A出发，沿4fCf3以lcm/s的速

度匀速运动到点8,点尸运动时的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系如图2,贝I。的值为()

【答案】B

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C作根据函数图

象求出菱形的边长为。，再根据图像的三角形的面积可得CE=8,再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求

。即可.

【详解】解：如图所示，过点C作于E,

4

AED

•在菱形/BCD中，AD//BC,AD=BC,

二当点P在边3c上运动时，了的值不变,

AD=BC=10+a-10=a,即菱形的边长是a,

:.--AD-CE=4a,即C£=8.

当点P在/C上运动时，了逐渐增大，

4c=10,

AE=yjAC2-CE2=7102-82=6.

在RtADCE中，DC=a,DE=a-6,CE=8,

.•.a2=82+（o-6）2,解得a=g.

故选：B.

4.（23-24八年级下•河北石家庄•期中）如图①，在正方形/BCD中，点P以每秒2cm的速度从点/出发,

沿48f8C的路径运动，到点C停止.过点尸作尸。〃助，PQ与边4D（或边8）交于点。，PQ的长

度ycm与点尸的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，尸。的长是cm.

2x（秒）

图②

A.41B.2A/2C.472

【答案】A

【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平

行线的性质等知识.从图象中获取正确的信息是解题的关键.由题意知，当P运动到B时，尸。最长，尸。=8。,

由图象可知，当工=2时，尸。=40,即正方形边长为4,当x=3.5时，尸C=8-2x3.5=l,由尸。〃3D,

可知△尸C。是等腰直角三角形，CQ=PC=\,由勾股定理得，PQ=^CQ2+PC2,计算求解即可.

5

【详解】解：•••正方形/BCD,

A4BD是等腰直角三角形，

由题意知，当?运动到8时，P。最长，PQ=BD,

由图象可知，当x=2时，PQ=442,

■■■AB=4,

当x=3.5时，尸C=8-2x3.5=l,

■.■PQ//BD,

••.△PC0是等腰直角三角形，CQ=PC=1,

由勾股定理得，PQ=ylCQ2+PC2=V2cm,

故选：A.

易错题型二利用一次函数的定义求参数

例题：（23-24七年级上•山东泰安・期末）已知了=（"1）刑+公-4是一次函数，则（3左+2广4的值是

【答案】1

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数

【分析】本题主要考查了一次函数定义.关键是掌握一次函数》=履+6的定义条件是：k、b为常数,

kwo,自变量次数为1.首先根据一次函数定义确定上的值，再代入代数式（3左+2户24,求值即可.

【详解】解：由题意得：14=1且左-1W0,

解得：k=-\,

202420242024

（3^+2）=（-3+2）=（-l）=l.

巩固训练

1.（23-24八年级下•辽宁大连•期末）当加=时，函数了=/"2一8+（3-机）是一次函数.

【答案】±3

【知识点】根据一次函数的定义求参数

【分析】本题考查一次函数，一次函数的定义知x的指数为1,由此列方程即可求解.

【详解】解：...函数y=x"j+（3一⑼是一次函数，

m2-8=l,

6

机2=9,

m=±3,

故答案为：±3.

2.（23-24八年级下•甘肃定西•期末）已知函数了=（加-2）一口是一次函数，则机=.

【答案】-2

【知识点】根据一次函数的定义求参数

【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键.根据一次函数的定义即

可得到答案.

【详解】解：函数y=（m-2）/r是一次函数，

fm-2w0

[加w2

解得4，

[m=±2

故加=一2.

故答案为：-2.

3.（23-24八年级下•陕西商洛・期末）若函数了=（左+3）/+2-5是关于x的一次函数，则它的图象不经过第

象限.

【答案】二

【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限

【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的性质.根据一次函数的定义可知卜+2|=1,左+3N0,从而

可求得上的值，据此求解即可.

【详解】解：•.•函数》=（4+3）x"N-5是一次函数，

k+2|=1且％+370,

解得a=-1,

.•・函数的解析式为V=2x-5,

2>0,=-5<0,

二函数y=2x-5的图象不经过第二象限.

故答案为：二.

7

易错题型三根据一次函数的图象和性质求参数

例题：（24-25八年级上•全国•期末）已知直线>=履+6过第一，三，四象限，则直线了=加+左不经过第

象限.

