2024北京重点校高一（下）期末数学汇编：平面向量基本定理及坐标表示（非选择题）

第1页/共1页2024北京重点校高一（下）期末数学汇编平面向量基本定理及坐标表示（非选择题）一、填空题1．（2024北京北师大附中高一下期末）已知点是半径为3的圆上三点，，点是的垂直平分线上任意一点，则的最小值为.2．（2024北京石景山高一下期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则．3．（2024北京顺义高一下期末）在长方形中，，，点满足，则，．4．（2024北京通州高一下期末）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为．5．（2024北京东城高一下期末）赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”．下图是某同学绘制的赵爽弦图，其中，点分别是正方形和正方形上的动点，给出下列四个结论：①；②；③设与的夹角为，则的值为3；④的最大值为12．其中所有正确结论的序号是．6．（2024北京东城高一下期末）已知向量，，若与垂直，则实数x的值为．7．（2024北京房山高一下期末）已知向量，，且，则向量的坐标为．8．（2024北京朝阳高一下期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则，．

9．（2024北京朝阳高一下期末）在中，点D，E满足，．若，则．10．（2024北京第八中学高一下期末）已知向量，若向量与垂直，则.二、解答题11．（2024北京丰台高一下期末）设平面向量，，且.(1)求的值；(2)判断与是否平行，并说明理由；(3)若，求实数的值.12．（2024北京通州高一下期末）已知向量，．(1)求；(2)若，，，求证：，，三点共线．13．（2024北京怀柔高一下期末）已知向量(1)若，求及的值；(2)若与平行，求实数的值；(3)若与的夹角为，求实数的值.14．（2024北京海淀高一下期末）已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．(1)判断是否是2阶可等向量？说明理由；(2)若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；(3)若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．15．（2024北京昌平高一下期末）已知向量，.(1)若，求实数的值；(2)若，求与夹角的大小.16．（2024北京大兴高一下期末）已知，其中．(1)求，；(2)求与夹角的余弦值．17．（2024北京东城高一下期末）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，

(1)求的模长；(2)设，若，求实数的值；(3)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．18．（2024北京顺义高一下期末）对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？(2)若，且具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，求证：，且当时，．

参考答案1．【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】

以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线作为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，根据题意得，，，所以，因为，所以当时，取得最小值为，故答案为：.2．【分析】建立如图所示坐标系，由图可得及的坐标表示，后由数量积的坐标形式下的计算公式可得答案.【详解】由图及网格纸上小正方形的边长为1，可得.则.则.故答案为：.3．2【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系，然后结合已知条件可求出点的坐标，进而可求得答案.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系，则，所以，因为，所以，所以，，所以，所以.故答案为：2，4．（答案不唯一）【分析】根据向量的线性运算表示出，再结合向量的共线即可求得答案.【详解】由题意知，而，故,则，又点为的延长线上一点，故,可取，则，故使得成立的的一组数据为，故答案为：.5．②③【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标运算判断①，利用向量模的坐标运算结合不等式的性质判断②，利用向量夹角的坐标求法结合同角三角函数的基本关系判断③，举反例判断④即可.【详解】因为，正方形和正方形，所以，由勾股定理得，故，，，故得是的中点，且作，由等面积公式得，解得，由勾股定理得，如图，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，所以，，，，对于①，故，，故，故①错误，对于②，设，因为是正方形上的动点，故，而，故，，由题意得，故，故成立，可得②正确，对于③，作，由等面积公式得，解得，由勾股定理得，故，故，而，故是的中点，而，故，所以，，而与的夹角为，故，而，故，可得，解得(负根舍去)，得到，故③正确，对于④，假设运动到，运动到，此时，，故，，故，故的最大值不为12，则④错误.故答案为：②③【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，结合等面积法求出各个点的坐标，然后把动点视作特殊定点，利用向量积的坐标运算求值，否定给定的命题即可．6．【分析】根据与垂直，数量积求解参数的值.【详解】由,若与垂直，则，解得x=2.故答案为：.7．或【分析】设向量的坐标为，由向量数量积的坐标公式、模的计算公式列式即可求解.【详解】设向量的坐标为，由题意，解得或者，所以向量的坐标为或者.故答案为：或.8．0，或【分析】建立平面直角坐标系得到、的坐标可得；设，根据，且．建立关于的方程组求出可得的坐标，再由的坐标运算可得答案.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以；设，则，且，所以且，由，解得，或，所以，或，所以，或.

