圆周角定理综合题典型题型 归纳练-2025年中考数学二轮复习

圆周角定理综合题典型题型归纳练

2025年中考数学二轮复习备考

一、解答题

1.如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延长至点E,延长54至点八

连结EF,使ZAFE=NADC.

⑴若NAEE=60。，CD为直径，求NABD的度数.

⑵求证：EF//BC；

2.如图，。是VABC内一点，O经过点8、C交AB、AC于点。、E,DE//BC,且NE3C=/A.

(2)若4E=血，ZA=45°,求。的半径.

(2)如图2,点P在，。上，连接AE、EF,延长AG、CE交于点8,作，EC延长线于点H,若

ZAEF=90°,NC4G=45°,求证：BE=CH；

⑶在(2)的条件下，若EC=4,NCEF=15。。，求的长.

4.如图1,CD为。的直径，弦46,8于点6,且8为弧CF的中点，CF交AB于点、H,若

CG=2,CF=8.

图1图2

(1)求半径的长；

(2)如图2,连接。求证：OH1BC.

5.如图，在，。中半径。4,03,连接AB,C为平面内一点，连接AC、BC,/Q4c=30。，ZOC4=30°,

连接C。并延长交A3于点D.

⑵若。8=1+白，CD=3+6求。B的长度.

6.如图，一内接于。，A3是。的直径，C为优弧A击)的中点，连接AC,CD,OC,延

长AC,DB交于点、E.

(1)求证：ZACO=ZDCO.

⑵求证：BA=BE.

7.如图1,CO是半圆ACS上的两点，点尸是直径AB上一点，且满足/4PC=N3PD,则称NCPD

是弧CO的“幸运角”，如图，

⑴如图2,若我CE,AB,。是弧8C上的一点，连接DE交AB于点P,连接CP.求证：NCPD是

弧CD的“幸运角”；

⑵如图3,若直径筋=2,弦CELAB,弧CD的“幸运角”为90。，求C。的长.

8.如图，VABC为等腰直角三角形，NAC3为直角，AC=30，。在A3的延长线上，且

Z)E工A£＞于点。，过8,C,D三点的。交。E于点尸，连结C尸.

(1)求，。的半径.

⑵探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G,使AG=3G,求AG的长度.

9.如图，在(。中，点C是直径A3上方半圆上的一个点，直径A3平分非直径弦CD于点G,点E

是AC上一点(不与4C重合)，过点E作防，AB,E”，OC,垂足分别为尸、H,连接切.

⑴求证：ZOCD+ZFEH=90°；

⑵若CD=3,求产”的长.

10.如图，O中，直径CD_LAB于E,AMIBC^-M,交CD于N,连接AD.

A

⑴求证：AD=AN；

⑵若AB=4直，ON=l,求(。的半径；

11.问题提出

(1)如图①，在四边形ABCQ中，AB=AC=AD,若4340=70。，则NC3。的度数为

问题探究

(2)如图②，在半径为2的扇形A08中，ZAOB=90°,P是矗上的一点，过点P作尸QSAB于点

Q，求线段PQ长的最大值;

问题解决

(3)某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形他CQ是该市绿化工程要打造的一片绿化

区域，其中A5=50m,AD=100m,NA=60。，ZC=150°,并计划在这片区域内种植绿植和花卉,

要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域A3CD面积的最大值.

12.如图，己知Rt^ABC,ABAC^90°,点。是BC中点，AD=AC,BC=4/，过4。两点作O,

交A3于点E.

图2

(1)求证：BC±OD；

⑵如图1,当圆心。在AB上且点M是。上一动点，连接。欣交A3于点N,求当QV等于多少时,

三点。、E、M组成的三角形是等腰三角形？

(3)如图2,当圆心。不在A3上且动圆。与D8相交于点。时，过。作(垂足为H)并交

。于点P,问：当。。变动时，m一。。的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

参考答案

1.(1)30°

(2)见详解

(1)根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到〃4C=90。，故ZACD=30。，由=AD,得

到NAB。=NA8=30。；

(2)①由四点共圆得NADC+NABC=180°,而ZAFE=ZADC,等量代换得到ZAFE+ZABC=180°,

椒EF〃BC,即可作答.

本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加

辅助线是解题的关键.

