中考热点新定义问题专项训练（解析版）

专题31中考热点新定义问题专项训练（解析版）

专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类

讨论思想，方程思想，函数思想于一体。常以压轴题身份出现。本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载

使用。

选择题

1.（2021•河北模拟）对于实数x,y,我们定义符号机y}的意义：当时，max{x,y}=x,当

y时，max{x,y}=y-例如-2}=-1,max{3,n}=n,则关于x的函数y=zn〃x{3x,x+2}的

图象为（）

思路引领：令3x=x+2,解得x=l,画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断.

解：令3x=x+2,解得x=l,

直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1,3）,由图象可知，xVl时，％+2>3x；

当他>1时，3x>x+2,

故关于x的函数x+2}的图象是选项C中的图象.

故选：c.

总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键.

二.填空题

2.(2021•深圳模拟)用“■”“口”定义新运算：对于数a,b,都有和°口6=6.例如3・2=3,

3口2=2,则(202002021)•(202102020)=.

思路引领：根据的运算法则进行计算即可得解.

解：a9b=a,aUb=b,

：.(2020□2021)•(2021□2020)

=2021•2020

=2021.

故答案为：2021.

总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键.

3.(2021•碑林区校级模拟)(正多边形的每个内角都相等)如图，在正八边形ABCDEFGX中，对角线8尸

的延长线与边。E的延长线交于点M,则NM的大小为.

思路引领：根据正求出多边形的内角和公式NOER根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出/

BFE,计算即可.

解：:八边形ABCDE砥汨是正八边形，

：./DEF=(8-2)X180°+8=135°,

:.NFEM=45°,

ZDEF=ZEFG,

,:BF平分/EFG,

1

/EFB=ZBFG=*/EFG=67.5。,

NBFE=ZFEM+ZM,

：.NM=ZBFE-NFEM,

：.ZM=22.5°.

故答案为：22.5°.

总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键.

4.(2019•福田区三模)对于祖，〃("Nwt)我们定义运算Anm—n(n-1)(n-2)(n-3)(n-(m-1)),

A73=7X6X5=210,请你计算42=.

思路引领：将w=4,优=2代入公式求解可得.

解：A?=4X(4-1)=12,

故答案为：12.

总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则.

5.(2022春•塔城地区期末)在实数范围内定义一种新运算“㊉”，其运算规则为：a㊉b=2a+3b.如：1㊉5

=2X1+3X5=17.则不等式x㊉4>0的解集为.

思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得.

解：不等式x㊉4>0化为：

2x+12>0,

2x>-12,

x>-6,

故答案为：尤〉-6.

总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式

的步骤.

11

6.(2022秋•魏县期中)若x是不等于1的实数，我们把——称为x的差倒数，如2的差倒数是——=-1,

1-x1-2

111

-1的差倒数为一---=现已知无1=*X2是XI的差倒数，X3是尤2的差倒数，X4是X3的差倒数，…，

1-(-1)23

依此类推，则X2022的值为一.

思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得X2022=X3=-2.

解：VX1=

._1_3_1_0_1_1

,,x2--2*X3-一守....，

・・・每3次运算结果循环出现一次，

720224-3=674,

•»X2022~X3=~2,

.'.X2022的值为-2,

故答案为：-2.

总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键.

三.解答题

7.(2021秋•汉阳区期中)对任意一个四位数小如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字

之和也为9,则称〃为“极数”.

(1)请任意写出两个“极数”,；

(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

(3)如果一个正整数a是另一个正整数6的平方，则称正整数a是完全平方数.若四位数机为“极数”，

记。(山)=装，则满足。(优)是完全平方数的所有机的值是.

思路引领：(1)根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；

(2)由“极数”的定义可得出”=99(10a+&+l),进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；

(3)由(2)可得出Z)(m)=3(10x+y+l),由。(m)为完全平方数，可得出10x+y+l=12,10x+v+l

=27,10x+y+l=48,10x+y+l=75,解之可得出x,y的值，进而可得出机的值，即可得出结论.

