浙教版 七年级数学 第3章 整式的乘除 综合测试卷

第3章整式的乘除压轴题综合测试卷

【浙教版2024】

考试时间：120分钟；满分：120分

考卷信息：

本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（24-25七年级下•浙江宁波•期末）

1.如图，有三张正方形纸片①、②、③，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方

形/BCD中，已知中间重叠部分四边形EFG8恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的

阴影部分面积分别为H和S?,已知/。=3,/8=4,若要知道H和S2的面积差，只需要知

道（）

A.正方形①的边长B.正方形②的边长

C.正方形③的边长D.正方形EFG”的边长

（24-25七年级•福建厦门•阶段练习）

2.已知a=2255,6=3343c=55”，d=6622,贝Ia、b、c、d的大小关系是（）

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c

（24-25七年级上•湖南长沙•阶段练习）

3.已知<7-6=5,且c-6=10,贝！］/+/+,2等于（）

A.105B.100C.75D.50

（2020•甘肃天水•中考真题）

试卷第1页，共8页

4.观察等式：2+2?=23-2;2+22+23=24-2;2+2z+23+24=25-2;…已知按一定规

律排列的一组数：2吗2叱2叱…,2叱2?。。，若严。=5,用含S的式子表示这组数据的和是

()

A.2S2-SB.2s2+sC.IS2-ISD.2S2-2S-2

(24-25七年级•四川眉山•期中)

5.观察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-l；

(x-l)(x2+x+l)=x3-l；

(X-1)(无3+尤2+X+1)=无4-1；

根据规律计算:22022-22021+2202°-22019+……+2,-23+22-2的值是（）

22023_）

A.-~—B.22023-1C.-22023

3

（24-25七年级•重庆沙坪坝•开学考试）

6.在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的.例如对单

项式工进行如下操作：规定q=。=工，且满足以下规律:

a?~2%,=2a2，。4=2a3,•••，c1n—2a〃_],...

仇=4+L63=b?+1,64=4+1,...,bn=bn+1,...

其中〃为正整数，以此类推：

①。8=1281；②&+打+&+“+...+>=15x+105：③当x=l时，!---；④当x=l

nn+2

QQ79

时，Cj+c+c+c+...+c=——+—x411.以上说法正确的有（）

23420639

A.1个B.2个C.3个D.4个

（24-25七年级•广西南宁•期末）

7.《庄子》中“一尺之梗，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的

一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不

完.如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，

试卷第2页，共8页

即：被取走木棒长度的总和=一剩余木棒的长度，例如：取第一次得六十取第二次

取第三次得。+&：+[）

J+[[+[]+'"+[^]用含加的式子表示为（）

A.2m+1B.m-m2C.1—w2D.nr--m+\

（24-25七年级•重庆•期中）

8.已知多项式P=x?+/,Q=2x-2y+a,T=xy+b（a,6为常数），下列说法：

其中正确的个数是（）

①当时，无论x,y取何值，都有尸-。20；

②若。+26=2,且2P+Q+2T=0,则x+y=O；

③若a=26,则存在整数x,丹使得尸+0-27=1；

A.0B.1C.2D.3

（24-25七年级下•浙江金华・期末）

9.现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图1.将三张纸片按图2,图3两种不同

方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为£,面积为W；图3中阴影部分周长为

）

D.6b=1c

（2022•重庆•二模）

10.对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：—2x；D：y1；E：2x-y有以下几个结论:

①若》为正整数，则多项式小。+/+。+£的值一定是正数;

②存在有理数x,了，使得/+O+2E的值为-2；

③若关于x的多项式"=3（/-2）+”小。（%为常数）不含x的一次项，则该多项式M

的值一定大于-3.上述结论中，正确的个数是（）

试卷第3页，共8页

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（24-25七年级下•河北保定•期中）

11.观察下列等式，解答后面的问题：

第1个等式：2?-0x4=4；

第2个等式：32-1x5=4；

第3个等式：42-2x6=4；

第4个等式：52-3x7=4；

（1）第5个等式是；

（2）根据上述规律猜想第〃个等式是（用含〃的等式表示）.

（24-25七年级下•四川巴中•期中）

12.已知2,+2.3工+2=36、T,则》=.

（24-25七年级下•安徽滁州•期中）

13.已知X=28+2”.

（1）若》=苏，则自然数《7=；

（2）若x+2"是一个完全平方数，则自然数"=.

