浙江省嘉兴市2024-2025学年高二年级上册期末测试数学试卷（含解析）

2024-2025学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.兀

尸(1,2)2

1.经过点且倾斜角为的直线方程是()।,

x=lx=2.»'=1>'=-

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解.

2

【详解】根据鹦意，要求直线的倾斜角为，则该直线与X轴垂直，其斜率不存在，

又由直线过点,,

则其方程为

故选：-4=(-2,2,1)h=(2,0,-1)2a-i=

2.在空间其角坐标系中，已知、，.,，贝lj()(2,4,-l)

1Z4,I)|6,4,-3)1F4,3)

A.B.c.D.

【答案】c

【解析】

【分析】运用向量坐标冏计照1千.6=(20_1)

【详解1解：因为向量，，

2a-b=(-6,4,3j.

则C.

fl3

故选：⑷sni=%+%=12工=

3.已知等差数列的前〃项和为，，，贝I()

A.9B.15C.24D.35

【答案】D

【解析】„

【分析】设等差数列的公差为d,根据等差的数列的通项公式及前项和公式即可求解.

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【详解】设等差数列：q；的公差为d，。=3,%+%=12,

所以3+d+3+2d=12,解得d=2，

5x45x4

所以S<=5%+:----d=5x3+------x2=35.

22

故选：D.

4.抛物线/=4.1•的准线方程为（）

A.V=-2B.X=-2C.y=-•D.x=-1

【答案】C

【解析】

【分析】求出焦参数P，根据焦点的位置确定准线方程.

【详解】由题意焦点在『轴正半轴，2P=4,p=2,所以准线方程为=-I.

故选：C.

■»

5,已知椭圆C:工+V1的左、右焦点分别为［，£，P为c上一点，满足年_LFE，则

4

NMK（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】设|尸6|=加，根据椭圆定义得到m+〃=2a=4,再由题中条件，结合勾股定理，即

可得出结果.

【详解】解：设|/>第=川，|?国=〃，

2

因为椭圆C：'1」=1,

4

所以由椭圆的定义可知加+n=2（z=4,二・6：二3，

所以!!！：・〃：♦?4。：，即Iff：­〃：=，

由勾股定理可知：二4c：，

求得mn=2.

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故选：B.

6.已知二面角u大小为60，棱/上有A,8两点，线段AC与分别在这个二面角的两个半平

面内，并且线段AC与8。都垂直于若=5,IC=3,8。=6,则CD的长为（）

A.2713B.2V17c.2x/27D.2V2T

【答案】A

【解析】

【分析】画出草图，根据向量垂直的结论得到[7:3D:"=0-再根据二面角大小，借助向量法，

结合数量积公式计算即可.

【详解】解：：一，8,BD1AB，（''J=BD',IB=U-

又♦.•直线.“'.80分别在这个二面角的两个半平面内，二面角口-7-口的大小为60。，

•.衣、丽=60°，CA.BD=120）

,/CD=Cl•1月•S~D，

CD^=CA2+AB2+BD2+2CAAB+2CABD+2ABBD>

=3:+5:♦6:-0•2xJx6xcos120：♦0=52，

.'.CD=752=2713.

故选：A.

7.已知A,8为圆C:（K-，4+./=4上的两个动点，且=若直线一?…上存在点P,且

尸为线段AB的中点，则实数根的取值范围是（）

A.|-2,2]B,[-行，指]C,[-262万]D,[-275.2^]

【答案】B

【解析】

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【分析】取A8的中点为P,连接CP,由题意可得（尸尸,即点P在以。加，0）为圆心,

IZHI

1为半径的圆上，由题意可得<1,解不等式即可求解.

Vr5

【详解】圆C的方程为（x-nt）2+F2=4,所以圆心为,半径1=2,

取AB的中点为P,连接CP,

由于|48|=2。，则|CP|=

因此点「在以为圆心，1为半径的圆上,

又点尸在直线r=2v-w上,

所以直线「二？「朋与圆（K一⑼二十丁=4,有公共点,

则3

S1,解得一百SmS书，

故实数机的取值范围是[-V5.V5],

8.定义max|a,4=<：'"之若数列｛q；的前几项和S.=Zn2+(10+Z)w(At0,/t€N*l,数列｛“满

b.a<b.

