2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：导数及其应用章节综合（人教B版）（解答题）

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编导数及其应用章节综合（人教B版）（解答题）一、解答题1．（2024北京海淀高二下期末）已知函数，其中.(1)若在处取得极值，求的单调区间；(2)若对于任意，都有，求的值.2．（2024北京东城高二下期末）设函数，其中.曲线在点处的切线方程为.(1)求，的值；(2)求的单调区间.3．（2024北京海淀高二下期末）已知函数．(1)判断在上的单调性，并证明；(2)求在上的零点个数．4．（2024北京丰台高二下期末）已知函数（）．(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；(2)当时，求证：．5．（2024北京通州高二下期末）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)求的单调区间；(3)写出的零点个数（直接写出结果）．6．（2024北京房山高二下期末）已知函数(1)求函数的极值点；(2)若的极小值为，求函数在上的最大值．7．（2024北京丰台高二下期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的极值．8．（2024北京石景山高二下期末）已知函数.(1)求证：当时，；(2)当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.9．（2024北京海淀高二下期末）已知(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)已知有两个极值点，且满足，求的值；(3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．10．（2024北京房山高二下期末）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)若对于任意的，有，求的取值范围.11．（2024北京通州高二下期末）已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程；(2)定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．12．（2024北京石景山高二下期末）已知函数．(1)求函数的极值；(2)若对都有恒成立，求实数的取值范围．13．（2024北京顺义高二下期末）已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)当时，求在区间上的最大值.14．（2024北京西城高二下期末）函数，其中．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围．15．（2024北京昌平高二下期末）设函数.(1)若，求曲线y=fx在点处的切线方程；(2)若在处取得极小值，求实数的取值范围；(3)若对任意的x∈R，恒成立，直接写出实数的范围.16．（2024北京顺义高二下期末）已知函数，设.(1)若，求的单调区间；(2)若在区间上存在极小值m，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．17．（2024北京怀柔高二下期末）已知函数，其中(1)求函数的单调区间；(2)当曲线在点处的切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围．18．（2024北京怀柔高二下期末）设函数，(1)求曲线y=在点（0，）处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值与最小值；(3)若方程在有三个不同的根，求的取值范围．19．（2024北京昌平高二下期末）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.20．（2024北京东城高二下期末）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若对任意，有恒成立，求的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）.21．（2024北京第二中学高二下期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若的极大值为，求的值；(3)当时，若，使得，求的取值范围．22．（2024北京延庆高二下期末）求下列函数的导函数.(1)；(2)；(3)；(4).23．（2024北京西城高二下期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计）(1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；(2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？24．（2024北京朝阳高二下期末）已知函数，且.(1)求函数的单调区间；(2)若函数的极小值为，求a的值.25．（2024北京大兴高二下期末）已知函数，．(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)求函数的单调区间；(3)已知，当，试比较与的大小，并说明理由．26．（2024北京延庆高二下期末）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上存在极值，求实数的取值范围；(3)求的零点个数．27．（2024北京西城高二下期末）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数的极小值为0，求a的值；(3)在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值28．（2024北京朝阳高二下期末）设函数的图象在点处的切线方程为.若函数满足（为函数的定义域），当时恒成立，则称为函数的“点”，已知.(1)若直线l斜率为，（i）求及直线l的方程；（ii）记，讨论函数的单调性；(2)求证：函数有且只有一个“T点”.29．（2024北京大兴高二下期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的零点个数．30．（2024北京第二中学高二下期末）已知函数．(1)证明：在上单调递减；(2)若函数（为的导函数），且单调递增，求实数a的取值范围．31．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）已知函数．(1)若在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；(3)若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围．32．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）已知函数（，为正实数）．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围．