（24-25七年级下•浙江金华•阶段练习）

14.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字1〜9填入如图所示的

“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21,若每个圆圈上的四个数字的平方和

分别记A、B、C,且/+3+C=411.如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、

八x+y,贝！］x+v=____；肛=_____.

（24-25七年级下•浙江金华•期末）

15.将多项式◎2+加+跳。70）变形为。@+加）2+〃的形式，这样的方法叫做配方法.利用

试卷第4页，共8页

配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大(小)值.例如：

22222

X-4X-5=X-4X+2-2-5=(X-2)-9,

•.•(尤-2)220,(x-2『-92-9,.•.当x=2时，多项式一一4关一5有最小值一9.

已知。，6为实数，多项式(x+3)(3x+a)展开后x的一次项系数为加，多项式(3x+2)(x+6)

展开后x的一次项系数为“，且机，”均为正整数，则当%+〃=17时，的最大值为.

(24-25七年级下•浙江温州•期中)

16.己知整数。、b、c、d满足且2"3〃4。5d=10000,则4a+36+2c+d的值为___.

第H卷

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(1)己知"tn=2,求/■("")"的值：

(2)若”=2,求(-3婢＞_4(*)2"的值.

(24-25七年级•广西南宁•期中)

18.阅读：在计算(xf(x"+x"—+...+X+1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的

情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方

法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般.如下所示：

⑴【观察】①(x-l)(x+l)=;

②@_0卜2+x+l)=；

(3)(X-1)(X，+x~+x+l)=；....

(2)【猜想】由此可得：(x-l)(x'+xL-..+x+i)=；

(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题:计算：52°24+523+52022+52必+…+5+1的

值.

19.阅读下面的文字，回答后面的问题：

求5+52+5、…+5刈的值.

解:令5=5+52+53+...+5期①,

将等式两边同时乘以5得到:5S=52+53+54+...+5HM②,

②-①得：45=5助-5

试卷第5页，共8页

<101S101-s

...5=^2gp5+52+53+...+5ioo=^2-

44

问题:⑴求2+2?+23+...+*的值；

(2)求4+12+36+…+4x3"的值.

(24-25七年级•河南许昌•期末)

20.如图，有三张边长分别为。，b,c的正方形纸片A,B,C(4>8>C)将三张纸片按

图1,图2两种不同方式放置于同一长方形中.记图1中阴影部分周长为4,面积为W；图

2中阴影部分周长为3面积为$2.

(1)若。=5,6=3,c=2图I中阴影部分周长4=,图2中阴影部分周长4=:

(2)求图2中阴影部分面积S?与图1中阴影部分面积H的差(用含。，b,c的代数式表示).

=3(邑-岳)，那么6与c满足下列关系.

A.3b=5cB.b=2cC.3b=7cD.6b=7c

(24-25七年级•北京•期中)

21.小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当加c+〃=0或px+q=0时，多项式

/=(加工+〃)3：+4)=加?：2+(加4+"0)》+"4的值为0,把此时x的值称为多项式/的零点.

⑴己知多项式(3X+2)(X-3),则此多项式的零点为.

(2)已知多项式8=(x-2)(x+m)=x2+(a-l)x-3a有一个零点为2,求多项式2的另一个零

点；

(3)订正：小聪继续研究。-4)口-2),x(x-6)及卜-£|卜-£|等，发现在x轴上表示这些

多项式零点的两个点关于直线x=3对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”.若多项式

M=(2x-6)(cx-7c)=ax?—(8.-4C)%+56-4是“3-系多项式”,贝!]a=,b=

(24-25七年级•湖北荆州・期末)

试卷第6页，共8页

22.如果x"=y,那么我们规定=例如：因为4?=16,所以(4,16]=2.

(1)(-2,16]=；若(2/]=6,贝lj>=；

(2)己知(4,12]=。，(4,5]=6,(4,y]=c,若a+b=c,求了的值;

⑶若(5,10]=a,(2,10]=b,令/=¥.

a+b

①求念的值；

②求/的值.

(24-25七年级•河南安阳•期末)

23.拓广探索：

若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9一62+卜一4)2的值.

解：设9一x=x-A=b,

则(9—x)(x_4)="6=4,«+/)=(9-x)+(x-4)=5,

.•.(9-x)2+(x-4)2=tz2+62=(tz+6)2-2^=52-2x4=17.

