中考数学专项复习：尺规作图【知识点及十五大题型】

备战中考数学专题35尺规作图【知识点及十五大题型】

【知识点尺规作图】

1•尺规作图的要求

只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法.尺规作图不一定要写作

图步骤，但必须保留作图痕迹.

2.五种基本尺规作图

作一条线段等

1____1步骤：

a

于已知线段作射线

।11.OP;

0AP2.在OP上截取OA=a,OA即为所求线段

步骤：

1.以点0为圆心，任意长为半径画弧，

分别交OA.OB于点N.M；

作角的平分线中2.分别以点M.N为圆心，大于^MN的长为半径作弧，

产kA2

相交于点P；

3.画射线OP,0P即为所求角平分线

步骤：

作线段的垂直

rsI.分别以点A.B为圆心，以大于LAB的长为半径，在AB两侧作弧；

平分线2

2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线

步骤：

o^-1.在回a上以点0为圆心.以适当的长为半径作弧，

交的两边于点；

作一个角等于13aP.Q

z

2.作射线0A;

已知角

3.以。为圆心.0P长为半径作弧，交OA于点M；

。444.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；

5.过点N作射线OB,EIBCTA即为所求角

步骤：

过一点作已知

p1.在直线另一侧取点M；

直线的垂线2.以P为圆心，以PM为半径画弧，交直线于A.B两点；

昌JB

Ml3.分别以A.B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点

N；4.连接PN,则直线PN即为所求垂线

步骤：

M1.以点。为圆心，任意长为半径向点。两侧作弧，

（不）交直线于A.B两点；

邙2.分别以点A.B为圆心，以大于LAB长为半径向直线

2

两侧作弧，交点分别为M.N；

3.连接MN,MN即为所求垂线

【题型1尺规作图-作线段】

【例1】（2023•山西太原•校联考一模）如图，已知线段a,b.

,11,------。---------0---------------------------------A

（1）请用尺规作图法，在射线04上作。8=a,0C=b；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的基础上，延长BC到点O,使BC=CD.如果线段a,b的长度分别是3cM和4cm,求线段。。的

长度.

【答案】（1）见详解；（2）5cm

【分析】⑴用圆规在射线04上截取线段。B=a,0C=b即可；

（2）先求出BC的长，再由BC=CD即可求出线段。。的长.

【详解】解：（1）所作图形如图所示.

（2）如图所示，•••。8=a=3,0C=b=4,

■■■BC=0C-OB=4-3=1

CD=BC=1

；.。。=0C+CD=4+1=5（cm）

【点睛】本题考查了复杂作图，求线段的长度，解决本题的关键是用尺规画线段.

【变式1-1］（2023•河北邯郸•校考二模）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）

A.作一个角等于已知角B.作已知直线的垂线

C.作一条线段等于已知线段D.作角的平分线

【答案】C

【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题.

【详解】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段.

故选：C.

【点睛】本题考查基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图.

【变式1-2]（2023•浙江湖州•统考二模）如图，ZMON=35°,点尸在射线ON上，以尸为圆心，尸。为半径

画圆弧，交于点。，连接PQ,则.

【答案】70。/70度

【分析】由作图可知，PO=PQ,根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可.

【详解】解：由作图可知，PO=PQ,

：.ZPQO=ZO=35°,

：.ZQPN=ZO+ZPQO=70°,

故答案为：70°.

【点睛】本题考查了作图一基本作图，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

【变式1-3]（2023.广东佛山•校联考一模）如图，在A4BC中，AB=AC.

（1）在BC上求作点E,使4D=4E,点。与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：BD=CE.

【答案】（1）画图见解析

（2）证明见解析

【分析】（D以A为圆心，以4。的长为半径画弧交BC于E（不与O重合），点E即为所求;

（2）过点A作于根据三线合一定理得到BH=CH,DH=EH,由此即可证明8。=CE.

【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求;

（2）证明：如图所示，过点A作AH，8c于

"：AD=AE,AB=AC,

：.BH=CH,DH=EH,

：.BH-DH=CH-EH,

：.BD=CE.

【点睛】本题主要考查了尺规作图一作线段，三线合一定理，熟知三线合一定理是解题的关键.

【题型2尺规作图-作一个角等于已知角】

【例2】（2023•四川成都•模拟预测）如图，在RtAABC中，乙4=90。，2C=4.根据尺规作图痕迹，作射

线CE,与4B相交于点F.当4尸=3时，的长是.