足"=l,2"("+「")=她+『令c"=max；%.〃，且，。恒成立，则实数;.的取值范围是（）

3_1

A.-3,--B.

22,-3

2-3,[

3,-2D.

【答案】B

【解析】

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【分析】根据题意求得4=2痴+10(〃eN*),d=2"T.结合c'=max|%也；，且c,2cj恒成立，得

至以<0,444或者叫<h<»,列出不等式，即可求得取值范围.

【详解】解：因为S,=/〃：+(10+/)”,

当"=1时，i-S二？i-ID,

当“22时，a„=Sn-S„_!=2An+10,%满足上式，

故。“=22〃+10(/jGN*|.

因为2"(%-4)=她T，

所以；=击，即〃=2"工

因为c“=max；叫，〃,；，且、2c；恒成立，

所以).<0，/),<«,<A或者«,<h;<u,,

即4<6A+1048或者6入+10<4<4x+10,

解得—1W大4—或者—~W24—1,

32

所以人€---,---.

L23\

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.圆『+4x+4.r=0的半径为2c

B.椭圆'+''=1的离心率为！

432

22

C.双曲线'一,=|的实轴长为2

43

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D,抛物线i=r的焦点坐标为H,（）'；

14J

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据圆的方程求得半径，结合椭圆离心率公式，双曲线的实轴概念，抛物线焦点概念，逐项判定

即可.

【详解】解：对于A,圆Y+J；+4X+4J，=0的标准方程为：（.r+2「+|j+2『=8,半径为「二28，

故A正确；

对于B,a=2，b=^3，c=・3二I,得e二5，故B正确；

72

对于C,双曲线厂-二I的实轴长为4,故C错误；

43

对于D,由方程的2P=1,p=；,焦点坐标为：（；，°），故D正确.

故选：ABD.

10.等比数列｛%｝的公比为夕,且满足记方=绅%/…4,

则下列结论正确的是（）

A.0<^<1B.%Mg7>。

C.Tn>TWyD.使4<1成立的最小自然数”等于201

【答案】AD

【解析】

【分析】利用等比数列的通项及其性质逐一求解即可.

【详解】对于A选项，因为：为；为等比数列，且q>1,awaw,>1,

若g<Q,则=a^q<0,不合乎题意，

若夕=1,则""。>I,这与111a1（II1）<0矛盾，

若g>I,贝h…>a0>』>I,这与（。河111a|011）<0矛盾，

若。<g<I,由（/<“>1）1>1（111）<0,所以a1ao>1,al01<1,故A正确；

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对于B选项，由等比中项知q00am=q：i<1,所以《⑻勾心一1<0,故B错误;

对于C选项，因为:<L，故C错误；

对于D选项，由等比中项知：

^.）0:%%…°20（1=Ifllfl200）,（町％99）-1°IM%。J=II>1，

^201=…0200,。刈=（。10201）"fl2fl2OO）*"（^100^101）,^101

=43“…4吗网=|a“J<।，故D正确;

故选：AD.

11.四棱锥P-/8CD的底面为正方形，底面48C0,PD=I，JD=JF，PM=ACi>

¥\=<'.IB,其中1工0,下列说法正确的是（）

A.存在实数;.，使得异面直线8P与M.V的所成角为三

B.三棱锥8A/CD的体积为1

3

C.直线尸8与平面1/C。所成角的正弦值的最大值为生

5

D.二面角8MA。的最大值为三

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和线的方向向量，以及面的法向量，结合向量夹角公式,

基本不等式和棱锥体积公式计算，逐个验证判断即可.