请仿照上面的方法求解问题：

⑴若无满足(5-x)(x-2)=2,求(5一xy+(x-2)2的直

(2)已知正方形43C。的边长为x,E、尸分别是月。、OC上的点，且4E=1,CF=3,长方

形EMFD的面积是48,分别以板、。尸为边作正方形，求阴影部分的面积.

(24-25七年级•福建福州•期中)

24.我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合

百般好，隔离分家万事休.”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重

要的作用.在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘.

情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a,b

的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；

试卷第7页，共8页

ba

/.\b/

/弋/bCb

ab

图1图2

情境一图情境二图

情境二：乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形,请直接写出

所拼正方形的边长（用含6的式子表示），并求所用C木片的数量;

情境三：丙同学声称自己用以上的4B,C三种木片拼出了一个面积为2/+6仍+3/的长

方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形.

你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求:

所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）.

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长万川交2c于点N,则右上角未被覆

盖部分阴影部分的面积S=S④+S⑤，分别设正方形①、②、③的边长分别为。、氏c,正

方形E/G〃的边长为d,表示出耳，S。,再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关

键.

【详解】解：如图，延长五以交3C于点N,则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积

S]=+s⑤,

设正方形①、②、③的边长分别为。、b、C,正方形砂G"的边长为d,

贝!Ja+6-d=3,OF=PH=a—d,OB=4—a,PD=3—a,MN=4—(a-d+b),

N。=3-(a—d+c),

S]=OFxOB+MNxNQ=(a—d)(4—a)+[4—(a—d+b)][3—(a—d+c)]=(a—d)(4—a)+3—(a—d+c)

,S2=PDxPH=(3-a)(a-d),

S1—5*2=(q-d)(4-q)+3—(q-1+c)_(3_a)(q_d)=(a_d)+3_(a—47+c)=3—c

故要知道H和s2的面积差，只需要知道。的值即可，即要知道正方形③的边长，

故选：c.

2.A

33311

【分析】先变形化简“=2255=(225)”,b=3344=(33W,c=55=(55),

4=6622=(66?尸,比较I1次幕的底数大小即可.

333n22211

【详解】因为a=2255=(22，],6=33例=(334)1】,c=55=(55),=66=(66),

553552525

因为J=55*J=55X(2>=55x，>i,

662662636

所以553>662,

答案第1页，共19页

所以(553厂〉(662尸,

故5533>6622即c〉d；

同理可证b>c

所以。>6>c>d,

故选A.

【点睛】本题考查了幕的乘方的逆运算，熟练掌握塞的乘方及其逆运算是解题的关键.

3.C

【分析】由已知。-6=5,c-b=10,两等式左右两边分别相减，可得到4-。=-5,将

a2+b2+c2-ab-be-ac利用完全平方公式，变为;[(。一6)?+(q-c)2],再将上

面的式子的值代入，问题得解.

【详解】解：•・・。一6=5,c-b=10,

••・Q—。=一5,

即：a2+b2+c2-ab-be-ac

=g[("6)2+3一c)2+("C)2]

=1X[52+(-10)2+(-5)2]

=75,

故答案为：C.

【点睛】本题主要考查完全平方公式，将一成一立-的变为

^[(。―b)2+(6-c)2+(a-c)2]是难点.

4.A

［分析】由题意得出2100+2101+2102+---+2199+2200=2100+2+--+299+2100）,再利用整体代

入思想即可得出答案.

【详解】解：由题意得：这组数据的和为:

2100+2101+2102+...+2199+2200

=21001+2+---+2"+2100

=2100（2101-1）

答案第2页，共19页

=2100(2100x2-l)

••-2100=5,,

原式=5(5><2-1)=2晓-5,

故选：A.

【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幕的乘法的逆

用，解题的关键是正确找到本题的规律：2+2?+23+…+2"一+2"=2向-2,学会探究规律,

利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.A

【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一

项大1,减数都为1,即可得到规律为(x-l)(x"+x"T+x"-2+…+/+/+》+1)=/+|-1,禾(|

用规律，当尤=-2,"=2022时，代入其中即可求解.

本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规

律解决问题.

