四川省南充市某校2024-2025学年高三年级下册期中考试数学试题（解析）

画中北大博雅骏臣学校高三年级半期考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

A={%I+2x—3>JB=<%v2)AD

1.已知集合L/,1,则AB=()

A.(-®,-3)B.(-3,2)C.(1,2)D.(r,—3)u(l,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式化简集合A,进而求交集.

【详解】由题意可得：集合A={X,2+2X—3>。}=(—3)U(1,+8),

且5={%|0<%<2},所以4门6=(1,2).

故选：C.

Z+1_

2.若——=2i,则』=()

z-1

43.43.

A.——1B.—+—1

5555

34.34.

C.—--1D.—+—1

5555

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得”岩，根据复数代数形式的除法运算化简z,从而求出其共辗复数.

zI1

【详解】因为——=2i,所以z+l=2i(z—1),

z-1

l+2i(l+2i)(-l-2i)_34

、-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55，

所以-Z=3：4+gi.

故选：D

3.若非零向量a1满足同=2忖，且向量6在向量a上的投影向量是:。，则向量a与6的夹角为

()

【答案】B

【解析】

【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量。与6的夹角.

\b\cos0111

【详解】设向量。与b的夹角为。，则由题意可知，।।一，cos6」ncose」，

\a\242

因为向量的夹角［0,兀］,所以。=三.

故选：B.

4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱44=18,底面VA3C边上的高为瓦当底面ABC水平放置时

水面高度为16（如图①）.当侧面的用^水平放置时（如图②），水面高度为（）

图①图②

2,

A.-hB.-hC.—hD.—h

3223

【答案】D

【解析】

【分析】利用水的体积不变计算可求解.

【详解】设底面VA3C的面积为S,

当底面ABC水平放置时水面高度为16,所以水的体积为V=16S,

设侧面招用台水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体底面梯形的面积为S'，

则水的体积为V=18S',所以16s=18S',所以==3=§,

S189

设四棱柱体的底面梯形的高为〃，则可得［"注］=-,解得

{h）93

故选：D.

5.已知函数/(x)=gsin(5+9)(0>0)部分图象如图所示，若=则。等于

【答案】B

【解析】

12兀

【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，化简得到COSNABC=—-,求得乙43C=——，过

23

点8作轴于点E，求得|AE|=3,得到周期为T=12,结合三角函数周期的计算公式，即可求解.

【详解】由A3.BC=„2,可得—,目・卜0卜05/430=„2,

因为21ABi=忸。，可得cosNABC=—万，所以NA3C=《-,

过点B作BE±x轴于点E,可得忸同=省且ZABE=|,

所以|=\BE\tanZABE=3,可得函数/(x)的周期为T=12,

LL-2兀兀

所以①=——.

6.已知数列｛4｝满足：q=i，4+i='一々，则下列说法正确的是()

C.｛■有最大值D.｛4｝不是单调数列

【答案】C

【解析】

【分析】先对4+1=5*进行变形，构造＜:＞新数列，求出数列｛%｝的通项公式，结合作差法判断增

减性，逐一分析选项.

【详解】设2=4+1,则。“=么-1.

子三，将4=〃-1，4+1=2+1—1代入可得:

已知an+\

4十。

「2—1—1b“—2

2+1

年―1+3b„+2

b-2,b-2+b+22bn

可得2+ib+2~-b+2~b+2'

nnn

16+211111

两边取倒数丁=二丁=3+丁，即^----丁=

2bli2bnbn+lbn2

11

又因为％=1,所以4=q+l=2,则1=彳.

42

所以数列是以;为首项，；为公差的等差数列.

也J

111n92

根据等差数列通项公式丁=彳+(〃-1)X彳=3,则2=_.所以4=%_1=__1.

244

当〃=10时，％（）=----1=---W—,所以选项A错误.

101055

由前面计算可知4=2—1#2—〃，所以选项B错误.

n

222

因为4=—-1,当〃增大时，一减小，。〃减小，且〃,中用时，。〃-＞一1,4=——1=1,所以｛〃〃｝

nn1

有最大值1,选项C正确.

22(2)22—2

由4=—1可知，。〃+1一%=---—1=--------;—二一7八＜0，所以｛〃〃｝是单调递减数

nn+1\nJn+1nn\n+\)

列，选项D错误.

故选：C.

7.已知函数/（x）=lnx+x—L若/（。）+/伍）=0,则/+片的最小值为（）

A.1B.2C.72D.2直

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得/，]=-/㈤，结合函数的单调性可得0=（,进而可求“2+尸的最小值.