(1)解：VZAFE=ZADC,ZAFE60°,

ZADC=60。，

：CD为直径，

AZZMC=90°,

ZACD=90°-60°=30°,

,AD=AD，

JZABD=ZACD=3Q0；

(2)证明：•.,四边形ABCD是圆内接四边形，

，ZADC+ZABC=180°,

ZAFE二ZADC,

：.ZAFE+ZABC=180°,

：.EF//BC.

2.(1)证明见详解

⑵0

本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的判定定理，

圆周角和圆心角的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，并灵活

应用解决问题.

(1)利用圆内接四边形的性质得出4=/C,利用平行线的性质和三角形内角和得出NBEC=NC,

进而利用等角对等边得出BE=3C；

(2)利用线段垂直平分线的判定定理得出所垂直平分EC,假设EF=x,表示出相关的边长，列方

程求解，再利用圆周角和圆心角的关系得出等腰直角三角形，进而可以求解.

(1)证明：

A

・・•四边形DBCE是圆的内接四边形，

・•・ZC+Z£»B=180°,

V?1?EDB180?,

・•・Z1=ZC,

又丁ABI/CD,

・•・Z1=ZABC,

・•・ZABC=ZC.

VZC=180°-ZA-ZABC,?BEC180?1EBC?C,

又♦：ZA=NEBC

：.ZBEC=ZC

：.BE=BC,

(2)解：连接30并延长交EC于点尸，

VOE=OC,BE=BC,

即垂直平分eC,

":BE=BC,BF±EC,

；・/EFB=90。,ZEBF=-ZEBC,EF=FC.

2

设EF=x，贝1)4尸=应+》，AB=AC=y[2+2x，

在用AB歹中，NEFB=90。,NA=45°,

:-AB=&AF，即应+2x=0(0+x).

：.x=l,BPEF=1.

•：?EBF-?EOF,

2

?EOF1EBC?A45?.

在加△EOF中，NEFO=90°,ZEOF=45°,

EO=y/2EF=y[2.

。的半径为垃.

3.(1)见解析

(2)见解析

(3)FH=2^-2

(1)根据弧、弦、圆周角的关系证明即可；

(2)根据圆周角定理证明ABE—EHF(AAS),即可得证；

(3)连接OE、OC,AF,证明△OCE是等边三角形，则OE=OC=CE=4,根据圆周角定理可得AF

是(。的直径，则AF=2OE=8,根据勾股定理求出AE=EF=4&，设C"=E?/=x,根据勾股定

理列方程求出无即可.

(1)证明：AE=CG，

AG=CE，

:.AG=CE-

(2)证明：AE=CG，

:.ZCAG=ZACE=45°,

ZABC=90°,AB=BC,

:.ZAEB+ZBAE=90°,

ZAEF^9Q0,

:.ZAEB+ZFEH=90°,

:.ZBAE=ZCEF,

GE=CF，

AG=CE，

/.AE=EF，

:.AE=EF,

FH±EC,

:.ZB=ZH=90°,

,ABE乌EHF(AAS),

:.AB=EH,

AB=BC,

:.BC=EH,

:.BE=CH；

(3)解：连接。石、OC、AF,

ZCAG=45°,ZBAE=ZCEF=15°,

.•.NC4E=30。，

/.ZCOE=2ZCAE=60°,

OE=OC,

「•ZkOCE是等边三角形，

.\OE=OC=CE=4,

ZAEF=90。,

」.AF是：。的直径，

.\AF=2OE=8f

在RtAEb中，AF2=AE2+EF2^

AE=EF,

2AE2=64,

:.AE=EF=4日

ABE^EHF(AAS),

:.BE=FH,

BE=CH,

:.CH=FH,

^CH=FH=x,

在RtAEFH中，EF2=FH2+EH2，

/.^4A/2j=x2+(x+4)2,

x—±2A/^*-2,

.x>0,

x-2\/3-2,

:.FH=2y/3-2.

本题考查了圆的综合，涉及弧、弦、圆周角的关系，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等边三

角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定.

4.(1)5

(2)见解析

本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

(1)连接02,根据垂径定理得AG=8G=；A3=4,再根据勾股定理建立方程求解即可得出答案;

(2)连接8C,08,根据圆周角定理及等边对等角得出=再利用SSS证明,OS咨

然后根据全等三角形的性质得出ZCOH=ZBOH,最后根据三角形的三线合一即可得证.

