重庆市七校2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试题

2024-2025学年度上期高二半期七校联考

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.考试结束后，将答题卷交回.

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.已知直线，：x=a（aeR）,则直线/的倾斜角为（）

兀

A.0B.—C.兀D,不存在

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线/的方程可得出其倾斜角.

【详解】因为直线/的方程为x=a（aeR）,故/，左轴，

所以，直线/的倾斜角为」JT.

2

故选：B.

2.已知双曲线C的虚轴长为2,一个焦点为（、质,0）,则。的渐近线方程为（）

A.y=+-xB.y=±^-xC.y=±4xD.丫=+2^1%

-413y~2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意求出。、b的值，即可得出双曲线C的渐近线方程.

22

【详解】由题意可知，双曲线。的焦点在X轴上，设其标准方程为，-g=1（。〉0,6〉0）,

26=2[a=4

由题意可得|2l，解得「一

/+〃2=&y[b=l

b1

故双曲线的渐近线方程为y=±-x=±—x.

a4

故选：A.

3.直线/的一个方向向量为而=（T,2,2）,平面a的一个法向量为3=（2,-1,九），若/〃平面a,则％=

（）

A.-5B.5c.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得浣，3,结合空间向量数量积的坐标运算可求得x的值.

【详解】直线/的一个方向向量为而=（T,2,2）,平面a的一个法向量为3=（2,—1,X）,

因为/〃平面a,则正，5，所以，m-n=-8-2+2x=2x-10=0>解得x=5.

故选：B.

4.在平行六面体ABC。—A4G。中，AB=AD=2,M=3,15AD=90°，

ZBA^=ZDA^=60°,则AC】=（）

A.2A/5B.2瓜C.aD.而

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得AG的长.

【详解】如下图所示：

由题意可得瓦瓦亚=90。，通，可=莅，苞=60°,

由空间向量数量积的定义可得◎.明=0，

初=|分,题卜0$60。=2x3xg=3,同理可得：=

由空间向量的平行六面体法则可得禧=前+而+蒲，

所以，AQ=(AB+AD+A^)2=AB2+AD2+A^2+2(ABAD+ABA4^+ADA^)

=4+4+9+2X(0+3+3)=29,即函卜屈.

故选：C.

5.已知抛物线C：V=8x,过点"(1,1)作弦AB，弦AB恰被点M平分，则弦所在直线的斜率为

()

11

A.—B.2C.—D.4

24

【答案】D

【解析】

【分析】利用点差法可求得直线A3的斜率.

【详解】设点4(%1，yj、8(x2,光)，

因为点M(LD为线段的中点，则%+々=2,%+%=2,

若直线461%轴，则线段A3的中点在％轴上，不合乎题意，

%=回

由题意可得;将这两个等式作差可得(%—%)(X+%)=8(七一9)，

X

y2=89

即2(%—%)=8(%—马)，所以，直线AB的斜率为¥^=4.

故选：D.

6.在四棱锥尸-A3CD中，底面ABCD是正方形，侧面尸。。是正三角形，且平面PDC1底面

ABCD,E为线段PC的中点.记异面直线"与跖所成角为。，则cosd的值为()

AV6RV6「屈nVio

4444

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，过尸作以。为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以

及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解.

【详解】过尸在平面P0C内作尸0，。。，垂足为点。，

因为侧面PDC是正三角形，所以。是C£＞的中点，

又因为平面底面ABCD,平面PCDD平面A3CD=CD,POu平面PDC,

所以POL底面ABCD,

以。为坐标原点，DA，OC，丽的方向分别为了、V、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标

系,

则正卜2,1,⑹，BE=

13

所以，cosd=1gs而，雇卜1”,啊=/=乎，

\AP[\BE\2V2XV52V104

故选：C.

7.已知两点M(a,0)、N(a,0)(a>0),若圆(x—6)?+('—2)?=4上存在点尸，使NMPN=90。，则

a的取值范围为()

A.(0,5]B.[1,5]C.[2,5]D,[1,4]

【答案】B

【解析】

【分析】设点求出点尸的轨迹方程为*+丁=。2(%。±4,可知圆/+/=。2与圆

(》-君)2+(y—2)2=4有公共点，利用圆与圆的位置关系看得出关于。的不等式组，由此可解得正实数。

的取值范围.

【详解】设点尸(苍y)，则诉=(x—a,y),NP=(x+a,y),

因为NA/PN=90°，则丽,而，所以，痴•标=(x—a)(x+a)+y2=0,

化简可得必+y2=],故点尸的轨迹方程为f+y2=。2（*。±。）,

由题意可知，圆+/=。2与圆卜—君）2+（丁—2）2=4有公共点,

两圆圆心距为d=J心—0『+（2—0『=3，

所以，|a-2|wdWa+2,gp|a-2|<3<a+2,

因为a>0,解得lWaW5,即实数。的取值范围是[1,5].