【详解】解：由(x-l)(x+l)=x2-l；

(x-l)(x2+x+1)=x3-1;

(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1;

12

观察发现：(X—l)(x"+x〃+XnH-----F+x+])=x"+l_],

当x=-2,〃=2022时，得

20222021202020194322023

(-2-l)(2-2+2-2...+2-2+2-2+1)=(-2)-1,

zo\20231^2023I

432

...22。22_22021+22020_22019...+2-2+2-2+1=—―=~~~—

-3-33

Q2023i020230

432

...22022_22021+2202。_...+2-2+2-2=~~~—-1=-~~—.

33

故选：A.

6.C

【分析】由题意知，将〃=8代入可判断①的正误；由

+1=x+〃—1,4+a+&+&+…+=x+x+1+x+2+…+x+14,算求解，判

答案第3页，共19页

断②的正误；由当X=1时，=%〃=2*2=4,与%=；一占=；*4矛盾，可判断③的

正误；由

G+C2+C3+C4+…+4。—-—+22+24X2+26X3...+218X9+220X10,t己

12342013351921,一

5=22+24X2+26X3...+218X9+220X10,贝1122s=24xl+2,x2…+2?°X9+2?2xlO,

3S=2^x10-2?-24-26...-218-220,记7=2?+24+2,…+*+2?。,则

22T=24+26...+218+220+222,3T=2?2—22,即7=^!1_221,

3

222X10-22-24-26...-218-220222X10222-22心.”笆+的划好小Vp

SC=---------------------------=--------------,代入计算求解，进而可判断④的1l正

误.

【详解】解：.•吗=%,

a2=2〃]—2xf。3=2a2=4x=2x,ci^—2。3—8x=2x,...

nx

•••%=2an_x=2~x,

7

：.as=2X=128X,①正确,故符合要求；

vb]=x,

.•也=4+1=x+1,b3=b2+l=x+2,b4=b3-\-l=x+3,…

•M=b〃_]+l=x+n-l,

by+b2+b3+b4+...+九=x+x+l+x+2+...+x+14=15x+1+2+3+...+14=15x+105,（2）

正确，故符合要求;

当％=1时，c2=a2b2=2x2=4,

・•.③错误，故不符合要求;

当x=1时，an=2'T,bn=n,

2_11211、

=2x2=22,c=---=----,c=23x4=24x2

1^3-1-333x5354

211

C=220X10,

19x21-19-2120

答案第4页，共19页

c,+c,+c：++...+=-------1---------F...H------------F2-+24x2+2，x3...+2'*x9+210x10,

1234*2013351921

24618205

iH1S'=2+2x2+2x3...+2x9+2xl0,贝1122s=24xl+2(x2…+2?°x9+2?2xlO,

•••225-S=24xl+26x2...+220x9+222xl0-22-24x2-26x3...-218x9-220xl0,

••-35'=222X10-22-24-26...-218-220,

£7,=22+24+26...+218+2M,则2?7=24+2‘…+2—22°+222,

••.227,-T=24+26...+218+220+222-22-24-26...-218-220,

022,2

•••37=222-22,即7=—=—,

3

。222X10-22-24-26...-218-220222X10222-22

339

I1c

Cj+J+。3+。4+.••+。20=1一-^2A.+3

22222

=-20-1-2---X-10---2----2-

2139

14

2010X4+

=--1--x411-9-9-

213

・•.④正确，故符合要求；

故选：C.

【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，事的乘方的逆运算.解题的关键在于根据

题意推导规律.

7.B

50100rQ-12

【分析】本题考查数字类规律探究，根据=m,得到[g]=J]=m,利用

进行求解即可.

答案第5页，共19页

=m-m2;

故选B.

8.B

【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已

知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握

配方法的步骤是解决此题的关键.

【详解】■.-P-Q=(x2+y2)-(2x-2y+a),

•1•=-^2_2x+l+y2+2y+l-a-2=+(y+l)"-(a+2)

v(x-l)2>0,(y+1)2>0

,•,当。<-1时，2+QW1,

-(2+a)2-1,

22

.,(x_l)+(J；+l),(tz+2)>-l,即P—QN-l,故①错误；

•・•2P+0+2T=O,

2(/+j/)+(2x-2y+。)+2(个+b)=0,

・•.(X+>)2+(%+1)2+(>一])2+Q+26-2=0,

Q+2b=2,

・•・(X++(x+1)2+(y_])2=0,

...x+y=0,x+l=0,歹-1=0,故②正确；

尸+Q-2T—+2%-2〉+u-2(^xy+b)=(x-y)+2(x->)+Q-2b,

设％_片加，

2

.,.P+Q-2T=m+2m+a-2bf

答案第6页，共19页

a=2b,

P+Q—2T=m2+2m=（m+1）2-1,

二要使尸+。-27=〃/+2%=（〃？+l）2-1=1,

m=—1±V2＞

••・尤，夕是整数，x-y=m,而加=一1土也不是整数，

・•.不存在整数X，N使得尸+。-27=1,故③错误，

综上所述，正确的有1个，

故选：B.