(1)如图1,连接08,

8为＜。的直径，弦于点G,

图1

AC=BC,AG=BG=-AB,

2

B为弧C尸的中点,

.•.BC=BF,OB上CF,

...AC+BC=BC+BF，

即AB=CF

..AB=CF=S,

AG=BG=-AB=4,

2

设半径O3=OC=r,贝|03=0。一。3=厂一2,

BG1+OG1=OB2,

■,42+(r-2)2=r2,

r=5,

故半径的长为5.

(2)如图2,连接2C,OB,

图2

:.ZBCH=ZCBH,

:.HB=HC,

在△OCH和△(?即中，

OC=OB

<HC=HB,

OH=OH

:..OCH^OBH(SSS),

.-.ZCOH=ZBOH,

QOC=OB,

OHA.BC.

5.(1)见解析

⑵0

(1)根据等角对等边即可证明结论；

(2)过点。作DELOB于点、E,则/OED=NBED=90。证明ZBOD=30。,求出OD=CD-OC=2,

则。“二3。。：：!，得到OE=VL求出鹿=。8-OE=1,勾股定理即可求出。B即可.

(1)证明：VZOAC=30°,NOG4=30。,

，ZOAC=ZOCA,

：.AO^CO,

是，。的半径，

为。的半径；

(2)解：过点。作。E_LQB于点E,则NO£D=/BED=90。,

:在。中半径OA_LQB,OA=OB,

：.ZBOA=9Q°,

：.ZACB=-ZAOB=45。,NOAB=AOBA=45°

2

ZOCB=ZACB-ZACO=15°

•/OC=OB=AO,

：.NOCB=NOBC=15°,

：.ZBOD=ZOCB+ZOBC=30°,

VCO=OB=l+43,CD=3+6,

：.OD=CD—OC=2,

：.DE=-OD=1,

2

OE=y/OD2-DE2=百，

BE=OB-OE=\,

DB=\lDE2+BE2=Vl2+12=后

此题考查了圆周角定理、勾股定理、含30。角直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌

握圆周角定理、勾股定理是解题的关键.

6.⑴见解析；

⑵见解析.

本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质、等腰三角形的性质，解决本题的关系是根据同圆或等圆

中同弧或等弧所对的圆周角相等，找到角之间的关系.

(1)连接OD,则NACO=g(18()o-ZAOC),ZDOC=1(180°-Z£>OC),由公=庆，可得：

ZAOC=NDOC,所以)(180。-NAOC)=)(180。一NOOC),可证结论成立；

(2)由AB是C。的直径，可得NAD3=90。，所以NCDE+NCDA=90。，ZE+ZC4D=90°,又因为

ZCDE=ZEAB,所以NE=N£AB,根据等角对等边可证结论成立.

(1)证明：如下图所示，连接O。，则OD=OC=OA,

ZACO=NOAC=g(180。-ZAOC),ZDOC=ZODC=1(180°-ZDOC),

C为优弧A]D的中点，

:.AC=DC9

:.ZAOC=ZDOC,

1(180°-ZAOC)=1(180°-ZDOC),

,\ZACO=ZDCO；

(2)证明：AB是Q的直径，

ZADB=90°f

:.ZCDE^-ZCDA=90°,NE+NC4Z)=90。，

AC=DC

ZCDA=ZCAD,

/.ZCDE=ZE,

NCDE=NEAB,

:.ZE=ZEAB,

BA=BE.

7.(1)见解析

(2)CD的长为我

(1)根据垂径定理得到△CEP是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得到NCPA=N£PA,由对顶

角相等N£R4=NBPD,则NCR4=NBPD,结合“幸运角”的定义即可求解；

(2)如图，连接。COD,由弧CO的“幸运角”为90。得到NAPC=ZBPO=gx(18()o-90o)=45。，由

圆周角定理，垂径定理得至U/CED=90°-45°=45°,ZCOD=2ZCED=90°,由此得到

CO=DO=-AB=1,在RtCOD中根据勾股定理即可求解.

2

(1)证明：：是直径，CE±AB,

/.A3垂直平分CE,

PC=PE,

.♦.△CEP是等腰三角形，

CE1AB,

：./CPA=NEPA,

•/ZEPAFZBPD,

ZCPA=ZBPD,

NCPD是弧CO的“幸运角”；

(2)解：如图，连接OCOD,

:弧CO的“幸运角”为90。，

NCPD=90°,

：.ZAPC=ZBPD=|x(180°-90°)=45°,

CE1AB,

：.ZCED=90°-45°=45°,

ZCOD=2NCED=90°,

•/AB=2,

CO=DO=—AB=1,

2

CD=yj0C2+0D2=72>即C。的长为也.