【详解】函数"X）=lnx+x—工的定义域为（0,+“），

X

可得函数/（%）=lnx+x-工在（0,+屯）上单调递增，

miii一入1j…1、，（4

立f_=In—H-------=-]nb-b+—=-\]nb+b——=-/（/?）

又J㈤bblb）JL,

b

由/(a)+/仅)=0，得f(a)=-f(b)=fI

因为函数7（%）在（O,+8）上单调递增，所以。=?，所以ab=l,

b

所以"+^22出?=2,当且仅当a=Z?=l时取等号,

所以/+〃的最小值为2.

故选：B.

8.如图，半径为1的：与半径为2的，d内切于点A，。沿：.2的圆弧无滑动的滚动一周•若C°i上

一定点尸从A点出发随着C。的滚动而运动，设点尸的轨迹为C,则（）

A.C是半径为g的圆B.C是半径为1的圆

C.C是长度为2的线段D.C是长度为4的线段

【答案】D

【解析】

【分析】作圆。1运动后的某圆。3,设此时与圆。2相切于M点，点尸从A运动到片，通过题设运动中的

等量关系结合弧长公式得到ZAO.M=即可得到p的轨迹求解.

【详解】圆。1运动到。3,设此时与圆。2相切于M点，点尸从A运动到A，

易知,所以2*NAQ〃=1＞＜N6O3M=2N《O2〃，

所以NAO2M=/4。2河，

所以尸的轨迹为圆。2中过A,。2的直径，长度为4.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分

9.下列命题正确的是（）

A.%,％,七，3，石2是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的

中位数

B,若事件A,2相互独立，且P（A）＞0,P（B）＞0,则事件A,B不互斥

C若随机变量X~N（O,22）,y~iV（0,32）.则尸（|X|W2）=尸（,归3）

D.若随机变量X的方差。（x）=10,期望E（x）=4,则随机变量y=x2的期望E（y）=26

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，利用中位数的定义判断出A错误；B选项，计算出尸（AB）=P（A）P（B）＞0,故

P（AB）^P（A）+P（B）,B正确；C选项，利用正态分布的对称性进行判断；D选项，利用

D（X）=E（X2）—[E（X）了得到E（x?）=26,D正确

【详解】A选项，为,12，%3/“，石2从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后,

剩下10个数大小顺序不变，故剩下10个数的中位数和原来的中位数一样，A错误；

B选项，事件A,B相互独立，且P（A）>0,P（B）>0,

P（AB）=P（A）-P（B）>0,

所以P（A._5）=P（A）+P（5）—P（An5）wP（A）+P（B）,故事件A,B不互斥，B正确；

C选项，随机变量X~N（0,22）,r~A^（0,32）>设y〜N（〃2，E）,

则。（同〈2）=。（—2<乂<2）=。（4一巧<乂<必+0），

P（|r|<3）=P（-3<X<3）=P（〃2-q<X<4+%），

根据3b原则,可知产（|X区2）=尸（,区3）,C正确；

D选项，随机变量X的方差O（x）=10,期望E（x）=4,

其中D（X）=E（X2）—[E（X）T，故后印?）-16=10,E（X2）=26,

故随机变量y=X2的期望E（y）=E（x2）=26,D正确.

故选：BCD

Al1

10.已知a,b,c分别为VABC的内角A,B,C所对的边，cos2—=—cosBcosC+—,则下列说法正确

222

的是（）

兀

A.tanBtanC=2B.tanA=tanB+tanCC.A<-D.a>b,a>c

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知结合二倍角的余弦公式可得cosA=cosBcosC,利用三角恒等变换可得tan3tanC=2,

可判断A；利用三角内角和可得tan（B+C）=-tanA,结合两角和正切公式计算可判断B；分类讨论可得

tanB>0,tanC>0,®tanA>tanB,tanA>tanC,进而计算可判断CD.

