2024高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时作业24平面向量的概念及其线性运算文

PAGEPAGE1课时作业24平面对量的概念及其线性运算[基础达标]一、选择题1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不肯定共线解析：可举特例，当n＝0时，满意m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D2．[2024·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))C.eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))D．2eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))；B错，应为eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))；C错，应为eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))；D正确，2eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))，故选D.答案：D3．如图，e1，e2为相互垂直的单位向量，向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2.答案：C4．[2024·石家庄中学质量检测]在△ABC中，点D在边AB上，且eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up10(→))，设eq\o(CB,\s\up10(→))＝a，eq\o(CA,\s\up10(→))＝b，则eq\o(CD,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)bD.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：∵eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up10(→))，∴eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up10(→))，∴eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故选B.答案：B5．如图，已知四边形ABCD是梯形，E，F分别是腰的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，则eq\o(DN,\s\up10(→))＝()A．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,4)a－eq\f(1,2)b解析：∵eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)aeq\o(CF,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)b，∴eq\o(DN,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＋eq\o(FN,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))－eq\f(1,3)eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,3)×eq\f(3,4)a＝eq\f(1,4)a－eq\f(1,2)b.答案：D二、填空题6．给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，∴|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|且eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DC,\s\up10(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DC,\s\up10(→))且|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→)).③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特别状况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满意|eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→))|，则△ABC的形态为________．解析：eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→))＝(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))，所以|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up10(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up10(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up10(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：eq\o(DE,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(AG,\s\up10(→)).解析：eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BG,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．设e1，e2是两个不共线向量，已知eq\o(AB,\s\up10(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up10(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up10(→))＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若eq\o(BF,\s\up10(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解析：(1)证明：由已知得eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝2eq\o(BD,\s\up10(→))，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知eq\o(BD,\s\up10(→))＝e1－4e2，且eq\o(BF,\s\up10(→))＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线得eq\o(BF,\s\up10(→))＝λeq\o(BD,\s\up10(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3,－k＝－4λ))，解得k＝12，∴k＝12.[实力挑战]11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up10(→))＝2eq\o(BD,\s\up10(→))，eq\o(CE,\s\up10(→))＝2eq\o(EA,\s\up10(→))，eq\o(AF,\s\up10(→))＝2eq\o(FB,\s\up10(→))，则eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))与eq\o(BC,\s\up10(→))()A．反向平行B．同向平行C．相互垂直D．既不平行也不垂直解析：由题意得eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up10(→))，因此eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，故eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))与eq\o(BC,\s\up10(→))反向平行．答案：A12．[2024·清华高校自主招生实力测试]O为△ABC内一点，且eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋2eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，则△OBC和△ABC的面积比eq\f(S△OBC,S△ABC)＝________.解析：如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))，∴eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋2eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))＋2eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，即eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，∴点O为线段MC的中点，则S△OBC＝eq\f(1,2)S△MBC＝eq\f(1,4)S△ABC，所以eq\f(S△OBC,S△ABC)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)13．[2024·河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满意2eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AN,\s\up10(→))＝μeq\o(AC,\s\up10(→)).若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．解析：连接AD.因为2eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝0，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o