解:(1)由“极数”的定义得，1287,2376,

故答案为1287,2376；

(2)任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：

设任意一个“极数”为ab(9-a)(9-b)(lWaW9,0W6W9,且a、6为整数)，

则ab(9-a)(9-6)=1000"1006+10(9-a)+(9-b)=990a+99b+99=99(10a+b+l),

,.TWaW9,0W6W9,且a、b为整数，

/.lOa+b+1是整数，

.•.任意一个“极数”都是99的倍数.

(3)设四位数，W为孙(9—x)(9-y)(1WXW9,0WyW9,且x、y为整数),

•••四位数初为“极数”，D(m)=翁

.口(x99(10x+y+l),1八

..£>(m)=---=3(10x+y+l).

VZ)(m)是完全平方数，14W9,0WyW9,且x、y为整数,

・・・10x+y+l=3X4=12,10^+1=3X9=27,10x+j+l=3X16=48,10x+y+l=3X25=75,

.（x=1-（%=2-（%=4_pfx=7

,心=网y=6或1y=7叫y=4f

：.m可以为1188或2673或4752或7425.

总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个

“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出〃=99（10。+6+1）；（3）根据是完全平方数,找出10x+y+l

的值.

8.（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在

数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、

偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数”.

定义：对于自然数小在计算”+（n+D+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数〃为“纯

数”.

例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25

时，个位产生了进位.

（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；

（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；

（3）不大于100的“纯数”的个数为.

思路引领：（1）根据“纯数”的定义判断；

（2）根据“纯数”的定义求解；

（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数.

解：（1）•计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，

；.2022是“纯数”；

（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030,2031,2032,；

（3）不大于100的“纯数”有：0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,30,32,100共13个，

故答案为：13.

总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键.

9.（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半

高三角形”.这条高称为“半高”.如图1,对于△ABC,8C边上的高AO等于BC的一半，AABC就是

“半高三角形”.此时，称△ABC是“8C边半高三角形”，是“BC边半高”；如图2,对于△EBG,

跖边上的高GW等于跖的一半，△EPG就是半高三角形，此时，称△EFG是跖边半高三角形，GH

是“EF边半高”.

（1）在RtZkABC中，ZACB=90°,AB=lOcm,若ABC是“BC边半高三角形”，则AC=cm；

（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2c处则该等腰三角形底边长的所

有可能值为.

（3）如图3,平面直角坐标系内，直线y=x+2与抛物线＞=/交于R,S两点，点P是抛物线＞=/上

的一个动点，点。是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”.当点尸介于点R与点S之间，

且PQ取得最小值时，求点P的坐标.

思路引领：（1）设AC=〃，则BC=2AC=2〃，由勾股定理即可求解；

（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；

（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P时，PQ取得最小值，即

可求解.

解：（1）设AC=/z,则BC=2AC=2/z,

由勾股定理得：庐+（2力）2=IO?,解得：h=2小,

故答案为2V5；

（2）①当“半高”是底边上的高时,

如图1,4。是“半高”，AB.AC为等腰三角形的腰,

由题意得：AD=2,BC=4；

②当“半高”是腰上的高时,

如下图，底边为BC、“半高”C。为腰上的高,

如图2,当△48C为锐角三角形时，CD=2,AB=AC=4,

在RtZ^AOC中，AD=<AC2-CD2=2百，

在RtABCD中，BC=y/BD2+CD2=J(4-2>/3)2+22=2V6-2V2；

如图3,当△ABC为钝角三角形时，CD=2,AB=AC=4,

同理可得：BC=2y[6+2A/2；

故答案为：4或2&+2或或2遥-2&；

(3)将抛物线的表达式y=W与直线方程y=x+2联立并解得：尤=-1或2,

即：点R、S的坐标分别为(-1,1)、(2,4),则RS=3VL

则RS边上的高为：('3夜=竽，

则点。在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

设直线RS与y轴交于点N,故点N作NQLTQ于点°,

则可。=挈贝1J。?=您=3,

点7(0,5),则点M(0,5),点M于点T重合，

则点。的直线方程为：y=x+5,

当该直线在直线RS的下方时，y=x-l,

故点。所在的直线方程为：y=x+5或y=x-1；

如图4,当点尸介于点R与点S之间时，

设与RS平行且与抛物线只有一个交点P的直线方程为：y=x+d,

将该方程与抛物线方程联立并整理得：/-x-d=3

△=1+44=0,解得：d-—

此时，/-x+J=0,解得：x=

11

点尸'q,一),此时，p(P)。取得最小值.