【答案】三

【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围

【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数>=履+6的图象过第一，三，四象限得到左>0/<0,然后

根据一次函数图象的性质求解即可.

【详解】解：・.・直线了=履+6经过第一，三，四象限，

.-.k>0,b<0,

二直线y=6x+左经过第一、二、四象限，

即直线y=区+后不经过第三象限.

故答案为：三.

巩固训练

1.（23-24八年级下•河南安阳•期末）已知一次函数了=（机-4卜+"7+2的图象不经过第三象限，则加的取

值范围是.

【答案】-2<m<4

【知识点】已知函数经过的象限求参数范围

【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数>=筋+6（左手0）,当左>0力>0时，函数图象经

过一、二、三象限，当左>0/<0时，函数图象经过一、三、四象限，当左<0/>0时，函数图象经过一、

二、四象限，当左<0,6<（）时，函数图象经过二、三、四象限.

依据一次函数了=（加-4）X+加+2的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项

不小于零，进而得到的加取值范围.

【详解】解：••・一次函数了=（加-4）x+m+2的图象不经过第三象限，

-4<0

\m+2>0

解得：—2<m<4.

故答案为：-2<m<4.

2.（23-24八年级下•云南昭通・期末）设一次函数〉二区-1,左为常数，当2«x«4时，该一次函数的最大值

8

是5,则左的值为.

【答案】|3

【知识点】根据一次函数增减性求参数

【分析】本题考查一次函数的性质，分后＞0和左＜0,两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可.

【详解】解：当人＞0时，V随X的增大而增大，

3

.•.当x=4时，y=4A:-1=5,解得：k=-,

当左＜0时，V随x的增大而减小，

二当x=2时，y=2k—I=5,解得：k=3（舍去）；

3

故答案为：

3.（23-24八年级下•河北邯郸•期末）从-2,0,1,2中，选取两个不同的数作为一次函数了=履+方的系数

k,6,使一次函数＞=履+6的丁值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条

件的一次函数为.

［答案］.v=x_2（或y=2x_2）

【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数

【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像

与系数的关系是解题的关键.

由夕值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出发＞0,进而得出左=1或左=2,由一次函数＞=依+6

的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出后＞0,b＜0,进而得出6=-2,由

此可得出该一次函数解析式为：了=》-2或y=2x-2.

【详解】•.•一次函数了=履+方的了值随着x的增大而增大，

二.左＞0,

左=1或左=2.

••・一次函数＞=履+6的图象经过第一、三、四象限，

...左〉0,b＜0,

y=x-2或＞=2x-2.

故答案为了=x-2（或y=2尤-2）.

易错题型四含参数的一次函数的图象和性质

例题：（23-24八年级下•山东临沂•期末）关于直线歹=丘+左（左40）,下列说法错误的是（）

9

A.图象与了轴交于点（o,后）

B.当左＜0时，点（T,必）、（2,%）在图象上，则耳＞%

C.图象经过第二、三、四象限

D.图象经过定点（TO）

【答案】c

【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的

增减性、比较一次函数值的大小

【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图

像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键.将x=o代入函数解析式并计算y的值,

即可判断选项/；结合上＜o,易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项8根据该函数的左

的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C;计算当X=T时的函数值，即可判断选项。.

【详解】解：/、对于函数了=h+上（左W0）,当x=o时，y=k,即图象与y轴的交于点（0㈤，故选项正

确，不符合题意；

8、对于函数了=履+左化*0），因为左＜。，所以了随着X的增大而减小，点（-1，%）、（2,%）在图象上,且-1＜2,

则必＞%,故本选项正确，不符合题意；

C、当左＜0时，则函数了=履+左（左NO）的图象经过第二、三、四象限，但是当上＞0时，则函数歹=近+上传*0）

的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意；

。、对于函数y=b+M左W0）,当X=-1时，y=-k+k=O,即图象经过定点故选项正确，不符

合题意；

故选：C.

巩固训练

1.（23-24八年级下•天津•期末）关于函数y=（"3）x+k"为常数），有下列结论：

①当左力3时，此函数是一次函数；

②无论左取什么值，函数图象必经过点（-L3）；

③若图象不经过第一象限，则左的取值范围是左＜0：

④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0＜左＜3.