【详解】解:

如图，将四棱锥PABCD补形成正四棱柱-4,83,P，建立空间直角坐标系,

则4（60,0）,5172.72,0）,C（0,V2,0）,p（0,0,1），

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由工/=).。2="",o,o),得同理N(O,5，D，

对于A选项：而=(-JL-JLi),“#=(-6>,g.0),所以万屋加开=0,

即8P1MS',故A错误;

对于B选项：「,­I=।./-玳o=；SdcuXPD=jX1x1=J,故B正确;

对于C选项：DC=|O.V2.O|,D\f

_,、m-DC=0y/ly-0

设〃?=1二i=)为平面DC.I/的一个法向量，贝心____即

m-DM=0五入x+z=0

取而=（l,O,-。），JP=（-42,-S/2A],

设直线尸8与平面”CD所成角a,

2

mi,.I-律|I加而I>/2|l+A|42/A+2A+1叩22c,2A+1

1I|用8PlTsJiTiF42Q+1>-=2Z：+1=2+2^\

要求Sina的最大值，只需考虑2/+l>0,令f=2A+1,

22

,1/12/12/23、

则”故-21,1、2122929,-23-12，当且仅当，='

?-（/一）*+1r-t+-t+—12

2244/

即;1=1时取等号，

2

所以(sina),故C正确;

对于D选项：DA/=(V2Z,0,l),府=卜"人,瓜,。)，瓦/=(6).

一n.•DM=0V2Ax+z=0

设吗=(x,y,z)为面。MN的一个法向量，则{______

〃「MN=0-x+y=0

取7=(11-向卜同理可求得面8A/\的一个法向量为石=(1,1,2"-卜

所以1£=1+1-VD.|2>/F-内)=2(入-1)20,

所以当2=1时，二面角8M\。的最大值为“，故D正确.

2

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在空间直角坐标系中，已知平面a的法向量为d=(4,2.2k},平面P的法向量为E=|A3.IJi,

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若a//F，则实数上的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.

【详解】解：,•1aP,i6,

二.存在实数，使得i=lb.

4=大（〃-3）

2=—A,解得

-2Jl=A

故答案：1.

13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算,

经过有限次步骤后，必进入循环圈IT4->2->I,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如

取正整数加=X,根据上述运算法则得出8->4->2->],共需经过3个步骤变成1（简称为3步“雹程”）.现

,与，当明为偶数时

给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：a=为正整数），a』（工

3a,+1.当%为奇数时

，当m=2。时，使得a”=1需要步雹程.

【答案】7

【解析】

%,当勺为偶数时

【分析】由%.1=12"求解.

3a,+1.当巴为奇数时

【详解】解：当时二20时，20t10->5t16T8T4T2t1,共7步,

故答案为：7

14.已知抛物线C：「二?”|『>,点/11,2）在C上，上为常数，K>0.按照如下方式依次构造点

Q,T和/：,（〃=23…）：过点P,作斜率为左的直线与C的另一交点为Qz，过点Qi作斜率为A的直线

与c的另一交点为p,,记p,的坐标为（工,工），a的坐标为（氏A,）,直线PR-的斜率为儿，则

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【答案】-2

【解析】

【分析】由6(L-2)在C上，求得抛物线方程，故2/，=J,再结合抛物线方程得到A=7丁和

,4

-*=;一+厂，从而得到y„+y„+i=-2bn求解.

【详解】因为点4(L-2)在c上，故2P=4,抛物线C：./=4x，

因为/Q,g也)，直线P。的斜率为匕

瓦4

所以21一父①

44

同理=------1②,

.%+4

两式相加化简得y+%.]=-2A,,

,44

所以项

因此A■也=-2,即L-J」.=-L

故答案为：-2

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在平面直角坐标系中，圆「经过点时(31|,且与圆口：/+_1，2-2*-8)，+12=()相切于点"(3,3).

(1)求直线GN的方程；

(2)求圆。的标准方程.

【答案】(Di+2y-9=0.

(2)(v-5)2+(r-2)2=5.

【解析】

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【分析】(1)根据直线斜率公式所求切线的斜率&,、=-、，再运用点斜式直线方程求解.