24

总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、二角形有关计算等，

此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解.

10.(2022春•梁平区期末)在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(无，y)满

足了=竽，丫=竽那么称点T是点A,8的融合点.

例如：A=(-1,8),B=(4,-2),当点T(x,y)满足x==^=l,,=8+^-2)=?时,则点？(],

2)是点A,8的融合点.

(1)已知点A(-1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.

(2)如图，点D(3,0),点E(/,2什3)是直线/：y=2x+3上任意一点，点T(x,y)是点。，E的

融合点.

①试确定y与尤的关系式.

②若直线ET交x轴于点”，当N7DH为直角时，求直线ET的解析式.

思路引领：(1)根据点T是点A,8的融合点的定义判断即可；

(2)①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；

②图中，当N">8=90°时，点T、D横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标,

再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可.

解:(1)VA(-1,5),B(7,7),C(2,4),

11

.\x=3X(-1+7)=2,y=gX(5+7)=4,

.•.点C是点A、2的融合点；

(2)①：点T(x,y)是点。，E的融合点,

11

.*.x=2(3+力，/=W(0+2/+3),

•・y==2x-1；

②如图，当/TDH=90°时，

・,•点八。横坐标相同，XT=XD=3f

：.yr=2x-1=2X3-1=5,即T(3,5),

•1点EG,2什3),点T(3,5),点0(3,0),且点T(x,y)是点O,6的融合点.

A3=J(3+力,

・••点£1(6,15),

设直线ET的解析式为：y=kx+b,

把E(6,15),T(3,5),代入得：

(6k+b=15

(3k+b=5'

(j_10

解得：/=3，

lb=-5

直线ET的解析式为：尸学尤-5.

总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质

等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

11.(2019•浙江)如图，在平面直角坐标系中，正方形0A8C的边长为4,边OA,OC分别在x轴，y轴的

正半轴上，把正方形OA8C的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x

-m)的顶点.

(1)当机=0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.

(2)当机=3时，求该抛物线上的好点坐标.

(3)若点尸在正方形。ABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求机的取值范围.

思路引领：(1)如图1中，当机=0时，二次函数的表达式y=-x?+2,画出函数图象，利用图象法解决

问题即可.

(2)如图2中，当m=3时，二次函数解析式为y=-(x-3)2+5,如图2,结合图象即可解决问题.

(3)如图3中，：抛物线的顶点尸(相，〃计2),推出抛物线的顶点P在直线y=x+2上，由点尸在正方

形内部，则0＜机＜2,如图3中，E(2,1),F(2,2),观察图象可知，当点P在正方形O45C内部,

该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时，抛物线与线段所有交点(点尸除外)，求出抛物线经

过点E或点F时m的值，即可判断.

解：(1)如图1中，当m=0时，二次函数的表达式y=-f+2,函数图象如图1所示.

'因\...当天二。时，y=2,当x=l时，y=l,

.••抛物线经过点(0,2)和(1,1),

观察图象可知：好点有：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个.

（2）如图2中，当机=3时，二次函数解析式为y=-（尤-3）2+5.如图2.

,当x=l时，y=l,当x=2时，y=4,当x=4时，y=4,

二抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4),

根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1,1）,（2,4）,（4,4）.

（3）由于0<m<2,取〃z=l开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左

移动，可得如图3中,

•.•抛物线的顶点尸（m,m+2）,

抛物线的顶点尸在直线y=x+2上,

•..点尸在正方形内部，则0<m<2,

如图3中，E（2,1）,F（2,2）,观察图象可知，当点P在正方形。ABC内部，该抛物线下方（包括边

界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点/除外）,

当抛物线经过点E时，-（2-机）2+胆+2=1,

解得m=土烂或与詈（舍弃），

当抛物线经过点F时，-（2-优）2+m+2=2,

解得机=1或4（舍弃），

.•.当二^一W机＜1时，顶点P在正方形048c内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点.