参考答案1．(1)增区间是，减区间是(2)【分析】（1）先求出，由题意得求出，检验可得；（2）先将“不等式恒成立”问题等价转化为“恒成立”问题，再构造函数，由与，分三类探究即可.【详解】（1），由，函数定义域为.则，∵在处取得极值，∴，设，则在单调递减，至多一个实数根，又，方程有且仅有一个实数根.当时，，其中.，，当时，，则，在单调递增；当时，，则，在单调递减；所以在处取得极大值，极大值为.故的增区间是，减区间是；（2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为，即任意时，都有，满足题意.由，得，令，则，不等式转化为，即在恒成立.设，其中，，其中，①当时，且，故存在，使，由在单调递减，则当时，，在单调递减，所以，故不满足恒成立，即不合题意；②当时，且，故存在，使，由在单调递减，则当时，，在单调递增，所以，故不满足恒成立，即不合题意；综上所述，若对于任意，都有，则.【点睛】已知不等式恒成立求参数问题，我们可以先取定义域内的一个或几个特殊点探路.如题目第（2）问中得到，由恒成立，考虑，再借助与的大小分类讨论求解即可.2．(1)(2)递增区间为，递减区间为.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列式计算即得.（2）利用（1）的结论，利用导数求出单调区间.【详解】（1）依题意，，又，则，解得，所以.（2）由（1）知，的定义域为R，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以函数的递增区间为，递减区间为.3．(1)在上单调递增，证明见解析；(2)一个.【分析】（1）先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性；（2）结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数.【详解】（1）在上单调递增，证明如下：因为，所以，又因为，从而，所以，所以在上单调递增．（2）由(1)知：，因为x∈0,+令，得．与f′x在区间0,+f0+极小因为，，所以由零点存在定理及单调性可知，在0,+∞上恰有一个零点．4．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由在上恒成立可得，再由导数确定的单调性与最值后可得参数范围；（2）利用导数求得的最大值，由这个最大值小球0可得证，为此需要对的零点进行定性确定，然后利用的性质写明．【详解】（1）由已知得，设，，因为在区间上单调递减，所以时，恒成立．因为时，，所以在区间上单调递减，所以的最大值为，即．当时，符合题意．所以．（2）当时，，，则．设，则，所以在区间上单调递减．因为，，所以，使得，即．当变化时，，，的变化如下表：＋0－＋0－单调递增极大值单调递减所以的最大值为．因为，所以，，所以，故．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，一般可利用导数求得最大值，再由证得结论，此类题这里有一个难点，即的不易求得，我们可以进行定性分析，即证明存在，使得，利用此等式可化简并证明出结论成立．5．(1)；(2)答案见解析；(3)当时，无零点；当时，有1个零点.【分析】（1）把代入，求出函数的导数，探讨单调性求出最小值.（2）求出函数的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间.（3）结合（2）的结论，借助单调性确定最值、极值情况，并结合零点存在性性定理确定零点个数.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，求导得，而，则当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，则当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得，，①当，即时，由，得，由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，由，得或，由，得，因此函数在，上单调递增，在单调递减；③当，即时，恒成立，函数上上单调递增；④当，即时，由，得或，由，得，因此函数在，上单调递增，在单调递减，所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；当时，函数的递减区间为，递增区间为，；当时，函数的递增区间为，无递减区间；当时，函数的递减区间为，递增区间为，.（3）由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增，，因此函数无零点；当时，函数在上递减，在，上递增，当时，取得极小值，当时，取得极大值，而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；当时，函数在，上递增，在递减，当时，取得极在值，当时，取得极小值，而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点.【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.6．(1)是函数的极小值点；是函数的极大值点.(2)最大值.【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；（2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可.【详解】（1），

令，得或.

f′x，f00递减a递增递减所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.（2）因为的极小值为，即解得，又，