【答案】8

【分析】本题考查了基本作图，勾股定理.先根据勾股定理求出CF,再根据等角对等边及线段的和差求解.

【详解】解：在RtAABC中，44=90。，AC=4,AF=3,

CF=y/AC2+AF2=5,

由作图得：LB=NBCF,

•••BF=CF=5,

・•.AB=AF+BF=8,

故答案为：8.

【变式2-1]（2023•福建泉州•校考模拟预测）（1）如图1,在RtzkACB中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

。为BC边上一点，CD=|.求证：4D平分NC4B.

图1

（2）如图2,矩形4BCD中，AB=5,BC=4,点E是CD边上一点，DE=2,连接4E,请用无刻度的直尺

和圆规在4B边上找一点R使得乙4FD=2NZME.（保留作图痕迹，不要求写出作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）过点。作于点E,根据勾股定理先求出48=5,用面积法求出OE的长即可求解；

（2）作NG4E=NLME,交DC于点G,②作乙4DF=N4GD,交2B于点根据直角三角形两个锐角互余即

可证明N4FD=^GAD=2ADAE.

【详解】（1）证明：如图1,过点£＞作DEL48于点£,

在RtAACB中，ZC=90°,

'：AC=3,BC=4,

：.AB=y]AC2+BC2=5,

111

9：-AC•CD+-AB•DE=-AC•BC,

222

q

/.3x-+5Z）E=3x4,

2

：.DE=-,

2

：.CD=DE,

.•.an平分4cm

（2）如图2,点尸即为所求.

作法：①作NG4E=N02E,交DC于点G,

②作N4DF=N2GD,如B于点E

理由：\'^ADF+^AFD=90°,AAGD+AGAD=90°,

Z.AFD=/.GAD=24DAE.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的判定，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本

作图方法.

【变式2-2］（2023•广东佛山・西南中学校考三模）如图，在A2BC中，P为4C边上任意一点，按以下步骤作

图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交4P、4B于点M,N；②以点尸为圆心，以AM长为半

径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点尸；④作射线

PF交BC于点Q.若N4=60°,ZC=40°,贝!UPQC=（）

A.100°B.80°C.60°D.40°

【答案】B

【分析】先由三角形内角和定理得到NB=80。，再根据作图方法可知NCPQ=N4贝炉QIIAB,由此即可得

至此PQC=NB=80°.

【详解】解：•.24=60。，ZC=40°,

:.乙B=180°一乙4一NC=80°,

由作图方法可知4CPQ=LA,

：.PQIIAB,

:.乙PQC=NB=80°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图一作与已知角相等的角，证明

PQII是解题的关键.

【变式2-3](2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考二模)如图，在AABC中，AB=4C,点D为CB延长线上

一点，CD=AB,连接2D.

(1)用尺规完成以下基本作图：在4D的右侧作N4DE=乙4。8,射线DE与4C延长线交于点E；(保留作图痕

迹，不写作法，不下结论)

(2)孟孟判断CE=BD.她的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到CE与BD相

等.请根据孟孟的思路完成下面的填空：

证明：V©,：.^ABC=^ACB,'：^ADE=^ACB

.•.②,"/.ABC=^ADC+/.BAD

又4ADE=^ADC+NCDE,:.乙CDE=4BAD

•；D、B、C三点共线，：./.ABD+AABC=180°

C、E三点共线，.•.③

乙ABD=乙DCE,'：CD=AB

：.④(ASA),/.CE=BD

【答案】(1)见解析

(2)AB=AC；/-ABC=^ADE；Z.ACB+^DCE=180°；△ABD=△DCE

【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；

（2）先根据等边对等角得到乙4BC=乙4CB,贝IJ乙=乙4OE,再利用三角形外角的性质证明NCDE=

乙BAD,再根据邻补角的定义证明乙48。=4DCE,由此即可证明△48。三△OCE,则CE=BO.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

(2)证明：VAB=AC,

：.LABC=乙ACB,

'：LADE=Z.ACB

：./.ABC=/.ADE.

,：LABC=乙ADC+乙BAD,

又丁乙/DE=/.ADC+Z.CDE,

:•乙CDE=乙BAD,

TO、B、C三点共线，

：./.ABD+/.ABC=180°

VA>C、£三点共线，

，乙ACB+乙DCE=180°

工乙ABD=乙DCE,

'：CD=AB

：.△ABD=△DCE(ASA),

ACE=BD.