总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解

题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考

压轴题.

12.（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为

邻余线.

（1）如图1,在△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分线，E,尸分别是BD,AD上的点.

求证：四边形A3EP是邻余四边形.

（2）如图2,在5X4的方格纸中，A,8在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形A8EF,使

是邻余线，E,尸在格点上.

（3）如图3,在（1）的条件下，取跖中点M,连接。M并延长交A3于点Q,延长所交AC于点N.若

N为AC的中点，DE=4BE,QB=6,求邻余线A8的长.

图1图2图3

思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一”性质可得AOLBC,则可得与/。8A互余，即/物8

与/E8A互余，从而可得答案；

（2）画出图形即可.

（3）先由等腰三角形的“三线合一”性质可得80=0、DM=ME,再判定△OBQS^ECN,从而列出

比例式，将已知线段的长代入即可得解.

解：（1）-：AB^AC,是△ABC的角平分线，

：.AD±BC,

：.ZADB^90°,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

・•・/必3与NEB4互余,

・・・四边形ABEF是邻余四边形;

（2）如图所示（答案不唯一）,

四边形AF四为所求；

(3)9：AB=AC,是△ABC的角平分线,

：.BD=CD,

9：DE=4BE,

：・BD=CD=5BE,

:・CE=CD+DE=9BE,

,：ZEDF=90°，点M是斯的中点，

:・DM=ME,

：.NMDE=/MED,

9：AB=AC,

：.NB=NC,

：.△DBQsgCN,

.QBBD5

NC~CE~9’

••@=6,

■:AN=CN,

总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一”性质、相似三角形的判

定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键.

13.（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个

是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称

为理想四边形.

（1）如图1,在中，ZACB=90°,ZB=30°,CD±AB,£为3c中点，连接DE.求证：

四边形ADEC为理想四边形；

（2）如图2,△42。是等边三角形，若8。为理想对角线，为使四边形ABC。为理想四边形，小明同学

给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角/8。。=120。；请你解释他这样设计的合理性.

（3）在（2）的条件下，

①若△BCD为直角三角形，BC=3,求AC的长度；

设计后的图

思路引领：（1）证明△ACBs/\AZ）C,推出/AOC=/AC8=90°,再证明△CDE是等边三角形即可.

（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，当点C在配5上时，ZDCB=^ZDOB=60a,满足条件.

（3）①分两种情形：如图3中，当/CZ）B=90°时，如图4中，当NCBD=90°时，分别利用勾股定理

求解即可.

②以CD为边作等边△EC。，连接BE,作EFLBC交BC的延长线于F.利用全等三角形的性质以及勾

股定理可得结论.

解：(1)如图1,VZACB=90°,ZB=30",

ZA=60°,

"：CD±AB,

：.ZBDC=9Q°,

：.ZBCD^°-ZB=90°-30°=60°,

为BC中点，

：.DE=CE,

是等边三角形，

四边形ADEC为理想四边形；

(2)如设计后的图中，是等边三角形，OD=OB,ZBOD=120°,

当点C在玩力上时，ZDCB=^ZDOB=60°,故四边形ABCD为理想四边形.

设计后的图

(3)①当NCDB=90°时，如图3中，

'：ZCDB=90°,ZBCr)=60°,BC=3,

；.BD=BC・sin60=苧，/CBD=30°,

：△ABD是等边三角形，

；.A2=B£)=竽，ZABD^60°,

：.ZABC=90°,

：.AC=>/AB2+BC2=J(竽7+32=竽;

当NCB£>=90。时，如图4中，同法可得AC=7AD2+亦=(3V3)2+62=377；

综上所述，AC的值为十或3夕.

②如图5中，结论：x2+xy+y2=z2.

理由如下：以8为边作等边△EC。，连接BE,作EF_L5c交3C的延长线于尸.

9：ZEDC=ZADB=60°,

：.ZEDB=ZCDA,

•:ED=CD,BD=AD,

:•△EDBQdCDA(SAS),

•\AC=BE=z,

9：ZECD=ZDCB=60°,CD=CE=x,

：.ZECF=60°,ZCEF=30°,

：.CF=^EC=EF=y/3CF=芋x.