.所以当时，取得最大值.7．(1)；(2)极小值为，极大值为．【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）由导数确定单调性即可解极值.【详解】（1）由已知得，所以．因为，所以切点为，故曲线在点处的切线方程为．（2）由（1）知，，．令，得，令，得或，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．所以有极小值为，极大值为．8．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）构造，求导可得，分析的符号可得的单调性，从而可证明；（2）当时，由（1）知，满足题意.令，求导，分与讨论即可求解.【详解】（1）令，.由得，于是，故函数是上的增函数.所以当时，，即；（2）当时，由（1）知，满足题意.令，则.当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数a的取值范围.9．(1)(2)(3)【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解；（3）令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可.【详解】（1）当时，，所以，所以．所以曲线在点处的切线方程为．（2）因为，所以，因为有两个极值点，所以有两个大于0的变号零点，所以方程有两个不等正根，所以，解得，又因为，即有，整理得，代入，可得，解得，又因为，所以可得，经检验，符合题意．（3）由(2)可知且，从而，因为在上恒成立，令，则有在上恒成立，易得，因为，所以，令，对称轴，①当时，，所以在单调递增，从而恒成立，所以在也恒成立，所以在单调递增，从而恒成立．②当时，，所以有两个不等实根（不妨设），所以，且当时，，从而，所以在上单调递减，所以，与“在上恒成立”矛盾，综上，的取值范围是．【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；4、若参变分离不易求解，考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.10．(1)(2)当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.(3)【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可；（2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.【详解】（1）由，知.所以当时，有，.故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.（2）当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；当时，对有，故在上递增；当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.综上，当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.（3）我们有.当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.故对任意的，都有，满足条件；当时，由于，故.所以原结论对不成立，不满足条件.综上，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.11．(1)切线方程为，(2)①是“控制函数”，理由见解析；②【分析】（1）根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程可得答案；（2）①由得，根据的范围可得答案；②转化为，恒成立，令求出在的最值可得答案.【详解】（1），所以，解得或，可得切点坐标为，或，所以曲线在点处的切线方程为，曲线在点处的切线方程为；（2）①，是“控制函数”，理由如下，由得，可得，，因为时，恒成立，即恒成立，所以函数为函数的“控制函数”；②，若为函数的“控制函数”，则，恒成立，即，恒成立，令，，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以在有极小值，，，所以.【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.12．(1)极大值；极小值(2)【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解；（2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解.【详解】（1）由，得.

令得或.当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示：＋0－0＋↗极大↘极小↗所以当时取极大值；当时取极小值.（2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为.对都有恒成立，所以.13．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解；（2）求出在区间上的端点函数值以及极值，比较大小，分类讨论，得到最大值.【详解】（1）∵,∴..∴在处的切线方程为，即.（2）由（Ⅰ）可知.令，可得或.当变化时，与的变化情况如下表所示.x01-0+1单调递减极小值单调递增a+2∴在上单调递减，在上单调递增.当，即时，.当，即时，.所以当时，的最大值为1；当时，的最大值为.14．(1)为单调增区间，为单调减区间；(2)【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间；（2）先移项把两个零点转化为两个函数有两个交点即可求解.【详解】（1）当在上单调递增；当在上单调递减；所以fx的增区间为，减区间为1,+∞（2）有两个零点，所以有两个根，设,单调递增，单调递减，又因为由题知，与有两个交点，所以,即.15．(1)(2)(3)【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）对函数求导后，分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值点；（3）由（2）可知当时，满足题意.【详解】（1）若，则，所以所以曲线在点处的切线方程为.（2），..①若，，当时，,单调递减，当时，,单调递增，所以在处取得极小值.②若，令,得或.若，即.当变化时，与的变化如下表：递增极大值递减极小值递增所以在，是增函数，在上是减函数.所以在处取得极小值.若,即,当时，，所以，单调递增．所以不是的极小值点．综上所述，实数的取值范围是（3）由（2）可知，当时，在上递减，在上递增，所以，所以对任意的，恒成立，所以满足题意，当时，在，是增函数，在上是减函数，当时，，所以，所以对任意的，恒成立，不可能为真，当时，在上递增，则，综上，，即实数的范围为【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数极值点问题，考查利用导数解决不等式恒成问题，第（2）问解题的关键是分类讨论，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.16．(1)在上单调递增，在上单调递减(2)（ii）；（ii）证明见解析【分析】（1）先求导数得到，然后再一次利用求导得出单调区间；（2）（i）法一：分类讨论：时无极值，时，有极大值，再一次分类讨论：极大值小于0，极大值大于0，最后得出符合题意的范围；法二：先求出的最大值，根据最大值大于0，和小于0分类讨论，最后得出符合题意的范围；（ii）由（i）写出m的解析式，构造二次函数即可得证.【详解】（1）若，则，.所以，则.令，即，解得;令，即，解得.所以在上单调递增，在上单调递减.（2）（ⅰ）法一：因为，所以.易知在上单调递减，.当即时，，在上单调递减，因为，所以，所以在上单调递减，所以无极值.当即时，由可得.当变化时，与的变化情况如下表所示.x(0,ln(2a))ln(2a)(ln(2a),+∞)h’(x)+0h(x)单调递增极大值单调递减∴在上单调递增，在上单调递减.当时，有极大值.①当即时，，在上单调递减.所以无极值.②当即时，因为，所以在上有且只有一个零点，记为.当变化时，与的变化情况如下表所示.x(0,x0)x0(x0,ln(2a))0+f(x)单调递减极小值单调递增所以，当时，有极小值.法二：.令，则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，①当，即时，在上单调递减，所以无极值.②当，即时，当且时，.又，使.所以当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.当时，有极小值.有极小值时，的取值范围是.（ⅱ）由（i）知，...,.【点睛】关键点点睛：第（2）问中（i）的关键在于处理好导函数的单调性或最值问题，从而影响原函数的极值情况，要保证原函数有极小值，只需要确保导函数有变号零点，且导函数在零点附近是递增的即可.17．(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间；（2）对函数进行求导，利用导数的几何性质求出，设出切点坐标，构造函数，得到切点坐标，进而可得的取值范围．【详解】（1）因为，所以函数的定义域为当时，对任意的恒成立，所以函数的增区间为，无减区间；当时，令，得舍负，—极小值所以的减区间为，增区间为．综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为．（2），曲线在点的切线与直线垂直，，是一条过原点的直线，假设直线与曲线相切，设切点坐标，则

