人教版2025年八年级数学下学期期末总复习(专题训练)八下期末真题百题大通关(113题6题型)(压轴版)(学生版+解析)

八下期末真题百题大通关（113题6题型）（压轴版）选填小压轴题型一面积问题题型二多解问题题型三最值问题题型四多结论问题解答压轴题型五几何证明与计算大综合题型六坐标系中的综合题题型一面积问题1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（）

A． B． C． D．2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于．4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为．5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为．6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为．7．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形中，，，，则．8．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，，，则的面积为9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为．10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为11．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点在直线上，过点作轴，交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于、两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去．（1）等腰直角的面积为，（2）等腰直角的面积为．题型二多解问题12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在直角三角形中，，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处．当是直角三角形时，的长为．13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为．14．（22-23八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为．15．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，直线：过点，点C是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点C坐标是．

16．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为．17．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为．18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为．题型三最值问题19．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．321．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（

）A． B． C． D．22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（

）A． B． C． D．23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（

）A． B．5 C． D．624．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为，此时的最小值为．25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最大值是．26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，等腰的底边，面积为189，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．27．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是．28．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为；的最大值为．29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为．30．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为．31．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为．32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为．33．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为．34．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是．35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为．36．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，若点是某个正方形的两个对角顶点，则称互为“正方形关联点”，这个正方形被称为的“关联正方形”，已知点，点在直线上，正方形是点的“关联正方形”，顶点到直线的距离分别为，则的最小值为．37．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．38．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为．39．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为．40．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为．41．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为．42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是．43．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为．44．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为．

45．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为．题型四多结论问题46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，连接，过点E作垂足为点H，以为边作等边三角形，连接交于点M，下列四个命题或结论：①；②；③；④若，则四边形MEDG的面积是．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个47．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．448．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个49．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法：①点N的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为．其中正确的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．450．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（

）

A．2 B．3 C．4 D．551．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：；的解集为若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是．以上说法中正确的个数为（

）A． B． C． D．52．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）关于的新函数定义如下：（1）当时，（2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，；（3）当为无理数时，．例：当时，；当时，．以下结论：①当时，；②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值；④若，则满足的自变量的取值共有5个．正确的个数有（

）A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③53．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（

）①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④55．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个56．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个57．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（

）①；②为等边三角形；③；④．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个58．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个59．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个60．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③61．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①④62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；．A．个 B．个 C．个 D．个63．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有．（填序号）

64．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是．（填序号）65．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是（填写序号）．①小刚返回家的速度为250米/分钟；

②小亮与小刚家相距600米；③小亮用了24分钟到达体育馆；

④小刚回家后用了0.6分钟取装备；⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．66．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，是边上中线，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为2；④．其中正确结论的序号是．67．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为；④点到点距离的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是．68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则．其中正确的有（填序号）．69．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是．70．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）直线为常数，，且与直线为常数，且交于点．下列四个结论：①；②关于的方程的解为；③随着的增大而减小；④直线沿轴平移后得到直线，直线交直线于点，若点的纵坐标为，则不等式的解集是．其中正确的结论是．（填写序号）71．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是．（请填写序号）72．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．

点是边上一动点，点在上，且．有下列结论：①点的坐标为；②；

③四边形的面积为定值；④当为的中点时，的面积和周长最小．其中正确的有．（把你认为正确结论的序号都填上）73．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．74．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是．

75．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接．下列四个结论：①四边形是菱形；②；③；若，则．其中正确的结论是．（填序号）题型五几何证明与计算大综合76．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系．【初步探索】（1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________．（2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．【结论应用】如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数．77．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理：课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，）解：用两种方法计算四边形的面积，方法1：四边形的面积_______，方法2：四边形的面积_______，因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______．化简可得：．(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．78．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知，点D在直线右侧．(1)如图1，若请直接写出和之间的数量关系：(2)如图2，若则和有怎样的数量关系？证明你的结论．(3)如图3，若，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．①若，求的长；②，求的长．79．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】（1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________．【问题探究】（2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值．【问题解决】（3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）

