高二数学入学试题及答案

高二数学入学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.直线\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(-2\)2.抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点坐标是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)3.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，则\(a_{5}\)的值为（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.函数\(f(x)=x^{3}-3x\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)8.已知直线\(l_{1}:ax+y-1=0\)与直线\(l_{2}:x+ay+1=0\)平行，则\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)9.若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，则\(z=2x+y\)的最大值为（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)10.已知\(a=\log_{3}2\)，\(b=\log_{2}3\)，\(c=\log_{4}6\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\ltc\ltb\)B.\(a\ltb\ltc\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.零向量与任意向量平行B.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)C.向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线的充要条件是存在实数\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)D.两个单位向量的数量积为\(1\)2.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，以下说法正确的是（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.焦距为\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.离心率\(e=\frac{c}{a}\)3.以下哪些是等比数列（）A.\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(\cdots\)B.\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，\(\cdots\)C.\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)D.\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(\cdots\)4.关于函数\(y=\sinx\)，下列说法正确的是（）A.最小正周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.图象关于原点对称D.在\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上单调递减5.直线\(l\)过点\((1,2)\)，且倾斜角为\(45^{\circ}\)，则直线\(l\)的方程可以是（）A.\(y-2=x-1\)B.\(x-y+1=0\)C.\(y=x+1\)D.\(x+y-3=0\)6.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，则（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)7.下列命题正确的是（）A.若\(p\)：\(\forallx\inR\)，\(x^{2}\geqslant0\)，则\(\negp\)：\(\existsx\inR\)，\(x^{2}\lt0\)B.“\(a\gtb\)”是“\(a^{2}\gtb^{2}\)”的充分不必要条件C.若\(p\)：\(x\gt1\)，\(q\)：\(x\gt2\)，则\(q\)是\(p\)的充分不必要条件D.命题“若\(x^{2}-3x+2=0\)，则\(x=1\)”的逆否命题为“若\(x\neq1\)，则\(x^{2}-3x+2\neq0\)”8.对于函数\(f(x)=x^{2}-2x+3\)，以下说法正确的是（）A.对称轴为\(x=1\)B.最小值为\(2\)C.在\((-\infty,1)\)上单调递减D.在\((1,+\infty)\)上单调递增9.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec{b}=(x,1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则（）A.\(x=2\)B.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)C.\(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10}\)D.\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为\(90^{\circ}\)10.设\(m\)，\(n\)是两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，则\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，则\(\alpha\perp\beta\)C.若\(\alpha\parallel\beta\)，\(m\subset\alpha\)，则\(m\parallel\beta\)D.若\(m\perpn\)，\(m\perp\alpha\)，则\(n\parallel\alpha\)三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，则\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）3.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（）4.过圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)上一点\((x_{0},y_{0})\)的切线方程为\(x_{0}x+y_{0}y=r^{2}\)。（）5.若\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(S_{n}\)是其前\(n\)项和，则\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等差数列。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）7.直线\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同时为\(0\)）的斜率为\(-\frac{A}{B}\)。（）8.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率越大，椭圆越圆。（）9.若向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)，则\(\vec{a}=\vec{b}\)。（）10.命题“若\(p\)，则\(q\)”的否命题是“若\(\negp\)，则\(\negq\)”。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=3x^{2}-2x+1\)的对称轴和顶点坐标。答案：对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函数\(a=3\)，\(b=-2\)，则对称轴\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函数得\(y=3\times(\frac{1}{3})^{2}-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，顶点坐标\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，求\(a_{n}\)的通项公式。答案：设公差为\(d\)，\(d=\frac{a_{5}-a_{3}}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_{1}=a_{3}-2d=5-2\times2=1\)，则\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求过点\((2,3)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线斜率相同为\(2\)，由点斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（\((x_{0},y_{0})=(2,3)\)，\(k=2\)）可得\(y-3=2(x-2)\)，整理得\(2x-y-1=0\)。4.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同时除以\(\cos\alpha\)，则\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha-1}{\tan\alpha+1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=x^{3}-3x\)的单调性与极值情况。答案：对函数求导得\(y^\prime=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函数递增；令\(y^\prime\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，函数递减。\(x=-1\)取极大值\(2\)，\(x=1\)取极小值\(-2\)。2.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，讨论\(a\)，\(b\)变化时椭圆形状的改变。答案：\(a\)决定长轴长度，\(a\)增大，椭圆越扁长；\(b\)决定短轴长度，\(b\)增大，椭圆越趋近于圆。离心率\(e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\)，\(a\)变大或\(b\)变小，\(e\)变大，椭圆越扁；反之越圆。3.讨论直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是几何法，比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\gtr\)时相离，\(d=r\)时相切，\(d\ltr\)时相交；二是代数法，联立直线