故答案为：AB=AC；/.ABC=/.ADE；乙ACB+乙DCE=180°；△ABD=△DCE.

【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角,

灵活运用所学知识是解题的关键.

【题型3尺规作图-作角的和、差】

【例3】（2023•江苏南京•模拟预测）如图为一副三角尺，其中Na=60。,4?=45°,作乙4BC=120°,^DEF=

15°.

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】图见解析

【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可.掌握尺规作角的方法，是解题的关键.

【详解】解：如图，“BC/DEF即为所求；

【变式3-1］（2023•江西吉安・模拟预测）已知Na和立夕,作一个角等于Na+2々?.（保留作图痕迹，不必写

作法）

【答案】见解析

【分析】先作乙40B=a,再作NBOC=2P，则乙40C即为所求.

【详解】如图所示，^AOB=a,乙BOC=20,则N40C即为所求.

作法：①作射线。4

②以任意长度为半径，Na的顶点为圆心作弧MN,N0的定点为圆心作弧PQ,以同样长度为半径，以。为圆

心，作弧GD,交射线04于点。，

③以MN的长为半径，。为圆心，作弧交GD弧于点E,过点E,作射线0B,贝叱40B=a,

③以PQ的长为半径，E为圆心，作弧交GD弧于点凡

④以PQ的长为半径，F为圆心，作弧交GD弧于点G,

⑤过点G作射线0C,则NB0C=20

・•・Z-A0B+Z-B0C=a+2夕=Z-A0C

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，掌握基本作图是解题的关键.

【变式3-2](2023•合肥二模)如图所示，已知Na和利用尺规作NA02,使NAOB=2(/a-N£).

【答案】见解析.

【分析】根据尺规作图的基本步骤作图即可.

【详解】作法：如图所示.(1)作/COO=/a；

(2)以射线OD为一边，在NCOD的外部作使NDOA=/a；

（3）以射线OC为一边，在/C04的内部作NCOE,使NCOE=N/3；

（.4）以射线0E为一边，在/EO4内部作/EOB,使/EOB=/0,则/AOB就是所求作的角.

【点睛】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的

答案；另一种也可以先做差角再做倍数角，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键.

【变式3-3]（2023•北京海淀.模拟预测）在Rt△ABC中，ZC=90°,令乙8=a<30。，线段BC的垂直平分

线分别交线段4B、BC于点D,E.

图1图2

（1）如图1,用等式表示DE和4C之间的数量关系，并证明.

（2）如图2,将射线4C绕点4逆时针旋转2a交线段DE于点尸,

①依题意补全图形；

②用等式表示2F,EF,DE之间的数量关系，并证明.

【答案】（l）DE=[aC,证明见解析

（2）①图见解析；②2F=3DE—EF,证明见解析

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE1BC,点E是线段BC的中点，再根据平行公理,得出4CII0E,

进而得出DE是△ABC的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；

（2）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC于点M,交线段B4于点N,再以点4为圆心，以相等

长为半径画弧，交线段4C于点P,再以点P为圆心，以MN的长度为半径画弧，两弧交于一点Q,再以点Q为

圆心，以MN的长度为半径画弧，两弧交于一点K,连接4K,并延长交DE于点F；

②设4c旋转后点C的对应点在4F上为点C',连接CC',根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出乙4CC'=

AACC=90°-a,再根据角之间的数量关系，得出NC，CB=a,连接CD,根据线段垂直平分线的性质，得

出DC=08,再根据等边对等角，得出==再根据角相等，得出进而得出

点C、C\D三点共线，再根据题意，得出DE是A4BC的中位线，再根据中位线的性质，得出DE=：AC=

\AC,进而得出4C'=2DE,再根据两直线平行，内错角相等，得出N4CC'=NC'DF,进而得出乙4C'C=

乙UDF,再根据对顶角相等，得出乙4LC=NDC，F,再根据等量代换，得出NDC午=/LOF,再根据等角

对等边，得出FC'=FD,再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出AF=3DE-EF.

