北师大版（2019） 高中数学 选择性必修第一册 第五章 计数原理 章末测评卷（含解析）

北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册第五章计数原理章末测评卷（含解析）一、选择题要求：从每题给出的四个选项中，选择一个最符合题目要求的答案。1.若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={2，3，4，5，6}，则集合A与集合B的笛卡尔积A×B中元素个数为（）。A.20B.25C.30D.352.若集合A={1，2，3}，集合B={x|1≤x≤2}，则集合A与集合B的交集A∩B的元素个数是（）。A.1B.2C.3D.4二、填空题要求：在横线上填写正确的答案。3.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，组成的两位数共有________种取法。4.在集合A={a，b，c，d}中，任取两个元素作为一对，组成一个有序对，则这样的有序对共有________种。5.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取3个元素，组成一个三位数，其中百位数字为奇数的取法共有________种。三、解答题要求：写出解答过程，计算过程要详细。6.（本大题共10分）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|2≤x≤4}，求：（1）集合A与集合B的并集A∪B；（2）集合A与集合B的交集A∩B；（3）集合A与集合B的差集A-B。7.（本大题共12分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中，任取两个不同的数字，组成的两位数共有多少种取法？请用计数原理进行计算。8.（本大题共12分）已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合B={x|1≤x≤6}，求：（1）集合A与集合B的对称差集A△B；（2）集合A与集合B的笛卡尔积A×B中元素个数；（3）集合A与集合B的幂集P(A)的元素个数。四、证明题要求：证明以下命题。6.（本大题共10分）已知集合A={x|x是方程x²-4x+3=0的解}，集合B={x|x是方程2x²-5x+2=0的解}，证明集合A与集合B相等。五、应用题要求：解决以下实际问题。7.（本大题共12分）某校有8名教师，其中有4名女教师和4名男教师。现要从这8名教师中选出2名教师参加比赛，且要求至少有1名女教师参加。请计算有多少种不同的选法。六、综合题要求：结合所学知识解决以下问题。8.（本大题共15分）某班级有40名学生，其中有男生25名，女生15名。现要从这40名学生中随机抽取3名学生参加数学竞赛，请计算以下概率：（1）抽取的3名学生都是男生的概率；（2）抽取的3名学生中至少有1名女生的概率。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：集合A有5个元素，集合B有5个元素，所以笛卡尔积A×B中的元素个数为5×5=25。2.B解析：集合A有3个元素，集合B有3个元素，且这两个集合的元素完全相同，所以交集A∩B的元素个数为3。二、填空题3.20解析：从5个数字中任取两个不同的数字，第一位有5种选择，第二位有4种选择（不能与第一位相同），所以共有5×4=20种取法。4.6解析：从4个元素中任取两个元素，可以有ab、ac、ad、bc、bd、cd这6种不同的有序对。5.36解析：从9个数字中任取3个数字组成三位数，百位数字有5个奇数可以选择，十位和个位数字可以从剩下的9个数字中选择，所以共有5×9×8=360种取法。但是，三位数的排列顺序有3!（即6）种，所以实际的不同取法为360÷6=60种。然而，这里要求百位数字为奇数，所以需要减去百位为偶数的取法，即从剩下的4个偶数中选择百位数字，剩下的8个数字中选择十位和个位，共有4×8×7=224种取法。因此，百位为奇数的取法为60-224=-164，这是不可能的，说明之前的计算有误。实际上，我们应该直接计算百位为奇数的组合数，即从5个奇数中选择1个作为百位，剩下的8个数字中选择2个作为十位和个位，共有5×8×7=280种取法。三、解答题6.（本大题共10分）（1）集合A与集合B的并集A∪B为{1，2，3，4，5，6}。解析：将集合A和集合B中的元素合并，去除重复的元素。（2）集合A与集合B的交集A∩B为{2，3，4}。解析：找出集合A和集合B中共有的元素。（3）集合A与集合B的差集A-B为{1，5}。解析：从集合A中去掉与集合B共有的元素。7.（本大题共12分）解析：任取两个不同的数字组成的两位数，十位和个位都可以从0到9中选择，但十位不能为0，所以十位有9种选择，个位有10种选择，共有9×10=90种取法。8.（本大题共12分）（1）集合A与集合B的对称差集A△B为{1，7，8，9}。解析：对称差集是指同时属于A或B，但不属于A∩B的元素。（2）集合A与集合B的笛卡尔积A×B中元素个数为36。解析：集合A有9个元素，集合B有7个元素，所以笛卡尔积A×B中的元素个数为9×7=63。（3）集合A与集合B的幂集P(A)的元素个数为2^9=512。解析：幂集是指集合A的所有子集的集合，而集合A有9个元素，所以幂集P(A)的元素个数为2的9次方。四、证明题解析：解方程x²-4x+3=0，得到x=1或x=3，所以集合A={1，3}。解方程2x²-5x+2=0，得到x=2或x=1/2，所以集合B={1，2}。由于集合A和集合B的元素完全相同，所以集合A与集合B相等。五、应用题解析：至少有1名女教师参加比赛，可以有两种情况：一种是2名女教师参加，另一种是1名女教师和1名男教师参加。从4名女教师中选出2名有C(4,2)种选法，从4名男教师中选出1名有C(4,1)种选法，所以共有C(4,2)×C(4,1)=6×4=24种不同的选法。六、综合题解析：（1）抽取的3名学生都是男生的概率为C(25,3)/C(40,3)。解析：从25名男