故选：B.

X2y2

8.若尸（c,0）是双曲线二—=1（。〉0/〉0）的右焦点，过E作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线

交于AB两点（A为垂足，尸在线段A5上），且满足|BF|二8|Ab|,则该双曲线的离心率e=)

5854

A.-B.-C.一D.-

4533

【答案】D

【解析】

【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的

横坐标，由IAF|二8|A方|知乔=8丽，从而得。一/二8（/一。，带入乙、/可得以。的关系式，化

简方程即可求得离心率.

b

【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：y=±—九,

a

设过点F（C,O）与渐近线垂直的方程为y=--（x-c）,

b

b

y=—x

a，得超=4

由<

c

「2c)

b

y=——x

42c

由<:，得/=

>=-a-。)

因为|8/|=8|所以丽^=8丽，则。一项；=8（/一。），

a2c(2\

所以c2—=8---c，化简得9c4—25〃2c2+16/=0，即9/—25/+16=0,

a-bIc

164

解得/=1（舍去）或/=不，则6=]

故选：D

【点睛】与斜率为左的直线垂直的直线斜率为

k

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分,若只有2个正确选项，每选对一个得3分，

若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）

22

9.已知耳，居是椭圆C:工+上-=1的左、右焦点,A3是左、右顶点，尸为C上异于A3的一点，延长

54

尸耳交椭圆于点。，则下列结论正确的是（）

A.椭圆。的离心率e=@B.IPQI的最小值为逑

55

C.月的周长为26+2D.△耳尸耳的面积的最大值为1

【答案】AC

【解析】

【分析】由离心率的定义可得A正确；由通径长可得B错误；由椭圆的定义可得C正确；当点P在上顶点

时面积最大可得D错误；

对于A,由题意可得q=o=JQ2—52=],所以£=_£=]£,故A正确；

a5

。“2。/IQ

对于B,|P。I的最小值为椭圆的通径长一=\=-后,故B错误；

a"5

对于C,由椭圆的定义可得△耳PK的周长为卢制+|P闾+|耳闾=2a+2c=2百+2,故C正确;

对于D,因为闺鸟|=2c=2,当三角形的高最大时面积最大，即点P为短轴端点时面积最大，

所以△耳P居的面积的最大值为闾心=gx2x2=2,故D错误;

故选：AC.

10.已知动点M（x,y）与两定点0（0,0）、A（3,0）的距离之比为g,设动点M的轨迹为C,下列结论正确

的是（）

A.C的方程为（x—1）2+_/=4

B.AM4O面积的最大值为3

C.NA/AO最大时，|M4|=2g

D.设P（3,3）,贝+的最小值为3夜

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知距离之比建立关系即可得出轨迹方程，可判断A选项；易得河到。4的最大距离为2,

即可求出△M4O最大面积，可判断B选项；当NM4O最大时，直线40与圆（％+1丫+丁2=4相切，利

用勾股定理可判断C选项；由题意得出|M4|=2|MO|,当M为线段OP与圆C的交点时，|MP|+g|MA|

取最小值，可判断D选项.

\MO\141

【详解】对于A选项，设M（x,y）,由题即/二？

IM2&―3了+/2

整理得（x+l『+y2=4,A错；

对于B选项，△Q4M以。4为底，且M到。4的最大距离为半径2,

所以面积的最大值是，x3x2=3,B对；

2

对于C选项，当NM4O最大时，此时，直线AM与圆（x+iy+y2=4相切，

取点C（—1,0）,则WAM,且|AC|=4,

由勾股定理可得|AM|=JlACf—2川;=142—2z=2百,C对；

对于D选项，由题意可得|加4卜2|河。|,

piij\MP\+1|M4|=\MP\+\MO\>\OP\=V32+32=30,

当且仅当“为线段OP与圆C的交点时，等号成立，

所以，|MP|+g|M4|的最小值为3a,D对.

故选：BCD.

11.如图，在多面体A3CDES中，S4L平面ABCD,四边形ABCD是正方形，旦DEIISA,

SA=AB=2DE=2,M、N分别是线段5C、BS的中点，。是线段。C上的一个动点（含端点。、

C）,则下列说法正确的是（）

A.存点。，使得NQLBS

B.存在点。，使得EQ//BS

C.三棱锥Q-体积的最大值是工

3

D.当点。自。向C处运动时，直线。C与平面QMN所成的角逐渐增大

【答案】ABD

【解析】

【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A选项；利用共线向量的坐标表

示可判断B选项；由%_忖=%_32,求体积最大值判断C选项；向量法求线面角的正弦值的变化情况判

断选项D.

