2025版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教学案文含解析北师大版

PAGE1-第六节对数与对数函数[考纲传真]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，驾驭对数函数图像通过的特别点，会画底数为2,10，eq\f(1,2)的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数概念假如ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.性质alogaN＝Nlogaab＝b(a＞0，且a≠1)换底公式换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)2.对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图像a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．eq\o([常用结论])1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logeq\s\do8(a)mbn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数渐渐增大．[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x． ()(2)当x＞1时，logax＞0． ()(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同． ()(4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图像不在其次、三象限． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2eq\s\up18(－eq\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))eq\f(1,3)，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD[∵0＜a＝2eq\s\up18(－eq\f(1,3))＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))eq\f(1,3)＞logeq\s\do8(eq\f(1,2))eq\f(1,2)＝1，∴c＞a＞b.]3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由图像可知y＝loga(x＋c)的图像是由y＝logax的图像向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再依据单调性可知0＜a＜1.]4．(教材改编)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．(1，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C[当0＜a＜1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；当a＞1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]5．计算：2log510＋log5eq\f(1,4)＝________，2log43＝________.2eq\r(3)[2log510＋log5eq\f(1,4)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102×\f(1,4)))＝2，因为log43＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2log43＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).]对数式的化简与求值1．(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.2[原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋2lg5＝2.]2．2eq\s\up10(log23＋log43)＝________.3eq\r(3)[原式＝2eq\s\up10(log23)·2eq\s\up10(log43)＝3·2eq\s\up10(log2eq\r(3))＝3eq\r(3).]3．log23·log38＋(eq\r(3))eq\s\up10(log34)＝________.5[原式＝3log23·log32＋3eq\s\up10(log32)＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝________.eq\r(10)[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝eq\r(10).][规律方法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要留意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.对数函数的图像及应用【例1】(1)(2024·大连模拟)函数y＝lg|x－1|的图像是()ABCD(2)(2024·厦门模拟)当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)(3)函数y＝loga(x－2)＋2恒过定点P，则点P的坐标为________．(1)A(2)B(3)(3,2)[(1)函数y＝lg|x－1|的图像可由函数y＝lg|x|的图像向右平移1个单位得到，故选A．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，只需f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图像在g(x)的图像下方即可．当a＞1时不满意条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图像，可知只需feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2＜logaeq\f(1,2)，则a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).(3)由x－2＝1得x＝3，当x＝3时，y＝2，则点P的坐标为(3,2)．][规律方法]对数函数图像的识别及应用(1)在识别函数图像时，要擅长利用已知函数的性质、函数图像上的特别点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为()ABCD(2)函数y＝log2(x＋1)的图像恒过定点P，则点P的坐标为________．(3)若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．(1)A(2)(0,0)(3)(1,2][(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图像，然后依据g(x)的图像关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图像，最终由函数g(x)的图像向上整体平移一个单位即得f(x)的图像，结合图像知选A．(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．(3)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当0＜a＜1时，明显不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的图像下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]对数函数的性质及应用►考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log2eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)＝log22eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)＝log2eq\r(26)，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2eq\r(7)＞3eq\r(3)＞eq\r(26)，所以b＞a＞c，故选B．(2)b＝log2eq\r(3)＝eq\f(1,2)log23＞eq\f(1,2)，c＝log3eq\r(2)＝eq\f(1,2)log32＜eq\f(1,2)，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log2eq\r(3)＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A．►考法2解对数不等式【例3】(1)(2024·江苏高考)函数f(x)＝eq\r(log2x－1)的定义域为________．(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x＜0.))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．(1)[2，＋∞)(2)(－1,0)∪(1，＋∞)[(1)由题意知，log2x－1≥0，即log2x≥log22.解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log\f(1,2)－a＞log2－a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log2－a＜0，))解得a＞1或－1＜a＜0.]►考法3复合函数的单调性、值域或最值【例4】函数f(x)＝logeq\f(1,2)(－x2＋4x＋5)的递增区间为_____，值域为________．(2,5)[2logeq\s\do8(eq\f(1,2))3，＋∞)[由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))(－x2＋4x＋5)的递增区间为(2,5)．又－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9≤9，所以f(x)≥logeq\s\do8(eq\f(1,2))9＝2logeq\s\do8(eq\f(1,2))3，即函数f(x)的值域为[2logeq\s\do8(eq\f(1,2))3，＋∞)．][规律方法]1.比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性干脆进行推断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨化．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．解对数不等式的类型及方法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，假如a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种状况探讨．(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤(1)(2024·天津高考)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up18(eq\f(1,3))，c＝logeq\s\do8(eq\f(1,3))eq\f(1,5)，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))则满意f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(3)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)(1)D(2)D(3)A[(1)c＝logeq\s\do8(eq\f(1,3))eq\f(1,5)＝log35，则log35＞log3eq\f(7,2)＞log33＝1，又eq\b\lc\(\rc\)