2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：二项分布与超几何分布

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编二项分布与超几何分布一、单选题1．（2024北京海淀高二下期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（

）A． B． C． D．2．（2024北京怀柔高二下期末）某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024北京西城高二下期末）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2024北京海淀高二下期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为，数学期望．5．（2024北京大兴高二下期末）设随机变量，则．三、解答题6．（2024北京通州高二下期末）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．(1)若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数；(2)开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率；(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望．7．（2024北京丰台高二下期末）随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图：

根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：分数满意度非常满意满意不满意假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立．(1)分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；(2)从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；(3)从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记为仅使用款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明）8．（2024北京丰台高二下期末）在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：胜负情况甲球员上场情况获胜未获胜上场40场5场未上场2场3场(1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率；(2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望．9．（2024北京房山高二下期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.(1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；(2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；(3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.（结论不要求证明）10．（2024北京顺义高二下期末）某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据：早餐午餐晚餐A餐厅人人人B餐厅人人人不在学校用餐人人人用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定.(1)若该学校共有名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数；(2)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在A餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望；(3)一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．11．（2024北京怀柔高二下期末）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：满意度性别满意不满意弃权男生803010女生502010(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．12．（2024北京大兴高二下期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020假设用频率估计概率.(1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．13．（2024北京朝阳高二下期末）某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，下表记录了随机抽取的上一年的10个工作日两个车间生产的零件个数：甲车间62634374737059704366乙车间39455036232023385139(1)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，求甲车间生产的零件个数小于50的概率；(2)用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3天（假设每次抽取的结果互不影响），记X为乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数，求X的分布列和数学期望；(3)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，用“ξ=0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40，a）内，用“ξ=1”表示甲车间生产的零件个数在区间[a，80]内.请写出一个实数a的值使得方差D(ξ)取到最大值.（结论不需要证明）14．（2024北京第十二中学高二下期末）2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．(1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求和；(2)现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望．

参考答案1．B【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求.【详解】设小明投中次数为，则由题意可知，则，，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以，则，.故选：B.2．C【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.【详解】依题意，四道题中恰好做对2道的概率.故选：C3．D【分析】根据超几何分布公式计算即可.【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，则，故选：D.4．0，1；.【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得.【详解】X的取值可能为0，1．依题意可知服从超几何分布，则，，所以．故答案为：0，1；.5．【分析】根据二项分布的期望公式计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：6．(1)800人；(2)；(3)分布列见解析，期望为1.8.【分析】（1）利用频率分布直方图求出的频率，再估计人数即得.（2）求出在，，抽取的人数，再结合组合计数求出古典概率.（3）求出的可能值及各个值对应的概率，利用二项分布列出分布列并求出期望.【详解】（1）由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为，估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4.所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人.（2）阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1，则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人，设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件A，所以.（3）从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为，随机变量的可能取值为，得，则，，，，所以的分布列为0123数学期望为.7．(1)款满意度，款满意度；(2)；(3)．【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解；（2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解；（3）根据方差的实际意义判断.【详解】（1）设事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，则，；（2）设事件“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，则；（3）样本中使用款软件不满意的概率为，使用款软件不满意的概率为，且随机选取的10人进行电话回访，随机变量服从二项分布，，即方差为,随机变量服从二项分布，，即方差为,．8．(1)；(2)分布列见解析，数学期望.【分析】（1）运用古典概型求解概率即可；（2）运用超几何分布求解概率，进而得出的分布列和数学期望．【详解】（1）设事件“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”，则．（2）表中该球队未获胜的场次共有场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场，则的可能取值为0，1，2，3．，，．所以的分布列如下：0123所以．9．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）有古典概型计算可得结果；（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）；（3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.【详解】（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则（2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，所以的所有可能取值为，

所以的分布列为：

（或则）（3）由（2）可得；由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.因此.10．(1)700人(2)分布列见解析，(3)答案见解析，理由见解析【分析】（1）根据可得频率，进而利用频率估计人数；（2）分析可知，根据二项分布求分布列和期望；（3）根据独立重复性事件求概率，结合概率的意义分析说明.【详解】（1）样本中学生在A餐厅用早餐的频率为，据此估计该学校2000名学生每日在A餐厅用早餐的人数为：.（2）从该学校用午餐的学生中随机抽取人，由样本的频率估计该学生在A餐厅用餐的概率.由题意可知：，则的可能取值为，则有：；；；.所以的分布列为的期望为.（3）结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分.设事件为“随机抽查人，有人在B餐厅用晚餐”.假设在B餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化，由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查1人，此人在B餐厅用晚餐的概率为，由上个星期的样本数据估计.示例答案1：可以认为发生了变化.理由如下：事件是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生，如果发生了，可以认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化；示例答案2：无法确定有没有变化.理由如下：比较小，一般不容易发生，随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，事件也是有可能发生的，所以无法确定有没有变化；示例答案3：无法确定有没有变化.理由如下：抽查的人数少，样本容量太小，可能抽到的大部分是在A餐厅用餐的学生（抽到了极端情形），所以抽查结果可能无法准确反映在两个餐厅的实际用餐人数.11．(1).(2)分布列见解析；期望为.【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的频率即可.（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．在200人中对饭菜质量满意的有130人，.（2）分层抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2

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-X012P随机变量X的数学期望.12．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，根据二项分布的概率公式计算可得；（2）依题意的可能的取