10

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数

【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特

点，确定函数与系数之间的关系，进而求解.

①根据一次函数定义即可求解；②根据、=（左-3）x+L="（x+l）-3x即可求解；③图象经过二、三、四象限或

二，四象限，则"3＜0,左40,即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则》=3＞0,即可求

解

【详解】①左片3时，"3x0,因自变量x前面的系数不为0,则函数为一次函数，故①正确；

②＞=（左-3）x+左=A（x+l）-3x,无论左取什么值，x=-l时，总有y=3,故函数过（-1,3）,故②正确；

③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则左-3＜0,左40,解得：k＜0,故③

错误；

④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，贝曝=3＞0,解得：0〈人＜3,故④正确.

故选：C.

2.（23-24八年级下•山东德州•期末）已知一次函数＞=履+34-2『0,左是常数），则下列结论正确的是

（）

A.若点/（2,8）在一次函数》=履+3"2的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2

B.若3k-2＞。,则一次函数V=履+3"2图象上任意两点£（%,［）和尸（出也）满足：

2

C.若一次函数〉=履+3左-2的图象不经过第四象限，则0〈左＜§

D.若对于一次函数^=氏+7«*0）和＞=履+3左-2,无论x取任何实数，总有a+7＞日+3左-2,则左

的取值范围是0＜左＜3或左＜0

【答案】D

【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的

象限求参数范围

【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象

11

上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系.

A,利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积,

即可判断；

8、根据一次函数的性质即可判断；

C、求得一次函数＞=履+3左-2的图象过定点(-3,-2),再根据一次函数〉=履+3左-2的图象不经过第四象

限即可判断；

D、由题意可知两直线平行，当左＞0时，则"-2＜7,当左＜0时，3左-2＜7一定成立，解不等式即可求得

上的取值，即可判断.

【详解】解：/、：/(2,8)在一次函数＞=履+3左-2的图象上，

/.8=2k+3k—2,

k=2,

・•・一次函数为y=2x+4,

它的图象与两个坐标轴的交点为(-2,0),(0,4),

图象与两个坐标轴围成的三角形面积是:x2x4=4,故/错误，不合题意；

B、3A：-2＞0,

:.k＞一,

3

・••歹随x的增大而增大，

•.•(%-电)(4-4)＞(),故5错误,不合题意；

C、y=kx+3k-2=k(x+3)-2,

...一次函数y=H+3左-2的图象过定点(-3,-2),

.‘.一次函数＞=履+3左-2的图象一定经过第三象限，

•••一次函数＞=履+3左-2的图象不经过第四象限，

:.k＞0S.3k-2＞0,

2

解得：Q＜k号,故C错误，不合题意；

。、：对于一次函数歹=江+7(，=0)和＞=丘+3左一2,无论x取任何实数，总有"+7＞丘+3左一2,

直线y=fx+7与直线＞=履+3左一2平行，

•••一次函数＞=履+3左-2的图象过定点(-3,-2),

当后＞0时，3左一2＜7,

解得0＜女＜3,

12

当左＜0时，3左一2＜7一定成立，

.•"的取值范围是0〈左＜3或左＜0,故。正确，符合题意.

故选：D.

易错题型五一次函数图象的共存问题

【知识点】判断一次函数的图象

【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为了=履+6,由

一次函数图象与性质得到左/符号，再判断另一条直线是否满足了=乐-左即可得到答案，熟记一次函数图

象与性质是解决问题的关键.

【详解】解：/、如图所示：

假设①的表达式为^=^+6，贝I］左＜0/＜。,

—k>01

对于一次函数了=云-左，图象与y轴正半轴相交，图②不能表示一次函数歹=云-左图象，该选项不符合题

思；

B、如图所示:

13

假设①的表达式为了=h+6,则左>0]<0,

.e.—kv0,

对于一次函数了=加-左，图象与y轴负半轴相交，图②不能表示一次函数y=6x-左图象，该选项不符合题

思；

C、如图所示:

假设①的表达式为y="+b，贝！J左>0,b>0,

—k<0,

对于一次函数、=云-左，图象上升、且与V轴负半轴相交，图②不能表示一次函数>=乐-左图象，该选项

不符合题意；

D、如图所示：

假设①的表达式为了=履+6,则左>08<0,

—kv0,

对于一次函数了=云-左，图象下降、且与歹轴负半轴相交，图②能表示一次函数了=方龙-左图象，该选项符

合题意；

故选：D.