故答案为：①0；②，或.9．【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.【详解】在中，向量不共线，由，，得，而，因此，所以.故答案为：10．【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量，可得因为与垂直，可得，解得.故答案为：.11．(1)(2)平行，理由见解析(3)2【分析】（1）由已知，得，即，代入，，即可得到的值；（2）法1，设与的夹角为，由，可得，则与平行；法2，由，当且仅当与共线时等号成立，又，，所以与平行；（3）法1，由（2）及已知条件得：，由，可得，即可求得的值；法2，由，得，则，即可求得的值.【详解】（1）因为，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，所以.（2）平行，理由如下：解法1：设与的夹角为，，因为，所以，则与平行.解法2：因为，当且仅当与共线时等号成立，又因为，，所以与共线，即与平行.（3）解法1：由（2）及已知条件得：，因为，，所以，所以.解法2：因为，所以，因为，，，所以，所以.12．(1)(2)证明见解析【分析】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；（2）结合向量共线的性质，即可求解．【详解】（1）解：，，则，故；（2）证明：，，则；，所以，所以，，三点共线．13．(1)，(2)(3)【分析】（1）直接利用数量积的坐标运算求解，先求出的坐标，再求其模；（2）先求出的坐标，再由两向量平行列方程求解；（3）利用向量的夹角公式直接列方程求解即可.【详解】（1）当时，，所以，所以；（2）因为，所以，因为与平行，所以，解得；（3）因为与的夹角为，，所以，所以，解得.14．(1)是2阶可等向量，理由见解析；(2)5；(3)证明见解析.【分析】（1）根据的定义即可求解，（2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解，（3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证.【详解】（1）是2阶可等向量．例如经过两次变换可得：（2）设进行一次变换后得，当时，当时，当时，当时，综上，我们得到．因为是2阶可等向量，即所以．所以（3）任取的一个排序，记为．注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量．变换即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上，相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上．对依次加上，相当于对单独加上；对依次加上，相当于对单独加上；……基于上述分析，相当于可以对分别单独加上．所以为5阶可等向量，为5阶强可等向量．【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.15．(1)(2)【分析】（1）根据坐标运算得到，然后根据垂直列方程，解方程即可；（2）利用数量积的公式求夹角即可.【详解】（1），因为，所以，解得.（2）若，则，因为，，，所以，因为，所以.16．(1)，(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，即可由数量积的坐标运算以及模长根式求解，（2）根据夹角根式即可求解.【详解】（1）由，可得，所以，（2），，故17．(1)(2)(3)充要条件为【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求；（2）设，可得，可求实数的值；（3）由，可得，运算可知不正确.【详解】（1）因为，所以两边平方得，故；（2）因，由共线定理，存在唯一的实数，有则，故，所以；（3）不正确

证明：因为，所以，即，则有，所以“”的充要条件是“”,所以“”的充要条件是“”是不正确的.18．(1)，具有性质(2)4(3)证明见解析【分析】（1）根据向量集的定义，即可写出.在中，检验任意，存在，使得，即可得出答案；（2）在中取，可得或，根据数量积的坐标公式结合条件即得；（3）取，设，根据条件可得中一个必为，另一个数是1，从而，然后利用反证法，即得.【详解】（1）由已知可得，.因为，，，，，，即对任意，存在，使得，所以，具有性质.