在RtA£FB中，*?BEi=EF2+BF2,

z2=(fx)2+(y+5)2,

图4

图1

总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对

角线”，学会用分类讨论的思想思考问题.

14.(2020•朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(/,0),BC+2,0),C(n,1),若射线OC上

存在点尸，使得是以为腰的等腰三角形，就称点P为线段关于射线OC的等腰点.

1-

II」]1」1].

。⑷1Bx

(1)如图，r=0,

①若”=0,则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；

②若〃<0,且线段关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1,求〃的取值范围；

(2)若n=*，且射线OC上只存在一个线段48关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是.

思路引领：(1)①根据线段关于射线OC的等腰点的定义可知。尸=AB=2,由此即可解决问题.

②如图2中，当。尸=A8时，作无轴于求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题.

(2)如图3-1中，作CHLy轴于X.分别以A,2为圆心，A8为半径作OA,QB.首先证明/CO8

=30°,...由射线OC上只存在一个线段4?关于射线OC的等腰点，推出射线OC与0402只有一

个交点，求出几种特殊位置/的值，利用数形结合的思想解决问题即可.

解：(1)①如图1中，由题意A(0,0),B(2,0),C(0,1),

图1

V点P是线段AB关于射线OC的等腰点，

：.OP=AB=2,

：.P(0,2).

故答案为(0,2).

OH=70P2-PH2=V22-I2=V3,

观察图象可知：若“<0,且线段A2关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n<-V3.

(3)如图37中，作轴于H.分别以A,B为圆心，为半径作0A,QB.

图3-1

,一V3

由题息C(一，1),

3

；.”=亭，OH=l,

./„„JJ_=CH_V3

•.tanz_COH-Q^=-g-,

：.ZCOH=30°,

当08经过原点时，B(-2,0),此时f=-4,

•..射线OC上只存在一个线段AB关于射线0C的等腰点，

射线OC与。A,。8只有一个交点，观察图象可知当-4<fW-2时，满足条件，

如图3-2中，当点A在原点时，•../PO8=60°,此时两圆的交点尸在射线OC上，满足条件，此时f

如图3-3中，当。B与0C相切于尸时，连接BP.

V

「MA:

\OV\L；B

、\，/

X\✓，

7-

图3-3

，0C是08的切线，

：.OP±BP,

：.ZOPB=90°,

•：BP=2,/尸。2=60°,

0B="=警,此时仁警一2,

cos6033

同法可得0A=竽，止匕时U竽，此时符合题意.

如图3-4中，当0A与OC相切时，

a?\「

\\//

、\✓✓

1-―/

图34

如图3-5中，当。4经过原点时，A(2,0),此时f=2,

八】‘

力一、、、

--------(-------------1:------------►

o匚、一A)；BX

图3-5

4V3

观察图形可知，满足条件的f的值为:----2VW2,

综上所述，满足条件t的值为-4<fW-2或f=0或；—2<fW2或f=等

故答案为：-4<fW-2或f=0或也-2V/W2或右峥.

总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段A8关于射线OC的等腰点的

定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属

于中考压轴题.

15.（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系无0y中的图形的和图形W2,给出如下定义：在图形M上存

在两点A,B（点A,8可以重合），在图形版上存在两点M,N（点M,N可以重合）使得AM=2BN,

则称图形M和图形卬2满足限距关系.

（1）如图1,点C（V3,0）,D（0,-1）,E（0,1）,点尸在线段CE上运动（点尸可以与点C,E重

合），连接。P,DP.

①线段。尸的最小值为—，最大值为—；线段。尸的取值范围是—；

②在点。，点。中，点与线段。E满足限距关系；

（2）在（1）的条件下，如图2,。。的半径为1,线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点RG,且

FG//EC,若线段BG与。。满足限距关系，求点尸横坐标的取值范围；

（3）。。的半径为r。>0）,点”，K是。。上的两个点，分别以“，K为圆心，2为半径作圆得到OH

和OK,若对于任意点K,08和OK都满足限距关系，直接写出r的取值范围.

