重庆市某中学2024-2025学年高三年级下册二诊数学试题（解析）

重庆市巴蜀中学2025届高三二模考试

数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.“『忖”是“W<i”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.

【详解】因为!>卜|整理得到炉<1且x>0,即0<x<l,

又W<loT（无<1，所以是“国<1”的充分不必要条件，

故选：A.

2.过点P（l,0）且与抛物线有且仅有1个公共点的直线/的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象可知直线X=1符合题意，求导，根据导数的几何意义求切线，即可得结

果.

【详解】如图，直线X=1与抛物线。：r=、有且仅有1个公共点，符合题意，

将好=y求导可得y'=2x,

设切点坐标为(毛,片)，切线斜率上=2%,

则切线方程为y-需=2x0(%-x0),

代入点P(1,O)可得—君=2%(1—%),解得%=0或%=2,

可知过点P(LO)的切线有2条，

综上所述：符合题意的直线有3条.

故选：D.

3.复数(l-i)(a+2i)(aeR)在复平面内对应的点不可能在第()象限.

A.一B.二。三D.四

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算结合复数的几何意义可得复数在复平面内对应的点为

(a+2,2—a),进而分析求解即可.

【详解】因为(l—i)(a+2i)=a+2+(2—a)i,

可知复数(l-i)(a+2i)(aeR)在复平面内对应的点为(a+2,2—a),

令解得—2<a<2,可知点(a+2,2—a)可能在第一象限；

令解得。<一2,可知点(a+2,2—a)可能在第二象限；

令无解，可知点(。+2,2—a)不可能在第三象限；

令3—a<0,解得。>2,可知点(。+2,2—a)可能在第四象限；

综上所述：点(a+2,2—a)不可能在第三象限.

故选：C.

4.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为4兀，则此圆锥的体积为()

A.8岛B.—7TC.1671D.-7T

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求厂,/,力，进而可得体积.

【详解】设圆锥的底面半径为厂，母线长为/,高为心

71r2=4兀

r=2

由题意可得：<』x2兀/=2兀厂，解得<

I=4

2

h=26

h=J/2一/

所以圆锥的体积为V=1x4兀乂2百=述

33

故选：B.

9JT

5.在钝角VA3C中，内角的对边分别为a,4c,a=3,匕=7且最大角5<石，则

c的取值范围是（）

A.（4,2710）B,（4,7）

C.（5,7）D.（5,2啊

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得-工<cos6<0,结合余弦定理运算求解.

2

712711

【详解】由题意可知：—<B<—,则——<cosB<0,

232

,j-+c2—Z?29+02—49c2—40

由余A弦定理可r/得scosB=---------=----------=------,

lac2x3c6c

则一上<£_±<o,解得5<c<2/，

26c

故选：D.

6.若（％+2）2+力+1）2=2,则二干也的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】令之口=左，即入—y—1=0,将问题转化成直线与圆有交点，从而得到—1〈左41,

X

即可求解.

【详解】令尸又x+y+l=Z1l+i,令2±1=左，整理得到履—y—1=0,

XXX

|-2^+1-1|

由题可得<V2,整理得到女2一1<0,解得一14左<1,

J1+/

所以0铲+y+工,

X

故选：B.

111

7.我们解不等式1口%>大)时，可以采用如下c方法x>：c山_7c%等价于即

x>值根据以上思路求解：函数/(%)=/,%«0,y)的最小值为()

£1

A.0B.1D.

eeee

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意整理可得In/(x)=xlnx,xe(O,-R»)，构建g(x)=xlnx,xe(0,+<»),

求导，利用导数求其最值，即可得结果.

【详解】因为/(x)=x*,xw(o,4w),则〃尤)>0,

两边同时取对数可得In/(%)=xlnx,xw(0,+oo),

构建g(x)=xlnx,xe(0,+。)，则g,(x)=l+lnx,

令g'(x)>0,解得x〉』；令g'(x)<0,解得0<x<,；

ee

可知g(x)在卜，内单调递减，在(J+8)内单调递增,

则g(x)2g即ln/(x"—5可得"％)之e=

所以函数/(x)(0,+R)的最小值为屋!•

故选：D.