■、斗心、,2Aln_1+COSA1n「1

【详解】由cos——=—cosBcosC+—,可rz得n--------=—cos3cosc+—,

222222

所以cosA=cosBcosC,所以cos（兀-5-C）=cosBcosC,

所以-cos（B+C）=cosBcosC,所以-cosBcosC+sinBsinC=cosBcosC,

所以51!155111。=285585。，所以tan5tanC=2,故A正确；

因A+B+C=TI,所以A+5+C=TI—A,所以tan（B+C）=tan（7i-A）=-tanA,

tanB+tanCtanB+tanC

所以一1@口人=1211（5+0）=

1-tanBtanC1-2

所以tanA=tan_B+tanC,故B正确;

因为tan5tanC=2,所以tan氏tanC同号，

JT

若tan5<0,tanC<0,又0<B,C<7t,止匕时一<B,C<7i,显然不符合题意，

2

一71

所以tan5>0,tanC>0,所以0<3,C<—,所以tanA=tan5+tanC>0,

2

兀

所以0<A<一,由tanA=tan5+tanC>0,可得tanA>tan5,tanA>tanC,

2

TT

所以A>6,A>C,所以3A>兀，所以A〉一，故C错误；

3

由A>5A>C,可得a>b,a>c,故D正确.

故选：ABD.

22

n.设。为坐标原点，椭圆C：1+a=1（。〉。〉0）的左右焦点分别为耳，尸2,点4（0,3）为定点,

而点B在椭圆上，且位于第一象限，若|AB|=|A^|=2|OE|,贝I（）

A.a2—b1=3

B.8=60。

22

C.当月鸟的面积为6-36时，C的方程为土+上=1

63

D.当AB//x轴时，C的离心率e=1

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,根据题意，可求得c=J§"得解；对B,根据题意可得点3在以点A为圆心，2相

为半径的圆上，求得得解；对C,由椭圆焦点三角形面积公式求得〃=3,

进而求出/=6得解；对D,根据题意可得力=3,结合椭圆焦点三角形面积公式求得〃=9+66，进

而得解.

【详解】对于A,由|AB|=|"|=2|OK|,则/。4工='，又|。4|=3,

6

所以|阴|=百，即C=G，.•."-廿=3,故A正确；

对于B,由对称性可得=所以点月，8,5在以点A为圆心，2石为半径的圆上，

=（/44月=30°,故B错误；

对于C,因为/月38=30°,由椭圆焦点三角形面积公式得Sy型泗="tanl50=6—3G，

.・方（2-6）=6-3G解得〃=3,则/=6，

22

所以椭圆方程为2+==1,故c正确；

对于D,当AB//无轴时，可得力=3,由椭圆焦点三角形面积公式得及tanl50=3><2。><力，

即/（2一⑹=3十,解得1=9+6支,

3im-1

:.cr=12+6A/3-则e?s「又二八cE，解得e故D正确.

12+6,34+2-y32

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

7

12.已知COS（6Z—/?）=正，sinasin£=w，则sin2asin2分二

【答案】-

3

【解析】

【分析】利用余弦差公式将已知条件cos（1—尸）展开，结合sinasin/?=:,求得cosacos夕=:,再利用

正弦二倍角公式，将sin2asin2分展开，代入即可求解.

7

【详解】因为cos(a-/)=cosocos/+sinosin/=w，而sinasin£=：,

所以cosacos分二；，

所以sin2asin2/3=2sinocoso•2sin/?cos/?=4cosacos/?•sinorsin/?=4x—x—=—.

故答案为：—.

3

13.已知A（—l,0）,5（3,0）,P是圆O:/+y2=36上的一个动点，则sinNAPfi的最大值为.

Q

【答案】—

13

【解析】

【分析】几何法：利用正弦定理建立sinNAPB与右上43外接圆半径r的关系，再根据圆。与圆C（£PAB

的外接圆）的位置关系求出，的最小值，进而得到（sin/APB）.

代数法：通过设点尸的坐标，用向量的坐标运算表示出COSN4PB,然后利用不等式求出cos/4Pfi的最小

值，再根据三角函数关系求出sinNAPB的最大值.

【详解】方法一（几何法）

42

解：设圆C为,K4B的外接圆，且半径为广，则----------=2「，故（sin/APB）01ax=——

APB大山

由于点尸既在圆。上，也在圆C上，即圆。与圆C有公共点，当圆。与圆C内切时，圆C的半径最小,

即|OC|=R-5&=|CB|

由于边AB的垂直平分线为x=l,设C。/),则=,4+产，

两边平方得1+r=36-12“+/+4+1，两边消去产得:

____3913

1=36-12"+1+4’即12,4+『=39,，4+厂=记=1.

则瑞="+>=—>故(sin/APB)1mx=~2.