(2)方法一：用待定系数法即可求解；

方法二：根据圆上的弦的垂直平分线经过圆心即可求解.

【小问1详解】

把圆Q:V+.F-2x-8.r+l2=0化为标准方程r।|-4」=29,得圆心g(l,4),

'^2

则直线GN:y-3=-,即t+U-9=0.

【小问2详解】

方法一：设圆3的方程为(x-a)，+(y—b)2=r2(r>0)，

=r',

则

(3-a)2+(3-b)2=r2,

两式相减得84/>=I),则A=2，又因为u+2h9=0，

所以a=5,故所求圆C1的方程为(X—5)2+(J,-2日=5.

方法二：圆心。线段MN的中垂线方程为।:2,

则圆心G在直线「=2上，

也在直线GN：X+2.I，-9=0上，

解得圆心。15,2),

圆C,的半径r=|C：M|=6，

圆C的标准方程(X-5『+G，-2)2=5.

16.如图，在直三棱柱/8。一44G中，ZBAC=^,AC=1,88="E为.48的中点，点尸

满足在;:入西，其中

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（1）若“平面，BC,求;.的值；

（2）当入=：时，求平面小8。与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）为=1

2

⑵逅

65

【解析】

【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，先根据已知点坐标求出相关向量，再依据线面平行时向量与平面

法向量的关系求出参数值，从而得解；

（2）利用（1）中结论，结合两个平面法向量的夹角来计算面面角的余弦值.

【小问1详解】

因为1.4C,由已知得皿，平面ABC,如图

建立空间直角坐标系,所以4(0,0,3)，5(2,0,0),C|0,2,0),0,2,3),£(1,0,0),

所以布=(2,0,-3),福=(0,2,0),

设平面小8C.的法向量为而=（超，11.二11,

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而48=0[2x.-3z.=0

则,即2；=0，取向加0,2),

in-4cl0

因CF=ACC,=(0,0,3A),

所以广(0,2,3兀|,乔=(-1,2,3芍，

因为£/：平面d18c,

所以fF，=-3+6z=0-则

【小问2详解】

因为/.=；,所以尸(0,2川，=11,0,0),"=(0,2,1),

设平面AEF的法向量为n=(三二」,

n-AE=O,fx,=0_.八

则<_即z取向量”=(01-2),

n-AF=012y2+z2=O

设平面「BC.与平面AE尸所成角为H,

4_4而

则C。,。帝卜x/i3x>/5-65

所以平面；5y与平面DBE所成角的余弦值为士叵

65

17.己知双曲线C:=-1=1仅>0/>0)的渐近线方程为1，=±%、，点?(2,11在双曲线C上.

o*b12

(1)求C的方程;

(2)过点时(1,0|的直线/交双曲线C的左支于A,B两点，记直线PA,PB的斜率分别为大，匕，是

否存在常数;.，使得t+；.恒成立?若存在，求;.的值;若不存在，请说明理由.

【答案】(1)----v^=l.

2.

(2)存在，Z=4

【解析】

【分析】(1)首先根据双曲线渐近线方程和已知点在双曲线上，求出双曲线方程.

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（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到交点坐标的关系，再根据直线斜率公式表示出k

、k.,通过计算判断是否存在满足条件的常数晨

【小问1详解】

[b72

­=--,

由已知得"2解得』=6，6=1,

4I,

a'b-

2

所以双曲线C的方程为工-/=1.

2r

【小问2详解】

设出飞Ml，川工，.匕），由题意知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为I-,

2m2-2#0＞

匚w—2_|

联立,2，，消x得（"/-2）v2-2wr-1=O，«A=4nr+4伍/-2）＞0,

解得1＜小＜2,假设存实数人使得L+卜二f12恒成立，

当&=01=1,2）,有一个交点为（_2,1），此时刑=1不满足，故"弃0,

2m

k+h

因此入=--m-2

片肉-1

，〃一2

则

义工=xr2*2=卜2加讯,2）（八-1）=（明或吟小吟31y㈤=2»1八以—3）（匕+.丫＞6=悬-坐外6=山比&鹏

E石一不如一（/必Z4）—yy"+y＞i—?以■g+y＞】一志悬+1—"2nh'

故存在实数1=4满足条件.