8.已知向量。，瓦G+B都是单位向量，且向量"满足向量1-e,B-3的夹角为三，则，的

最大值为（）

A.2B.eC.75D.3

【答案】A

【解析】

一27rrULI1ULUrULMU11UU1U

【分析】根据模长关系可得G力=7,设看=OAb=OB是=OC,a+b=OD，分类讨论

点O,C与直线AB的位置关系，结合圆的性质即可得结果.

【详解】由题意可知：同=/=忖+囚=1,

因为口+,=（为+1）=a~+b2+2a-b,

11一一1

即l=l+l+2a・Z?，贝为=-耳，

一r展B1一「r-2兀

可得85。,。=时间=—],且君力6[0,兀],所以，力=彳，

[ULI1ULU[ULMU11UUU

设a=OA,b=OB,c=OC,a+b=OD>

1iUUrrLILL1ruu

则a-Z?=BA5a-c=CA,b—c=CB，

由题意可知：ZACB=|,ZAOB=ZADB=^-,\AD\=\OD\=\BD\=1,

若O,C位于直线AB两侧，且NACB+NAOB=TI,可知A,3,C,O四点共圆，

且圆心为。，半径R=l,其中点C优弧A3上，不包括点A3,

则的最大值即为圆的直径2R=2；

若O,C位于直线A3同侧，且NACB+NAD3=TI,可知A,3,C,。四点共圆,

且圆心为。，半径H=l，其中点C优弧A3上，不包括点A3,此时10cl=1；

综上所述：|c|的最大值为2

故选：A.

二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的

四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有选错的得。分)

9.若函数y=/(x)的图象经过平移后可以得到函数y=g(无)的图象，则称函数7(%)与

g(x)是“全等函数”.下列各组函数中,八%)与g(九)是“全等函数”的是()

A./(九)=sinx+Gcosx,g(尤)=42sinx-^2cosx

B.f(x)=ex,g(x)=2-ex

C.f(x)=Inx,g(%)=In(2x)

D./(x)=ln|x|,^(x)=ln(|x|+l)

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于ABC：根据图象变换分析判断即可；对于D：根据函数定义域分析判断.

兀(x)=2sin(x~~

【详解】对于选项A：由题意可得:〃x)=2sinx+力

77T

将函数y=/(£)的图象向右平移逐个单位,

可得y=2sinf+yj=2sinfx71

g(x),故A正确;

对于选项B：/(x)=ex,g(x)=2-ex=eln2-e"=ex+ln2,

将函数y=/(x)的图象向左平移ln2个单位，可得丁=产瓜2,故B正确；

对于选项D：/(%)=lux,g(%)=In(2x)=lux+ln2,

将函数y=/(x)的图象向上平移ln2个单位，可得g(x)=lnx+ln2,故C正确；

对于选项D：因为/(x)=InW的定义域为(—8,0)5。,+8),而g(x)=ln(|x|+l)的定

义域为(-8,+8)，

所以无论怎么平移两函数，图象都不可能重合，故D错误；

故选：ABC

10.已知。力为正实数，ab+a+2b=14,则下列说法正确的是()

A.a+b<21B.的最小值为-1

b+1

C.a+4b的最小值为12D.」一+—J—的最小值为：

a+2b+12

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，化简得到(。+2)3+1)=16,令x=a+2,y=Z2+l,得到

a+b=x+—-3,结合函数〃x)=x+3单调性，可判定A正确；由6+1=*-,得

xxa+2

n-6—4-/7—12

到£0=a_丝士，结合二次函数的性质，可得判定B正确;化简a+4人=X+4y—6,

b+116

利用基本不等式，可得判定C不正确；由(a+2)3+l)=16,得到

-^+—>2.1—-----,可判定D正确.