思路引领：（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP,。尸的最大值，最小值即可解决问题;

②根据限距关系的定义判断即可;

（2）根据两直线平行左相等计算设FG的解析式为：尸-最+b,得G（0,b）,F（回，0）,分三种

情形：①线段FG在。。内部，②线段FG与O。有交点，③线段FG与。。没有交点，分别构建不等

式求解即可；

（3）如图3-1中，不妨设OK,OH的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据07/和OK都满足限距关系，

构建不等式求解即可.

解：（1）①如图1中，

：.OE=l,OC=V3,

：.EC=2,ZECO=30°,

当OPLEC时，OP的值最小，当尸与C重合时，。尸的值最大是次,

RtzXOPC中，OP=^OC=堂，即。P的最小值是遗；

222

Rt△。石尸中，ZOEC=60°,

：.ZEDP=30°,

,:DE=2,

cos30°=%，

■竺理

•.—,

22

；.£）尸=V3,

当P与E重合时，OP的值最大，OP的最大值是2,

线段。尸的取值范围是：V3<DP^2；

故答案为：—,V3,A/3<DP^2；

②根据限距关系的定义可知，线段。E上存在两点M,N,满足0M=20N,如图3,

根据限距关系的定义可知，线段。E上存在两点M,N,满足。M=2QM如图3,

故点。与线段。E满足限距关系;

故答案为：。和。；

(2):点C(V3,0),E(0,1),

设直线CE的解析式为：y=kx+m,

解得：卜=一手

直线CE的解析式为：>=一事+1,

"：FG//EC,

设尸G的解析式为：尸—孚什6,

：.G(0,b),F(V3&,0),

：.OG=b,OF=V3Z?,

当0<V^b<l时，如图5,线段PG在。。内部，与。。无公共点,

此时。。上的点到线段FG的最小距离为1-同,最大距离为1+回,

•••线段FG与。0满足限距关系，

；.1+例》2(1-V3&),

解得旧后

：.b的取值范围为：<V3Z><1;

当1WW6W6时，线段尸G与O。有公共点，线段FG与。。满足限距关系,

当百6>6时，如图6,线段FG在。。的外部，与。。没有公共点，

此时。。上的点到线段FG的最小距离为百6-1,最大距离为百6+1,

••,线段FG与O。满足限距关系，

.,.何+122（例-1）,

而旧6+122（V3Z?-1）总成立，

.•.禽6>6时，线段BG与。。满足限距关系，

综上所述，点/横坐标的取值范围是：V3b>|；

（3）如图3-1中，不妨设OK,。〃的圆心在x轴上位于y轴的两侧,

图3-1

两圆的距离的最小值为2r-4,最大值为2r+4,

,/OH和OK都满足限距关系，

；.2r+4>2（2r-4）,

解得rW6,

故厂的取值范围为0<rW6.

总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的

定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型.

16.（2022•西城区校级模拟）点P（xi,yi）,Q（X2,>2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且无1W尤2.若

存在一个正数左，使点尸，。的坐标满足"72]=帆1-12|,则称尸，。为一对“限斜点”，女叫做点尸,

。的“限斜系数”，记作人(P,。).由定义可知，k(P,Q)=k(。，尸).

1111

例：若尸(1,0),Q(3,有|0-a=为1-3],所以点P,。为一对“限斜点”，且“限斜系数”为二.

2z44

1

已知点A(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,-).

2

(1)在点A,B,C,。中，找出一对“限斜点”：,它们的“限斜系数”为;

(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”，点55也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”

均为1.求点E的坐标;

(3)半径为3,点M为。。上一点，满足MT=1的所有点T,都与点C是一对“限斜点”，且都满

足k(T,C)21,直接写出点M的横坐标取的取值范围.

3-

2

1D

-3-2-103X

-1

-2C

-3

思路引领：(1)根据定义通过计算求解即可；

(2)设E(x,y),由题意可得|y|=|x-1|,|y|=|x-2|,求解方程即可求点E的坐标；

(3)由题意可知C点在直线＞=-x上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以。为圆心3为半

径的圆上，则T点在以。为圆心2为半径的圆上或以。为圆心4为半径的圆上，当T点在直线＞=-了

上时，k—1,再由左(T,C)21,可知T点在直线y=-x的上方，T点在直线y=-尤的上方，直线y

=尤-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部.