80．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知和都是等腰直角三角形，，绕着顶点A旋转．(1)如图1，若D点恰好落在边上，连接．①求证：；②若G为中点，连接，当点D在直线上运动时，若，求线段的最小值；(2)若D不在边上，交于点F，且，．当是直角三角形时，求长．（图2，图3是备用图）81．（23-24八年级上·吉林长春·期末）解答（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为．（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．i．如图②，连结，当时，求的面积．ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．82．（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，．(1)若．ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；(2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．83．（23-24八年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G．(1)如图1，求证：；(2)当时．（i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长；（ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长．84．（23-24八年级上·江西抚州·期末）的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长；【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证②试判断与的数量关系并证明；【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长．85．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接．(1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：；(2)过点P作，交边于点D，①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数；②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于．86．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)如图2，当点落在上时，求的度数；(3)如图3，若为的中点，，求的长．87．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，四边形对角线交于点O，连接，①探究之间的等量关系，并说明理由；②若，，求的长．88．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景：（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．尝试应用：（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______；深入思考：（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分；拓展创新：（4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长．89．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践【性质探究】（1）如图1，在四边形中，对角线，交于点，且，求证：．【性质运用】（2）如图2，在中，，，，分别以的边，为直角边向外作等腰和等腰．连接，，，与交于点，求线段的长．【拓展迁移】（3）如图3，在锐角三角形中，，，，分别以的边，为边向外作等边三角形和等边三角形．连接，，，与交于点．试通过计算写出与之间的等量关系．

90．（23-24八年级下·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容，如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边长分别为8和15，求点到矩形的两条对角线和的距离之和．问题解决：如图①，过点分别作，分别交于点、，设与相交于点，连结，利用与的面积之和是矩形面积的，可知点到矩形的两条对角线和的距离之和(即)为______．实践应用：（1）如图②，在中，为底边上的任意一点，过点作，垂足分别为，求的值．（2）如图③，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为上一动点(不与重合)，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点和，以为邻边作平行四边形．，直接写出的周长______．91．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点．(1)当且时，如图2，求的面积．(2)若，求此时的值．(3)连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由．92．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究【问题情境】数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形．的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下：证明：如图②，分别作于点，，又，，又∵，且，，，【初步感知】（）请你补全以上证明过程；（）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线经过正方形的对称中心，直线分别与交于点，直线分别与交于点，且若正方形的面积是，则四边形的面积为______；【深入探究】（）受图③的启发，探究组做了图④，若，求四边形的面积；【拓展应用】（）如图④，请写出线段与之间的数量关系，并说明理由．93．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形(2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点．①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由；②如图2，连接，求的周长；③若四边形是“等补四边形”，求的长．94．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容．已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：．证明：∵四边形是平行四边形，，．．又，．．【结论应用】如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明．【拓展提升】如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O．（1）则四边形的形状为______；（2）若，则的面积为______．95．（23-24八年级下·河南许昌·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动．操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．【数学思考】（1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________.【猜想证明】（2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想；【拓展延伸】（3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长．96．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题：【课本再现】人教版八年级下册．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．）（1）取的中点G，连接，证明如下：在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点∴∴∵是正方形外角的平分线∴又∵∴∴∴（）（填写全等的理由）∴解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题：【问题解决】（2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明．【拓展探究】（3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长．97．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知：如图（1），在正方形中，点E为边上一点，把沿翻折，使点B落在点的位置，连接．(1)若点E是边的中点，①求证：；②如图（2），若点F为边的中点，沿将正方形纸片折叠，点D的对应点，与交于点H，与交于点G．求证：四边形为矩形；(2)某兴趣小组根据上面的结论，进行了如下的实践操作：如图（3），正方形的边长为4，点E、点F分别为边上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点B落在对角线上的点处，点D落在对角线上的点处，与对角线的交点为点M，与对角线的交点为点N，分别连接．则四边形的面积为________．98．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），过点作线段于点，且，连接，过点作，交于点，交于点，连接．(1)求证：①；②四边形是平行四边形；(2)如图，点是延长线上一点，当点在线段上运动时，求证：点始终在的角平分线上．99．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形内一点，，连接，．(1)如图1，求的度数；(2)过点B作于点G，连接．①如图2，试探究和的数量关系，并证明；②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________．100．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．(1)请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．(2)如图2，连结，若点为的中点，求的周长．(3)如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．题型六坐标系中的综合题101．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、．(1)点D的坐标为；(2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示；(3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．102．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．