所以，令

则恒成立，在单调递增，，所以有且仅有一解，即切点坐标，当直线与曲线相切时，切点

，此时直线的斜率为1，即，所以当函数的图象总在图象的上方时，【点睛】利用导数判断函数单调性的步骤：1.对原函数求导；2.判断导函数的符号；3.根据导函数符号判断单调性.18．(1)(2)最大值为10；最小值为(3)【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解.（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.（3）利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题.【详解】（1）代入得到，即切点坐标（0，1）由，得．

-所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为.（2）由，得．令，得，解得或与在区间上的情况如下：-4-31（1，3）3↗10↘↗10所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；当x=1时，最小值为．（3）若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点由（2）可知：-3（-3，1）1↗10↘↗又当；当所以时，方程有三个不同根．

-19．(1)的单调递增区间为和，递减区间为；(2)【分析】（1）求导，直接利用导数求单调区间即可；（2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围．【详解】（1）因为，所以，令，即，解得或，且当时，，当时，，所以的单调递增区间为和，递减区间为；（2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；且，，所以在上的最大值为，因为关于x的不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即，所以，所以的取值范围为．20．(1)极小值为，无极大值(2)(3)证明见解析【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值；（2）对和分类讨论，当时由知条件不满足，当时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到的取值范围是；（3）由条件可直接得到，然后通过导数判断在上的单调性，再证明，即可通过反证法得到结论.【详解】（1）当时，，从而.故对有，对有.所以在上递减，在上递增.从而有唯一的极值点，且是极小值点，对应极小值为f1=0，无极大值.（2）由，知.若，则.而对有，所以在上递减.故，从而对不成立，不满足条件；若，则对有，所以在上递增.从而对任意x∈1,+∞，有综上，的取值范围是.（3）据（2）的结果，当时对x∈1,+∞有，故对有.此即，所以对任意的，在中取就有.回到原题.若在区间1,+∞上存在唯一零点，根据（2）的结果，首先有.此时对有，对有.所以，在上递减，在上递增.而f1=0，故1,+∞上的零点满足由于，而对任意的，都有，取，就有，从而.所以.假设，由及有，所以.由在上递增，且，即可从，推知.但这与是的零点矛盾，所以.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论.21．(1)(2)(3)【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解切线方程；（2）对函数求导后，由，得或，然后分，和三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值，使极大值为可求出；（3）将问题转化为在上的值域是在的值域的子集，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论即可.【详解】（1），则，因为，所以切点即，所以切线为.（2），因为，令，解得或，①当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，不符合题意；②当时，即时，，在R上单调递增，无极大值；③当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，，符合题意．综上所述，．（3）由题意得当时，在上的值域是在的值域的子集，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，①当时，即时，当时，单调递增，，又因为当时，，因为，所以当时，使得，②当时，即时，当时，单调递增，，当时，，若满足题意，只需，即，③当时，即时，当时，在上单调递减，上单调递增，所以函数的最小值为，所以，又因为时，，若满足题意，只需，即，因为，所以，所以无解，所以不合题意综上，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：此题第（3）问解题的关键是转化问题为当时，在上的值域是在的值域的子集，进一步转化求函数的值域问题，从而得解.22．