【详解】（1）解：DE=\AC,证明如下：

是线段BC的垂直平分线，

；.DE1BC,点E是线段BC的中点,

又,：乙C=90°,

：.AC1BC,

：.AC\\DE,

DE是△ABC的中位线，

：.DE=-AC；

2

设4C旋转后点C的对应点在ZF上为点L,连接CL,

V£.CAC=2a,AC=AC,

AACC=/.ACC="=90°-cr,

2

又；UCB=90°,

NC'CB=90°一(90°-a)=a,

连接CD,

是线段BC的垂直平分线，

：.DC=DB,

Z-DCB—Z.B—a,

：.^DCB=乙CCB,

...点C、C\。三点共线，

又；DE是线段8c的垂直平分线，

：.DE1BC,点E是线段BC的中点，

又,：乙C=90°,

：.AC1BC,

：.AC\\DE,

DE是△ABC的中位线，

11

：.DE=-AC=-ACr,

22

：.AC=2DE,

9：AC\\DE,

：.Z.ACC=乙UDF,

又〈乙ACC'=4AC'C,

A/-ACC=乙UDF,

：.^ACrC=乙DCF,

"DCF=(CDF,

：.FC=FD,

：.AF=AC+CF

=2DE+DF

=2DE+(DE-EF)

=3DE—EF,

：.AF=3DE-EF.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图一等角、等腰三角形的判定与性质、

三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的

性质定理.

【题型4尺规作图-过直线外一点作这条线的平行】

【例4】（2023•陕西宝鸡・统考一模）如图，在△ABC中，AC=3,AB=5,请用尺规作图法，在上求作一

点O,使得SAAOC：S^AOB=3：5.（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】由题意作BM〃AC,在射线BM上截取BD,使得BD=BA,连接AD交BC于点0,点0即为所

求作.

【详解】解：如图，点。即为所求作.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

【变式4-1］（2023•湖北襄阳•统考模拟预测）如图，四边形4BCD中，AD\\BC,BD平分乙4BC.

（1）尺规作图：过点。作DEII4B,DE交BC于E；（不写作法，只保留作图痕迹）

(2)求证：四边形ABED是菱形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】⑴作N8DE=乙48。，BE交BC于点E；

(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】(1)解：图形如图所示：

(2)证明：---ADWBE,ABWDE,

四边形ABED是平行四边形，

•••BD平分4BC,

Z.ABD=Z.DBC,

\'AD\\BC,

Z.ADB=Z.DBC,

：.乙ADB=4ABD

AB=AD,

••・四边形ABED是菱形.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握

菱形的判定定理.

【变式4-2](2023•福建・统考中考真题)如图，已知线段MN=a,4R垂足为a.

K

(1)求作四边形4BCD,使得点8,D分别在射线4K,2R上，且28=BC=a,/.ABC=60°,CD//AB,(要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设P,。分别为（1）中四边形4BCD的边的中点，求证：直线2D,BC,PQ相交于同一点.

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）根据4B=a,点2在射线4K上，过点A作4B=a；根据等边三角形性质，得4B=BC=4C,

分别过点A、B,a为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD,即可得到答案；

（2）设直线与4。相交于点S、直线PQ与2。相交于点S，，根据平行线和相似三角形的性质，得券=蔡，

从而得S'D=S。，即可完成证明.

【详解】（1）作图如下：

四边形ABC。是所求作的四边形;

（2）设直线BC与4。相交于点S,

5⑸

,CDC//AB,

△SBASCD,

.SA_AB

',SD~~DC

设直线PQ与AD相交于点S，,

VP,。分别为AB,CD的中点,

11

：.PA=-AB,QD=-DC

2y2

.PA_AB

"QD~DC

.S'A_SA

**SrD-SD'

・

••S'D+AD—SD+AD，

SrDSD

.AD_AD

,■S，D-SD，

：.S'D=SD,

.•.点S与S，重合，即三条直线4D,BC,PQ相交于同一点.

【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是

熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解.

【变式4-3］（2023•江苏无锡•模拟预测）如图1,点C为圆内一点，4B为该圆的一条弦.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作直线/与48平行，分别交该圆于点D、E（点。在点E的左

侧）；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）中，若4B与DE位于圆心异侧，且4B=2,DE=4VI,若该圆的半径为3,则该圆位于4B和DE之

间的图形的面积为.（如需画草图，请使用试题中的图2）

【答案】（1）作图见解析；

（2）y+4V2.

【分析】（1）连接4C,再根据作一个角等于已知角即可；

（2）过圆心。作。P1DE于点P,延长P。交AB于点Q,由4BIIDE贝I］可知。Q_LAB,由勾股定理和SSS,证明

△DP。三A0Q4即可，最后利用面积求法即可；

此题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，全等三角形的性质与判定，扇形面积求法和勾股定理，熟练掌握

以上知识的应用是解题的关键.