巩固训练

14

1.（23-24八年级上•安徽合肥・期末）下图中表示一次函数卜=机％+〃与正比例函数>=（小，"是常数,

【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题

【分析】根据判定正比例函数V=的图象分布在二四象限，且经过原点，判定'。错误；根据

一次函数V=mx+“，得到与y轴交点为（0,〃），与x轴的交点为结合加”0,判断-4>0即交点

\mJm

位于X轴的正半轴上，判断4错误，C正确，解答即可.

本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与后，6的关系是解题的关键.

【详解】解：••・加”0,

・••正比例函数了=机"的图象分布在二四象限，且经过原点，

■■B,D错误;

•；”一次函数y=机、+力，

・•.图象与y轴交点为（o,〃），与X轴的交点为1-,

*/mn<0,

Yl

-->0即交点位于x轴的正半轴上，

m

''-A错误，C正确.

故选C.

2.（23-24八年级下•湖南永州•期末）已知其。70,b^O,则关于x的一次函数y=ax+6和y=+a的图

象可能是（）

15

【知识点】判断一次函数的图象

【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定。、6的符

号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.本题考查了一次函数图象：一次函数了=履+以左、

%为常数，左/0）是一条直线，当左>0,图象经过第一、三象限，了随工的增大而增大；当左<0,图象经过

第二、四象限，了随尤的增大而减小；图象与V轴的交点坐标为（0/）.

【详解】解：4、如图：当一次函数>无+方的图象经过第一、二、三象限，则。>0,b>0,此时y=6x+a

的图象也经过第一、二、三象限，所以/选项不符合题意；

B、如图：当一次函数了=ax+6的图象经过第一、三、四象限，则。>0,b<Q,此时y=6x+a的图象经过

第一、二、四象限，所以8选项符合题意；

C、如图：当一次函数了="+方的图象经过第一、二、四象限，则a<0,b>0,此时>=6x+a的图象经过

第一、三、四象限，所以C选项不符合题意；

D、如图：当一次函数了=办+6的图象经过第一、三、四象限，贝Ua>0,b<0,此时y=6x+a的图象经

过第一、二、四象限，所以。选项不符合题意；

故选：B.

3.（23-24八年级下•山东临沂•期末）两个一次函数y=ax+6与y=6x+a（a,。为常数）在同一平面直角

坐标系中的图象可能是（）

【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限

【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键；

观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的.、6的正负一致,

即为正确选项；

16

【详解】/、>=a尤+6的图象过一二三象限，所以a>0,b>0-,了=云+。的图象过二三四象限，由此判断

b<0,a<0,由两个图象判断出的a、6的取值矛盾，故该选项不符合题意；

B、y=。龙+6的图象过一二三象限，所以。>0,b>6；>=云+。的图象过一三四象限，所以6>0,

«<0,两个图象判断出的a、6的取值矛盾，故该选项不符合题意；

C、了="+方的图象过一三四象限，所以。>0,Z><0；了=加+。的图象过一二四象限，所以6<0,

a>0,两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意；

D、y龙+6的图象过一二四象限，所以。<0,b>Q；y=6无+。的图象过二三四象限，所以6<0,

。<0,两个图象判断出的a、6的取值矛盾，故该选项不符合题意；

故选：C.

03压轴题型

压轴题型一利用一次函数的性质解决分配方案问题

例题：（24-25八年级上•全国•期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化2.0行动计划”，搭建数字化校园

平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买2台电子白板和6台平板电脑共需9万元；购买3台电子

白板和4台平板电脑共需11万元.

（1）求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？

（2）结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共100台，其中电子白板不超过24台，某商家给出了

两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买1台电子白板，送1台平板电脑.若购

买电子白板4台和平板电脑所需的费用为卬（万元），请根据两种优惠方案分别写出w关于。的函数表达式,

并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱.

【答案】（1）电子白板的单价是3万元，平板电脑的单价是0.5万元；

⑵当。<20时，方案一更省钱；当。=20时，两种方案花费一样；当20<xW24时，方案二更省钱.