a+28+1、a+2b+1

【详解】由区?+a+2/?=14,可得(a+2)S+l)=16,

对于A中，令x=a+2,y=Z?+1,则〃=%—21=y-1且孙=16,

可得2<x<16,则a+/?=x+y-3="XH----3,

x

因为函数〃x)=x+3在(2,4］上单调递减，在［4,16)上单调递增，

可得/(%)</(16)=17,所以a+Z?=x+y-3<14,所以A正确；

对于B中，由(a+2)(Z?+1)=16,可得6+1=------

tz+2

„।ci—6a+2a,—4a—12(a—2)~—16

则----=(a—6)x-------=----------------=---------------，

b+1161616

Z7—6

当且仅当a=2时，——取得最小值-1,所以B正确；

b+1

对于C中，由a+41=(x-2)+4(y-l)=x+4y-6。2“-4y-6=10，

当且仅当x=4y时，即x=8,y=2时，即a=6,Z?=l时，等号成立，所以C不正确;

对于D中，由(a+2)3+1)=16,

可得^—+,22・11]_

a+2b+1tz+2/?+12

当且仅当工=时，即a=2,6=3时，等号成立,

a+2/7+1

所以」一+二一的最小值为所以D正确.

a+2b+12

故选：ABD.

11.数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运

算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就

是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2,进位规则是“逢二进一”，借位

规则是“借一当二”.若干进制数〃=/*2/+qx+&x2仆2+…+%x2】+以x2°,其

中q=l,qe{0,1},则n对应的二进制数为（44出…。J（keN）.以下说法正确的是（）

A.十进制数2025用二进制表示为（1111101001）2

B.满足,,%,出，…，&中有且只有3个1的所有二进制数（44的…%%对应的十进制数的

和为1275

C.将〃对应的二进制数中1的个数记为S（〃），则S（2〃+l）=S（16〃+4）

D.将〃对应的二进制数中0的个数记为T（"）,令/5）=2w），贝|

/（22025）+/（22025+1）+/（22025+2）+...+/（22026-1）=32025

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据十进制与二进制的转化方法即可判断A,利用组合分析出所有情况即可判断B；

分别计算等式左右两侧即可判断；利用二项展开式公式即可判断D.

【详解】对于A：

2025=1024+512+256+128+64+32+8+1=1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25

4321

+0X2+1X2+0X2+0X2+1=(11111101001)2,故A错误；

651

对于B：n=a0x2+o1x2+---+a5x2+a6x2°,其中4=1,9,％中有且只有2

个1,有C：=15种可能；

所以所有二进制数4…4入对应的十进制数的和中，26出现C；=15次，

25,2。…,2],2°均出现C：=5次，

所以对应的十进制数的和为C；(25+24+…+”+2°)+或X26=1275,故B正确；

对于C：n=a。x2'+qx2*।+a,x2*2+•,-+x21+a*x2°,

k

则S(n)—):ci-,2n+1-a。x2"+】+4x2"+a?x2k4-,••+以_(x2?+%x21+1,

i=0

故s(2〃+i)=Za+i=s(〃)+i,

i=0

Mk+3k+2542

16n+4=a0x2+aix2+a2x2+---+^_^2+akx2+2,

k

故S(16〃+4)=26+1=S(〃)+l,故S(2〃+l)=S(16〃+4),故C正确；

i=0

202620262025225

对于D:22°25,22025+],22025+工…，2_1共2-2=2°个数中所有的数转换为

二进制后，

总位数都为2026,且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者

1;

设其中的数无，转换为二进制后有左个0(04左〈2025),/(%)=2"；

在这22025个数中，转换为二进制后有左个。的数共有C；025个，

故

2025

f(22025^2025)...f2026C^=5

02°25)+/f+2++(2-1)=J025(1+2产=3^^

k=0

,故D正确，

故选：BCD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

(兀)5

12.已知tan[&+/J=e,贝i]cos2«=.