【详解】(1)如图,

①延长4C,

②分别以4C为半径，任意长度为半径画弧，分别交于点M,N,G,

③以G为圆心，MN长度为半径画弧，交弧于点H,

④连接CH,

.••直线I即为所求；

(2)过圆心。作。PIDE于点P,延长P。交于点Q,

'：AB\\DE,

：.0Q1AB,

：.DP=PE=|DE=2V2,AQ=BQ=^AB=1,

在RtAOP。中，由勾股定理得：OP=y/OD2-PD2=J32一(2⑨之=i,

同理：0Q=2企，

在△0「。和40Q4中，

DP=0Q

PO=QA,

DO=OA

：.△DPOSAOQA(SSS),

:.乙PDO=404,

•.2PD0+ND0P=90°,

."40Q+ND0P=90°,

J.^LAOD=90°,同理NBOE=90。，

.••该圆位于AB和DE之间的图形的面积为:

S扇形D04+$扇形BOE+S&DOE+S^AOB'

90nx32,90KX32,1人GKc

--------+---------+-x4V2x1+-x2V2x2,

36036022

W+2企+2/,

9nI-

=—+4V2

故答案为：y+4V2.

【题型5尺规作图-作角平分线】

【例5】（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，在△ABC中，乙48c=90。，^BAC=60°,以点/为圆心，以A3的

长为半径画弧交4C于点O,连接8D,再分别以点B,。为圆心，大于18。的长为半径画弧，两弧交于点P,

作射线4P交BD于点M,交BC于点E,连接DE,则SABDE：SACDE的值是（）

A.1:2B.1:V3C.2:5D.3:8

【答案】A

【分析】根据尺规作图可得，4E是N84C的平分线，可得NBAE=30。，由三角形内角和定理可得NC=30。，

由等腰三角形性质可得4E=CE,根据直角三角形的性质可得BE=可推出EC=2BE,根据三角形面

积公式即可求解.

【详解】解：由尺规作图可得，AE是NB4C的平分线，

：.^BAE=ACAE=-ABAC=30°,

2

\9^ABC=90°,Z.BAC=60°,

AZC=30°,

：.AE=CE,

在RtUBE中，BE=^AE,

：.BE=^EC,即EC=2BE,

••S4BDE：S4CDE=1:2，

故选：A.

【点睛】本题考查基本作图，含30。角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，30。角

所对直角边长度是斜边的一半.

【变式5-1](2023•新疆・统考中考真题)如图，在x轴，y轴上分别截取04OB,使。2=。8,再分别以点

A,B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a—3),则a的值为.

八y

B_¥

-ohx

【答案】3

【分析】根据作图方法可知点P在MOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点2到X轴和y轴的距离相等，

结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可.

【详解】解：・；。4=。8,分别以点A,B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P,

二点P在NB04的角平分线上，

二点户到%轴和y轴的距离相等，

又•••点P在第一象限，点P的坐标为(a,2a-3),

a=2a—3,

cz—3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平

分线的性质是解题的关键.

【变式5-2](2023•湖北鄂州•统考中考真题)如图，点E是矩形A8C0的边BC上的一点，且=

(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作ND4E的平分线4F,交BC的延长线于点R连接DF.(保留作图痕迹，不

写作法)；

(2)试判断四边形4EFD的形状，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)四边形4EFC是菱形，理由见解析

【分析】(1)根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；

(2)根据矩形的性质和平行线的性质得出ACMF=^AFE,结合角平分线的定义可得凡4=AEAF,则4E=

EF,然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论.

【详解】(1)解：如图所示：

(2)四边形4EFD是菱形；

理由：：矩形4BGD中，ADWBC,

：.^DAF=^AFE,

•.•4尸平分立。4凡

：.^DAF=AEAF,

：.Z.EFA=Z.EAF,

：.AE=EF,

"：AE=AD,

：.AD=EF,

'：AD\\EF,

四边形4EFD是平行四边形，

JL'-"AE=AD,

，平行四边形4EFD是菱形.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的

判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

【变式5-3］（2023•四川巴中•统考中考真题）如图，已知等边△ABC,ADJ.BC,E为AB中点.以。为圆心,

适当长为半径画弧，交DE于点交DB于点、N,分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点

P,作射线交4B于点G.过点E作EFIIBC交射线DP于点R连接BF、AF.