【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、函数解析式、分配方案问题（一次函数的实际应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出

方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案.

17

(1)根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元；

(2)根据题意，分别写出两种方案下，少关于。的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选

用哪种优惠方案购买更省钱.

【详解】(1)解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元，

[2x+6y=9

[3x+4y=41'

答：电子白板的单价是3万元，平板电脑的单价是0.5万元；

(2)由题意可得，方案一:w关于。的函数表达式为:卬=[3。+0.5(100-切义0.9=2.25"+45,

方案二:w关于a的函数表达式为:w=3a+0.5(100-"°)=2。+50,

当2.25a+45<2a+50时，得。<20,即当a<20时，选择方案一；

当2.25。+45=2。+50时，得a=20,即当“=20时，方案一和方案二花费一样多；

当2.25a+45>2a+50,得a>20,即当20<x424时，选择方案二；

综上所述，当。<20时，方案一更省钱，当a=20时，两种方案花费一样，当20<xW24时，方案二更省钱.

巩固训练

1.(23-24八年级下•全国•期末)为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一

批足球，已知购买4个/品牌足球和3个2品牌足球共需440元；购买2个/品牌足球和1个2品牌足球

共需180元.

(1)求2两种品牌足球的单价；

(2)若学校准备购买8两种品牌的足球共60个，且8品牌足球数不少于/品牌足球数的2倍，设购买两

种品牌足球所需总费用为y元，/品牌足球x个，求了与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所

需总费用最低，并求出最低总费用.

【答案】(1/品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元

(2)y=-30x+4800,y取得最小值4200元，此时/品牌足球购买了20个，8品牌足球购买了40个

【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数

的实际应用)

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的

关键.

18

(1)根据题意，列二元一次方程组即可；

(2)根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用力根据一次函数的增减性计算y最小值即

可.

【详解】(1)解：设4,2两种品牌足球的单价分别为。元，6元，

4a+3b=440

根据题意，得

2〃+b=180

。二50

解得:

b=80

%品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元.

(2)解:根据题意可知，8品牌足球(60-x)个，

■.■B品牌足球不少于a品牌数的2倍,

...60-x>2xf

・•・x<20,

=50x+80(60-x)=-30x+4800,

v-30<0,

・•.y随x的增大而减小，

.•.当x=20时，y最小，此时y=-30x20+4800=4200.

综上，y=-30x+4800,y取得最小值4200元，此时/品牌足球购买了20个，5品牌足球购买了40个.

2.(23-24八年级上•四川达州•期末)为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有

8两种客车可以租用.已知2辆/客车和2辆2客车可以坐150人，2辆/客车和3辆2客车坐的人数一

样多.

(1)请问8两种客车分别可坐多少人？

(2)已知该年级共有600名学生.

①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？

②已知/客车150元一天，3客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？

【答案】(1)/、3两种客车分别坐45,30人

(2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元

【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)

【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解

19

决问题.

2。+2b=150

(1)设4、8分别坐q、b人,可得。.，即可解得48两种客车分别坐45,30人；

[2a=3b

600-45r

(2)①设租用力客车x辆，则8需：一--=(20-万)辆，求出正整数x的值即可；②根据花费:

=-45x4-2600.根据一次函数的性质可得结论

【详解】(1)解:设4、5两种客车分别坐。、b人.

]2Q+2b=150

[2a=3b'

解得I[a=4。5,

.・/、2两种客车分别坐45,30人.

600—45Y3x

(2)①设租用/客车x辆，则3需：---=(20-5)辆

3x

-x为正整数且20-彳为正整数，

••.x=0,2,4,6,8,10,12.

故一共有7种方案：

0辆/客车和20辆8客车；

2辆/客车和17辆2客车；

4辆Z客车和14辆3客车；

6辆/客车和11辆2客车；

8辆4客车和8辆8客车；

10辆N客车和5辆8客车；

12辆/客车和2辆2客车；

3x

②花费：^=150x+130x(20-y)=-45x+2600.

-5<0,少随x增大而减小.

故当x=12时，-45x12+2600=2060元.

答：租车最少花费2060元.