【答案】—

29

【解析】

【分析】以a+：为整体，利用诱导公式可得cos2a=sin2]a+W),再根据倍角公式结

合齐次式问题运算求解.

【详解】因为tan［a+：］=g

,c兀、兀

由cos2a=cos2a-\•一——

L14j2J

=sin21a+；］=2sin［a+；］cos［a+；］

2sina+—cosa+—2tan

:I4)I4)_I4)

sin2［tz+：］+cos2］a+：］tan2^c)!'+^+l

o5

_2_20

豆MF

故答案为：—.

29

13.若一组数据6,1,7,5,5,27,11,21,3机(mwR)的第75百分位数为12,则这组数据的

第40百分位数为____.

【答案】5.5

【解析】

【分析】分析可知第75百分位数为第8位数，结合数据可知%=12或3切=12,代入检验

即可，进而可得第40百分位数.

【详解】因为10x0.75=7.5,可知第75百分位数为第8位数，

若数据第75百分位数为12,结合数据特值可知m=12或3m=12,

若m=12,数据按升序排列可得1,5,5,6,7,11,12,21,27,36,

则第75百分位数为21,不合题意；

若3m=12,即加=4,数据按升序排列可得1,4,5,5,6,7,11,12,21,27,

则第75百分位数为12,符合题意；

综上所述：加=4,此时数据1,4,5,5,6,7,11,12,21,27,

又因为10义0.4=4,所以这组数据的第40百分位数为互5.5.

2

故答案为：5.5.

14.已知函数y(x)=＜；若函数y=/(4(x))所有零点的乘积为1，则实数a

inx\,x〉u

的取值范围是.

【答案】［,g］u［l,+8)

【解析】

【分析】根据函数“力的零点可得/(x)=：,再结合指、对数性质分析可知方程|ln=：

有根，方程2、+1=!无根，结合图象即可得结果.

a

【详解】当xKO时,可得〃力=2'+1«1,2］；

当龙＞0时，可得/(力=加刀］20,当且仅当x=l时，等号成立，

即函数/(九)有且仅有1个零点1,

若函数y=/(4(x))有零点，则4(力=1，

显然awO,可得/(x)=：,

假设方程|lnx|=：,x〉0有根，可知方程|lnx|=1,x＞0有两个不相等根，

设为玉，X2，且。＜玉

则=加可，可得In玉+ln%2=ln玉%2=0，即再赴二1，

假设方程2工+1=±%＜0有根，可知方程2*+l=Lx＜0有且仅有1个根，设为退＜0,

aa

结合题意可知：方程|lnx|=±x〉0有根，方程2'+1=±工＜0无根，

aa

即■与y=/（x）,xW0无交点，与y=/（x）,x＞0有2个交点，

o|~~X

结合图象可知：0＜工41或,＞2,解得a21或0＜。＜!，

aa2

所以实数a的取值范围是[O,/]D[L+X）.

故答案为：]°,5]D[I,+CO）.

四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.如图所示，在空间几何体ABCDPQ中，四边形ABCD为正方形，平面尸CD，平面

ABCD,QA±AB,PD//QA,PD=DC=2QA.

（1）证明：平面ABCD.

（2）求平面P3c与平面P5Q所成锐二面角的大小.

【答案】（1）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意可得PDJ_CD,结合面面垂直的性质分析证明；

（2）建系标点，分别求平面尸6c与平面P5Q的法向量，利用空间向量求面面夹角.

【小问1详解】

由四边形A3CD为正方形知CD，且24,A3,则QALCD,

因为尸£>〃QA，则PDLCD,

又因为平面PCD,平面ABCD,平面PC。。平面ABCD=CD,?Du平面PCD,

所以平面ABCD.