（2）若AC=4,求A4FD的面积.

【答案】（1）见解析

（2）373

【分析】（1）先证明ABED是等边三角形，得到BE=BD=DE,再根据角平分线的定义得到NEDF=乙BDF,

证明AEFD是等腰三角形，即可证明EF=BD,即可解答本题；

（2）根据等边三角形的性质求出AD,AG,再根据菱形的性质，求得FC,即可求出A/IFD的面积.

【详解】（1）证明：,••等边A4BC,AD1BC

•••。是BC中点，Z.ABC=NC=60°,

•••E是4B中点，

•••DEWAC

•••乙EDB=NC=60°,

.•.△BED是等边三角形

・•.BE=BD=DE,

•.・由尺规作图可知。F平分NEDB,

••・Z-EDF=Z.FDB

•・•EFIIBC,

・•・Z-EFD=Z.FDB,

••・Z-EFD=乙EDF,

.•・EF—ED=BD,

•・•EFWBD,

・・・四边形BDEF是平行四边形，

•・•DE=BD,

：.四边形BOEF是菱形；

（2）解：•.,等边AABC,AD1BC,

1

・・.ZC=60°f^ADC=90°,2.BAD=-^BAC=30°,

•・•AC=4

22百，

BD=-2A2B=-AC=2,AD=y/AB-BD=2

•・•四边形BOE尸是菱形，

^AGLFDfFG=GD,

Rt△AGD,Z-BAD=30°,

DG=^AD=y/3,AG=>JAD2-DG2=3,

FD=2^3,

•••SAAFD=Ix2V3x3=3V3.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的判定及性质，含有30。角的直角三角形的边长关系，作图-角

平分线，熟知上述概念是解题的关键.

【题型6尺规作图-作三角形】

[例6]（2023•山东滨州・统考中考真题）（1）已知线段?n,n,求作RtAABC,使得NC=90°,CX=m,CB=n；

（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）

（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写

出已知、求证与证明.）

m

n

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）作射线4P,在AP上截取AC=M,过点C作AC的垂线MN,在CN上截取CB=n,连接4B,则

RtAABC,即为所求；

（2）先根据题意画出图形，再证明.延长CD至E使CD=DE,连接4E、BE,因为。是4B的中点，所以AD=BD,

因为CD=OE,所以四边形4CBE是平行四边形，因为乙4c8=90。，所以四边形4CBE是矩形，根据矩形的

性质可得出结论.

【详解】（1）如图所示，RtA48C即为所求；

（2）已知：如图，为RtA4BC中斜边4B上的中线，乙4cB=90。,

求证：CD^\AB.

证明：延长CD并截取DE=CD.

为AB边中线，：.BD=AD,

四边形“BE为平行四边形.

；4ACB=90°,

平行四边形ZCBE为矩形，

：.AB=CE=2CD,

：.CD=-AB

2

【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅助线,

构造出矩形，利用矩形的性质解答.

【变式6-1］（2023•安徽合肥・统考二模）知：A、B为直线/上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保

留作图痕迹）；

~~ABI

⑴任作一个AABP,使P4=P8；

（2）作AABQ,使4Q=BQ,且乙4QB=120°.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）作线段的垂直平分线，即可求解；

（2）先作等边三角形A2P,再作出NAPB和N54P的角平分线交于点。即可求解.

【详解】（D解：如图，A4BP即为所求；

理由：根据作图得：PC平分/APB,AP=AB,PB=AB,4。平分/&4尸,

：.AP=AB=PB,

...△ABP为等边三角形，ZBAQ=ZABQ,

：.ZBAP=60°,PC垂直平分AB,

：.AQ=BQ,

•；4。平分/区4尸，

/.ZBAQ=ZABQ=30°,

：.ZAQB=120°.

【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，作三角形，熟练掌握

尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

【变式6-2］（2023•北京•校考模拟预测）已知：ZMON,A为射线ON上一点.

求作：AAOB,使得点B在射线OM上，^BAO=~^M0N.

作法：①以点。为圆心，OA长为半径画弧，交射线于点死交射线ON的反向延长线于点E；

②以E为圆心，AP长为半径画弧，交弧斯于点尸；

③连接AP,交射线OM于点

所以△40B就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接EP,AF,OP,

•.,点A,E,P在。。上，

：.^PAE=^POE.（）（填写推理的依据）

•.,在。。中，PE=AF,

."MON=.（）（填写推理的依据）

1

：.^BAO=-^M0N.