4~13

方法二(代数法)

设P(6cos仇6sin6),AP=(6cos0+1.6sin8),BP=(6cos3-3.6sin6)

33-12cos。ll-4cos8

cos/APB=cos<AP,BP>=

j37+12cos。•j45-36cos。,37+12cos。•j5-4cos。

11-4cosell—4cos£

35

J37+I2cos8■（5—4cos8）37+12cos6»+y（5-4cos6>）

2

11一4coseVI054

=V105x--,当cosd=一时等号成立.

13（11-4cos。）

即cosNAPB>'105,8

则sinZAPB<

1313

o

故（sinNAPB）max=百

Q

故答案为：一

13

14.甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名

额数，则X的数学期望E（X）=.

【答案】77

28

【解析】

【分析】由隔板法求得总的情况数，利用分组分配的思想求得不同取值下情况数，结合古典概型写出分布

列，根据均值的计算，可得答案,

【详解】由题意可得X的可能取值为L2,3,且总的情况数为C；=28,

当X=1时，分组情况有1:1:7,1:2:6,1:3:5,1:4:4,情况数分别为3,6,6,3；

当X=2时,分组情况有2:2:5,2:3:4,情况数分别为3,6；

当X=3时,分组情况有3:3:3,情况数为1.

及）鬻《，

则P（X=1）re082=

可得X的分布列如下:

X123

991

P

142828

所以石（X）=l

14282828

39

故答案为：—.

28

四、解答题：本题共5小题，共77分

15.已知VA3C的内角的对边分别为a,瓦c.已知csinB=®cosC.

(1)求角C：

(2)若a+b=5,c=S,求VABC的面积.

JT

【答案】(1)c=-

3

(、373

2

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理边化角，求出tanC,结合特殊角的三角函数值，即可求得答案;

(2)利用余弦定理求出。匕=6,根据三角形面积公式，即可求得答案.

【小问1详解】

因为csinB=#>bcosC，由正弦定理得sinBsinC=J^sinBcosC

在VABC中，sinC>0，贝!JsinC=QcosC，BPtanC=y/3,Ce(0,7i),

故C

3

【小问2详解】

।人；...矿+b“—c2(a+b)——2ab—c~

由余3弦定值/±知：cosC=----------=----------------,

2ablab

125-2"-7

,则他=6,

2lab

诉“c_1,•_1AV3_3A/3

JTT以S——tzhsinC——x6x——---•

AAFB(Cr2222

16.设函数/(x)=(x-a,bGR.

(1)当a=0,时，讨论/(龙)的单调性；

⑵若a彳b,且〃力和_f(x)(_f(x)为〃x)的导函数)的零点均在集合｛2,1,—1｝中，求/⑺的

极小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)-4

【解析】

【分析】⑴求导可得/'（x）=（x—A）（3x—＞），分b=0,方＞0两种情况讨论可求得〃x）的单调性;

（2）求导，令/'（x）=0,可得x=b或x=NJ,由a,"幺/々e{2,1,—1},计算求解可得的

值，进而可求极小值.

【小问1详解】

当a=0时，/(%)=x^x—by,

/'(九)=(尤-A]+2x(x-b)=(x-Z?)(3x-Z?).

当b=o时，/(X)=3X2^0,在R上单增，

b

当Z?>0时，令/'(x)=(x—Z?)(3x—/?)=0,x=b或x=],

xe|-oo,g%寸，/(%)>0,/(%)单调递增,

g/，，f\x）＜0,/（%）单调递减,

xe

xw（瓦+8）时,r（X）＞o,/（%）单调递增,

综上所述：当6=0时，〃x）在R上单增;

-00,g）和他,+“）上单调递增，在g力）上单调递减,

当人＞0时，/（九）在

【小问2详解】

/r(x)=(x-Z?)(3x-2tz-Z?),令/'(x)=0,所以x=b或％=•la+b

3

r\.1

令/(九)=0,X=«^x=b,又a,仇崂及6{2,1,—1},且a,,2a+b

b,------互不相等,

3

。I入

所以a+Z?+'；「=2,所以5Q+4b=6

3

5a+4b=65a+4b=6

5a+4b=6

所以《或<2a+b八或<72a+b_

a+b=0a+------=0b+-----=0

33

经检验a=2,b=—1符合，所以/(x)=(x—2)(X+1)2,

/f(x)=(x+l)(3x-3),令/''(%)=0,九=1或x=-L,

当xW(YO，T,/'(x)>0,xe(-l,l),r(%)<0,xe(l,+co),/，(x)>0

所以X=1时，/(%)取得极小值/■⑴=T.