(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；(2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标；(3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标；(4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标．103．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，．(1)求点的坐标．(2)求直线的解析式．(3)当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．104．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．

(1)求n、k的值；(2)已知点D是直线：上的一个动点．①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______；②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标；(3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形．①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)；②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______．105．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．(1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是；(2)，是直线上的两个动点．①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围．106．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C．(1)求直线的解析式及点C的坐标；(2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标；(3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由107．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）．(1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________．(2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值．(3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”．①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标．②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围．108．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为．(1)求A，B的坐标；(2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标；(3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由．109．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．

(1)求点D、E的坐标及三角形的面积；(2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标．110．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)如图2，当时，过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．(3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标．111．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D．(1)求直线的表达式；(2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．112．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为．(1)若点的坐标为，求所在直线的解析式；(2)求；(3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标．113．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．(1)直接写出点A的坐标以及直线的解析式；(2)如图1，点D在x轴上，连接，使，求点D的坐标；(3)如图2，已知点在第四象限内，直线交y轴的负半轴于点P，过点A作直线，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．八下期末真题百题大通关（113题6题型）（压轴版）选填小压轴题型一面积问题题型二多解问题题型三最值问题题型四多结论问题解答压轴题型五几何证明与计算大综合题型六坐标系中的综合题题型一面积问题1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（）

A． B． C． D．【答案】A【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、(等腰)梯形的定义【分析】首先结合图形和函数图像判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可．【详解】解：四边形中，，，∴，∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度，当点从运动到处需要秒，则，根据图像：当时，点运动到点，的面积为，∴，∴，根据图像：当点运动到点时，面积为，∴，∴，∴，∴四边形是梯形，又∵，∴四边形是直角梯形，∵，点的速度是每秒个单位长度，∴运动时间为秒，∴，设当时，函数解析式为，∴，解得：，∴当时，函数解析式为，如图，过点作于点，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴当运动到的中点时的时间，∴，∴当运动到的中点时，的面积为．故选：A．