18.已知：《二为等差数列，「二h,=15,记”二%（〃£N）

（1）求数列,；"：的通项公式；

（2）在乩与“讨之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为小的等差数列，

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（i）求数列；TI的前“项和不

（1

<ii）在数列中是否存在3项（，44,（其中机，比0成等差数列）成等比数列?若存在，求出这

样的3项;若不存在，请说明理由.

【答案】（1）4,=攵，。=3""；

（2）6）Gi）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出数列；耳：的公差，进而求出通项公式.

（2）G）利用等差数列通项求出（，再利用错位相减法求和得。；Gi）假定存在，列式推理判断即可得解.

【小问1详解】

依题意，等差数列｛/：的公差"=?二?=与也=3,

5—23

1

an=a2+（n-2）d=3〃，bn=ar=3x3"=3"',

所以数列|qj,；包：的通项公式分别为a,=3n,"=3"”.

【小问2详解】

,,〜,2・3""11"+1

⑴依题意’2-2-M，则人^,不相产

设c"=；」，记、前n项和a，

八234〃+11八234/J+1

£=F+丁F+…+广，严守+三+»+…+产，

皿—3、〜口2八21111〃+1

两式相减侍：f。“=丞•+至+3+不+…+前・*7

JJJJJ。J

_1针”一(？I〃+1_111+1_52/1+5

-rn产_g+1-2・3”「产—『2・3"2

-F*1——

3

_，“八52/1+5丁52〃+5

因r此。,.-—r，所以［=.

124-3",1"2424-3"

（ii）假设数列乙中存在3项力"，（其中丁，「成等差数列）成等比数列，则=dm-ilr,

于是2,3告'")',=„7.-1.V-1，即i.V冷'1、=22.3……

(m+l)(p+1)

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由*iP成等差数列，得“二加+P，则（A+=（"7+1）（〃+1），

化简得K+2A=nip4-m+p,因此卜二阴「，又U=阴+?,则k二用二p与已知矛盾，

所以数列141中不存在三项（，44,成等比数列.

19.造型Q可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点0,且C上的点满足横坐标大于一I,到点

厂（■））的距离与到定直线X=fl（u<01的距离之积为1.

（1）求a的值；

-1

（2）当点（小，耳|在C上时，求证：K27―7:

X。+1

（3）如图，过点尸作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于,4（心），8（三,以），41rl，卜），

8（仆，以|,其中X,20|i=12341,求四边形”83面积的最小值.

【答案】（l）a=-l.

（2）证明见解析（3）2.VT.

【解析】

【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，结合|。户|=1可求a的值；

（2）当点（/，Kl在C上时，方法一：利用寸=（「，-解不等式求解；方法二：

利用,\=>/（品-1『+I'；2&求解；方法三：设点尸在无轴与直线x=-1上的射影分别为。，R，利

,L+I

用|P0|4|PF|=前求解即可.

\rK\

（3）讨论直线AB的斜率，当斜率存在时，设直线A2的方程为y=k（X-l），其中K=tan8,利用弦

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长公式，三角形面积公式可得相"8=/△,再结合换元法以及三角函有界性可

'Vl+sin9+cos0+sm0cos0

求四边形"B8面积的最小值.

【小问1详解】

因为。在曲线上，所以。到x=。的距离为f,而|。歹=1,

所以有ax1=1,即0=1.

【小问2详解】

方法一：因为a=-i，所以曲线C的方程为k+l|J(x-+./=1，

可化为(."I):+炉=(」『，即=(—!_)2-(X-1)2,

X4-1X+1

2,1,八2,1C-11

因此,Vo=(——7)--(Xo-1)4(——-)*=>——-«.Vo4——T，

%+1x0+lx0+1x0+1

所以二)，当且仅当即=1且汽=-1时取等号.

.%+12

方法二：同上曲线C的方程为卜.!)