解：⑴A(1,0),C(2,-2),有|0+2|=2|1-2|,

.••4、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；

1.11

A(1,0),D(2,-),有|0一/='1-2],

1

・・.A、。为一对“限斜点”，且“限斜系数”为5；

1

故答案为：A、。或A、D,2或二；

2

(2)设E(x,y),

・・・|y|=|x7|,|y|=|x-2|,

A|x-l|=|x-2|,

解得x=,,

1

；・，

/y=±_2

3131

:・E(—,—)或(一，一方)；

2222

(3)VC(2,-2),

・・・C点在直线丁=r上，

VMT=1,

・・・T点在以M为圆心1为半径的圆上，

・・・M点在以0为圆心3为半径的圆上，

・•.T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环,

当T点在直线y=-%上时，设T(m,-m),

/.|-m+2\=k\m-2|,

/.k—1,

,:k(T,C)21,

・・・T点在直线丁=-x的上方，直线丁=%-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如

图所示，

□

-2V2<XM^4.

总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结

合解题是关键.

17.(2020•密云区一模)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P,给出如下定义：经过点P且平行于两

坐标轴夹角平分线的直线，叫做点尸的“特征线”.

例如：点3)的特征线是y=x+2和y=-x+4；

(1)若点。的其中一条特征线是y=x+l,则在(2,2)、。2(-1,0)、。3(-3,4)三个点中，可

能是点D的点有D2；

(2)已知点P(-l,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点4直线y=fcc+b

20)经过点P,且与x轴交于点2.若使的面积不小于6,求上的取值范围；

(3)已知点C(2,0),T(/,0),且的半径为1.当与点C的特征线存在交点时，直接写出f

的取值范围.

IIII.

2345x

思路引领：(1)画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可.

(2)过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b,求出△出8的面积为6时点B

的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题.

(3)如图3中，由题意点C的特征线的解析式为>=尤-2或y=-x+2,设当。T与直线y=-尤+2相切

于点M时，当OT'与直线>=尤-2相切于点N时，分别求出OT,结合图象即可解决问题.

解：(1)如图1中，观察图象可知，点。2的特征线是y=x+l.

图1

故答案为D2.

(2)如图2中,

设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=x+b,

l+b=2,

，过点尸平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=x+1,

"(1,0),

1

当的面积=6时，一・AB・2=6,

2

：.AB=6,

：.B(-5,0)或(7,0),

当丫=丘+，经过P(-1,2),8(-5,0)时，

｛二储工蓝解得得

当直线》=如田经过尸(-1,2),B(7,0)时,

｛就忆3解得7,

观察图形可知满足条件的k的值为-J义且20.

4Z

(3)如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2,

V

、

/

\XT

(

Tr

/\

/\

图3

当OT与直线y=-x+2相切于点M时，连接

在RtzXTCM中，：N7MC=90。,ZMCT=45°,

：.MT=MC=1,

：.TC=aTM=V2,

AOT=2-y[2,此时f=2-&.

当OT'与直线y=x-2相切于点N时，同理可得OT'=2+V2,此时尸2+鱼，

结合图象可知满足条件的t的值为：2-应<r^2+V2.

总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的

“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于

中考压轴题.

18.(2022秋•西城区校级期中)已知函数y=/+6x+c(x22)的图象过点A(2,1),B(5,4).

(1)直接写出y=/+foc+c(尤22)的解析式；

(2)如图，请补全分段函数丫=卜：2+2%+1(久〈2)的图象(不要求列表).

(I%2+-LbA-xv+-Lcr(x-v、>2)

并回答以下问题：

①写出此分段函数的一条性质：；

②若此分段函数的图象与直线>=机有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数机的取值范围;

(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记(2)中函数的图象与直线y=^x-l围成的封闭区域(不

含边界)为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标.

(2)①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出机的取值范围;

(3)根据图象求整点坐标即可.

解：⑴把A(2,1),B(5,4)代入解析式得：+c=1

125+5b+c=4

\y=j?+bx+c（冗22）的解析式为y=W—6x+9；

①性质：抛物线关于点（2,1）成中心对称，

故答案为：抛物线关