2

【答案】（1）见解析

（2）同弧（或等弧）所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；乙POE；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆

心角相等

【分析】（1）根据题意即可作出图；

（2）根据圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系即可解答.

【详解】（1）解：作图如下：

•.,点A,E,P在。。上，

：.^PAE=^POE.（同弧（或等弧）所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半）

,在。。中，PE=4F,

，乙MON=4P0E.（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）

1

Z.BAO=-/.MON.

2

故答案为：同弧（或等弧）所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；NPOE；在同圆或等圆中，相等的弦

所对的圆心角相等.

【点睛】本题考查了圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系，准确作出图是解决本题的关键.

【变式6-3］（2023・福建福州•模拟预测）如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接B4,PB,PC,将△

绕点2逆时针旋转60。得到△ODB,其中点P的对应点是Q.

A

(1)请画出AQDB(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)若4B=2,求P4+PB+PC的最小值.

【答案】(1)见解析

(2)2百

【分析】(1)以点B与点P为圆心，以BP长为半径画弧，交于点Q,同理，以点B与点4为圆心，以84长

为半径画弧，交于点D,连接BC,BQ,DQ,则△QDB为所求三角形；

(2)过点。作BC的垂线，垂足为E,连接尸Q,CD,由题可知APABmAQOB,即可证得APBQ是等边三

角形，根据△ABC是等边三角形，即可得到BE、CE的长，继而根据勾股定理求得OE、的长，于是根据

由两点之间，线段最短可得DQ+QP+PC2C。，故当C,P,Q,。四点共线时，即可得到P4+PB+PC的

最小值.

【详解】(1)解：

如图所示，AQDB即为所求作的三角形.

(2)解：过点。作BC的垂线，垂足为E,连接P。，CD,

，乙BED=90°.

・・・△R4B绕点5逆时针旋转60。得到△QDB,其中点P的对应点是Q,

・•.△PAB=△QDB,乙ABD=乙PBQ=60°,

：.PA=DQ,PB=QB,BD=AB=2,

••.△PBQ是等边三角形，

：.PB=QP.

:△ABC是等边三角形，

A/.ABC=60°,BC=AB=2.

V/.ABC+/.ABD+乙DBE=180°,

J.LDBE=60°,：.Z.BDE=30°,

i

：.BE=-BD=1,：.CE=BC+BE3.

2

在Rt△BDE中，DE=<BD2-BE2=V3.

在Rt△CDE中，CD=VCE2+DE2=2后

由两点之间，线段最短可得OQ+QP+PC>CD,

当且仅当C,P,Q,。四点共线时，等号成立，

DQ+QP+PC>2V3,即P4+PB+PC>2V3,

：.PA+PB+PC的最小值是2百.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，尺规作三角形，掌握相关性质以

及定理是解题的关键.

【题型7尺规作图-作三角形的中线与高】

【例7】（2023•陕西西安•校考一模）如图，在AABC中，ABAC=120°,AB=AC.请用尺规作图法，在BC

边上求作点。，使an=|BD.（保留作图痕迹，不写作法）

A

【答案】见解析

【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含30。的直角三角形的性质等知识，掌握含30。的直角三角

形的性质是解题的关键.过点A作4D14B交BC于点D,先利用等腰三角形的性质求出NB=30°,然后利

用含30。的直角三角形的性质即可判断=|SO.

【详解】解：如图，点。即为所求，

理由：由作图，知

'：AB=AC,^BAC=120°,

：.AD=-BD.

2

【变式7-1]（2023•广西贵港・统考一模）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）

如图，已知/a和线段。、b

求作：（1）AABC,使NA=Na,AB^a,AC=b.

（2）在（1）的条件下，作AB边上的中线CD

【答案】（1）如图，△ABC为所作；见解析；（2）如图，C。为所作；见解析.

【分析】（1）先作/BAC=/a,然后分别截取AC=b,从而得到△ABC；

（2）作AB的中垂线得到AB的中点，从而得到中线CO.

【详解】（1）如图，AABC为所作；

（2）如图，C。为所作.

的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复

杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

【变式7-2](2023・广西贵港・统考三模)如图，在AABC中，AABC=^BAC=30°,^ADC=90°.

(1)用尺规作图过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)求证：AD=AE.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是准确画图.