【详解】&L_L平面ABCD,四边形ABCD是正方形，

以A为坐标原点，AB，AD>AS所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由5A=AB=2£>E=2,得2（0,0,0）、B（2,0,0）、C（2,2,0）,£>（0,2,0）、

£（0,2,1）、S（0,0,2）、N（l,0,l）、M（2,l,0）,

对于A,假设存在点。（m,2,0）（0WmW2）,使得NQLS6,

则而=（m—又丽=（2,0,—2）,

则而•葩=2（加—1）+2=0,解得：772=0,

即点。与。重合时，NQ±SB,A对；

对于B,假设存在点0(m,2,O)(OW〃zW2),使得EQ//BS,

因为丽=(—2,0,2),EQ=(m,0-1)，

因EQ//BS,则存在XeR,使得诙=4的，BP(m,0,-1)=2(-2,0,2),

(»[m=l

m=—2A

所以，co-解得《。1，

2A——1A-

l12

故当点。为线段CD的中点时，EQ//BS,B对;

对于C选项，连接AQ、AM>AN,

设DQ—m(0WmW2),

因为^^AMQ=^nABCD~^ABM~^QCM~MQ=2一万，

当根=0,即点。与点。重合时，5。夜取得最大值2,

又点N到平面AMQ的距离d=-SA=l,

2

所以，（％…C错；

对于D,由上分析知而=（加一1,2,—1）,W=（l,l,-1）,DC=（2,0,0）,

,、\n-NQ=（m-\\x+2y-z=Q

若为=（x,y,z）是面QMN的法向量，贝叫_.v,

n-NM=x+y-z=0

令x=l,则为=（1,2-佻3-m）,

设直线DC与平面QMN所成的角为。,

DC-n2

sin^=J_1二

|阿同2xJl+（2-+（3-m）~

因函数/'(x)=2(m—g］+|在［0,2］上单调递减,

则当点。自。向C处运动时，即掰逐渐增大时，直线。C与平面QMN所成的角逐渐增大，D对.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可

确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度力，从而不必作出线面角，则线面

h

角。满足sin，=7(/为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设Z为直线/的方向向量，输为平面的法向量，则线面角。的

正弦值为sin0=|cos(a,n)\.

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知直线/：(7«-l)x+y-2??7-9=O(meR),则直线/恒过定点.

【答案】(2,11)

【解析】

x-2=0

【分析】把直线方程变形为关于加的方程，令1cc解出即可；

-x+y-9=0

/、（x—2=0

【详解】由题意可得加（x—2）—x+y—9=0,令1，解得x=2,y=ll,

[-x+y-9=0

所以直线/恒过定点（2,11）,

故答案：（2,11）

13.在棱长为2的正方体A5CD-4与4。中，E为CG的中点，则点A到直线入£的距离为

【答案】逑

3

【解析】

【分析】方法1：如图点&到直线AE的距离为等腰三角形△HE边AE所对应的高，由等面积法可得答

案；方法2：如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得答案.

【详解】方法1：由正方体棱长为2,则AG=AC=2后，又E为的中点，

则GE=CE=1,AE=AC2+EC2=3.

点A到直线的距离为等腰三角形△A41E边AE所对应的高/z,

取AA中点为凡连接EF,则跖为边A&上的高，

1……1,…,AA,EF2x204A/2

则SoA,尸=—44,•£/=—4£/=＞丸=巴----=------

22AE33

方法2：如图建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）,4（0,0,2）,C（2,2,0）,

G（2,2,2）,E（2,2,l）,画=（0,0,2）,荏=（2,2,1）.

442

则可在冠上的投影向量为:

9'9'9>

AE

16+16+432_472

则A1到直线AE的距离d=

81豆一亍

…建但472

故答案为：

3

14.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

22

已知椭圆C:3+%=l（O<6<2）,耳、「2为其左、右焦点.“是C上的动点，点且

+的最大值为6,则3=.动直线/为椭圆C的切线，右焦点尸2关于直线/的对称点

为P（m,n）,则点p到直线x+y+6&=0的距离d的取值范围为.

【答案】①.五[1,9]

【解析】

【分析】根据椭圆定义可得出|5|+|儿码=2a,可得出|W|+|咋以叫|+2a,当且仅当以为射线

M与椭圆的交点时，等号成立，可求出。的值，进而可得出b,根据椭圆的光学性质可得出点P的轨迹是

以耳卜，5,0）为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求得d的取值范围.