本题主要新定义，垂径定理，直线平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识的综合运用，理解新

定义的含义，掌握垂径定理，圆周角定理，勾股定理是解题的关键.

8.(1)375

(2)3710

(1)连接BP,由直角三角形的性质及勾股定理得AC=3C=3A/I，==6

/ABC=/C4S=45o/ACB=90。,进而证明点A、C、尸三点共线，利用勾股定理求得3尸=

JBD2+DP=+12?=66，即可求得：。的半径;

(2)如图，连接G尸，先证明GNLAB,AM=BM,再利用圆内接四边形的性质得

/GFB=NBCM=45°,从而利用勾股定理即可得解.

(1)解：连接即,

为等腰直角三角形，NACB为直角，AC=30，AB=BD,

/.AC=BC=3亚,BD=AB=J(3何+(3厨=6，^ABC=^CAB=45°,^ACB=90。

•/DELAD,

：.BF(。的直径,

：.^BCF=90°,

：.NACB+NBCF=180°,

，点A、C、尸三点共线，

NCAB=45°,DE±AD,

A△AD9是以ZBDF为直角的等腰直角三角形,

DF=AD=6+6=12,

BF=^BE^+DF2=762+122=66'

；•。的半径为竽=35

(2)解：如图，连接G尸，连接GC并延长交A3于M,

VAG=BG,AC^BC,

点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB的垂直平分线上，

AGM1AB,AM=BM,

:ZACB=90°,

/.CM=BM,ZBCM=45°,

；BF是。的直径，

ZBGF=90°,

:四边形CB。尸是。的内接四边形，

NGFB=NBCM=45°,

....3G尸是等腰直角三角形，

/.AG=BG=GF=^BF=3710.

2

本题主要考查了圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，圆周

角定理等，熟练掌握圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键.

9.(1)见解析

⑵；

本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，利用圆的有关性质解决问题.

(1)由垂径定理可得CDJ_AB,即NCGO=90。，可得NOCD+NCOG=90。，再证明

ZEFO=ZEHO=90°,可得NAOC+NFEH=180。，再证明NCOG=NFEH,可证得

NOCD+NFEH=90°；

(2)连接OE,先证得。、F、E、”四点是在以OE为直径的圆上，再由NCG(9=90。，可得O、C、G

三点是在以OC为直径的圆上，再由OE=OC,可得以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，

再得的=*G，可得结论.

(1)解：.•直径A3平分非直径弦CD,

:.CDLAB,即/CGO=90°.

:.ZOCD+ZCOG=90°

EFLAB,EHLOC,

即ZEFO=ZEHO=90°,

:.ZAOC+ZFEH=1SO°,

ZAOC+ZCOG=180°,

:.Z.COG=ZFEH,

.-.ZOCD+ZFEH=90°；

(2)解：如图，连接OE,

即Z.EFO+Z.EHO=180°,

：.O,F、E、H四点是在以OE为直径的圆上，

QZCGO=90°,

:.O,C、G三点是在以OC为直径的圆上，

OE=OC,

・••以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，

4coG=NFEH,即加=0G，

13

,-.FH=CG=-CD=-.

22

10.(1)证明见详解

⑵3

(1)先根据圆周角定理得出NB4D=/BCD,再由直角三角形的性质得出=故可得

出=由全等三角形的判定定理得出.㈤VE丝aADE,故可得出结论.

(2)先根据AE的长，设NE=x,则OE=;r—1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x-l,连接AO,

则AO=OD=2x-1,在Rt^AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论.

(1)证明：与/BCD是同弧所对的圆周角，

/BAD=/BCD,

VAEVCD,AMVBC,

，ZAMC=ZAEN=9Q°,

,：ZANE=NCNM,

：.NBCD=NBAM,

：.ZBAM=ZBAD,

在一4VE与VADE中,

ZBAM=ABAD

<AE=AE,

NAEN=ZAED

：..ANE^.ADE(ASA),

：.AD=AN.