(1)根据尺规作图过点4作的垂线，交BC的延长线于点E即可；

(2)根据N4BC=ABAC=30°,AADC=90°,即可证明：AD=AE.

【详解】(1)解：如图，过点4作BC的垂线，交BC的延长线于点邑

4E即为所求；

A

(2)9：/,ABC=ABAC=30°,

・••乙ACE=60。，

•・・/,ADC=90°/zXEC=90。，

・•.Z,EAC=30。，

•••Z.DAC=Z-EAC,

Z.ADC=Z.AEC,AC=AC,

'.AADC三△ZEC(AAS),

AAD=AE.

【变式7-3](2023•重庆沙坪坝•重庆一中校考二模)如图，在矩形2BCD中，DF平分N4DC交BC于点F,连

(1)用尺规作图：过点尸作4F的垂线，交CD于点E；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)小明同学准备在(1)问所作的图形中，求证8F=CE.他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质,

证明三角形全等解决问题.请根据小明的思路完成下列填空.

证明：；四边形ABCO是矩形

：.AD\\BC,

：.^ADF=乙DFC

：.^LADF=乙CDF

乙DFC=乙CDF

9：AB=CD

：.AB=FC

'：AF1EF

：.^AFE=90°

：.^AFB+AEFC=90°

•・•在A/BF中，48=90。

・••乙BAF=(EFC

在△ABF和△FCE中

(=Z.C

V^BAF=乙EFC

AABF=AFC£(ASA)

：.BF=CE

【答案】(1)见解析；

(2)@AB\\CD,②CD=CF,®AAFB+^BAF=90°,®AB=FC

【分析】（1）根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图即可;

（2）根据AAS证明三角形全等，再根据全等的性质证明.

【详解】（D解：如图：EF好戏为所作.

（2）证明：•••四边形4BCD是矩形

•••ADWBC,

・•・Z-ADF=Z-DFC,

•・・。尸平分ZJ1DC,

•••Z-ADF=乙CDF,

•••Z-DFC=乙CDF,

・•・CD=CF,

•:AB=CD,

・・・AB=FC,

vAF1EF,

・・・Z,AFE=90°,

••・^AFB+乙EFC=90°,

在尸中，乙B=90°,

^AFB+乙BAF=90°,

■,1Z.BAF=Z.EFC,

在△48尸和4FCE中，

乙B=AC

AB=FC,

./-BAF=乙EFC

•••△ABF三AFCE(ASA),

ABF=CE.

【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，余角的性质，矩形的性质，正确地作出图

形是解题的关键.

【题型8尺规作图-作垂直平分线】

【例8】(2023•福建福州.福建省福州第十六中学校考模拟预测)如图，乙4BC中，乙4cB=90。，点。为CB边

上一点.

(1)求作四边形4DBE,使得四边形4DBE是菱形(尺规作图，保留作图痕迹)；

(2)4B与。E的交点为。，连结OC,若4E=5,cos^DBE=|,求。C的长.

【答案】(1)见解析;

(2)275.

【分析】(1)如图所示，①作线段4B的垂直平分线，交CB于点D；②以点3为圆心，以BD为半径画弧，

交垂直平分线于点E；即得所求.

(2)过点E作EF1BC于点足由菱形得，AE\IBC,AE=BE=5,可证四边形4CFE是矩形，解RtABEF得

BF=3,EF=4,由勾股定理AB=7AC?+BC2=4圾,由斜边中线定理，得。C==2b.

【详解】(1)解：如图所示，①作线段ZB的垂直平分线，交CB于点D；

②以点2为圆心，以B0为半径画弧，交垂直平分线于点E；

③连接4。，AE,BE,即得所求.

(2)过点E作EF1BC于点F,

V四边形2DBE是菱形，

：.AE\\BC,AE=BE=5,

^ACB=90°,

.••四边形4CFE是矩形，

：.CF=AE=5,

在RtABEF中，：COSNDBE=|,

.BF_3

*一g，

ABF=3,

：.EF=AC=4,

：.BC=CF+BO=5+3=8,

：.AB=y/AC2+BC2=V42+82=4心

・・•乙4cB=90。，。是的中点，

：.OC=-AB=2V5,

2

;.oc的长为2遍.

【点睛】本题考查尺规作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；构造直角三角形求解线段是

解题的关键.

【变式8-1]（2023•陕西西安•校考模拟预测）已知平行四边形4BCD的对角线相交于点O