9.C

【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含。，6,c的式子表示出G，

G,岳，尾，进而求出G-。，52-5）,最后代入（鼻§]=3（邑-SJ计算即可求解,

正确识图是解题的关键

【详解】解：由图2可得，Cl=2（a+b-c）+2（a+c-b）=4a,

22222

Sx=（＜a+-a-b-c=ab+ac-b+be-cf

由图3得，。2=2〃+2。+26+2（。+。-6）=4（〃+。），

22

S2=b（＜a+c-b）+c[b-+c（＜a-c）=ab+ac-b+2bc-2c,

:.S?-S]=ub+etc-b2+2bc-2c2—（ab+uc-+be-c2）=be-,

C2-Cx=4（Q+C）-4Q=4C,

即7。2=36。，

•••cw0,

••・36=7c,

故选：C.

答案第7页，共19页

10.B

【分析】根据整式的乘法混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解.

【详解】解：(J)B-C+A+D+E=—2x(x+1)+2x-+y2,+2x~y=y~~y>

当了=1时，B-C+A+D+E^O.故①是错误的；

②当/+D+2E=-2,

即2尤？+y2+2(2x-y)=-2,

.•,2(x+l)2+(y-l)2=1,

当x=T时，尸0或者尸2.所以②是正确的.

③•••M=3(4-B)+机0C

=3(2x2-x-1)+m(x+1)-(-2x)

=(6-2m)x~+(-3-1m)x-3,

•••M不含x的一次项，

—3—2m=0,

m=-1.5,

M=9/_32-3,••.③是错误的；

综上，只有②是正确的.

故选：B.

【点睛】本题考查整式的乘法运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握整数的乘法运算

法则是解题的关键.

11.62-4x8=4(??+1)--(«-l)x(z/+3)=4

【分析】(1)结合题意，发现数字规律即可求解；

(2)由变化规律可知，第〃个等式左边的被减数为(〃+1『，减数为(〃-l)x(〃+3),右边均

为4,即可求解.

【详解】解：(1)依据规律可知，

第5个等式：62-4x8=4,

故答案为：62-4x8=4；

(2)由变化规律可知，第"个等式左边的被减数为(〃+1『，减数为(〃-l)x(〃+3),右边均

答案第8页，共19页

为4,

猜想第"个等式:(w+l)2-(n-l)x(«+3)=4,

(??+1)"-(«-l)x(«+3)

=(〃2+2〃+1)-(/+3〃-〃-3)

=4,

故猜想成立，

故答案为：(»+1)2-(«-1)X(M+3)=4.

【点睛】本题考查了数字规律的探索，完全平方公式和多项式的乘法；解题的关键是通过示

例归纳出数字变化规律.

12.8.

【分析】根据积的乘方和哥的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可.

【详解】解：2"+2.3*+2=36'—,

根据积的乘方和事的乘方，等式可变形为：(2x3广2=(62广3,

即6X+2=62f

x+2=2x-6,

解得，x=8

故答案为：8.

【点睛】本题考查了幕的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数

也相同列方程.

13.4812

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，塞的乘方的应用；

(1)根据题意得出28(1+2，)=加2,进而即可求解；

(2)根据完全平方公式得出X+2"=(24『+2-24.26+2",进而得出2'=(26/，即可求解.

【详解】(1)因为乂=机2,所以28+2"=加2,

所以28(1+2)=加2,所以16x32=小，

所以482=/,

所以自然数加=48；

答案第9页，共19页

故答案为：48.

(2)x+2"=(24)2+2-24-26+2",

・•・只有2"=Q6)2时，原式为完全平方数，即自然数力=12.

故答案为：12.

14.918

【分析】根据无、了、x+y的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和

是63,但是1〜9这9个数字之和是45,所以可得x+y+(x+.y)=18,从而求出x+y的值;

因为F+2?+3?+4?+5?++6?+7。+8?+。=285,A+B+C=4U,可以得到

x2+y2+(x+y)2=126,配方得(尤+>『一2砂+(工+>)2=126,把x+y=9代入即可求出初

的值.