【点睛】本题考查动点问题的函数图像，三角形面积公式，直角梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，用待定系数法确定一次函数的解析式，函数图像上的点的坐标特征．利用数形结合的思想方法是解题的关键．2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得．【详解】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，∵，，∴，，，，，∴，∴在中，，∵是等边三角形，∴，∴，∴在中，，∴，∴，同理可得：，在和中，，∴，∴，，同理可证：，∴，，∴，又∵，，∴是等边三角形，如图②，过点作于点，则，∴，∴，∵的面积是，∴，∴，∴，故选：A．3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于．【答案】12【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求面积【分析】本题考查正方形和直角三角形，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形判定和性质，矩形判定和性质，是解题关键．过F作的垂线交于D，连接，证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．【详解】解：过F作于点D，连接，则，设和的交点为T，和的交点为K，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵∴，∴．由，可得：，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴四边形是平行四边形，∵，∴是矩形，∴，∴，∴，同理可证，，∴，，∴．故答案为：12．4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为．【答案】6【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接，由平移的性质可得：，，，从而得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可得解．【详解】解：如图：连接，，由平移的性质可得：，，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，故答案为：．5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为．【答案】6【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴．∵，，∴四边形都是平行四边形，∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：6．6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为．【答案】【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据矩形的性质与判定求面积【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积．【详解】解：如图，连接交于G，交于H，平行且等于，平行且等于，∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，，，∴四边形是矩形，，，．∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积，故答案为：7．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形中，，，，则．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明【分析】设正方形的边长为x,由可得，由此可求出正方形的边长x，进而可求出，再根据即可求出的长．本题主要考查了勾股定理和正方形的性质，根据，利用面积法求出正方形的边长是解题的关键．【详解】解：设正方形的边长为x,则，，，，解得，，，又，解得．故答案为：．8．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，，，则的面积为【答案】4【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得出，证明，得出，由勾股定理得出，，得出，即可得解．【详解】解：∵四边形是正方形，，，，，即，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，故答案为：4．9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为．【答案】【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵平分交的延长线于点，∴，又，，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴设，，则，∵将点沿翻折，点刚好落在点处，∴，则,，在中，，，，由勾股定理得，则，解得，∴，即的面积为．故答案为：．10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为【答案】【知识点】二次根式的乘除混合运算、一次函数图象平移问题、三线合一、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于点，根据图形可得到，，由直线与轴的夹角为，得到，利用勾股定理即可求出，进而得到，再得到，根据三角形面积公式计算即可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线与轴的夹角为是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于点，则由图可得，当直线经过点时，，，当直线向右平移经过点时，与相交于点，此时，由图可得，，，∴，，∵直线与轴的夹角为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积，故答案为：．11．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点在直线上，过点作轴，交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于、两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去．（1）等腰直角的面积为，（2）等腰直角的面积为．【答案】【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的定义【分析】先根据点的坐标及轴求出的坐标，进而得到的长及的面积，再根据的坐标及轴求出的坐标，进而得到的长及的面积，根据变换规律的长得到的面积，依次类推即可找出规律，进而可得到的面积．【详解】解：(1)∵，轴，且点在直线上，，，，，∵是等腰直角三角形，，．故答案为：（2），，∵轴，且点在直线上，，，，，，∵轴，且点在直线上，，，，，，，依次类推，．故答案为：．【点睛】此题考查一次函数的性质，图像上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，根据图像依次计算得到点的坐标规律是计算面积的关键.题型二多解问题12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在直角三角形中，，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处．当是直角三角形时，的长为．【答案】或2【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时或①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在中，，，∴，点D是边上的一点，∴，∴当是直角三角形时，或，①当时，则，将沿AD折叠，使点C落在点E处，∴，∴，②当时，将沿AD折叠，使点C落在点E处，∴，，，∴∴点E在上，如图，∴，，，∴，∵∴，即解得：，综上所述，的长为或2故答案为∶或2．13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为．【答案】或或【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是，∴，∴中点D的坐标为，如图所示，当点P在上时，设；∵是边上的“完美三角形”，∴，∴，解得．∴点P的坐标为．如图2所示，当点P在上时，设；∵是边上的“中线三角形”，∴，∴，解得（负值舍去），∴点P的坐标为，如图3所示，当点P在上时，设；∵是边上的“中线三角形”，∴，∴，解得（负值舍去），∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或．故答案为：或或．14．（22-23八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为．【答案】3或【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，当时，即，解得：．当时，，∴．∴．∴．∵，点C在射线上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．如图1所示，当时，，∴；如图2所示，当时，，∴．综上所述，的长为3或．故答案为：3或．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．15．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，直线：过点，点C是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点C坐标是．

【答案】或或或【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、利用平方根解方程【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，先求得两点的坐标，再根据是等腰三角形，分情况讨论求解即可．【详解】解：由直线：过点可得：，即，直线：与x轴交于点B，则时，，即，联立直线：和直线：可得，解得，即，点C是横轴上任意一点，设，由勾股定理可得：，，是等腰三角形，则或或，当时，即，解得或（舍去），即；当时，，解得即；当时，，解得或，即或，故答案为：或或或．16．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】或【知识点】由平移方式确定点的坐标、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、坐标与图形【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，根据平移规则，得到，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，，设，则：，∴点在直线上，当是等腰三角形，分两种情况：①当时，过点作，则：，∵，∴两点重合，∴，∴，∴，∴；②当时，过点作，则：，∴，∴，∴，∴，∴，∴

