2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：二项式定理与杨辉三角（人教B版）

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编二项式定理与杨辉三角（人教B版）一、单选题1．（2024北京通州高二下期末）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．2．（2024北京房山高二下期末）在的展开式中，的系数是（

）A． B． C． D．3．（2024北京海淀高二下期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（

）A．0 B． C． D．4．（2024北京大兴高二下期末）在的展开式中，常数项为（

）A．15 B． C．30 D．5．（2024北京延庆高二下期末）在的展开式中，常数项为（

）A． B．15 C．30 D．3606．（2024北京朝阳高二下期末）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：则第8行的第7个数是（

）A．8 B．21 C．28 D．567．（2024北京怀柔高二下期末）在二项式的展开式中，常数项为（

）A．20 B． C．80 D．8．（2024北京海淀高二下期末）设，若，则（

）A．80 B．40 C． D．9．（2024北京东城高二下期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、填空题10．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）在的二项展开式中，常数项为160，则的值为.11．（2024北京大兴高二下期末）展开式中各项的系数和为．12．（2024北京第二中学高二下期末）在二项式的展开式中，含的项的系数是．13．（2024北京丰台高二下期末）的展开式中的常数项为．14．（2024北京第十二中学高二下期末）若的展开式中的系数为15，则实数．15．（2024北京朝阳高二下期末）在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则；常数项为.（用数字作答）16．（2024北京怀柔高二下期末）若，则=.17．（2024北京房山高二下期末）若，则；.18．（2024北京海淀高二下期末）的展开式中含项的系数为．19．（2024北京东城高二下期末）已知二项式的所有项的系数和为，则；.三、解答题20．（2024北京大兴高二下期末）已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：(1)求的值；(2)设，求展开式中所有奇数项的系数和．条件①：只有第项的二项式系数最大；条件②：第项与第项的二项式系数相等；条件③：所有二项式系数的和为．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2024北京顺义高二下期末）已知的展开式中，各项的系数之和为729.(1)求的值；(2)判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由.22．（2024北京丰台高二下期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？

参考答案1．D【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.【详解】因为的通项公式为，令得，所以的系数为.故选：D.2．B【分析】写出二项展开式的通项，利用赋值法可得特定项系数.【详解】由已知可得展开式的通项，令，解得，所以，系数为，故选：B.3．B【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得.【详解】的展开式中所有二项式的系数和为.故选：B.4．A【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.【详解】，令，得，所以常数项是.故选：A5．B【分析】先求出的展开式的通项，令，求出代入通项即可求出答案.【详解】的展开式的通项为：，令，解得：，所以常数项为：.故选：B.6．C【分析】根据“杨辉三角”的特征，直接求出结果.【详解】依题意，第8行的第7个数是.故选：C7．D【分析】利用二项式的通项解决问题.【详解】二项式的通项为，要使其为常数，则，即，故常数项为.故选：D8．C【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出.【详解】令，则可得，又，则，又为的系数，且，因此.故选：C.9．D【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得.【详解】则能被整除，故除以余数为，所以除以余数为，由，所以，，，，故选：D.10．-2【分析】利用二项式展开式的通项求出常数项为，即得解.【详解】由题得，令.所以常数项为.故答案为：【点睛】方法点睛：求二项式的展开式的某一项，一般利用展开式的通项研究求解.11．【分析】令计算可得.【详解】对于，令可得展开式中各项的系数和为.故答案为：12．【分析】求出通项，根据的指数为1求出，然后可得.【详解】展开式的通项，令得，所以含的项的系数为.故答案为：13．【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项.【详解】展开式通项为：；令，解得：，展开式中的常数项为.故答案为：.14．或1【分析】写出展开式的通项公式，根据展开式中的系数为15列出方程求解即可．【详解】根据题意，展开式的通项公式为，则展开式中的系数为，即，解得或．故答案为：或.15．6【分析】由题意可得，从而可求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，进而可求出常数项.【详解】因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以展开式的常数项为.故答案为：6，.16．32【分析】利用赋值法求解.【详解】根据题意，，令，得，令，得，两式相加得：，所以.故答案为：32.17．1-8【分析】利用赋值法，令可得，由通项分别求出可得结果.【详解】由题意知，令可得，即，由二项展开式的通项可得，，即，，即，即，故答案为：18．【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式展开式的通项为，，所以，所以展开式中含项的系数为.故答案为：19．【分析】首先利用系数和条件，再原式中取得到；再对展开式两边求导两次并取，得到.【详解】由已知有，且.再前一式中令得，所以，得.所以.由二项式定理可知，.故答案为：；.20．(1)(2)【分析】（1）根据所选条件及二项式系数的特征计算可得；（2）利用赋值法求得奇次项系数和.【详解】（1）若选①：只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，所以；若选②：第项与第项的二项式系数相等，即，所以；若选③：所有二项式系数的和为，则，所以；（2）因为，令得，令得，两式相减得，所以，即展开式中所有奇数项的系数和为．21．(1)6；(2)存在，.【分析】（1）令即可求解；（2）写出的展开式的通项，令的幂指数等于2即可求解.【详解】（1）的展开式中，各项的系数之和为729，令，得，解得.（2）的展开式的通项为，若存在含的项，则，解得.所以展开式中存在含的项，此项为.22．(1)24；(2)16；(3)144.【分析】（1）直接全排列