【详解】解：.•.每个圆圈上的四个数字的和都等于21,

二三个圆上的数字之和应为3x21=63,

其中的X、了、x+y这三个数每个都加了两次，

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

二.45+x+了+(x+了)=63,

则有2(x+y)=63-45,

解得：x+y=9.

•••每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C,且/+B+C=411,

12+22+32+42+52+62+72+82+92+X2+J；2+(X+J；)2=411,

I2+22+32+42+52+62+72+82+92=285,

x2+y2+(x+y)2=411-285,

x2+y2+(x+y)~=126,

整理得：无2+y2+2中-2孙+(x+y)~=126,

(x+y)2-2中+(x+y)~=126,

■■-x+y=9.

92-2AJ+92=126,

答案第10页，共19页

/.81-2AY+81=126,

/.2xy=36,

解得：孙二18.

故答案为：9；18.

【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算.解决本题的关键是

理解X、歹、X+V这三个数每个都加了两次，并且能把/+/凑成完全平方式.

15.3

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题

意得出加=a+9,n=3b+2,进而根据加+〃=17,可得〃=6-36,然后得出，根据配方法，

即可求解.

【详解】解：...（、+3）（3%+。）=3]2+（。+9）、+3。

••・加=Q+9,

,.,（3x+2）（x+b）=3x2+（3b+2）x+26

••・〃=36+2

m+n=ll

•，.a+9+3b+2=17

a=6-3b

ab=[6-3b）b=-3b2+6b

=-3电-26+1）+3

=-3（Z?-l）2+3

•1--3（/,-1）2<0

••--3（Z>-l）2+3<3

.•.当6=1时，曲的最大值为3,

故答案为：3.

16.2

【分析】根据3不是10000的公约数，可得6=0,由

10000=24x54=42x54=2°x4?x54=2-2x43x54=24x4°*5“和a<b<c</即可得至I]a,b,c,

答案第11页，共19页

”的值，故可求解.

【详解】10000=24X54=42X54=2°X42X54=T1x43x54=24x4°x54,3不是10000的公

约数，

二3"=1

则b=0

.­■2ax4cx5d=10000

:整数。、从c、d满足a<b<c<"

••.10000=2一2X43X54符合题意

■'■a—2,6=0,c=3,d=4

Aa+3b+1c+d=-8+0+6+4=2

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查累的运算，解题的关键是熟知哥的运算法则及特点.

17.(1)二(2)56.

16

【分析】(1)根据哥的乘方、同底数累的运算法则计算，再代入计算；

(2)根据哥的乘方及逆运算，把原式化简为含X2n的形式，再代入计算.

【详解】(1)a2-Cam)n=a2,amn=a2,a2=a4,

当时，原式=(2)4=J.

2216

32226423

(2)(-3xn)-4(-x)n=9xn-4xn=9(xn)-4(Nn)2,

当N〃=2时，原式=9x23-4x22=72/6=56.

【点睛】此题主要考查塞的乘方、同底数塞的运算，要熟练且灵活掌握.

18.(l)x2-l；x3-l；x4-l

(2)xw+1-l

<20251

4

【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子

之间的变化规律是解题关键

(1)利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可；

(2)利用(1)中变化规律进而得出答案；

(3)设x=5,〃=2024,则(5-1)(52°24+5期3+52°22+…+5+1)=528一1,即可求解.

答案第12页，共19页

【详解】(1)解：(x-l)(x+l)=x2-l；

3223

+工+1)=+%+])_(%2_|_x_|_^-x+x+x_x_x_l_x-l.

+/+工+1)=%(J+%2+%+1)一(%3+%2+工+1)=J+%3+%2+%一%3一'2一%.I=-1

故答案为：X2-1；X3-1；X4-1;

(2)解：⑴总结得到，(x-l^xn+x"-1+xn-2+-+x+]]=xn+1-l,

故答案为：》用-1;

(3)解：设x=5,〃=2024,

I艮据(了_1乂％"+无"一+x"-2+…+龙+l)=x"M_]

则(5-1)(52024+52023+52022+…+5+1)=52025-1,

«2025_[

.­.52024+52023十^022+^02!+…+5+1=2一1.

4

19.(1)2101-2.(2)2X(341-1).