【详解】根据椭圆定义得|町|+|人里|=2a,

所以，+|町|=|ACV||+2aW|叫|+2a,

当且仅当以为射线N8与椭圆的交点时，等号成立，

因为|初V|+|岬|的最大值为6,且a=2,则|人写|=，2+°2=2,解得c=0，

则b=a2—c2=,4—2=A/2-

设/切椭圆于点A,

由椭圆的光学性质可得P、A、耳三点共线，|耳^=闺旬+|叫=闺旬+|伤1=2。=4,

则点P的轨迹是以片卜后,0)为圆心，半径为4的圆，

所以，川-"0)到直线x+y+6后=0的距离为卜十^6闽=§,

由圆的几何性质可知，点尸到直线x+y+6应=0的距离最小值5—4=1,最大值5+4=9,即de[l,9].

故答案为：、回；[1,9].

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知4(0,2)、3(1,1)、C(2,-2)、Q(2,—1)四点.

(1)求经过A、B、C三点的圆M的方程；

(2)若直线/过点。且与圆M相切，求直线/的方程.

【答案】(1)(X+3)2+(J+2)2=25

⑵光-2=0或12x+5y-19=0

【解析】

【分析】(1)设圆加的标准方程为(%—。)2+34)2=产上＞0),将点A、B、C的坐标代入圆河的

方程，求出。、b、产的值，即可得出圆河的方程；

(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，在直线/的斜率不存在时，直接检验即可；在直线/的斜率

存在时，设直线/的方程为丁+1=左(%—2),利用点到直线的距离公式可得出关于左的方程，解出左的

值，综合可得出直线/的方程.

【小问1详解】

设圆M的标准方程为(％—of+(y—=,(厂＞0),

因为4(0,2)、5(1,1)、。(2,—2)三点都在圆M上，

(0-a)，(2-bp=//=_3

则＜(l-a)2+(1-6)2=/,解得＜。=-2,

(2-a)2+(-2-b)2=r2[r2=25

因此，圆M的方程为(x+3『+(y+2)2=25.

【小问2详解】

由⑴可知，圆”的圆心为M(—3,—2),半径为r=5,

①若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=2,止匕时，圆心M到直线/的距离为5,合乎题意；

②若直线/的斜率存在，设直线/的方程为丁+1=左(%—2),即依—y—2左—1=0,

|一5左+[=12

因为直线/与圆Af相切，所以，,.—5,解得k=——

1?

此时，直线/的方程为y+l=—二(％—2),即12x+5y—19=0.

综上，直线/的方程为x—2=0或12x+5y—19=0.

16.如图，已知R4J_平面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=AD=AB=2,M、N分别为AB、

PC的中点.

(1)求证：MN_L平面PCD；

（2）求PB与平面PNC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵好

6

【解析】

【分析】（1）以点A为坐标原点，AB，AD，"所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

利用空间向量法可证得，平面PCD；

（2）利用空间向量法可求得PB与平面PMC所成角的正弦值.

【小问1详解】

因为上4,平面ABCD,四边形ABCD为正方形，

以点A为坐标原点，AB，AD>AP所在直线分别为％、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,2）、C（2,2,0）、。（0,2,0）、加（1,0,0）、N（l,l,l）、B（2,0,0）,

PD=（O,2,-2）,CD=（-2,0,0）,W=（0,1,1）

_.、ft-PD=2y-2z=0

设平面PCD的法向量为n=（九,y,z）,则〈_.，

n-CD=-2x=0

令y=l,得3=（0,1,1）,则丽〃大故MV_L平面PCD.

【小问2详解】

由（1）知加=（1,0,—2）,MC=（1,2,0）,丽=（2,0,—2）,

设平面PMC的一个法向量为m=^a,b,c）,

m-PM=a-2c=0一

则〈___.,令〃=2,得加=（2,-1,1）,

m・MC=〃+2/?=0

\PD-n^4-2_73

设直线PB与平面所成角为。，则sin8=

而同一2万面―6'

即直线PB与平面PNC所成角的正弦值为追.

6

17.已知抛物线C：y2=2px(0>0)的焦点为八点人(3,%)在抛物线。上，且|人同=4.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过点7(2,0)的直线/与抛物线C交于加、N两点，若点5(—1,—1)满足的.两=1，求直线/的

方程.

【答案】(1)V=4x；

(2)y=-2x+4.

【解析】

【分析】(1)利用抛物线的定义可求出P的值，由此可得出抛物线C的方程；

(2)根据题意，设直线/的方程为x=/ny+2,设点M(xi，yj、N(x2,y2),将直线/的方程与抛物线的方

程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得机的值，即可得出直线/的

方程.