故答案为：或．17．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为．【答案】或或或【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线、直线的解析式，根据菱形分成面积之比为的两个平行四边形，得一次函数分别平行于或，然后分类讨论分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式【详解】解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，，∴，，，，，设直线的解析式为，将，代入得解得：，设直线的解析式；设直线的解析式为，将，代入得解得：，设直线的解析式；∵一次比例函数的图象将菱形分成两个平行四边形，∴一次函数的图象平行于或，当一次函数图象平行于时，交、于点M，N交y轴于点Q，，菱形分成两个平行四边形，，，，∴；或，，，，∴；当一次函数图象平行于时，同理可知：或，或，综上所述一次函数解析式为、、或．18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为．【答案】或【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、二次根式的混合运算【分析】分当点D在上时，当点D在延长线上时，两种情况分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N，，再根据图形面积之间的关系求解即可．【详解】解：如图所示，当点D在上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N，∵中，，∴，∴，∴，∵点E是线段的中点，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴；由正方形的性质可得，∴，∴，∴如图所示，当点D在延长线上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N，同理可得，∴；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．题型三最值问题19．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解．【详解】解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，当时，，当时，，∴，，∴，，∴，如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，

∴，∴，又∵，∴，，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，是等边三角形，∵，∴∴，∴有最小值为，∴的最小值为，故选：D．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键．20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合【分析】作轴且，连接，延长交轴于，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案．【详解】解：如图，作轴且，连接，作轴于，，直线与轴交于点，与轴交于点，令，则，解得，令，，点坐标为，点坐标为，，轴，，，点坐标为，设点，则，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，，，三点横坐标相同，都为，，，三点共线，，，点是线段的中点，，，，当即时，最小，为，的最小值为，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．21．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，，，故选：D．22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、利用平移的性质求解【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，依题意，，则，，则，设，∵∴∴即到和的距离的和如图所示，作关于轴的对称点∴的长为的最小值，最小值为．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（

）A． B．5 C． D．6【答案】A【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可．此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．【详解】解：延长到点F，使得，∵，∴直线是线段的垂直平分线，连接，∴，，∴就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，∵，，，∴，，∴，∴，∴．故选：A．24．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为，此时的最小值为．【答案】【知识点】一次函数与几何综合【分析】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点B的对称点，求出解析式，即可求出点P及距离即可得到答案．【详解】解：当时，，∴，当时，，解得：，∴，∴点B关于x轴对称点的坐标为：，连接交x轴于一点即为最小距离和点P，，设的解析式为：，，解得：，∴，当时，，∴，此时最小，，故答案为：，．25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最大值是．【答案】5【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理；取的中点E，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则点P在以点E为圆心，为半径的圆上，然后求出点M、N的坐标，利用中点坐标公式求得，利用勾股定理求出、，根据点C与点N重合可知，当P与M重合时，取最大值，最大值为即可求解．【详解】解：如图，取的中点E，连接，∵点在平面内，，∴在中，，∴点P在以点E为圆心，为半径的圆上，在直线中，当时，；当时，，∴，，∴，，∴，∴,∵，∴,∴点C与点N重合，取最大值，最大值为，∴当P与M重合时，不成立，故答案为：5．26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，等腰的底边，面积为189，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．【答案】【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、用勾股定理解三角形【分析】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质；如图作于，连接，．由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长；进而勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图作于，连接，．垂直平分线段，，，当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，，，∴，，，，，，，的最小值为．周长的最小值为；故答案为．27．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是．【答案】【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理,熟练掌握轴对称的性质及等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H，则，所以，当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值，再根据等腰三角形的三线合一性质，得到，，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积，即可求得答案．【详解】解：作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H，则，，当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值，，平分，，，，，，解得．故答案为：．28．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为；的最大值为．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，延长至使得，连接，则进而勾股定理，即可求解；【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，在中，，∴，∴，∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，∵，，，∴∵，∴，在中，，∴，∴，如图所示，延长至使得，连接，则，，∴，故答案为：，．29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为．【答案】/7.2【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