17.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，F,T分别是椭圆C：三+>2的左焦点，右顶点，过

F的直线交椭圆。于A,B两点,当轴时，△工钻的面积为1+走.

2

(1)求。；

(2)若斜率为g的直线/交椭圆C于G,X两点，N为以线段GH为直径的圆上一点，求|0N|的最大值.

【答案】(1)a=2

(2)y［5

【解析】

【分析】(1)在椭圆方程中，令X=-C,解得y=土"，得口用=生，再根据SA.w=l+@结合

a11aAABT2

a2=l+c2,求出答案；

(2)设直线/：y=gx+机与椭圆方程联立，由韦达定理求得GH的中点为。［-打；加］,利用弦长公

式求得|GH|,进而得到以GH为直径的圆的半径厂=半后二版，由

|ON|<|OD|+r=岑(帆+也—叫，三角换元利用三角函数性质求出最大值.

【小问1详解】

A2°卜2

依题意有6=1,当轴时，在椭圆方程中，令％=-解得丁=±乙，则愕同二二，

aa

22

SABT=-x^-x(tz+c)=l+^->Xa=1+c•解得a=2,c=A/3•

ABT2a')2

【小问2详解】

设直线/：y=^x+m,设G(%,yJ,H(x2,y2),

'1

y=—x+m

联立<2，得2x2+4mx+4m2—4=0，

%2+4y2=4

A=-16m2+32>0

所以《Xj+x2=-2m，所以

XjX2=2m2-2

y1+y2=m,所以G77的中点为一办3机

所以|GH|=J1+；x'（玉+々）2-4%々=~~V8-4m2=.

又N的轨迹是以。机为圆心，半径厂=02—后的圆,

2

令同=V5cos。，,

I己/（夕）=^^（0cos6+0sine）=血sin[e+：]=5/^sin[e+?

又e+gj；,与，所以8，忸=1时，|ON|-A/5.

4（444lmax

18.如图，在四棱锥S—ABCD中，ABCD为矩形，且AB=23C=2,SB=6，

ZSCB=ZSCD=60°.

(1)求证：3CJ_平面5AB；

(2)若NS〃BC(N在S的左侧)，设三棱锥N—5AB体积为匕，四棱锥S—ABCD体积为匕，且

①求点A到平面SNC的距离；

②求平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

c2^/62V2

33

【解析】

【分析】（1）由余弦定理得到|SC|=2,进而得到SB,即可求证;

（2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解.

【小问1详解】

在△SBC中，忸C|=l,|S同=VLZSCB=60°,

所以cos60°=EC1+：3=J,,解得：|SC|=2,

21sq211

所以|S3「+忸C「=|sc「，所以

又5CLA6,AB,SB为平面1s48内两条相交直线，

所以平面&R；

【小问2详解】

（2）由（1）知，平面S43,AD//BC,

所以平面又AD在平面ABCD内，所以平面ABCD1平面S48,

SA在平面S43内，所以ADLS4,

在三角形SCD中，|SC|=2,|CD|=2,/SCD=60°，

所以|SD|=2,X|AD|=I,

所以|例="^=6，

又匕一ABCD=VS-ABC=VC-SAB，

又匕枣=%.

所以匕.SAB=%.，又NSIIBC,

所以|NS|=|5C|=1,

取A3的中点0，|M=|Sa=G，可知：SOLAB,

因为平面ABCDJ,平面交线为AB，

S0又在平面S4B内，

所以SOJ_平面ABCD,如图建立空间直角坐标系

易得：4（-1,0,0）,B（l,O,O）,C（1,1,O）,D（-1,1,O）,S（O,O,A/2）,2V（O,-1,72）,

所以SN=（0,—l,0）,SC=（l,l,—五）,

设平面SNC的法向量为n=（羽y,z）,

n-SC=Q

则

n-SN=0

A/2Z

所以《x+,y-=0，

-y=o

令z=l，得X=丘,即巩=（应,0,1）,

又AS=（l,0,e）,

、.IAS-HI2J22J6

所以求点A到平面SNC的距离d==半=9，

\n\733

②A3=（2,0,0）,A2V=（l,-l,四），

设平面ABN的法向量加=（。,4c）,

AB=02a=Q

则《

所以r

m-AN-0a-b+yj2c=0

令c=l,则b=可得：rn=（0,V2,l）,

设平面SNC与平面ABN所成夹角为0,

|m-n|11

所以cos0-1cosm,n\=

M-H73x733

所以sin6=，1二»7万==述

V93

即平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值为逑.