【小问2详解】

由（1）知尸£），平面ABCD且。A，。。，故ZHDCDP互相垂直；

以。为原点，DA,DC,。尸所在直线分别为％yz轴建立空间直角坐标系，

不妨设QA=1，则PD=DC=2,可得5（2,20）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,Q（2,0,1）,

故丽=（2,2,-2）,定=（0,2,-2）,电=（2,0,—1）,

m•PB=2%+2M—22I=0

设平面P3Q的法向量是前=（%,%,zj,贝卜

m•PQ=2再一4二0

取玉=1,则必=1，4=2,可得玩二

n-PB-2X+ly-2z=0

设平面尸3C的法向量是为=（%2，%，22），贝卜222

n-PC=2y2-2Z2=0

取%=1，则X2=°，Z2=1，可得为=（0,1』）；

记平面PBC与平面PBQ所成锐二面角为，e[0,^J,

则cos0=|cos玩，万|=禺=/=,，可知*今

7T

故平面PBC与平面PBQ所成锐二面角的大小为一.

6

InY

16.已知函数/（%）=不（4>0）的图象在x=l处的切线与坐标轴所围成的三角形的面

积为！.

（1）求a值；

⑵记〃尤）的极大值点为%,证明：=

【答案】（1）a=l

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）利用函数求导得切线方程，求出切线与坐标轴交点，结合面积公式运算即可;

（2）根据函数单调性和零点存在性定理可知g（x）=4-Inx+1在定义域（0,+"）内有且仅

X

有1个零点后，进而可得/（X）的单调性和极值点，结合零点代换分析证明.

【小问1详解】

ai1

—Inx+1

因为a>0,可知/（%）的定义域为（0,+℃）,且=x________

(X+Q)

可得/（i）=o,r（i）=£,

即切点坐标为（l,0）,切线斜率为左=g,则切线方程为y=£（x-1）,

令％=0,可得y=——?

Q+1

则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为[xlx—解得a=l.

2（2+14

【小问2详解】

i,,

1nY——lnx+1

由⑴可得：/@六x________,x>0,

(%+l)2

因为y=』,y=-lnx在定义域(0,+8)内单调递减，

可知g(x)=L-lnx+l在定义域(0,+“)内单调递减，

且g(e)=L>0,g(e2)=4—l<0,

ee

可知g(x)在定义域(0,+8)内有且仅有1个零点/e(e,e?),

当0<x<x()时，g(尤)>0,即/>'(%)>()；

当X〉/时，g(x)<0,即/'(x)<0；

可知”可在(0,%)内单调递增，在(1，+”)内单调递减，

所以/(%)的极大值点为％,

又因为g(x())=上一lnXo+l=°,可得Xolnx。=%+1,

xlnx_x+1

所以//(%)=000=1

x0+1x0+1

17.甲、乙、丙三位同学组队参加一个闯关活动.每次只能派1个人参加闯关活动，每次闯关

用时1分钟，如有必要则派下一个人继续参加闯关活动，直至三人中有两人闯关成功就视为

团队“挑战胜利”，否则视为“挑战失败”.在已经确定“挑战胜利”或“挑战失败”时，活动

立刻结束.已知甲、乙、丙各自能闯关成功的概率分别为工2,2，且假定每人能否闯关成

433

功的事件是相互独立的.

(1)若改变三个人先后参加闯关的顺序，团队“挑战胜利”的概率是否会发生变化？请说

明理由.

(2)为了使活动平均用时最少，三位同学应该以怎样先后顺序参加闯关活动，并说明理

由.

【答案】(1)不会变化，理由见解析

(2)应该以甲、乙、丙或乙、甲、丙顺序闯关，理由见解析

【解析】

【分析】(1)直接求出各种闯关的顺序，团队“挑战胜利”的概率，即可求解；

(2)根据条件，直接求出每种闯关的顺序所花的时间的均值，即可求解.