(2)解：VAB=4V2，AE1CD,

AE=2A/2，

又；ON=\,

:.设NE=x,则OE=x—l,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x-l

连接AO,则AO=OD=2尤—1,

是直角三角形，AE=26,OE=X-\,AO=2X-1,

A(2A/2)2+(X-1)2=(2X-1)2,

解得：尤=2,

r=2x—1=3.

本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助线，

构造出直角三角形是解答此题的关键.

11.(1)35°；(2)2-72;(3)(3750-625右)n?

(1)WAB=AC=AD,得点3、C、D在以点A为圆心，以A3长为半径的圆上，得

ZCBD=-ZC4£>=35°；

2

(2)当点尸位于A8的中点时，根据尸。工.，得尸。过点O,证明NQ4B=NOZM=45。，可得AQ=OQ,

根据OA=2,得OQ=0,PQ=2-近,为最大值；

(3)连接8D,过点C作CELBD于点E,可知点C是在以NC=150。为圆周角的。的一段弧上，

在3。另一侧圆上取点G,连接08OD,BG,DG,得NG=30。，/BOD=60。，，03。是等边三角

形，得OB=BD,当点C在BO中点时，CE最大,/XBCD面积最大，此时直线CE过点。，取AD中

点凡连接,，可得=由NA=60。，得44所是等边三角形，可得/BD尸==30。，

1ABD90?,OB=BD=50y/3,BE=25A/3,得OE=75,CE=50A/3-75,得绿化区域ABC。面积

的最大值，S=5AAs»+S&BCD-3750—625A/3.

解：(1):在四边形ABCD中，AB=AC=AD,

；.点B、C、。在以点A为圆心，以A3长为半径的圆上，

NC4D=70。,

JZCBD=-ACAD=35°•

2

故答案为：35°；

(2)当点p位于A5的中点时，PQ最大,

・.・PQJ.AB,

・・・直线尸。过点。，

VZAOB=90°fOA=OB,

：.ZOAB=/OBA=)(180。-ZAOB)=45°,

・.,ZOQA=90°9

：.ZAOQ=90°-ZOAB=45°,

AQ=OQ,

VAQ2+OQ2=0^,OA=OP=2,

OQ=y/2,

/.PQ=OP-OQ=2-42;

（3）解：连接30,过点C作CELBD于点E,

ZBCD=150°,

，点C是在以/BCD为圆周角的圆弧上，

设圆心为O,在3。另一侧圆上取点G,连接OBOD,BG,DG,

则NG=180°一ZBCD=30°,

：./3。。=2"=60。，

:OB=OD,

...一03。是等边三角形，

，OB=BD,

由（2）知，当点C在BO中点时，CE最大,△BCD面积最大，此时直线CE过点。,

取4。中点凡连接防，

A£)=100,

AF=DF=-AD=50,

2

;AB=50

,・•・AB=AF,

VZA=60°,

△AB尸是等边三角形，

:.BF=AF,ZAFB=6Q°,

：.ZBDF+ZDBF=ZAFB=60°,BF=DF,

：・ZBDF=/DBF=30。,

・•・ZABD=ZABF+ZDBF=90°,

BD=4AD1-AB1=5073，

：.OB=BD=5Q®BE=-BD=25y/3,

2

OE=dOB。-BE?=75,

，C£=OC-OE=50A/3-75,

♦•S=5AABD+S&BCD

=-ABBD+-BDCE

22

=1X50X50^+1X50A/3X(5073-75)

=1250^+3750-1875^

=3750-625』.

故绿化区域ABCD面积的最大值为(3750-6256)m2.

本题考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形

判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键.

12.⑴见解析

(2)1或6一1

(3)不变，DP-DQ=2s/3

(1)由直角三角形的性质可得AE>=CD=BD,可证△ACO四△DCO,可得NCDO=NC4O=90。，

可得结论；

(2)连接。£、ME,易得当即和㈤以为等腰三角形即M的两腰，根据垂径定理得推论得OE，DM,

易得到△ADC为等边三角形，得NC4D=60。，则ND4O=30。，ZDON=60°,然后根据含30。的直

角三角形三边的关系得DN=-AD=邪!,ON=^-DN=1,当MD=ME,DE为底边，作DH_LAE，

23

由于">=2代，ZZME=30°,得到ZZ)E4=60°,DE=2,于是OE=DE=2,OH=1,

又NM=ZDAE=30°,MD=MD,得到ZMDE=75°,贝UZADM=90°-75°=15°,可得到