【分析】(1)根据已知材料的方法解答即可(2)先把式子化简成与题干中的式子一致的形

式再解答.

【详解】解：(1)令S=2+22+23+...+2必①，

将等式两边同时乘以2得到:2S=2?+2,+2,+…+2皿②，

②-①得:5=2血-2

.•.即2+2?+23+…+2100=2101-2.

(2)4+12+36+...+4X340=4(1+3+32+33+...+340)

令s=4(1+3+32+3,+...+34°)①，

将等式两边同时乘以3得到：35=4(3+32+33+...+3肛)②，

②一①得：25=4"-1)

S=2X(341-1).

【点睛】此题重点考查学生对同底数累的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题

关键.

答案第13页，共19页

20.(1)20；28

⑵S]—S]=be—c~

⑶C

【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用.正确用含“、6、。的代数式表示出4、

S、、h、邑是解题的关键.

(1)先分别用含。、b、c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将a=5,

b=3,c=2代入计算，即可求解；

(2)先分别用含。、6、c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴

影部分面积与图1中阴影部分面积5的差，即可；

(3)先分别用含“、6、。的代数式表示出4、H、Ls°,再代入(mJ=3(邑-SJ进

行运算，即可求解.

【详解】(1)解：根据图形可知，长方形的边长为。+6,宽为a+c,

贝心=(a+b-c)+(a-c)+b+c+(a-b)+(a+c-b)=4a,

l2=2〃+2c+2b+2(a+c-b)=4(〃+c),

将a=5,b=3,c=2代入，得出4=4x5=20,4=4x(5+2)=28,

故答案为：20；28.

(2)解：根据图形可知，长方形的边长为〃+6,宽为Q+。，

贝｛JS[=(Q+6)(Q+C)—a?_b?——ab+etc—/+he—,

S2=b(〃+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+QC-b?+2bc-2c2,

故S2-S]=bc—c2.

2

(3)解：由(1)和(2)得出4=4*Z2=4(6Z+C),S2-Sx=bc-c,

故U=4c,

将邑_耳=儿_/,4_4=4C代入[Tj=3(S2_Sj,得

整理得：4c2=36c-3c2,

答案第14页，共19页

BP3b-7c,

故答案为：C.

2

21.(1)一］或3

⑵-3

(3)2,-2,1

【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用；

(1)根据题意，令(3x+2)(x-3)=0,解方程得出x的值，即可得出答案；

(2)根据题意，把x=2代入多项式8,得8=4+2(。-1)-3a=0,然后解关于。的方程即可

得出。的值，再把。的值代入B,进而得出答案；

(3)根据题意，由“3-系多项式”定义，进而得出答案.

【详解】⑴解：根据题意，4(3X+2)(X-3)=0,

3x+2=0或x-3=0,

2

解得：、=一§或x=3,

故答案为：-三2或3；

(2)根据题意，把x=2代入8,得6=4+2(〃一1)—3。=0,

解得：〃=2,

把〃=2代入3,得5=、2+%—6=(x—2)(x+3),

令x+3=0,

解得：x=-3,

多项式§的另一个零点是-3；

(3)・：M=(2x-Z))(cr-7c),

的两个零点分别是g或7,

根据“3-系多项式”的定义，有2+7=6,

2

:.b=—2

把b=-2代入M,

得M=(2x-b)(cx-7c)

答案第15页，共19页

=（2x+2）（cx-7c）

=2cx2-12cx-14c

,/M-ax2一（8〃-4c）x+5b-4,

/.a—2c,5b—4——14c,

/.C=1,Q=2

故答案为：2,-2,1.

22.（1）4,64

⑵y=60

（3）©^=—；②"2

166100

【分析】（1）由（-2>=1,可直接得出（-2,16]=4；由26=64,可得出了=64；

(2)由题意可得出4"=12,4、=5,4c=y.根据a+b=c,得出4"匕=4，，即半.4“=4。，

进而即可求出9=12x5=60；

(3)①由题意可得出5"=10,2*=10,再根据25"=(52)"=(5"丫=100,

16A=(24)A=(2A)4=10000,即可求出篙=击；②根据(5")"=10',即得出5"“=10J结

合题意可得出(5,10"]=/.由①知5"=2"=10,即得出5"+〃=5"§=2隈5"=10",进而得

出(5,101=〃+6,即说明必=。+6,