压轴题型二利用一函数的性质解决最大利润问题

20

例题：(24-25九年级上•全国•期末)我市在创建全国文明城市过程中，决定购买42两种树苗对某路段道

路进行绿化改造，已知购买/种树苗8棵，8种树苗3棵，需要950元；若购买N种树苗5棵，8种树苗6

棵，则需要800元.

(1)求购买42两种树苗每棵各需多少元？

(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进/种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650

元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？

(3)某包工队承包种植任务，若种好一棵/种树苗可获工钱30元，种好一棵8种树苗可获工钱20元，在第

(2)问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少

元？

【答案】(1)购买/种树苗每棵需要100元，2种树苗每棵需要50元

(2)有四种购买方案

(3)购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元

【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的

实际应用)

【分析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用.

(1)设A种树苗每棵X元，3种树苗每棵y元，根据“购买A种树苗8棵，3种树苗3棵，需要950元；

若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得；

(2)设购进A种树苗加棵，则购进3种树苗(100-加)棵，根据“A种树苗不能少于50棵，且用于购买这

两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得；

(3)设种植工钱为卬，得到关于加的一次函数，利用一次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：设A种树苗每棵x元，8种树苗每棵V元，

8x+3.y=950

根据题意，得:

5x+6y=800

x=100

解得:

y=50

答：A种树苗每棵100元，3种树苗每棵50元；

(2)解：设购进Z种树苗加棵，则购进5种树苗(100-m)棵,

m>50

根据题意，得：<100-加20,

100m+50(100-m)<7650

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解得：50W加<53,

故有四种购买方案；

（3）解：设种植工钱为卬，由已知得：w=30m+20（100-m）=10m+2000,

••-10>0,

w随加的增大而增大，

.•.当加=50时，卬最小，最小值为2500元；

故购买/种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元.

巩固训练

1.（23-24八年级上•江苏扬州•期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球.该公司旗下无人机配件销售

部现有A和5两种配件，它们的进价和售价如表.用15000元可购进A产品50件和8产品25件.（利润=售

价一进价）

种类A种配件5种配件

进价（元/件）a80

售价（元/件）300100

（1）求A种配件进价4的值.

（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件

件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）260

⑵当购进A种配件100件，5种配件200件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题（一次函数的

实际应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列

式是解题关键.

（1）根据“用15000元可购进A产品50件和3产品25件”列方程求解即可；

（2）设购进A种配件无件，则购进8种配件（300-x）件，根据“3种配件进货件数不低于A种配件件数的2

倍''列不等式，得出IVxVIOO（x为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为卬元，根据“利润=

售价一进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可.

【详解】（1）解：依题意得：50a+80x25=15000,

22

解得：a=260,

答：〃的值为260；

(2)解：设购进A种配件x件，则购进8种配件(300-x)件，

依题意得：300-x22x,

解得：xV100,

•­.l<x<100(X为正整数)，

设两种配件全部售出后获得的总利润为w元，

[W=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000,

•••20>0,

・•.w随x的增大而增大，

.••当x=100时，w取得最大值，最大值为：20x100+6000=8000,

此时300-x=300-100=200,

答：当购进A种配件100件，B种配件200件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元.

2.(23-24七年级下•全国•期末)某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50

支，需要1000元.若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元.

(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？

(2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于

乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？

(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第(2)问的各种进货

方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)购进甲种笔需5元/支，乙种笔需10元/支

(2)文具店共有3种进货方案

(3)当购甲种笔154支，乙种笔23支时，利润最大为377元

【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次

函数的实际应用)

【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意

是解题关键.

fl00x+50y=1000

(1)设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需了元/支，依题意得：“。八，据此即可求解；

[50x+30y=550

23

(2)设购进甲种笔。支，则购进乙种笔*^^=(100-0.5a)支，依题意得:

6(100-0.5a)<a<7(100-0.5a),据此即可求解；

(3)根据获利W=2a+3(100-0.5a)=0.5a+300即可求解；

【详解】(1)解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，

100x+50^=1000

依题意，得:

50x+30y=550

答:购进甲种笔需5元/支，乙种笔需10元/支.

(2)解：设购进甲种笔。支，贝I购进乙种笔122祥=(10。一0.54)支,

依题意得：6(100-0.5a