大一线代期末试题及答案

大一线代期末试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.二阶行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值为（）A.-2B.2C.10D.-102.设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(\vertA\vert=0\)，则（）A.\(A\)的列向量组线性无关B.\(A\)的行向量组线性无关C.\(A\)不可逆D.\(A\)是零矩阵3.向量组\(\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)\)的秩为（）A.1B.2C.3D.04.设\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)5.若\(A\)是\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)的值为（）A.4B.8C.16D.326.齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充分必要条件是（）A.\(A\)的行向量组线性相关B.\(A\)的列向量组线性相关C.\(A\)的行向量组线性无关D.\(A\)的列向量组线性无关7.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则\((A^)^{-1}\)等于（）A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^\)D.\(\vertA\vertA^\)8.矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)的特征值为（）A.1,1B.2,2C.1,2D.0,09.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(E\)为\(n\)阶单位矩阵，若\(A^2-A-2E=0\)，则\((A-E)^{-1}\)等于（）A.\(A-2E\)B.\(A+2E\)C.\(\frac{1}{2}(A-2E)\)D.\(\frac{1}{2}(A+2E)\)10.若向量\(\vec{\alpha}=(1,k,2)\)与向量\(\vec{\beta}=(2,-1,1)\)正交，则\(k\)的值为（）A.4B.3C.2D.1二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于矩阵运算正确的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（\(AB=BA\)时）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=b\)为非齐次线性方程组，则（）A.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，则方程组有唯一解B.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，则方程组有无穷多解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，则方程组无解D.若\(r(A)=n\)，则方程组有解3.向量组\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_s\vec{\alpha}_s=0\)B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.向量组的秩小于\(s\)D.向量组中任意两个向量线性相关4.设\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(r(A)=r(B)\)5.以下关于可逆矩阵的性质正确的是（）A.可逆矩阵的转置矩阵可逆B.可逆矩阵的逆矩阵可逆C.两个可逆矩阵的乘积可逆D.可逆矩阵的伴随矩阵可逆6.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，则（）A.\(A\)的特征值都是实数B.属于\(A\)不同特征值的特征向量正交C.存在正交矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)为对角矩阵D.\(A\)一定可逆7.下列哪些矩阵是初等矩阵（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)8.对于\(n\)阶方阵\(A\)，以下说法正确的是（）A.若\(A\)可相似对角化，则\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量B.若\(A\)有\(n\)个不同的特征值，则\(A\)可相似对角化C.若\(A\)的特征值都是单根，则\(A\)可相似对角化D.若\(A\)是实对称矩阵，则\(A\)可相似对角化9.设\(\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}\)为向量，\(k\)为实数，则下列运算正确的有（）A.\(\vec{\alpha}+\vec{\beta}=\vec{\beta}+\vec{\alpha}\)B.\(k(\vec{\alpha}+\vec{\beta})=k\vec{\alpha}+k\vec{\beta}\)C.\((\vec{\alpha}+\vec{\beta})+\vec{\gamma}=\vec{\alpha}+(\vec{\beta}+\vec{\gamma})\)D.\(k(l\vec{\alpha})=(kl)\vec{\alpha}\)10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(\vec{x}\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\vec{x}=\lambda\vec{x}\)B.\((A-\lambdaE)\vec{x}=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.对于任意非零常数\(k\)，\(k\vec{x}\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A\)、\(B\)为方阵，且\(AB=BA\)，则\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.若向量组\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3\)线性相关，则\(\vec{\alpha}_1\)一定能由\(\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3\)线性表示。（）3.方阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）4.若\(A\)为可逆矩阵，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆。（）5.相似矩阵一定有相同的秩。（）6.齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解，则\(A\)的列向量组线性无关。（）7.若\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）8.对矩阵\(A\)施行初等行变换，不改变\(A\)的列向量组的线性相关性。（）9.若\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)相似。（）10.实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定正交。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的充分必要条件。答：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充分必要条件是\(\vertA\vert\neq0\)，此时\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)。2.什么是向量组的极大线性无关组？答：向量组中一个部分组，若它线性无关，且向量组中任意向量都可由该部分组线性表示，则这个部分组就是向量组的极大线性无关组。3.简述相似矩阵的定义。答：设\(A\)、\(B\)都是\(n\)阶方阵，若存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，则称\(A\)与\(B\)相似。4.简述实对称矩阵的性质。答：实对称矩阵特征值为实数；不同特征值对应的特征向量正交；一定可相似对角化，即存在正交矩阵\(P\)使\(P^{-1}AP\)为对角阵。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论线性方程组\(Ax=b\)解的情况与系数矩阵\(A\)和增广矩阵\((A|b)\)秩的关系。答：当\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数），方程组有唯一解；当\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，有无穷多解；当\(r(A)\ltr(A|b)\)，方程组无解。2.讨论矩阵可相似对角化的条件。答：\(n\)阶方阵\(A\)可相似对角化的充分必要条件是\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。若\(A\)有\(n\)个不同特征值或\(A\)是实对称矩阵，则\(A\)可相似对角化。3.讨论向量组线性相关性与向量组秩的关系。答：向量组线性相关时，其秩小于向量组中向量的个数；向量组线性无关时，其秩等于向量组中向量的个数。秩是极大线性无关组所含向量个数。4.讨论伴随矩阵\(A^\)与矩阵\(A\)的关系。答：\(AA^=A^A=\vertA\vertE\)。当\(A\)可逆时，\(A^=\vertA\vertA^{-1}\)。且\(r(A^)=n\)（\(r(A)=n\)），\(r(A^)=1\)（\(r(A)=n-1\)），\(r(A^)=0\)（\(r(A