2025年高考数学一轮复习-7.6-空间距离与空间角-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-7.6-空间距离与空间角-专项训练【含解析】一、选择题要求：在下列各题中，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间四点A（1，0，0），B（2，1，0），C（0，1，2），D（1，1，1），下列命题中正确的是（）A.AB和CD共线B.BC和AD共面C.AD和BC垂直D.AB和CD垂直2.已知直线l通过点P（1，0，-1），且与平面α垂直，平面α的法向量为n（1，-2，3），则直线l的方向向量可能是（）A.（2，-4，6）B.（1，2，3）C.（1，0，1）D.（2，-2，3）3.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则下列结论正确的是（）A.AB与BC垂直B.AC与BC垂直C.AB与AC垂直D.ABC三点共线4.在空间直角坐标系中，已知点P（3，4，5），点Q在平面x+y+z=6上，且PQ的中点为（2，3，4），则点Q的坐标为（）A.（1，1，1）B.（1，2，2）C.（2，2，2）D.（3，3，3）5.在空间直角坐标系中，已知直线l与平面α垂直，且直线l的方向向量为n（1，-2，3），平面α的法向量为m（1，0，2），则直线l的方程为（）A.x-2y+3z=0B.x-2y-3z=0C.x+2y+3z=0D.x+2y-3z=06.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则下列结论正确的是（）A.AB与BC垂直B.AC与BC垂直C.AB与AC垂直D.ABC三点共线二、填空题要求：在下列各题中，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。7.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则向量AB的坐标为______。8.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则向量AC的坐标为______。9.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则向量BC的坐标为______。10.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则向量AB的模长为______。11.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则向量AC的模长为______。12.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），则向量BC的模长为______。三、解答题要求：请认真阅读题目，然后按照要求进行解答。13.已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），求向量AB与向量AC的夹角的余弦值。四、解答题要求：请认真阅读题目，然后按照要求进行解答。14.已知空间四点A（1，0，0），B（2，1，0），C（0，1，2），D（1，1，1），求证：直线AB与直线CD不共面。五、解答题要求：请认真阅读题目，然后按照要求进行解答。15.在空间直角坐标系中，已知点P（3，4，5），直线l通过点P且与平面x+y+z=6垂直，求直线l的方程。六、解答题要求：请认真阅读题目，然后按照要求进行解答。16.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），D（1，1，1），求证：四边形ABCD是平行四边形。本次试卷答案如下：一、选择题1.D解析：点A（1，0，0），B（2，1，0），C（0，1，2），D（1，1，1），向量AB=(1，1，0)，向量CD=(0，0，1)，向量AB和向量CD不共线，因此AB和CD不共线；向量BC=(-2，0，4)，向量AD=(-1，1，1)，向量BC和向量AD不共线，因此BC和AD不共面；向量AB和向量CD不垂直，因此AB和CD不垂直；向量AD和向量BC的点积为(-1)*(-2)+1*0+1*4=2，不为0，因此AD和BC不垂直。故选D。2.A解析：直线l通过点P（1，0，-1），且与平面α垂直，平面α的法向量为n（1，-2，3），则直线l的方向向量与n（1，-2，3）垂直，即方向向量的坐标满足1×x-2×y+3×z=0。只有选项A（2，-4，6）满足条件。3.B解析：点A（1，2，3），B（4，5，6），C（0，3，6），向量AB=(3，3，3)，向量AC=(-1，1，3)，向量BC=(-4，2，0)，向量AB和向量AC的点积为3×(-1)+3×1+3×3=8，不为0，因此AB与AC不垂直；向量AB和向量BC的点积为3×(-4)+3×2+3×0=-6，不为0，因此AB与BC不垂直；向量AC和向量BC的点积为(-1)×(-4)+1×2+3×0=4，不为0，因此AC与BC不垂直。故选B。4.B解析：点P（3，4，5），点Q在平面x+y+z=6上，且PQ的中点为（2，3，4），设点Q的坐标为（x，y，z），则有（x+3）/2=2，解得x=1；（y+4）/2=3，解得y=2；（z+5）/2=4，解得z=3。因此点Q的坐标为（1，2，3），故选B。5.A解析：直线l与平面α垂直，且直线l的方向向量为n（1，-2，3），平面α的法向量为m（1，0，2），则直线l的方向向量与m（1，0，2）垂直，即方向向量的坐标满足1×x+0×y+2×z=0。只有选项A（x-2y+3z=0）满足条件。6.A解析：与第3题解析相同，故选A。二、填空题7.（3，3，3）解析：向量AB的坐标为B点坐标减去A点坐标，即（4-1，5-2，6-3）=（3，3，3）。8.（-1，1，3）解析：向量AC的坐标为C点坐标减去A点坐标，即（0-1，3-2，6-3）=（-1，1，3）。9.（-4，2，0）解析：向量BC的坐标为C点坐标减去B点坐标，即（0-4，3-5，6-6）=（-4，2，0）。10.3√3解析：向量AB的模长为各坐标平方和的平方根，即√(3^2+3^2+3^2)=3√3。11.√19解析：向量AC的模长为各坐标平方和的平方根，即√((-1)^2+1^2+3^2)=√19。12.2√5解析：向量BC的模长为各坐标平方和的平方根，即√((-4)^2+2^2+0^2)=2√5。三、解答题13.解析：向量AB=(3，3，3)，向量AC=(-1，1，3)，向量AB和向量AC的点积为3×(-1)+3×1+3×3=8，向量AB和向量AC的模长分别为3√3和√19，所以向量AB与向量AC的夹角的余弦值为8/(3√3×√19)。四、解答题14.解析：设直线AB与直线CD的交点为E，若AB和CD共面，则E点同时在平面ABC和平面ACD上，即E点为三角形ABC和三角形ACD的公共顶点，但显然A、B、C、D四点不共面，因此AB和CD不共面。五、解答题15.解析：直线l通过点P（3，4，5），且与平面x+y+z=6垂直，设直线l的方向向量为n（x，y，z），则有x+y+z=0（垂直条件），又因为直线l通过点P，所以3x+4y+5z=0（点P在直线上）。解这个方程组得到x=-4/3，y=5/3，z=2/3，因此直线l的方程为-4/3x+5/3y+2/3z=0，即4x-5y-2z=0。六、解答题16.解析：设直线AB与直线CD的交点为E，若ABCD为平行四边形，