【小问1详解】

抛物线C：V=2四(°〉0)的准线方程为了=",

因为点4(3,%)在抛物线。上，且|AE|=4,

由抛物线的定义可得|A司=3+g=4,解得p=2,

因此，抛物线C的方程为V=4x.

【小问2详解】

若直线轴，则直线/与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意，

故可设直线/的方程为x=^y+2,设点MQi，%)、N(%2，y2)，

N

x=my+2cc

由4,“，整理得y—4切一8=0,则A=16〃r+32>0，

[y-=4x

由韦达定理可得%+%=4加，％%=-8,

因为BA/=（玉+1,%+1）=（加乂+3,弘+1）,BN=（x2+l,y2+l）=（my2+3,y2+l）,

所以丽•丽=（冲i+3）（冲2+3）+（%+1）（%+1）=L

即（加+1）%为+（3”?+1）（必+y2）+9=0,即-8（泳+l^+4m（3m+l）+9=0,

即4机2+4机+1=0，解得机=—],

因此，直线/的方程为*=—L丁+2,即y=—2x+4.

2

18.如图1,已知正方形ABC。的边长为4,分别为ARBC的中点，将正方形ABCD沿环折成

如图2所示的二面角，使得AD=2，点以是线段AB

（1）若M为AB的中点，直线与平面ADE的交点为。，试确定点。的位置，并证明直线OD〃平

面EMC；

（2）是否存在点河，使二面角C-9-E为60°?若存在，求出线段40的大小；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）点。在EA的延长线上，且AO=2,证明见解析

（2）存在，线段AM为"

4

【解析】

【分析】（1）由题意点。在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长EA,交于点O,连接O。，可得点

。位置；连接。尸交EC于点N,可得MN//OD,从而可证；

（2）取AE的中点”，连接OH,则DHLAE，可证平面ABEE,过点H作直线HT//EE,以为坐

标原点，以的，HT,即分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设出点河的坐标，利用向量

法求解即可.

【小问1详解】

•.•直线Mbu平面，点。在平面内，也在平面AD石内,

点。在平面ABFE与平面ADE的交线AE上，

延长E4,fM交于点。，连接OD,如图所示，

VA0//BF,"为AB的中点，与AEBM全等,

OM=MF,AO=BF=2,

二点。在EA的延长线上，且49=2,

连接DF交EC于点N,连接MN,

•••四边形CDER为矩形，，N是DE的中点，

为小。。厂的中位线，MN//0。，

又MNu平面EMC,OD①平面EMC,

直线8//平面矶q.

【小问2详解】

如图，由已知可得灰_LE4,EF上DE，

又E4noE=E,EADEu平面ADE,r.平面ADE,

又EFu平面,•.・平面，平面ADE,

•.・/）石=A石=A£>=2，.1VADE为等边三角形，

取AE的中点H,连接则DHLAE，

•••平面A5£E1平面ADE,平面c平面儿）石=AE,O//u平面ADE,

；・£>//，平面，过点〃作直线XT//跖，

以〃为坐标原点，以HA,HT,分别为x，%z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(—1,0,0),£>(0,0,百)，C(0,4,百)，F(-1,4,0),则皮=(1,4,g),

设(0<?<4),则前=(2j,0),

设平面EMC的法向量为m=(x,y,z),

m-EM=02x+ty=0

则〈_.，即<r取y=—26，则x=®,z=8—f

m-EC=0[x+4y+V3z=0

平面EMC的一个法向量为m=(百/,-2石,8-7)，

又平面ABFE的一个法向量为)=(0,0,1),

要使二面角C—EM—F的大小为60°，

.--.\m-n\8-f115

则|cos<m,n〉|=一一=F=-，解得r=~,

\m\-\n\^(730+12+(8-02*44

存在点M，使二面角C—EM—/为60°，

此时线段AM为”.

4

22]

19.已知。为坐标原点，耳，耳是椭圆。:=+4=1(。>6>0)的左、右焦点，C的离心率为一，点M是

a-2

。上一点，1”耳1的最小值为1.

(D求椭圆。的方程；

(2)已知是椭圆C的左、右顶点，不与工轴平行或重合的直线/交椭圆。于P,。两点，记直线AP

的斜率为左，直线的斜率为攵2,且42=23

①证明：直线/过定点；

②设A"。的面积为S,求S的最大值.

22

【答案】(1)=+匕=1

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（2）①证明见解析；②"逅.

9

【解析】

【分析】（1）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解a=2,6=百，即可求出椭圆方