【小问1详解】

不会发生变化，理由如下,

记事件A：甲闯关成功，事件5：乙闯关成功，事件C：丙闯关成功，事件E：团队“挑

战胜利”，

因为甲、乙、丙各自能闯关成功的概率分别为!」,工，且每人能否闯关成功的事件是相互

433

独立的，

若闯关的顺序为甲、乙、丙,

则

P”(…。+的=/网)+9)+”)=v+对><|+5|\*

若闯关的顺序为乙、甲、丙，则

1121213213

P(E)=P[BA+BAC+BAC)=—X—H——X—X——1-—X—X—=——

4334334336

即有闯关的顺序为甲、乙、丙和闯关的顺序为乙、甲、丙时,团队“挑战胜利”的概率一样,

若闯关的顺序为丙、甲、乙，则

2111123113

P(E)=P(CA+CAB+CAB)=—X——1--X—X—H——X—X—

3434334336

同理有闯关的顺序为甲、丙、乙和闯关的顺序为丙、甲、乙时，团队“挑战胜利”的概率一

样,

若闯关的顺序为丙、乙、甲，则

2111122113

P(E)=P(CB+CBA+CBA)=—x—+—X—X——I——X—X—=

3333433436

同理有闯关的顺序为乙、丙、甲和闯关的顺序为丙、乙、甲时，团队“挑战胜利”的概率一

样,

所以改变三个人先后参加闯关的顺序，团队“挑战胜利”的概率不会发生变化.

【小问2详解】

由(1)知，若按甲、乙、丙或乙、甲、丙顺序闯关，

用X1表示所花的时间，显然Xi可能取值为2,3,

11327

又产(％=2)=尸+=—x—H——X—=——

434312

>.31125

P（Xl=3）=P（AB+AB|=—X—H——X—=—，

,434312

由（1）知X］的分布列为

X23

75

P

1212

7529

则E（Xj=—x2+二><3==，

1"121212

若按丙、甲、乙或甲、丙、乙顺序闯关，用乂2表示所花的时间，显然X2可能取值为2,3,

/___、19315

又P（X,=2）=PAC+AC=-x-+-x-=—,

、,、7434312

32117

P（X,=3）=PAC+AC=-x-+-x-=—,

'''7434312

由（1）知X2的分布列为

X]23

57

P

1212

5731

则后区）=—x2+—x3=—，

'27121212

若按丙、乙、甲或乙、丙、甲顺序闯关，用X3表示所花的时间，显然X3可能取值为2,3,

/___、12214

又尸（X，=2）=尸5C+BC=—x—+—x—=—,

\3"\）33339

/——X77115

p（Y=3）=P（BC+BC）=-x-+-x-=-,

v37,733339

由（1）知X3的分布列为

X323

45

P

99

4523

则£（Xj=—x2+—x3=—,

l3/999

显然有£（Xj<E（X3）〈石（X?）,所以三位同学应该以甲、乙、丙或乙、甲、丙顺序闯关.

2

18.已知直线/：、=履+，（左>0/<0）与椭圆C:\+y2=1（。〉1）交于A3两点（A在

a

下方，3在上方），线段A3的中点为E，直线0E的斜率为-（。为坐标原点）.

3k

（1）求椭圆。的方程；

（2）若射线OE与椭圆C,直线x=3分别交于G,。两点，且|0。|,|。6|,|。目成等比数

列.

（i）求点M（O,D到直线/的距离的最大值；

（ii）当直线BG与x轴垂直时，求AABG的外接圆方程.

2

【答案】（1）—+y2=l

3-

⑵⑴行；（ii）（x-1）2+/=|

【解析】

22

【分析】（1）设得到驾+才=1,与+必=1,两式相减，结合斜率

aa

公式，化简得到eE*AB=-3,求得6=3,进而得到椭圆的方程；

a

（2）（i）设4（和%）,B（X2,%）,联立方程组，得到玉+々=一一，贝Uy+%=-??—>

3kt13kc

得到XE=--y—，再由OE的方程为y=--x，联立方程组求得加=/-7——，X。=3,

女I133I1

根据1JOG|,\OE\成等比数列，得到xl=xD-xE,列出方程求得k=—t,得到直线/恒

过定点N（1,O）,结合/，肱V,得到点”（0,1）到直线/的距离的最大值；

〜3kI、m3k1、

（ii）由（i）得G（/2=，一~/2）和5（/2:，/,,），将其代入直线方程，

yJ3k2+lyj3k2+ly/3k2+l也甘+1

求得左=1,求得直线/的方程为y=x-i,设AASG的外接圆的圆心为3,0）,求得d=L,

2

得出圆的半径，进而求得外接圆的方程.