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用求导法则求导即得；（2）利用分式函数的求导法则求导即得；（3）利用分式函数的求导法则求导即得；（4）利用复合函数的求导法则求导即得.【详解】（1）（2）（3）（4）23．(1)(2)为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为2m【分析】（1）根据题意求出长方体水池高，据此即可求解；（2）利用导数即可求解.【详解】（1）因为水池底面边长，所以长方体水池高为，所以；（2）令，所以，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有最小值，所以为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为.24．(1)答案见解析(2)或【分析】（1）先进行求导运算，再根据导数情况对进行分类讨论导数正负即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性可得函数的极小值，进而可求出a的值.【详解】（1）由题函数定义域为，，所以当时，若，；，；故此时函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，若，；，；故此时函数在和上单调递减，在上单调递增；综上，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为和.（2）由（1）当时，函数的极小值为，，符合；当时，函数的极小值为，，符合.故a的值为或.25．(1)(2)答案见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得，再检验即可；（2）分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；（3）令，可求得；令，利用导数和零点存在定理可确定ℎx即的正负，从而得到Fx的单调性和最值，通过最值可知，进而得到大小关系.【详解】（1）因为，所以，是的极值点，，解得，经检验符合题意；（2）函数定义域为0,+∞，，当时，f′x>0恒成立，所以在0,+∴fx的单调递增区间为0,+当时，令，解得，当时，f′x>0；当时，f′∴fx的单调递增区间为；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为0,+∞，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）令，则，令，则，函数ℎx在0,+∞又，，存在唯一零点，使得，当时，ℎx<0；当时，ℎx>0当时，；当时，；函数Fx在上单调递减，在上单调递增，，又，即，，，在0,+∞上恒成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎx（3）利用导数研究ℎx（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．26．(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）将问题转化为在有解，则在有解，即可求解；（3）令，将问题转化为与交点的个数，利用导数研究的大致图象，即可求解.【详解】（1）当时，，则，故，，在点处的切线方程为，即（2），当时，在单调递增，此时无极值点，当时，令或，要使得在上存在极值，则需要，解得（3）令，令，则，记，则，当时，单调递减，当时，单调递增，且，当时，，而当时，，作出的大致图象如下：故当时，无零点；当或时，一个零点；当时，两个零点.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是参变分离得到，令，，从而转化为与交点的个数27．(1)(2)(3)1【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解，（3）将问题转化为对任意的，，构造函数，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解.【详解】（1）当时，，则，故，又，故y=fx在点处的切线方程为（2），故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故（3）由（2）知，故，故对任意的，成立，只需要对任意的，，记，则，①时，此时，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取极小值也是最小值，故，不符合题意，②当时，此时，故当时，，单调递增，故，符合题意，③当时，此时，故当时，，单调递减，故，不符合题意，④当时，故当时，，单调递减，故，不符合题意，综上可得，所以实数的最小值为12.28．(1)（i）；，（ii）在上单调递减(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求切点和切线方程，求导，分析函数的单调性即可.（2）先把“点”定义转化为：当x∈0,x0时，；当x∈x0,+∞【详解】（1）（i）由题意：，，由，得：.所以切点为所以切线方程为：即.（ii），，所以恒成立，所以，Fx在上单调递减.（2）当时，恒成立等价于：当x∈0,x0时，；当x∈x因为，，，所以在点x0,fx0