【小问1详解】

解：设A（X1,yt）,B（X2,y2）,则xE='产,%=%

22

由点AB在椭圆上，可得3+才=1,餐+$=1,

aa

两式相减，可得（"1+"），1"2+（%+%）（%—%）=o,

a

即（M+%）（%-%）=丹,（%-%）=丝,X-%=k0E-k=-—1

AB3,可得4=3,

（玉+々）（玉一九2）XE（X1-X2）XEX1~X2〃2

所以椭圆C的方程为—+y-=l.

3-

【小问2详解】

y=kx+t

2整理得（3k2+1）%2+6ktx+3/—3=0,

解：（i）联立方程组X21

—+V=1

I3,

设A（X],/）,BlX],%）,可得玉+x,=2>则/+%=k（X[+x,）+/=-,

3K+1~~3K+1

x；+x_3kt

因为点E为AB的中点，所以4=2

23^+1

若射线OE与椭圆C,直线x=3分别交于G,。两点,

可得加〉0且射线OE的方程为y=--x,（x>0）,

3k

1

y=一短X3kR

联立方程组《,,解得加=7十=，x»=3,

x22,y/3k-+l

—+y=1

[3J

因为|OD|,|OG|,|OE|成等比数列，知|OG「=|OD|OE|,可得晓=%.，

3k2o/3kt9k之9kt

故（//）=3・（-2,1），可得一；一解得k=-t,

V3^+l3k+1342+13k2+1

所以直线I的方程为y=k（x-l）,所以直线/恒过定点N（l,0）,

当直线UAGV时，可得左=1,点加（。,1）到直线/的距离的最大值为盘叭=|肱V|=J1

13k1、

（ii）由（i）得一一,）,

N3k2+1,342+1

一»3kI、

当直线BG与x轴垂直时，可得3（/、-，］,，

＜3E+1,3左2+1

将其代入直线y=Mx—1）,整理得342—1=屋历石，

贝|13左2—1＞0且6/—7r+1=0，解得左2=!（舍去）或左2=1，

6

3131

因为左＞0,所以k=1,此时3（5»）,G（5，—万）关于1轴对称，

此时直线/的方程为＞=X-1,此时

由于AABG外接圆的圆心在无轴上，可设AABG的外接圆的圆心为（d,0）,

3o11

可得/0+1=3——）2+-,解得d=—,

242

所以AABG的外接圆的半径为^1/+二正,

2

所以AABG的外接圆的方程为（尤-：）2+/=。.

24

19.存在meN*，对任意的MGN*，当〃＞根时，正项数列｛4｝都满足

^n-m^n-m+1..................1,^n+1,^n+m-1,^n+m—""f则称｛4｝满足P（M性质.例如:

/\2x4

当m=4时，2"-4-2n-3-2n-2-2^-2n+l2"+2-2n+3=28"=（2n）,则等比数列

｛2'｝满足P（4）性质；当根=1时，（71—1）5+1）片/，则数列｛力不满足p⑴

性质.已知数列｛4｝同时满足P（2）,P（3）性质.

（1）证明:数列｛q｝为等比数列；

k,n=a,

(2)已知%=1,。2=3,若数列｛%｝满足:bn=<,其中

bn_1+2k,ak<n<aM

左eN*.设Sn为数列,“}的前〃项和，记Tn=b}+b2+b.+...+b2Sn.

①求7；的表达式(用含〃的式子表示)；

8z—19

②试判断X与京的大小关系，并说明理由.

1i67；-(3z+l")(8z-1I、)-1I40

【答案】(1)证明见解析；

,八c(8〃—1)X9"+1;②t________8/-1________9